統計力学試験 - Sophia

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統計力学試験２０１４年度秋学期１月２３日２限９－３５３室

１．磁場中におかれた𝑆 = ½の局在スピンの系について考えよう。スピンは𝑆_𝑧 = ±½ の状態をとるものとし，磁場𝐵におけるゼーマンエネルギーが𝜀 = 𝑔𝜇_B𝑆_𝑧𝐵で与えられるとしたときの磁化𝑀 = 𝑔𝜇_B〈𝑆_𝑧〉 を求め，磁場依存性と温度依存性をそれぞれグラフにせよ。

𝑔と𝜇_Bは定数である。

ヒント： 𝐹 = −𝑘_B𝑇 log 𝑍 = 𝐸 − 𝑇𝑆 − 𝑀𝐵を使うととても簡単。

２． 𝐸 = 0, 𝑘_B, 2𝑘_B, 3𝑘_Bである，四準位系の占有数を，𝑇 = −∞, −1, −𝛿, +𝛿, +1, +∞ の６つのケースについて概略を図示せよ。ここで𝛿は正の微小量であり，また，全粒子数は十数個程度とする。例）

次に，エントロピーとエネルギーが最大・最小なのは、

上記の𝑇についてどの場合か説明せよ。

３．秩序変数Δに対し，自由エネルギーが𝐹(Δ) = (𝑇 − 𝑇_C) ⋅ Δ²+ Δ⁴と与えられるとする。ここで、𝑇_Cは正の定数である。𝐹の最小値を与えるΔの温度依存性を求め，横軸を0～2𝑇_C の範囲でグラフにせよ。もしΔの値が複数個ある場合は，それがどうして一つに決まるか説明せよ。

次に，𝑇 > 𝑇_Cにおいて，Δを座標変数とみなした場合にもしΔが非常に小さい場合は，𝐹 は，質量𝑚，固有振動数𝜔₀の調和振動子のポテンシャルエネルギーと見なせる。𝜔₀の温度依存性を求め，グラフにせよ。

ヒント：調和振動子のポテンシャルエネルギーと比較すればすぐにわかる。

４．理想気体の状態方程式を求めよ。

５．量子統計が必要になる場合はどのような場合か、簡潔に説明せよ。

６．感想をどうぞ

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第一問） 𝐹 = −𝑘_B𝑇 log(𝑒^{−𝛽𝑔𝜇}^B^{𝐵 2}^⁄ + 𝑒^{+𝛽𝑔𝜇}^B^{𝐵 2}^⁄ ) より，

𝑀 = − ∂𝐹 𝜕𝐵⁄ =_𝜕𝐵^∂ 𝑘_B𝑇 log cosh^𝛽𝑔𝜇₂^B^𝐵 =^𝑘^B^{𝑇𝛽𝑔𝜇}₂ ^B⋅_{cosh𝛽𝑔𝜇}^{sinh𝛽𝑔𝜇}^B^{𝐵 2}^⁄

B𝐵 2⁄ = ^𝑔𝜇₂^B⋅ tanh^𝑔𝜇_2𝑘^B^𝐵

B𝑇

𝐵

𝑇 → 0で，𝑀 ≃ (𝑔 2⁄ )𝜇_B^{(𝑔 2}^{⁄ )𝜇}_𝑘 ^B^𝐵

B𝑇 ≃ 𝜇_B⋅^𝜇_𝑘^B^𝐵

B𝑇 ，一方，^𝐵

𝑇→ ∞で，𝑀 ≃^𝑔𝜇₂^B≃ 𝜇_B

第二問）𝑇 = −∞, −1, −𝛿, +𝛿, +1, +∞ の各場合の占有数概略は下図の通り。

𝑆が最大なのは𝑇 = ±∞（ばらけた方が場合の数が多い），最小なのは𝑇 = ±𝛿 である。𝐸が最大なのは、𝑇 = −𝛿，最小は𝑇 = +𝛿となる。注）𝑇 = ±∞の状態は見分けがつかない。

第三問）

𝜕𝐹

𝜕Δ= 2(𝑇 − 𝑇_C) ⋅ Δ + 4Δ³ = 0より，Δ = 0, ±√^𝑇−𝑇₂ ^Cで𝐹は極値を取る。このうち最小値を与えるものは、𝑇 > 𝑇_Cでは0であり，一方，𝑇 < 𝑇_Cでは，±√^𝑇−𝑇₂ ^Cである。複号は自発的対称性の破れによって決まる。

Δが小さい場合，𝐹(Δ) ≃ (𝑇 − 𝑇_C) ⋅ Δ² と近似出来るので，これを調和振動のポテンシャル 𝑈 =¹₂𝑚𝜔₀²𝑥²と係数を比較すると，¹

2𝑚𝜔₀² = 𝑇 − 𝑇_C であるので，𝜔₀ = √^{2(𝑇−𝑇}_𝑚 ^C⁾となる。

第四問）

𝑍 = _𝑁!ℎ¹_3𝑁∫ 𝑑^𝑁𝑟⃗𝑑^𝑁𝑝⃗ 𝑒^−𝛽𝐸 =_𝑁!ℎ^𝑉^𝑁_3𝑁(∫ 𝑑𝑝 𝑒^−𝛽𝑝²^⁄^2𝑚)^3𝑁 = _𝑁!ℎ^𝑉^𝑁_3𝑁√2𝑚𝜋 𝛽⁄ ^3𝑁 = ^𝑉_𝑁!^𝑁(^2𝑚𝜋_ℎ₂_𝛽)^{3𝑁 2}^⁄ log 𝑍 ≃ 𝑁 log 𝑉 − (𝑁 log 𝑁 − 𝑁) +^3𝑁₂ log^{2𝑚𝜋𝑘}_ℎ₂^B^𝑇= 𝑁 log_𝑁^𝑉+ 𝑁 +^3𝑁₂ log^{2𝑚𝜋𝑘}_ℎ₂^B^𝑇

𝑝 = −^𝜕𝐹_𝜕𝑉 = −_𝜕𝑉^𝜕 (−𝑘_𝐵𝑇 log 𝑍 ) = _𝜕𝑉^𝜕 (𝑘_𝐵𝑇𝑁 log_𝑁^𝑉+ ⋯ ) =^𝑁𝑘_𝑉^𝐵^𝑇 注）その他の性質も、𝑆 = −^𝜕𝐹_𝜕𝑇，𝐸 = 𝐹 + 𝑇^𝜕𝐹_𝜕𝑇，𝐶 =^𝜕𝐸_𝜕𝑇などから。

第五問）

低温で同種粒子が触れ合う確率が高くなる場合に量子統計が必要になる。 ※具体的には不確定性原理（波束を形成する平面波のエネルギーは0 ~ 𝑘_B𝑇）から求めた波束サイズ

𝛿𝑥 ≃ ℎ 𝛿𝑝⁄ ≃ ℎ √2𝑚𝑘⁄ _B𝑇 が粒子間隔（𝑎 ≃ 𝑛^{−1 3}^⁄ ）と一致する（𝛿𝑥 ≃ 𝑎）温度以下。詳しくは量子統計（大槻先生）で。