複素関数・同演習第 18 - 明治大学

複素関数・同演習 第 18 回

〜対数関数と冪関数

(3),

(1)

かつらだ

桂田

ま さ し

祐史

https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/

2022

11

29

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 1 / 20

目次

1

2

(

)

冪関数

(power function) z α (

)

(

)

3

線積分の定義 原始関数

4

本日の内容・連絡事項

授業の進行状況を見ると、例年と比べて遅れがち。久しぶりの

100%

対面授業のせいか

(

)

§4

z α

α ̸∈ R

i i

(

)

(

)

§5

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 2 / 20

4.2 冪関数 (power function) z α ( カット )

例 18.1 ( √

− 1 は何か？ )

(

log

√

z = p(z , 1/2) := e

log z

)

( − 1) = 1 · e πi

log( − 1) = log 1 + i(π + 2nπ) = (2n + 1)πi (n ∈ Z )

√ − 1 = ( − 1) 1/2 = e

log(

1) = e

(2n+1)πi = e ( n+

) πi = i ( − 1) n = ± i.

(別法) α = 1 2 , z = − 1

= 1 · e πi , ω = e 2πi/2 = e πi = − 1

√ − 1 = z 1/2 = 1

e

πi · ω k = i · ( − 1) k (k = 0, 1)

ゆえに

√

− 1 = ± i.

かつらだまさし

4.2 冪関数 (power function) z α ( カット )

1

α ̸∈ R

z α

例 18.2 (i の i 乗 )

(

log

a b = e b log a

)

多分応用はないと思うが、

i i

i

i = 1 · e i ·

log i = log | 1 | + i

π

2 + 2nπ

=

2n + 1 2

πi (n ∈ Z ).

ゆえに

(a b = e b log a

)

i i = e i log i = e i · ( 2n+

) πi = e − ( 2n+

) π (n ∈ Z ).

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 4 / 20

4.2 冪関数 (power function) z α ( カット )

1

α ̸∈ R

z α

例 18.2 (i の i 乗 )

(

log

a b = e b log a

)

多分応用はないと思うが、

i i

i

i = 1 · e i ·

log i = log | 1 | + i

π

2 + 2nπ

=

2n + 1 2

πi (n ∈ Z ).

ゆえに

(a b = e b log a

)

i i = e i log i = e i · ( 2n+

) πi = e − ( 2n+

) π (n ∈ Z ).

かつらだまさし

4.2 冪関数 (power function) z α おまけ ( カット )

p(z, α)

Mathematica

p[z_, alpha_, maxn_] := Module[{r, t, w},

r = Abs[z]; t = Arg[z]; w = r^alpha*Exp[ alpha t];

Table[{Re[w Exp[I n alpha 2 Pi]], Im[w Exp[I n alpha 2 Pi]]}, {n, maxn}]]

g8=ListPlot[p[1,1/8,8], AspectRatio->Automatic, PlotStyle->{PointSize[0.03]}]

groot2a=ListPlot[p[1, Sqrt[2], 100], AspectRatio -> Automatic]

groot2b=ListPlot[p[1, Sqrt[2], 1000], AspectRatio -> Automatic]

Manipulate[ListPlot[p[1, Sqrt[2], n], AspectRatio -> Automatic], {n, 1, 1000}]

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

図

1: p(1, 1/8), p(1, √

2) (100

), p(1, √

2) (1000

)

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 5 / 20

4.3 初等関数ワールド ( カット )

三角関数、双曲線関数など、指数関数を用いて表される初等関数が多いが、前 項で指数関数の逆関数である対数関数を

(

)

例えば

sin z = w ⇔ e iz − e

iz 2i = w

⇔

⇔ z = − i log

iw + p 1 − w 2

であるから、次のように定義する。

sin

1 z = − i log

iz + p 1 − z 2

.

これらは、分枝を選んで一価関数にしなければ多価関数である。多価関数を扱 うには、「解析接続」を学んでからとりかかるのが良い。この講義では詳細は省 略する。

かつらだまさし

4.3 初等関数ワールド ( カット )

三角関数、双曲線関数など、指数関数を用いて表される初等関数が多いが、前 項で指数関数の逆関数である対数関数を

(

)

例えば

sin z = w ⇔ e iz − e

iz 2i = w

⇔

⇔ z = − i log

iw + p 1 − w 2

であるから、次のように定義する。

sin

1 z = − i log

iz + p 1 − z 2

.

これらは、分枝を選んで一価関数にしなければ多価関数である。多価関数を扱 うには、「解析接続」を学んでからとりかかるのが良い。この講義では詳細は省 略する。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 6 / 20

4.3 初等関数ワールド ( カット )

三角関数、双曲線関数など、指数関数を用いて表される初等関数が多いが、前 項で指数関数の逆関数である対数関数を

(

)

例えば

sin z = w ⇔ e iz − e

iz 2i = w

⇔

⇔ z = − i log

iw + p 1 − w 2

であるから、次のように定義する。

sin

1 z = − i log

iz + p 1 − z 2

.

これらは、分枝を選んで一価関数にしなければ多価関数である。多価関数を扱 うには、「解析接続」を学んでからとりかかるのが良い。この講義では詳細は省 略する。

かつらだまさし

4.3 初等関数ワールド おまけ

一通り書いておこう。

arcsin z = sin

z := − i log (

iz + √ 1 − z

) , arccos z = cos

z := i log

( z − i √

1 − z

)

= π 2 + i log

( iz + √

1 − z

)

, arctan z = tan

z := i

2 (log(1 − iz ) − log(1 + iz)) , arcsinh z = sinh

z := log

( z + √

z

+ 1 )

, arccosh z = cosh

z := log

( z + √

z

− 1 )

, arctahn z = tanh

z := 1

2 log 1 + z 1 − z .

(arcsin z)

= 1

√ 1 − z

, (arccos z )

= − 1

√ 1 − z

, (arctan z)

= 1 1 + z

, (arcsinh z )

= 1

√ z

+ 1 , (arccosh z )

= 1

√ z

− 1 , (arctahn z)

= 1 1 − z

.

cosh(iz ) = cos z, sinh(iz) = i sin z.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 7 / 20

5 線積分 5.1 線積分の定義

いよいよ関数論の佳境の入り口である。実関数のとき

(微積分)

(高速道路までの街中の道をトロトロ走って来たが、これからスピードをあげ

定義 18.3 (2 つの線積分 )

Ω

C

: z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

Ω

C 1

f : C

→ C

C

:= { φ(t ) | t ∈ [α, β] } .

(1)

Z

C

f (z ) dz := Z β

α

f (φ(t)) φ

(t ) dt

f

C

また

(2)

Z

C

f (z ) | dz | := Z β

α

f (φ(t)) | φ

(t ) | dt

かつらだまさし

5 線積分 5.1 線積分の定義

いよいよ関数論の佳境の入り口である。実関数のとき

(微積分)

(高速道路までの街中の道をトロトロ走って来たが、これからスピードをあげ

定義 18.3 (2 つの線積分 )

Ω

C

: z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

Ω

C 1

f : C

→ C

C

:= { φ(t ) | t ∈ [α, β] } .

(1)

Z

C

f (z ) dz :=

Z β α

f (φ(t)) φ

(t) dt

f

C

また

(2)

Z

C

f (z ) | dz | :=

Z β α

f (φ(t)) | φ

(t ) | dt

かつらだ 桂 田

まさし

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5.1 線積分の定義

例 18.4

f (z ) = z 2 , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, π])

φ

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z π

0

(e iθ ) 2 · ie iθ dθ = i Z π

0

e 3iθ d θ

= i e 3iθ

3i π

0

= 1

3 e 3iπ − e 3

⁰

= ( − 1) − 1 3 = − 2

3 .

例 18.5

f (z ) = 1

z , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, 2π])

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z 2π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z 2π

0

1

e iθ · ie iθ dθ = i Z 2π

0

dθ

= 2πi.

かつらだまさし

5.1 線積分の定義

例 18.4

f (z ) = z 2 , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, π])

φ

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z π

0

(e iθ ) 2 · ie iθ dθ = i Z π

0

e 3iθ d θ

= i e 3iθ

3i π

0

= 1

3 e 3iπ − e 3

⁰

= ( − 1) − 1 3 = − 2

3 .

例 18.5

f (z ) = 1

z , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, 2π])

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z 2π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z 2π

0

1

e iθ · ie iθ dθ = i Z 2π

0

dθ

= 2πi.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 9 / 20

5.1 線積分の定義

例 18.4

f (z ) = z 2 , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, π])

φ

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z π

0

(e iθ ) 2 · ie iθ dθ = i Z π

0

e 3iθ d θ

= i e 3iθ

3i π

0

= 1

3 e 3iπ − e 3

⁰

= ( − 1) − 1 3 = − 2

3 .

例 18.5

f (z ) = 1

z , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, 2π])

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z 2π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z 2π

0

1

e iθ · ie iθ dθ = i Z 2π

0

dθ

= 2πi.

かつらだまさし

5.1 線積分の定義

例 18.4

f (z ) = z 2 , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, π])

φ

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z π

0

(e iθ ) 2 · ie iθ dθ = i Z π

0

e 3iθ d θ

= i e 3iθ

3i π

0

= 1

3 e 3iπ − e 3

⁰

= ( − 1) − 1 3 = − 2

3 .

例 18.5

f (z ) = 1

z , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, 2π])

φ

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z 2π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z 2π

0

1

e iθ · ie iθ dθ = i Z 2π

0

dθ

= 2πi.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 9 / 20

5.1 線積分の定義

例 18.4

f (z ) = z 2 , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, π])

φ

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z π

0

(e iθ ) 2 · ie iθ dθ = i Z π

0

e 3iθ d θ

= i e 3iθ

3i π

0

= 1

3 e 3iπ − e 3

⁰

= ( − 1) − 1 3 = − 2

3 .

例 18.5

f (z ) = 1

z , C : z = φ(θ) = e iθ (θ ∈ [0, 2π])

(θ) = ie iθ

Z

C

f (z ) dz = Z 2π

0

f (φ(θ))φ

(θ)dθ = Z 2π

0

1

e iθ · ie iθ dθ = i Z 2π

0

dθ

= 2πi.

かつらだまさし

5 線積分 5.1 線積分の定義

注意事項

(1) 曲線の始点、終点が一致しても経路は無限にたくさんあるので、実

1

Z b a

f (x) dx

(2)

φ

C 1

( ∃{ t j } m j=0 ) α = t 0 < t 1 < · · · < t m = β ∧

[t j

1 , t j ]

φ

C 1

t j

φ

φ

(t j )

Z

C

f (z) dz := X m

j=1

Z t

t

f (φ(t)) φ

(t ) dt

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 10 / 20

5 線積分 5.1 線積分の定義

注意事項

(1) 曲線の始点、終点が一致しても経路は無限にたくさんあるので、実

1

Z b a

f (x) dx

(2)

φ

C 1

( ∃{ t j } m j=0 ) α = t 0 < t 1 < · · · < t m = β ∧

[t j

1 , t j ]

φ

C 1

. t j

φ

φ

(t j )

Z

C

f (z) dz :=

X m j=1

Z t

t

f (φ(t)) φ

(t ) dt

かつらだまさし

5.1 線積分の定義

(3)

F (t ) := f (φ(t))φ

(t)

Riemann

(3)

Z β α

F(t ) dt :=

Z β α

U (t) dt + i Z β

α

V (t) dt

のように定義しても良い

(ただし U (t ) := Re F(t ), V (t) := Im F(t))。

α < β

(4)

Z β α

F (t) dt ≤

Z β α

| F(t ) | dt

Riemann

X

j

F (t j )∆t j

≤ X

j

| F (t j ) | ∆t j

から証明出来る。(3)で定義する場合はちょっとした演習問題になる。

かつらだ 桂 田

まさし

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5.1 線積分の定義

(3)

F (t ) := f (φ(t))φ

(t)

Riemann

(3)

Z β α

F(t ) dt :=

Z β α

U (t) dt + i Z β

α

V (t) dt

のように定義しても良い

(ただし U (t ) := Re F(t ), V (t) := Im F(t))。

α < β

(4)

Z β α

F (t) dt ≤

Z β α

| F(t ) | dt

が成り立つ。Riemann和で定義する場合は、三角不等式から得られる

X

j

F (t j )∆t j

≤ X

j

| F (t j ) | ∆t j

から証明出来る。(3)で定義する場合はちょっとした演習問題になる。

かつらだまさし

5.1 線積分の定義

(4)

(とても良く使う。)

(5)

Z

C

f (z ) dz ≤

Z

C

| f (z ) | | dz | .

実際、C が

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

Z β

α

f (φ(t))φ

(t)dt ≤

Z β α

| f (φ(t))φ

(t) | dt

(4)

Z

C

f (z) dz ≤

Z

C

| f (z ) | | dz | ≤ max

z

C

| f (z ) | Z

C

| dz | = max

z

C

| f (z) |× (C

)

注

C

= C

= φ

= Image φ = { φ(t) | t ∈ [α, β] }

Z

C

| dz | = Z β

α

| φ

(t) | dt.

C

かつらだ 桂 田

まさし

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5.1 線積分の定義

(4)

(とても良く使う。)

(5)

Z

C

f (z ) dz ≤

Z

C

| f (z ) | | dz | .

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

Z β α

f (φ(t))φ

(t)dt ≤

Z β α

| f (φ(t))φ

(t) | dt

(4)

大抵は、この後

Z

C

f (z) dz ≤

Z

C

| f (z ) | | dz | ≤ max

z

C

| f (z ) | Z

C

| dz | = max

z

C

| f (z) |× (C

)

注

C

= C

= φ

= Image φ = { φ(t) | t ∈ [α, β] }

Z

C

| dz | = Z β

α

| φ

(t) | dt.

C

かつらだまさし

5.1 線積分の定義

(4)

(とても良く使う。)

(5)

Z

C

f (z ) dz ≤

Z

C

| f (z ) | | dz | .

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

Z β α

f (φ(t))φ

(t)dt ≤

Z β α

| f (φ(t))φ

(t) | dt

(4)

大抵は、この後

Z

C

f (z) dz ≤

Z

C

| f (z ) | | dz | ≤ max

z

C

| f (z ) | Z

C

| dz | = max

z

C

| f (z) |× (C

)

注

C

= C

= φ

= Image φ = { φ(t) | t ∈ [α, β] }

注 定義より

Z

C

| dz | = Z β

α

| φ

(t) | dt .

C

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 12 / 20

5.2 原始関数

なぜ線積分が重要か。

複素関数においては、それこそが微分の逆演算と考えることができるものだか らである。

定理 18.6 ( 微積分の基本定理、のようなもの )

Ω

C

f : Ω → C

F

(F

= f )、C

Ω

C 1

(6)

Z

C

f (z ) dz = F (b) − F (a).

が成り立つ。ただし、

a, b

C

((6)

[F (z )] b a

[F (z)] z=b z=a

)

かつらだまさし

5.2 原始関数

なぜ線積分が重要か。

複素関数においては、それこそが微分の逆演算と考えることができるものだか らである。

定理 18.6 ( 微積分の基本定理、のようなもの )

Ω

C

, f : Ω → C

F

(F

= f )

C

Ω

C 1

(6)

Z

C

f (z ) dz = F (b) − F(a).

が成り立つ。ただし、

a, b

C

((6)

[F (z )] b a

[F (z )] z=b z=a

)

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 13 / 20

5.2 原始関数

証明

C

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

C 1

Z

C

f (z ) dz = Z

C

F

(z ) dz = Z β

α

F

(φ(t))φ

(t) dt = Z β

α

d

dt F (φ(t)) dt

= [F (φ(t ))] t=β t=α = F (φ(β)) − F (φ(α)) = F (b) − F (a).

φ

C 1

{ t j } m j=0

α = t 0 < t 1 < · · · < t m = β, φ

[t j

1 , t j ]

C 1

Z

C

f (z ) dz = X m

j=1

Z t

t

F

(φ(t))φ

(t) dt = X m

j=1

(F (φ(t j )) − F (φ(t j

1 )))

= F (φ(t m )) − F (φ(t 0 )) = F(b) − F (a).

(本当はいつもこのように積分範囲を分割して議論すべきだけど、ワンパターン

C 1

かつらだまさし

5.2 原始関数

証明

C

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

C 1

Z

C

f (z ) dz = Z

C

F

(z ) dz = Z β

α

F

(φ(t))φ

(t) dt = Z β

α

d

dt F (φ(t)) dt

= [F (φ(t ))] t=β t=α = F (φ(β)) − F (φ(α)) = F (b) − F (a).

φ

C 1

{ t j } m j=0

α = t 0 < t 1 < · · · < t m = β, φ

[t j

1 , t j ]

C 1

このとき

Z

C

f (z ) dz = X m

j=1

Z t

t

F

(φ(t))φ

(t) dt = X m

j=1

(F (φ(t j )) − F (φ(t j

1 )))

= F (φ(t m )) − F (φ(t 0 )) = F(b) − F (a).

(本当はいつもこのように積分範囲を分割して議論すべきだけど、ワンパターン

C 1

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 14 / 20

5.2 原始関数

証明

C

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

C 1

Z

C

f (z ) dz = Z

C

F

(z ) dz = Z β

α

F

(φ(t))φ

(t) dt = Z β

α

d

dt F (φ(t)) dt

= [F (φ(t ))] t=β t=α = F (φ(β)) − F (φ(α)) = F (b) − F (a).

φ

C 1

{ t j } m j=0

α = t 0 < t 1 < · · · < t m = β, φ

[t j

1 , t j ]

C 1

このとき

Z

C

f (z ) dz = X m

j=1

Z t

t

F

(φ(t))φ

(t) dt = X m

j=1

(F (φ(t j )) − F (φ(t j

1 )))

= F (φ(t m )) − F (φ(t 0 )) = F(b) − F (a).

(本当はいつもこのように積分範囲を分割して議論すべきだけど、ワンパターン

C 1

かつらだまさし

5.2 原始関数

証明

C

z = φ(t ) (t ∈ [α, β])

C 1

Z

C

f (z ) dz = Z

C

F

(z ) dz = Z β

α

F

(φ(t))φ

(t) dt = Z β

α

d

dt F (φ(t)) dt

= [F (φ(t ))] t=β t=α = F (φ(β)) − F (φ(α)) = F (b) − F (a).

φ

C 1

{ t j } m j=0

α = t 0 < t 1 < · · · < t m = β, φ

[t j

1 , t j ]

C 1

このとき

Z

C

f (z ) dz = X m

j=1

Z t

t

F

(φ(t))φ

(t) dt = X m

j=1

(F (φ(t j )) − F (φ(t j

1 )))

= F (φ(t m )) − F (φ(t 0 )) = F(b) − F (a).

(本当はいつもこのように積分範囲を分割して議論すべきだけど、ワンパターン

C 1

かつらだ多い。)

桂 田 まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 14 / 20

5.2 原始関数

上の定理は、1変数実関数の場合とある意味では同じである。

しかし、 連続な

1

( ∵ F (x) := Z x

a

f (t) dt

F

(x ) = f (x))

連続な

1

(このあたりの事情は、ベクトル解析でも同じである。任意のベクトル場 f

対して、f のポテンシャル

( ∇ F = f

F

Z

C

f · dr = F(b) − F(a).)

かつらだまさし

5.2 原始関数

上の定理は、1変数実関数の場合とある意味では同じである。しかし、

連続な

1

( ∵ F (x) :=

Z x a

f (t) dt

F

(x ) = f (x))

連続な

1

ゆえに原始関数が存在することは、仮定として与える必要がある。

(このあたりの事情は、ベクトル解析でも同じである。任意のベクトル場 f

対して、f のポテンシャル

( ∇ F = f

F

Z

C

f · dr = F(b) − F(a).)

かつらだ 桂 田

まさし

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5.2 原始関数

上の定理は、1変数実関数の場合とある意味では同じである。しかし、

連続な

1

( ∵ F (x) :=

Z x a

f (t) dt

F

(x ) = f (x))

連続な

1

ゆえに原始関数が存在することは、仮定として与える必要がある。

(このあたりの事情は、ベクトル解析でも同じである。任意のベクトル場 f

対して、f のポテンシャル

( ∇ F = f

F

Z

C

f · dr = F(b) − F(a).)

かつらだまさし

5.2 原始関数

すでに説明した

2

例 18.7 (原始関数が存在すれば楽々計算 例 18.4 再訪)

f (z) = z

, C : z = e

(θ ∈ [0, π])

F (z) := z

3

F

= f

∫

C

f (z) dz = [ z

3 ]

z=1

= ( − 1)

− 1

3 = − 2

3 (

).

例 18.8 (原始関数が存在しない例 例 18.5 再訪)

(

) f (z) = 1

z (z ∈ Ω := C \ { 0 } )

f

F

C : z = e

(θ ∈ [0, 2π])

Ω

C

あるから

∫

C

f (z ) dz = [F(z)]

= F(1) − F(1) = 0.

∫

C

f (z) dz = 2πi

かつらだ 桂 田

まさし

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5.2 原始関数

すでに説明した

2

例 18.7 (原始関数が存在すれば楽々計算 例 18.4 再訪)

f (z) = z

, C : z = e

(θ ∈ [0, π])

F (z) := z

3

F

= f

∫

C

f (z) dz = [ z

3 ]

z=1

= ( − 1)

− 1

3 = − 2

3 (

).

例 18.8 (原始関数が存在しない例 例 18.5 再訪)

(

) f (z) = 1

z (z ∈ Ω := C \ { 0 } )

f

F

C : z = e

(θ ∈ [0, 2π])

Ω

C

あるから

∫

C

f (z ) dz = [F(z)]

= F(1) − F(1) = 0.

∫

C

f (z) dz = 2πi

かつらだまさし

5.2 原始関数

すでに説明した

2

例 18.7 (原始関数が存在すれば楽々計算 例 18.4 再訪)

f (z) = z

, C : z = e

(θ ∈ [0, π])

F (z) := z

3

F

= f

∫

C

f (z) dz = [ z

3 ]

z=1

= ( − 1)

− 1

3 = − 2

3 (

).

例 18.8 (原始関数が存在しない例 例 18.5 再訪)

(

) f (z) = 1

z (z ∈ Ω := C \ { 0 } )

f

F

C : z = e

(θ ∈ [0, 2π])

Ω

C

あるから

∫

C

f (z ) dz = [F(z)]

= F(1) − F(1) = 0.

∫

C

f (z) dz = 2πi

かつらだ 桂 田

まさし

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5.2 原始関数

すでに説明した

2

例 18.7 (原始関数が存在すれば楽々計算 例 18.4 再訪)

f (z) = z

, C : z = e

(θ ∈ [0, π])

F (z) := z

3

F

= f

∫

C

f (z) dz = [ z

3 ]

z=1

= ( − 1)

− 1

3 = − 2

3 (

).

例 18.8 (原始関数が存在しない例 例 18.5 再訪)

(

) f (z) = 1

z (z ∈ Ω := C \ { 0 } )

f

実際、もし も原始関数

F

C : z = e

(θ ∈ [0, 2π])

Ω

C

あるから

∫

C

f (z ) dz = [F(z)]

= F(1) − F(1) = 0.

∫

C

f (z) dz = 2πi

かつらだまさし

5.2 原始関数

すでに説明した

2

例 18.7 (原始関数が存在すれば楽々計算 例 18.4 再訪)

f (z) = z

, C : z = e

(θ ∈ [0, π])

F (z) := z

3

F

= f

∫

C

f (z) dz = [ z

3 ]

z=1

= ( − 1)

− 1

3 = − 2

3 (

).

例 18.8 (原始関数が存在しない例 例 18.5 再訪)

(

) f (z) = 1

z (z ∈ Ω := C \ { 0 } )

f

F

C : z = e

(θ ∈ [0, 2π])

Ω

C

あるから

∫

C

f (z ) dz = [F(z)]

= F (1) − F(1) = 0.

ところが

∫

C

f (z) dz = 2πi

かつらだ 桂 田

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5.2 原始関数

そういうわけで、原始関数が存在するかどうかが大事である。

多項式の場合は、必ず存在する。

収束冪級数の場合は、必ず存在する。

有理関数の場合は

log

x = Re z , y = Im z , | z | = p

x 2 + y 2 , Arg z , z

(これらの関数に見覚えがあるかも。正則ではないことに注意。実は原始関

ここで証明しない。)

かつらだまさし

5.2 原始関数

例 18.8 ( 原始関数が存在しない例 ( つづき ) 例 18.5 再訪 )

(

) Ω

:= C \ [0, ∞)

log z

z = re

(r > 0, θ ∈ (0, 2π))

log z := log r + i θ

F (z) := log z

Ω

F

(z) = 1

z . 0 < ε < π

ε

C

: z = e

(ε ≤ θ ≤ 2π − ε)

C

Ω

C

∫

Cε

f (z ) dz = [F(z)]

= log e

− log e

= (2π − ε)i − i ε = 2(π − ε)i . ε → +0

2πi

∫

C

f (z ) dz = 2πi

証明:

Z

C

f (z) dz − Z

Cε

f (z)dz ≤

Z

Aε+Bε

| f (z) | dz ≤ max

|z|=1

| f (z) | × (A

+ B

→ 0.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2022/複素関数・同演習 第18回 〜対数関数と冪関数(3),線積分(1)〜 18 / 20

2022/11/28

かつらだまさし

参考文献

[1]

じんぼう

神保道夫：複素関数入門

,

,

(2003),

eBook

https:

//elib.maruzen.co.jp/elib/html/BookDetail/Id/3000006063

.

かつらだ 桂 田

まさし

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