GSp4 の肥田理論について

GSp

の肥田理論について

山内 卓也(大阪府立大学)1 0.序文

本稿ではTilouine-Urbanの論文[7]で構成されたSiegel-Hilbert Hecke eigensystemsのp進

familyの構成およびそれに付随するガロア表現について解説する.

以下, pは素数, F は総実代数体, K はQp の有限次拡大でその整数環をOとする. また, C←-Q,→Qpを固定し, OはあるDedekind 環O0/Zのこの埋め込みによるp進完備化となっ ているとする.

Contents

1. Introduction 1

2. Control theorem 3

2.1. p-semilocal Hecke algebra 5

2.2. Hida group 6

2.3. Hida’s idempotent 7

2.4. Levelのcontrolとweightのidependence 8

3. Shimura varieties for GSp4/F 10

4. parabolic cohomology のcontrol 11

5. A family of eigensystems 14

6. Galois representation associated to a Hida family 15

References 16

1. Introduction

V_m,n をSp₄(R)の既約代数的表現で最高weight が(m, n), m ≥ n ≥ 0であるものとし, Γ ⊂ Sp₄(Q)を捩れ点を持たない数論的部分群とする. このとき, Faltings-Chaiの結果より,

Hecke加群としての埋め込み

M_m+3,n+3(Γ),→H³(Γ, V_m,n) =H³(Γ\H2,Vm,n) S_m+3,n+3(Γ),→H_!³(Γ, V_m,n) =H_!³(Γ\H2,Vm,n)

が存在する(cf. [1]のp.42の3.8節を参照). ただし, M_k,l(Γ) (resp. S_k,l(Γ))は次数2, 重さ (k, l)のSiegel modular (resp. cusp) formsの成す空間,Vm,nはV_m,nに付随するSiegel threefold Γ\H2 上の局所系である.

1_{これは2010.8.6に阪大で行われたGSp}

4の勉強会の講演ノートです. 講演中曖昧な部分や間違った部分が

denseに存在しましたのでこの場を借りて訂正・補足させて頂きます. 著者の不理解により皆様に迷惑をかけた

ことをお詫び致します.

1

さて, Hida family というのは重さ(m, n)をp進的に補間するようなweight space X 上の p-adic familyであって, 各(m, n)∈ X, m≥n ≥0上のファイバー空間が

M_m+3,n+3(Γ), S_m+3,n+3(Γ), H³(Γ, V_m,n), H_!³(Γ, V_m,n)

のような対象に一致するようなもののことである. Mm+3,n+3(Γ)の元のような対象(form)を 用いて, Hida familyを構成しようとすると,GL(2)/Qの場合と違って, 困難が多い上, (恐らく は)一変数のfamilyしか構成できないので, 群コホモロジーH³(Γ, V_m,n)のcohomology class をp進的に“変形”させて, しかるべき次元をもつp-adic family (Hida family)を作ることをこ こでは行っている.

Hida familyの構成は大雑把に説明すると次のようになる. Sp4(R)の数論的部分群Γ1(p^s), s≥ 1 (各s ≥1に対して, Γ1(p^s+1) ⊂Γ₁(p^s)は正規部分群になっている) とある_p¹rO/O上の有限 生成加群L_rからなる(Mittag-Leffler条件を満たす)帰納系{L_r}rをもってきて,

V = lim−→s,r s>>r

H³(Γ₁(p^s), L_r), V_! = lim−→s,r s>>r

H_!³(Γ₁(p^s), L_r), V_∂ = lim−→s,r s>>r

=H³(∂Γ₁(p^s), L_r), なるものを考える(右二つの対象はΓ₁(p^s)\H2 のBorel-Serre コンパクト化を用いて定義され る). これらは一般には大きすぎる加群なのだが,GSp₄のparabolic subgroupQごとに定まる Hidaの冪等元e=e_Q∈End(V_∗),∗ ∈ {,!, ∂}とよばれるものでこれらの群コホモロジーを切 り落とすと,それらのPontryagin dual はHida-Iwasawa algebra Λ(O係数の多変数形式冪級数 環)上有限生成となる. eV_∗は“(p, Q)-ordinary” cohomology classes を束ねたような, 普遍的 加群であることがわかる. これは適当な不変部分をとると, 通常のclassicalな(p, Q)-ordinary

cohomology classesがほぼすべて得られるようになっていることを意味する. このような型の

主張をcontrol theorem ということにする.

一番大事な所はcuspidal partを含むeV_!のcontrol theorem であるがこれは, 0−→eV! −→eV −→eV∂

というHecke 加群として完全列があるので, eV とeV_∂のcontrol theorem から得られる². この論文[7]では,群コホモロジーをうまくcontrolするため, weightにregularという条件が 課せられている. これは上で登場したV_m,n(またはM_m+3,n+3(Γ)) の重さ(m, n)がm > n≥0 であることに対応する. 従って, scalar valued Siegel modular forms (m =n)の場合は[7]では 除外されていることを注意しておく. 一方, これより前の結果として, Taylorは一変数のHida familyをform (p-adic Eisenstein series)を用いて構成している[5].

[7]の後半ではさらにeV_!のPontryagin 双対がHida-Iwasawa algebra Λ 上有限かつ平坦な 加群となることが証明され, Taylor のGSp₄に対する擬表現の理論[5]とGSp₄の保型表現に 付随するガロア表現の存在定理を仮定することでΛ上有限平坦な整域Jの分数体を係数にも つガロア表現

r_J : Gal(Q/Q)−→GSp₄(Frac(J))

が構成されている. さらに, automorphic ordinarity がガロア表現のordinarityを導くという 予想を仮定し, r_J(Gal(Qp/Qp)) ⊂ Q(Frac(J)) (up to conjugacy in GSpb ₄(Frac(J))) となるこ

2ただし,pには条件がつく.

とも示している. ただし, QbはGSp₄のLanglands dual 内へのQの行き先とする(予想2参 照).

以上の説明はQ上の話であったが, 総実体上でも保型表現に対応するガロア表現の存在を 認めれば同様のことが成立する.

ちなみに,F =Qの場合は上で仮定した予想は証明されている(注意3を参照).

2. Control theorem この節ではcontrol theorem について述べる.

GSp₄ = {g ∈ GL₄| ^tgJ g = ν(g)J, ν(g) ∈ Gm} とする. ただし, J =

à 0₂ I₂

−I2 02

! とお く. F/Qを総実代数体, G = Res_F/Q(GSp₄/F)としそのderived group をG¹ := [G, G] = Res_F/Q(Sp4/F)とおく. Gのparabolic subgroup Qを１つ固定し(up to conjugacy でBorel, Siegel, Klingenのどれかとなる), そのLevi分解 をQ=M Q⁺とする. Q⁰ =Q∩G¹ =M⁰Q⁺, M⁰ =M∩G¹とおく. ρ:M/O −→GL(V /O)を既約代数的表現とし,そのgeneric fiberρ⊗K は絶対既約であると仮定する, 自然な全射Q −→ M があるから, これとρの合成を再びρで 表し, (ρ⊗K)|Q⁰のG¹へのalgebraic induction を

L(ρ, K) := Ind^G_Q¹0((ρ⊗K)|Q⁰)

=







f はregular map

f :G¹_K −→A¹K ⊗KV_K 任意のK代数Rに対して,f(gmu) = ρ⁻¹(m)f(g) for (g, m, u)∈G¹(R)×M⁰(R)×Q⁺(R)





 とする³. L(ρ, K)は有限生成K加群である. g, h∈G¹(K)とf ∈L(ρ, K)に対して, (g·f)(h) = f(g⁻¹h)と定めることによって, G¹(K)をL(ρ, K) 上に左から作用させる.

次にL(ρ, K)内にlattice を定め, 1節で登場した捩れ係数L_rにあたるものを定義する.

f ∈ L(ρ, K)をとると, G¹(K)上ではQ⁺(K)経由するので, f|G¹(K) はp-adic manifold YQ(K) =G¹(K)/Q⁺(K)上のベクトル値関数と思える.

ここで, 自然な全射Y_Q(K) −→^π X_Q(K) := G¹(K)/Q⁰(K) を考え, 各α ∈ Z≥0 に対して, X_Q(K)のp-adic open subset X_Q,αを次のように定義し, それを用いて, Y_Q,α :=π⁻¹(X_Q,α)と おく. これはY_Q(K)のp-adic open subset となる:

(W,h∗,∗i)をstandard symplectic moduleとし,Wのstandard basisを{e₁, e₂, f₁, f₂}, he_i, f_ii= 1, i= 1,2とする(それ以外の組み合わせのpairingは0).

このとき,一般に, O代数Aに対して, X_Q,αは次のflagsの成す集合.

• Q=Borel のとき,

W⊗Aのmaximal isotropic direct factorsE1, E2であって, (E1, E2)≡(he1i,he1, e2i) modp^α なるもの.

• Q=Siegel のとき,

3G=GL2/Qのときは,Q⁺= (Ã

1 ∗ 0 1

!)

,M⁰ ={diag(a, a⁻¹)|a∈Gm} 'Gmであり,k∈Z≥0に対し て,δk:M⁰−→Gmをdiag(a, a⁻¹)7→a^kとおくと, L(δk, K) = Sym^kSt2/Kとなる.

W ⊗Aのmaximal isotropic direct factors E₂であって, E₂ ≡ he₁, e₂i modp^αなるもの.

• Q=Klingen のとき,

W ⊗Aのmaximal isotropic direct factors E₁であって, E₁ ≡ he₁i modp^rなるもの.

このとき,各α ≥1に対して, L(ρ, K)のlatticeを

L_α(ρ,O) ={f ∈L(ρ, K)| f(Y_Q,α)⊂V(O)} で定義する. A_r = 1

p^rO/O, A=A_∞=K/Oとおき,

Lα(ρ, Ar) = Lα(ρ,O)⊗OAr

とおく. これがL_rに相当するものである.

次に, Γ0(p^α),Γ1(p^α)に相当するものを定義する.

G(Zb)のcompact open subgroup Uであって,十分小さく,そのレベル⁴はpと素なものをと り以下固定する. このとき, 固定してあったparabolic subgroup Qに対して, Qe :=M¹Q⁺ と おき,

U0(p^α) ={h∈U| (h modp^α)∈Q(e Z/p^αZ)} U₁(p^α) ={h∈U| (h modp^α)∈Q(Z/p^αZ)} とし,

Γ_i(p^α) =G¹(Q)∩(U_i×G¹(R)), i= 1,2, Γ =G¹(Q)∩(U×G¹(R))

とおく(Uが“十分小さい”というのはこのΓが捩れ点を持たないときをいう).

Γ_i(p^α)⊂G¹(Qp)⊂G¹(K)なので, Γi(p^α)はL(ρ, K), L_α(ρ, A_r), (r≥1)等に作用する.

さて, L(ρ, K)はρ|Q⁰ から定まっていたが, M⁰の指標χ: M⁰ −→ O^×を用いて, L(ρ, K)の twist

L(ρ⊗χ, K) = Ind^G_Q¹0(ρ|Q⁰ ⊗χ)⊗OK

を考えることができる. これによってG¹の表現としてのL(ρ, K)のweight を動かすことが できる. Weightを動かす方向はparabolic subgroupQに依存する. これはHida familyを“変 形”する方向と対応する.

たとえば, F = Q, Q =Borelのとき, M = T = {diag(a, b, νa⁻¹, νb⁻¹)} ' G³m (maximal torus),

M⁰ =T ∩G¹ ={diag(a, b, a⁻¹, b⁻¹)} 'G²m

であり,指標は

δm,n :M⁰ −→A¹,diag(a, b, a⁻¹, b⁻¹)7→a^mbⁿ, m, n∈Z

の形にかける. いま, 1節のところで登場したV_m,n がV_m,n = L(δ_m,n, K)となっているとき, 別のδ_m0,n⁰ を持ってきてtwistしてやると, V_m+m0,n+n⁰ を得る. たとえば, (m⁰, n⁰) = (p^k1(p− 1), p^k2(p−1)), k₁ ≥ k₂ ≥ 0とおくことで, 重さ(m + 3, n + 3), m > nの(p, Q)-ordinary

4U ⊃Ker(G(Zb)−→G(Zb/NZb))なる最小のN のこと.

classical Siegel modular formsを重さ(m+p^k1(p−1) + 3, n+p^k2(p−1) + 3)の(p, Q)-ordinary classical Siegel modular formsにHida family を通してp進的変形をすることができる.

F =Q, Q=Siegelのとき,M = (Ã

A 0₂ 0₂ ν^tA⁻¹

!)

, ν ∈Gm, A∈GL₂,

M⁰ = (Ã

A 0₂ 0₂ ^tA⁻¹

!)

, A∈GL2,

M⁰のアーベル化はC_M⁰ =M⁰/(M⁰)¹ ={diag(a, a, a⁻¹, a⁻¹)} 'Gm であり, M⁰の指標は δ¹_k:M⁰ −→A¹,diag(a, a, a⁻¹, a⁻¹)7→a^k

の形にかける. いま, L(ρ, K)のweight が(m, n)のとき, δ_m¹ = δ_m,mだから, L(ρ⊗δ¹_m, K)の weightは(m+k, n+k)である.

F =Q, Q=Klingenのとき, M =





















α 0 0 0 0 a 0 b 0 0 β 0 0 c 0 d





















, ad−bc=αβ ∈Gm,

M⁰ =





















α 0 0 0

0 a 0 b

0 0 α⁻¹ 0

0 c 0 d





















, ad−bc= 1.

M⁰のアーベル化はC_M⁰ =M⁰/(M⁰)¹ ={diag(α,1, α⁻¹,1)} 'Gm であり,M⁰の指標は δ²_k:M⁰ −→A¹,diag(α,1, α⁻¹,1)7→α^k

の形にかける. いま, L(ρ, K)のweight が(m, n)のとき, δ_k² = δ_k,0 だから, L(ρ⊗δ_k², K)の weightは(m+k, n)である.

以上まとめると, weight をtwist で動かす方向は次のようになる. ただし, 以下では(m, n) は固定されたweightでk, k₁, k₂等をtwistで動かすことを意味する. これはF =Q, G=GSp₄ の場合に, Hida family がweight space内で動くことができる方向を示している.







(m, n)→(m+k₁, n+k₂) ,Q=Borelのとき (m, n)→(m+k, n+k) , Q=Siegelのとき (m, n)→(m+k, n) , Q=Klingenのとき

2.1. p-semilocal Hecke algebra. 天下りな定義であるが, Γ1(p^r)を含むΓ₀(p^r) の正規部分 群Cに対して,

Hp,r =Hp^r(C) :=







⊗v|pO[Γ₀(p^r)/C][U_1,v, U_2,v,] (Q= Borel)

⊗v|pO[Γ0(p^r)/C][U1,v] (Q= Siegel)

⊗v|pO[Γ₀(p^r)/C][U_2,v] (Q= Klingen)

のことをp-semilocal Hecke algebra という. ただし, U_1,v = C_Ovdiag(1,1, π_v, π_v)C_Ov, U_2,v = C_Ovdiag(1, π_v, π²_v, π_v)C_Ov とする(π_vはF_vの素元). ここで, C_OvはCのU₀(p^r)∩G¹(Ov)内で のv-adic completion.

s≥r≥1のとき,H_p,rのL₁(Y_Q,s, ρ⊗εχ, A_r)への作用をY_Q,sをlevel付きflagのmoduli set と同一視することにより定義することができる. s >> rのとき,L(ρ, Ar) :=L1(ρ⊗εχ, Ar) = L₁(Y_Q,s, ρ⊗εχ, A_r) なので, このとき, H_p,rはH^∗(Γ_i(p^s), L(ρ⊗εχ, A_r))に作用する.

H_p := lim←−^rH_p,r のことをp-semilocal Hecke algebraという. H_pは H^∗(Γ₁(p^∞), L(ρ⊗εχ, A)) = lim−→s,r

s>>r

H^∗(Γ₁(p^s), L(ρ⊗εχ, A_r)) に作用する.

2.2. Hida group. r ≥1に対して,

H_r=Rr⊕ZG(Z/p^rZ)Z_M(Z/p^rZ),

Rr :=Z_G(Q)\Z_G(A^Q)/{z ∈Z_G(Zb)|z ≡1 mod p^r}Z_G(R)⁺ とおく⁵. ただし, ⊕ZG(Z/p^rZ)はZ_G(Zp)⊂Z_G(A^Q)が誘導する準同型

α:Z_G(Z/p^rZ)−→ Rr

とZG⊂ZM が誘導する準同型

β :Z_G(Z/p^rZ)−→Z_M(Z/p^rZ)

に対して定まる射z 7→(α(z⁻¹), β(z)) に関するamalgamated sum である. これはこの対応の 行き先の元を同一視することによって定義される.

このとき,

H = lim←−_r H_r

をHida groupという. Hは有限群Φと最大pro-psubgroupH(p)の直積に書ける. またglobal class field theory から,Rのpro-p subgroup は

R(p)'lim←−_r (OF ⊗Zp)^×(p)/OF,p^{× r}(p)'Z^1+δp ^F, O^×F,p^r ={a∈ OF^×| a≡1 mod p^r} となるから,

H(p)'Z^1+δp ^F ×Z_M0(Zp)(p)

とかける. ただし, δF はF のLeopoldt defect で0であると期待されている(F/Qがアーベル なら0である). Hの完備群環をΛ =O[[H]]とおくと,

Λ =O[[H(p)]][Φ]

となる. Λ(p) = O[[H(p)]] = O[[X₁, . . . , X_1+δF, Y₁, . . . , Y_r]], r = rk(C_M0)とおき, Λまたは Λ(p)のことをHida-Iwasawa algebra という. ただし, r = rk(C_M0) = rk(Z_M0)はC_M0 または ZM⁰ に含まれるsplit torus の数である.

5講演ではZM を誤ってCM =M/M¹と書いた. 自然な射ZM −→CM =M/[M, M]はQがBorel のとき は,同型であり,それ以外のときは2:1の同種射となる.

定義1(arithmtic primes)連続指標θ :H−→ O^×がarithmetic characterであるとは,ある Hの開部分群Uが存在して,θ|UがZ_G×Z_Mの代数的指標から来るときをいう. θは連続環準 同型Λ−→ Oに拡張できるのでそれもθとかき,その核をPθ = Ker(Λ−→ O^θ ) であらわす.

代数的指標ρ : C_M −→ O^×に対して, i :Z_M −→ C_M との合成によって, H上の指標θ_ρを 構成することができる.

例えば, F = Q, Q =Borel のときは, δQ = 0, R = Gal(Qp(µ_p∞)/Qp), Z_M0(Z)(p) = {diag(a, b, a⁻¹, b⁻¹)| a, b∈1 +pZp} 'Z²_p だから, 連続指標

θ :H −→ O^×

はεは有限指標, exp(llogχ_p), l∈Zp, (χ_pはp進円分指標)θ_k1,k2 の積でかける. ただし, θ_k1,k2 はZ_M0(Z)(p)の位相的生成元γ_i, i= 1,2をO^×のpro-p 部分に含まれる元のk_i ∈Zp乗したも のにそれぞれを送ることによって定義される射である. これがarithmetic characterであるた めの必要十分条件はl, k1, k2 ∈Zである.

Z_M0(Z)(p)の位相的生成元は

diag(1 +p,1,(1 +p)⁻¹,1), diag(1,1 +p,1,(1 +p)⁻¹) なので,

diag(1 +p,1,(1 +p)⁻¹,1)7→(1 +p)^k1, diag(1,1 +p,1,(1 +p)⁻¹)7→(1 +p)^k2 に対応するarithmetic characterを考えることが多い.

2.3. Hida’s idempotent. 本来の定義はやや複雑なので大体どのようなものかを大雑把に述 べる. d₁ = diag(1,1, p, p), d₂ = diag(1, p, p², p), d₃ =d₁d₂とおき, 総実体F の類数をh_Fと記 す. . このときQ=Borelならd^2h₃ ^F, Q=Siegelならd^2h₁ ^F,Q=Klingenならd^2h₂ ^F にmodU0(p^r) で近いG(Q)の元ξ_Q が存在する(強近似定理の帰結). そこで,

T_Q = [Γ_i(p^r)ξ_QΓ_i(p^r)], i= 0,1 とおき,

e =e_Q = lim

n→∞T_Q^n! ∈H_p

をHida’s idempotent という. T_Qが作用する有限生成O加群M に対して, e ∈ End_O(M)で あり, eはidempotentとなる(cf. [3]). そこで, M =H^∗(Γ_i(p^r), L) (Lは適当な有限生成O加 群)に対して,

H_Q^∗_−ord(Γi(p^r), L) :=eH^∗(Γi(p^r), L)

と表すことにする. 定義から, H_Q^∗_−ord(Γ_i(p^r), L) はH^∗(Γ_i(p^r), L)の元であって, そのT_Q 作 用の固有値がp-adic unit となるようなもの全体からなる. H_Q^∗_−ord(Γi(p^r), L) の元を(p, Q)- ordinary cohomology class ということにする. これは, 後述する(p, Q)-ordinarity と合致 する(定義3を参照).

2.4. Levelのcontrolとweightのidependence. 有限指標ε : M⁰(Zp) −→ O^× であって, M⁰(Z/p^αZ)を経由するような最小のαをとり,p^αをεのlevel と呼ぶことにする.

定理1(Control of levels and independence of the weight) d = [F : Q]とおく. χ, ε : M⁰(Zp)−→ O^×を連続指標とし, χはあるp-adic open上でM⁰の代数的指標からきていると し, χ≡1mod πとする. εはlevel p^αの有限指標とする. このとき,p-semilocal Hecke algebra 加群としての射⁶

H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^α), L_α(ρ⊗εχ, A))−→H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^∞), L_α(ρ, A))[ω_εχ]

であって, kernelとcokernel が有限となるものが存在する(weak control ). さらに, 有理素数 の成すある有限集合S_U,ρ ⁷が存在して, p 6∈ S_U,ρ ならば, この射は同型である(exact control).

ここで, 3dはG= Res_F/Q(GSp₄/F)に付随する志村多様体の次元である. RHSはZ_M0(Zp)の 作用がωρ×(εχ◦i) を通して作用するようなH^3d(Γ1(p^∞), Lα(ρ, A))の最大(Hecke)部分加群 である(ただし, 自然な全射はi: Z_M0 −→C_M0 = M⁰/(M⁰)¹はBorelのときは同型で, それ以 外のときは2:1の同種.).

証明. 整数r ≥αに対して, evaluation map

Lα(ρ⊗εχ, Ar)−→^ψr V(εχ)⊗Ar, f 7→f(1)

を考える. この射は全射であり, f(1) ∈V(εχ)に対して, Γ0(p^α)3γをγ·f(1) :=f(γ⁻¹)と作 用させることで,ψrはΓ0(p^α)加群としての全射であることがわかる.

s≥r≥αに対してY_Q,α(Z/p^sZ) := π⁻¹(X_Q,α(Z/p^sZ))とおく. さて,

L_α(Y_Q,α(Z/p^sZ), ρ⊗εχ, A_r) :={f ∈L_α(ρ⊗εχ, A_r)| fはY_Q,α(Z/p^sZ)を経由} とおくと,L_α(ρ⊗εχ, A_r)の有限性と

L_α(ρ⊗εχ, A_r) = lim−→s s≥r

L_α(Y_Q,α(Z/p^sZ), ρ⊗εχ, A_r)

から, rに対してあるs≥rが存在して,

L_α(ρ⊗εχ, A_r) =L_α(Y_Q,α(Z/p^sZ), ρ⊗εχ, A_r)

となる. 以下このようなs, rの関係をs >> rと表すことにする. このとき, RHSにはΓ0(p^s) が作用することに注意すると, Γ0(p^s)の完全列

0−→Ker(ψr)−→Lα(YQ,α(Z/p^sZ), ρ⊗εχ, Ar)−→^ψr V(εχ)⊗Ar −→0 を得る. これをΓ₁(p^s)(⊂Γ₀(p^s))加群とみて, 群コホモロジーをとると,

· · · −→H^3d(Γ₁(p^s), L_α(ρ⊗εχ, A_r))−→^ψr H^3d(Γ₁(p^s), V(εχ)⊗A_r)−→ · · ·

6これは後述するuniversal Hecek algebraとしての射にもなっている.

7SU,ρについては後述の注意1を参照.

を得る. ここで, 群コホモロジーの元をcocycle 表示して具体的に作用を計算することで, Ker(ψ_r)やcoker(ψ_r)がHida’s idempotent e = e_Q でannihilate されることが簡単にわかる.

よって, Hecke加群の同型

(∗) H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^s), L_α(ρ⊗εχ, A_r))−→^∼ H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^s), V(εχ)⊗A_r) を得る. さらに, Γ1(p^s)加群としてはV(εχ)⊗A_r=V ⊗A_r なので,

H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^s), L_α(ρ⊗εχ, A_r))−→^∼ H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^s), V ⊗A_r).

次に,r≥αと,上記のρ⊗OArに対して,M¹(Zp)からU0(p)∩G¹(Zp)へのsmooth induction を

C_α(ρ, A_r) := Ind^U_M⁰1^(p(Z^α_p^)∩)^G1(Zp)(ρ|M¹ ⊗OA_r)

=







fはlocally constant f :Y_Q,α −→V ⊗_OA_r f(mx) = ρ⁻¹(m)f(x)

for (m, x)∈M¹(Zp)×Y_Q,α





 とおき,C_α(ρ, A) := lim−→r

r≥α

C_α(ρ, A_r)とおく.

s≥rに対して,C_α(ρ, A_r)の元であって,M⁰(Z/p^sZ) (M⁰ =M∩G¹ ⊃M¹)を経由するもの 全体をC_α(M⁰(Z/p^sZ), ρ, A_r)で表す. このとき, Γ0(p^r)加群の完全列

0−→Ker(φ_r)−→C_α(ρ, A_r)^φr−→^=restC_α(M⁰(Z/p^sZ), ρ, A_r) = Ind^Γ_Γ^0(pr)

1(p^r)ρ⊗_OA_r −→0 を得る. これをΓ₀(p^s), s ≥r加群の完全列とみて群コホモロジーをとると, Shapiroの補題に より,

· · · −→H^3d(Γ₀(p^s), C_α(ρ, A_r))−→^φr H^3d(Γ₀(p^s),Ind^Γ_Γ^0(pr)

1(p^r)ρ⊗OA_r) =H^3d(Γ₁(p^s), V⊗A_r)−→ · · · を得る. ここで前と同様の議論でφ_rのKernel, cokernel はe = e_Qでannihilate されるので,

Hecke加群の同型

(∗∗) H^3d(Γ₀(p^s), C_α(ρ, A_r))−→^∼ H^3d(Γ₁(p^s), V ⊗A_r) を得る.

さて, ここで有限生成A_r加群L_rに対して, 制限射

Res : H^∗(Γ_i(p^α), L_r)−→H^∗(Γ_i(p^r), L_r), i= 0,1, r≥α のkernel, cokernelはe=e_Qでannihilate されることに注意すると,

H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^α), C_α(ρ, A_r))' H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^s), C_α(ρ, A_r))

' H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^α), C_α(M⁰(Z/p^sZ), ρ, A_r))

= H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^α), V ⊗A_r) ' H_Q^3d_−ord(Γ1(p^s), V ⊗Ar)

' H_Q−ord^3d (Γ₁(p^s), L_α(ρ⊗εχ, A_r))

この同型の lim−→s,r s>>r

をとることで, Hecke加群の同型

(∗ ∗ ∗) H_Q^3d_−ord(Γ0(p^α), Cα(ρ, A))'H_Q^3d_−ord(Γ1(p^∞), Lα(ρ⊗εχ, A))

を得る. ここで注意したいのはRHSは上の下から2段目の同型をみるとαやεχ に寄らない ことがわかる. よって, εχの捻りでρがρ⁰に移るとき, ρ⁰から初めて同様にRHSのようなも のを構成しても同じものが出てくることに注意. ρに依存しているように見えるが捻りの自由 度を含んでいるので不変的な存在であるといえる.

さて, この同型を用いると, 包含射L_α(ρ, A)⊂C_α(ρ, A)より, 射

ι:H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^α), L_α(ρ, A))−→H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^α), C_α(ρ, A))'H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^∞), L_α(ρ⊗εχ, A)) を得る. 射ιの像はH_Q^3d_−ord(Γ₁(p^∞), L_α(ρ⊗εχ, A))[ω_εχ] に入ることがわかるので, 結局

ι:H_Q^3d_−ord(Γ₀(p^α), L_α(ρ, A))−→H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^∞), L_α(ρ⊗εχ, A))[ω_εχ] を得る.

後はHidaのLemma と呼ばれる, この手の議論によく使われる補題(cf. Lemma 5.1 [2])に より, 与えられた条件から, ιがisogeny (kernel, cokernelが有限) であることがわかる. また Lemma 5.1[2]を修正することで, p6∈ S_U,ρの下で同型であることもわかる. このLemmaを適 用する際, ρがregularであることは本質的であり,中間次数と0次以外のコホモロジーが消滅

することが重要になっている. ¤

注意1. 上記定理中の素数の有限集合S_U,ρは次のものからなる. ただし, F =Qのときは2番 目の条件は不要.

• Y3d i=1

]Hⁱ(Γ, L(ρ₀,O0))_torsionを割る素数(Γはp.4の中央にあるもの). ただし,ρ₀はあるDedekind domainO0/Z上の代数的既約表現で,O0のp進完備化がO, ρ=ρ₀⊗O0 Oとなっているもの とする.

• (OF ⊗^ZO)^×の捩れ元の位数を割るp

注意2. Control theorem より, p 6∈ S_U,ρならば, ρからスタートして, そのdominancy を保 つ任意のtwist ρ⁰ =ρ⊗εχ に付随する係数に値をとるcohomology classes も補完しているこ とがわかる. このことから, “大きな”Hecke 加群H_Q^3d_−ord(Γ₁(p^∞), L_α(ρ, A)) が(p, Q)-ordinary

なcohomology classes 全体をほぼすべて束ねた普遍的な存在であることがわかる. 後半では

このコホモロジーのparabolic part (cuspidal part に対応していると予想されている部分) の control theorem を示し, Hida family を構成する.

3. Shimura varieties for GSp4/F 記号は前節のものを使う. r ≥1に対して,

S_r(U) =G(Q)\G(A^Q)/U₁(p^r)×U(2)

をGに付随するlevel U₁(p^r)の志村多様体とする. ただし, U(2)はG(R)のmaximal compact subgroup である.

志村多様体のparabolic cohomology (ここではbetti cohmology を考えている) に関する control theorem を群コホモロジーにそれに帰着するために強近似定理を(G(A^Q), U₀(p^r))に 適用することで,

S_r(U) =a

t∈R

Ind^C_C^M_M0⁽₍^Z_Z^/p_/p^rr^ZZ⁾)ν(Γt mod p^r)S_Γ1,t(p^r₎, S_Γ1,t(p^r₎ := Γ_1,t(p^r)\G¹(R)/U(2)

と分解する. ただし, RはG(Af)の有限部分集合で, (固定していた)U のlevelとpを割る素点 以外の成分は1であって, ν(R)はCl⁺_U := F^×\A^×F/ν(U)×(F_∞^×)⁺ の完全代表系を与えるもの である. 有限集合Rはrには依らない有限集合である. また, t∈Rに対して,

Γ_t =G(Q)∩(tU t⁻¹×G¹(R)),

Γ_i,t(p^r) =G¹(Q)∩(tU_i(p^r)t⁻¹×G¹(R)), i= 0,1 とおいた. これより, S_r(U)上の局所系Lに対して,

H^∗(S_r(U),L) = M

t∈R

Ind^C_C^M(Z/prZ)

M0(Z/p^rZ)ν(Γt mod p^r)H^∗(S_Γ1,t(p^r₎,L|S_Γ1,t(pr)) という分解を得る.

さて,X =S_Γ1,t(p^r₎のBorel-Serre compact化をX^BSとし⁸,そのboundaryを∂X =X^BS\X とおく. これは3つあるparabolic subgroupsのどれかと共役なGの群をidenxとするmanifold の和であって, 各成分は大体modular curves 上のファイバーがnil-manifold になっているよ うなfiber bundle である. ∂Xの係数付きcohomology はSerre のスペクトル系列を用いて計 算可能であり, parabolic subgroupのLevi factor M にΓ_1,t(p^r) を制限して得られる数論的群 に関する群コホモロジーの計算に帰着される.

前節と同様の手法で,これらの群の群コホモロジーに関するcontrol theorem を導くことを [7]の4,5節で費やしている. しかし, 計算がかなり面倒である. 結果的にはregular weight を もつρに対してはweak control theoremが得られ, さらに, pは中間次数と0次以外のコホモ ロジーの捩れ元の位数を割らないと仮定すればexact control theoremが得られる.

4. parabolic cohomology のcontrol

特異コホモロジーH^∗のparabolic cohomology H_!^∗ をcompact support 付きコホモロジー H_c^∗からH^∗ への像と決める: H_!^∗ = Im(H_c^∗ −→ H^∗). L(ρ, A) := L₁(ρ,O)⊗Aに付随する S_r(U)上の局所系をL(ρ, A)とする. 各r≥1に対して,

Vr,ρ =eH^3d(Sr(U),L(ρ, A)), Vr,ρ,!=eH_!^3d(Sr(U),L(ρ, A)), Vr,ρ,∂ =eH^3d(∂Sr(U),L(ρ, A)), V_ρ= lim−→_r V_r,ρ, V_ρ,!= lim−→_r V_r,ρ,!, V_ρ,∂ = lim−→_r V_r,ρ,∂

とおく.

8これはσ-compactなmanifoldの成す圏でのcompact化なので一般には複素構造を持たない.