固有ベクトルと対角化行列
ブロック5重対角行列群に対するベクトル計算機向けの効率的な解法について(数値計算アルゴリズムの研究)
... $\frac{\succ\frac\in\frac\overline{\frac{\alpha}{\S 3}}\mathrm{g}}{\circ\varpi}$ . 図 5: 従来の $\mathrm{L}\mathrm{U}$ 分解法と ...
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行列の最小消去多項式候補を利用した固有ベクトル計算IV (数式処理とその周辺分野の研究)
... により， $A$ の次元を 128, 256, 384, . . . , 1024 と変化させた． $\bullet$ $A$ の各ブロック $A_{1}$ , . . . , $A_{8}$ の各成分 $a_{ij}$ は， $|a_{ij}|<10$ なる整数で無作為に与えた (ランダムな整数 の生成には， Risa/Asir 付属ライブラリの lin-alg.randomnat を用いた). $\bullet$ ...
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対称行列の行列式環の重複度とセルバーグ型積分
... 特異点理論の研究者は determinantal variety を degeneracy loci と呼んでいる . [JLP], [HT] はベクトル束の間の写像の degeneracy loci の cohomology 類をベクト ル束の特性類で記述する公式を与えている . これらの公式はー般化された Porteous の公式 [P] と呼ばれる . それを書くと ...
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上二重対角行列の最小特異値の下界に関する最近の進展について (数値解析と数値計算アルゴリズムの最近の展開)
... $=\square \overline{b_{1}^{2}}$ . $J_{M}$ から $J_{M}^{m^{1}}$ を計算するためのコストは無視できるとすると，定理 1 および注意 2 に基づいて一 般化 Newton を計算するために必要な演算回数は $O(MN)$ のオーダーである． $M$ は固定された定数 であるから，このオーダーは $O(N)$ ...
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量子多体問題における自由度の壁とそれを越える並列対角化アルゴリズムの開発 : 地球シミュレータ上での超並列量子計算の現状(数値シミュレーションを支える応用数理)
... の近傍の数個の励起状態を求めれば良く . 計算量の点から解法には反復法が利用される. 以下では厳密対角 化法に伝統的に利用されてきた Lanczoe 法 [1] に基づく固有値計算法 , および Knyazev の提案した共役勾 配法による固有値計算法 (LOBPCG) $[2, 3]$ の 2 っの解法を説明し , 後者の手法により計算時間が格段に短 縮されることを示す. また , ...
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行列のスペクトル分解・固有ベクトルの分散計算 (Computer Algebra : Design of Algorithms, Implementations and Applications)
... 時間を測定した . ただし最小多項式の導出部分については , 木村欣司氏の固有多項式導出プログラム $(C$ 言 語による) を使用させていただいた . 実験には , Xeon (3.OGHz, 4 コア ) $\cross 2,32$ GB メモリーの計算機と Linux kemel 2.6.18 を用い, 行列 $A$ は , 64 次正方行列 , 各要素は 18 ...
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行列Horner法の拡張と効率化 (数式処理研究の新たな発展)
... 4). 行列 ベクトル積の Horner 法の実験結果 (実験 3) は，一見，分割次数が増加するほど行列のべき乗を 計算するコストが増加しており，算法全体が効率的でなくなるように見える．しかしながら，我々が今後， 本算法を，最小消去多項式候補や最小消去多項式の計算に応用する際には，以下の理由により，本算法の効 ...
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シュティーフェル多様体上の同時対角化問題に対するニュートン法 (最適化の基礎理論と応用)
... (2.24) となる．ここで，ヘシアン $Hess$ と勾配 $grad$ は，いずれもリーマン多様体 $M$ に備わるリー マン計量に基いて定義されるもので，ヘッセ行列やユークリッド勾配とは一致しないこと に注意されたい．また，探索方向 $\eta_{k}\in T_{x_{k}}M$ ...
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行列の最小消去多項式候補を用いた固有ベクトル計算(III) (数式処理とその周辺分野の研究)
... その後，我々は，固有ベクトル算法のさらなる拡張を提案した [5]. それまでに提案した算法は，着目す る固有値の重複度が 1 の場合に限られたが，拡張した算法は，着目する固有値に属する一般固有ベクトル 空間が，固有ベクトル空間に等しいという条件下で，着目する固有値の特性方程式における重複度が 1 よ reaj imaQmath. tsukuba. ac. jp $\dagger$ ...
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行列の最小消去多項式候補を利用した固有ベクトル計算 (Computer Algebra : Design of Algorithms, Implementations and Applications)
... をみたす．すなわち $\rho(\alpha)$ は $A$ の固有値 $\lambda=\alpha$ に属する固有ベクトルである． 1 さて，本稿の算法では，最小消去多項式候補を用いて固有ベクトル計算を行う．よって，与えられた最小 消去多項式候補が，実際に最小消去多項式であることを確認する必要がある．本稿で提案する最小消去多 項式候補を用いた固有ベクトル計算は，以下の流れになる． ...
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数値代数方程式のフィルタ対角化法による解法 (Computer Algebra : Design of Algorithms, Implementations and Applications)
... 般的なベクトル」 $x$ を通すと , 性質から出力 $y=\mathcal{F}x$ は「選択したい固有成分」の近似的な線形結合とな り , それ以外の固有成分の割合は微小となる . いま $S$ を「選択したい固有値」 を持つ固有ベクトルの張る 部分空間とする . フィルタの出力を十分集めて分析して , $S$ を近似する部分空間 $S’$ の基底の組を構成する ...
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本日の講義内容 固有値 ( 線形代数 ) と応用問題 振動問題 ネットワーク定常問題 固有値計算アルゴリズム 密行列 べき乗法 ヤコビ法 ハウスホルダー三重対角 + 分割統治法 + 逆変換 疎行列 ランチョス法 ヤコビ デビッドソン法 その他 固有値計算ソフトウェア ScaLAPACK EigenE
... べき乗法 • 疎行列では、記憶領域の問題やフォーマット変形操作が 煩雑といった理由から、行列の変形操作を行わない。 • 主に、行列とベクトルもしくはベクトル同士の積、近似もしく は写像し縮小した行列での操作が中心となる。 ...
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地球シミュレータ上での18テラフロップス級及び1590億次元行列の厳密対角化計算:トラップされた強相関フェルミ原子ガスの基底状態探索(計算科学の基盤技術とその発展)
... 問題解決が極めて重大な問題と認識される. 本報告は , この様に計算物理学 , 数値線形計算分野 , 計算機科学の最先端の技術融合によっ て成し得た , 地球シミュレータ上での実効性能 18 テラフロップスおよび 1590 億次元の固有値 計算の結果を報告する. 特に, 2005 年 11 月に行われた国際会議 ...
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2次非線形方程式系の解法に基づく行列の対角化法 (計算科学の基盤技術としての高速アルゴリズムとその周辺)
... 期値をずらしただけで異なる解に収束する . 初期値を適切に推定しすべての固有対を求 めることは事実上不可能である . そこで別の議論を考える . 例えば固有値 $\lambda_{3}$ の固有ベク トル $X_{3}$ を既知とする. このとき平面の法線ベクトル $z$ を $z\perp x_{3}$ をみたすように選ぶ . こ のとき収束領域は図 1(e) となる. ...
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行列Horner法の並列化による行列の固有ベクトル計算の効率化について (数式処理研究の新たな発展)
... とおく． 2. ［各部分列における途中結果のベクトルの計算］ 式 (20) における各部分列 $L_{0}$ , . . . , $L_{s-1}$ において， $L_{j}$ に対する途中結果となるベクトルの列 $L_{j}’=[u_{l_{0}+\cdots+l_{j-1}}’, . . . , u_{l_{0}+\cdots+l_{j}-1}’]$ を次式により計算する． ...
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特異値分解アルゴリズムにおける適応的ピボット選択を用いた行列の二重対角化 (数値解析と新しい情報技術)
... ピボット選択による行置換を行う . そのため, ランク落ちした行列に対しては, ランク落ちを検知 して以降の無駄な計算を省き , フルランク行列に対しては, 行置換を行わす , 従来の方法と同じ結 果が得られる. 本方法は , ランク落ちした行列には従来の方法ならびに文献 [4] の方法よりも高速 に , ...
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CG法の最近の前処理のロバスト性と効率化について : 閾値によるドロッピングと対角緩和処理 (数値解析と新しい情報技術)
... 行う double dropping 技法を提案し , その有効性を数値実験で実証した [7][8][9][10][11][12]. 本研究ては, 疎行 列データベースに収納された行列への適用だけでなく , 実際のコンクリート橋の梁 (BEAM) やケーブル定着部に おける応力解析て生じた行列に対しても double dropping つきの改良版の SAINV 前処理や同改良版の RIF 前処 ...
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非優対角線型方程式系の前処理行列による優対角化法 (微分方程式の数値解法と線形計算)
... 収束が可能ならば係数行列を狭義優対角行列化の必要はなく , $A^{(k)}$ が一般化優対角行列と なる回数で乗算を停止すればよい . ここで示した例の場合 15\sim 17 程度の乗算で停止できる. 次に同じように境界要素法を適用した場合で領域を 10. 1] $\mathrm{x}10$ ...
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非対称特異行列のクリティカルな左固有ベクトルの力学的意味付けとその例説
... な直交性はなく，荷重極大点でちょうど荷重変数の増分量がゼロであることにより，式（12）の右辺における b （荷 重ベクトル）はゼロベクトルとなる．このときクリティカルな右固有ベクトル以外に有意な解は存在しないこと は明らかである．なお接線剛性行列の非対称性により各特異点でのクリティカルな左右の固有ベクトルは，程度 ...
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有理演算による実対称行列の三重対角化 (数式処理における理論と応用の研究)
... $Av_{n}=\beta_{n-1}v_{n-}1+\alpha nv_{n}$ . 上記関係式に対して , 直交関係 $(v_{i}, v_{j})=0(i\neq$ のを使って, $\alpha_{k},$ $\beta_{k},$ $\gamma_{k},$ $v_{k}$ を計算する . $v_{k}$ は整数ベクトルとなるようにし , $\alpha_{k},$ $\beta k,$ $\gamma k$ ...
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