有限平坦群スキームの分類とガロア表現の枠付き変形I

有限平坦群スキームの分類とガロア表現の枠付き変形 I

服部 新

北海道大学理学研究院 [email protected]

平成 20 年 2 月 28 日

※M. Kisin: Moduli of finite flat group schemes, and modularity, preprint,の前半(Section 1, 2) の紹介

1 Introduction

1.1 背景

Fを総実代数体,G_F をその絶対Galois群, p¥3を素数とする. EをQpの有限次拡大,OEと Fをその整数環と剰余体とし,GFのp進表現ρ:GF ÑGL2pEqを考える. ρがmodularである とは,F 上のHilbert cusp eigenformfが存在して,f に伴うG_F のp進表現ρ_f :G_F ÑGL₂pQ¯pq がρと同型になることだった. また,ρのmodp表現ρ¯:GF ÑGL2pFqがmodularであるとは, ¯ρ があるf に伴うGFのmodp表現ρ¯f :GF ÑGL2pF¯pqと同型になることを言う(このときρは residually modularであると言われる). F Qに対し,G_Qのp進表現ρが与えられたとき,その modularityを示すためのTaylor-Wiles ([23])によるアイデアは, modularなmodp表現の「性質 の良い」持ち上げが必ずmodularになることを示す,と言うものだった(この種の主張はmodular liftingと呼ばれる). 彼らはこれを, modularなρ¯の変形を統制する（ある）普遍変形環Rと,保型 形式を統制する（ある）Hecke環Tとの同型を示す,と言う形—RT 定理と呼ばれる—に定式 化して証明した. 一方でresidual modularityを示すことは「比較的やさしい」問題であった(ただ し「やさしい」とは言え,証明には保型表現のbase changeやRT 型定理が必要になる).

Taylor-Wilesが扱った持ち上げの「性質の良さ」の中でも,最も繊細な扱いを要するものが,「p

でBarsotti-Tate」と言う条件だった. 一般に局所体Kに対しp進GK表現V がBarsotti-Tate とは,OK 上のp-divisible群Γが存在して, ΓのTate加群V_ppΓqがG_K表現としてV と同型とな ることである. 彼らの結果を受けて, Conrad-Diamond-Taylor ([9]) がF Qかつρ|G_Qp が分岐 指数p1未満の拡大でBarsotti-Tateになる場合に, Breuil-Conrad-Diamond-TaylorがF Q, p3かつρ|G_Q3 が243次拡大でBarsotti-Tateになる場合に,R T 定理をそれぞれ一般化して いる. Fが一般の総実代数体の場合には藤原([14])が同様のmodular liftingを証明している.

ただし,彼らの結果にはFや,ρがBarsotti-Tateになる拡大体について,これらのpにおける絶 対分岐指数に関する制限が課せられていた. これは絶対分岐する局所体上での整p進Hodge理論 が未整備なためであった. 以下ではこの点について説明する.

pを割るFの素点をpで表す. pでBarsotti-Tateなρに対してmodular liftingを適用する場合, 考えなければいけない変形条件は「pでのflatness」である. つまり, Artin環Aへのρ¯|G_Fp の変

形VAで,次の条件を満たすものを考える:

• 整数環OFp上の有限平坦群スキームGが存在して, Gのgeneric fiberとして得られるG_Fp 表現GpF¯pqがVAと同型になる.

このようなGF_p表現はflatであると呼ばれ,それと同型なGF_p表現を与えるようなOF_p上の有限 平坦群スキームをこのGF_p表現の有限平坦モデルと言う.

一般に, KをQpの有限次拡大とするとき,OK上の有限平坦群スキームはある種の線形代数的

なデータ(具体的には, ある係数環上のフィルター付き加群＋付加構造）で分類できる. この事実

はKの絶対分岐指数epKqが1のときはFontaine ([10]),epKq  p1の場合はConrad ([8]),一 般の場合はBreuil ([5])が, それぞれ別の係数環と付加構造を考案することによって証明した. ま た, Raynaudの定理([19, Corollaire 3.3.6])によると, epKq  p1なら,OK上の有限平坦群ス キームに対してそのgeneric fiberとして得られるGKのflat表現を与える関手は忠実充満である.

従って, epKq  p1なら, flat表現の変形環を線形代数的なデータを使って調べることができる.

一方,epKqが大きい場合はこの忠実充満性が崩れ, flat表現の圏とOK上の有限平坦群スキーム の圏の間には「ずれ」が生じる. もしもこの「ずれ」(つまりOK上の有限平坦群スキームGに対 しそのgeneric fiberGpK¯qを対応させる関手)も線形代数で記述することができれば,epKqが大き くてもflat変形環の構造を線形代数を使って調べることが可能になるはずだった. ところが, Breuil による分類理論では,係数環が大きすぎてGとGpK¯qの関係をうまく線形代数側に抽出することが できなかった.

本稿で紹介する論文[15]の最大のポイントは, OK上の有限平坦群スキームの新しい分類理論

(これはBreuilによるアイデアをKisinが整備したものである)を用いてこの問題点を克服したと

ころにある.

Kの剰余体をkと書き, そのWitt環をW Wpkqと表す. Kの素元πと, πのp巾乗根の逆 系tπnuを固定し,K₈”

Kpπnqと置く. この新しい理論によると,OK上の有限平坦群スキーム は一変数巾級数環Wrruss上の有限加群(＋付加構造)で分類される. 一方, Fontaineの理論によっ て,有限G_K8加群はWppuqq上の有限加群 (＋付加構造)で分類されることが知られている. Gを OK 上の有限平坦群スキームとし, 対応するWrruss加群をMと置く. このとき,この新しい理論 によれば,有限G_K8加群GpK¯q|GK8 に対応するWppuqq加群はMr1{usである. 従って,あるflat 表現を与えるようなOK上の有限平坦群スキームを分類することと, その表現に対応するWppuqq

加群のWrruss-latticeを分類することが同値になる. こうして上に述べた「ずれ」も線形代数で扱

えることになった.

この際重要なのは,GKのflat表現をGK₈に制限する関手は忠実充満と言うBreuilの定理であ る. つまり,状況を線形代数に持ち込むためにはflat表現をG_K8に制限する必要があったが,この 制限を経ても表現の圏論的な情報は失われず,従って線形代数側からGK表現にいつでも戻ること ができる.

以上を踏まえて論文[15]の主定理(のひとつ)を述べる. これまでのRT定理と異なり,F や,

ρがBarsotti-Tateになる拡大体について,これらのpにおける分岐の条件が外れていることに注

意しておく.

定理1.1([15], Theorem (3.5.5)). p¥3を素数,Fを総実代数体とする. SをFの素点の有限集合 でpを割る素点全体と無限素点全体を含むものとし,GF,SでSの外不分岐なFの最大Galois拡 大のGalois群を表す. EをQpの有限次拡大とし,

ρ:G_F,SÑGL₂pEq

を連続表現で, そのdeterminantが円分指標と有限指標の積であり, 以下の条件を満たすものと する.

• pを割る全ての素点pに対し,ρ|G_Fpはpotentially Barsotti-Tate. さらに,ρ|G_Fpがpotentially ordinaryでないpについては,pの剰余体はFp.

• ρ¯ρ¯f となるparallel weight 2のF上のHilbert保型形式f が存在. さらにこのf は次の2 条件を満たす:

– fに対応するGL₂pAFqの保型表現は,pを割る全ての素点でnon-special.

– pを割る任意の素点pについて,ρf|G_Fpがpotentially ordinaryô ρ|G_Fp がpotentially ordinary.

• 剰余表現ρ¯:GF,S ÑGL2pFqは,Fpζpqの絶対Galois群に制限すると絶対既約. さらにp5 かつρ¯のprojective imageがP GL2pF5qと一致するときは,rFpζ5q:Fs 4も仮定する.

このとき,ρはmodularである.

1.2 有限平坦モデルのモジュライ

ここでは主定理を示すために必要なことの概略を述べる. 方針はTaylor-Wiles (の極小liftの場 合)と同様で,変形条件を緩めた変形環とlevelを増やしたHecke環を考え,それらを「貼り合わせ る」ことでRT を証明する. ただし, 示したいのはp進表現のmodularityなので, RTより 弱くR{pp-torsionq Tを示せばよい([15, Proposition (3.3.1)]).

条件からρ¯を与えるHilbert保型形式fが存在する. Fの素点qでのρ¯|G_Fqの (適当な変形条件 に関する)普遍変形環をR_qと置く. R_qのgeneric fiber R_qr1{psの各閉点は, GF_q のp進表現で

¯

ρ|GFqの変形(で与えられた変形条件を満たすもの)の極限として書けるものに対応している. その

ようなGF_qのp進表現に関する条件Cを考える. Cを満たすRqr1{psの閉点全体はSpecpRqr1{psq の部分集合を定める.

ρや,f に伴うGalois表現は, ¯ρの変形になっているので, (もしこれらが与えられた変形条件を

満たせば)ρとf から図式

OEÐRqÑT

が得られる (ここでT はあるHecke環). このとき, [15, Proposition (3.3.1)]によるTaylor-Wiles 系の貼り合わせを行うためには次の2条件が必要になる:

1. Rqは整域.

2. R_qr1{psはE上formally smoothで, R_qは適切なKrull次元を持っている.

後で述べるように, Rqr1{psのformal smoothnessを示すのは比較的容易である. ところが一般に Rqr1{psは連結ではないので,次のようなことを考える. 変形条件に加えて,上で述べたようなp進 表現に関する条件Cを課す. 条件Cを満たす閉点全体がSpecpR_qr1{psqのひとつの連結成分と一 致すると仮定する. この連結成分のSpecpRqqにおけるスキーム論的閉包をSpecpR^C_qqと書く. こ

のとき,もしもρとf に伴うGalois表現がともに条件Cを満たすようにf やCを選べれば,図式

OEÐR^C_q ÑT

が得られ, しかもR^C_q は整域かつgeneric fiberがformally smoothなので,あとはR^C_q のKrull次 元が適切な値であることが分かれば, [15, Proposition (3.3.1)]を適用でき, modularityを証明でき る. この論文の中心課題は,そのような良い条件Cを見つけるために, 変形環Rqのgeneric fiber の解析を行うことである.

簡単のため以下本稿ではqがpを割る場合だけを考える(そこで以下qの代わりにpと書く). こ の場合, この論文で考えている変形条件はpでのflatnessであり,従ってflat表現の変形環R^fl_p の generic fiberR^fl_pr1{psを調べることになる. このgeneric fiberのE値点は,E係数の2次元GF_p表 現V でp進表現としてBarsotti-Tateなものに対応している. このような表現V に対する条件C は例えば次のようなものである:

• V はordinary (resp. non-ordinary)であり,V に対応するFp上のp-divisible群ΓF_pの接空 間LiepΓ_Fpqはrank 1の自由Eb_QpF_p加群. さらに, ordinaryの場合において, ¯ρ|GFp が異 なる不分岐指標の直和であるときには, ¯ρ|GFpの1次元部分表現L¯を固定した上で次の条件 も付け加える:

– 惰性群がp進円分指標で作用するようなV の1次元部分表現はL¯のliftになっている.

注 1.2. 変形条件をflatに制限した理由は,この論文が書かれた段階では整p進Hodge理論の中で 比較的理論が整備されていたのがflat表現やBarsotti-Tate表現だけだったため. しかしすぐ後に

Kisin自身がこの論文で使われたテクニックをより一般のp進表現に対して拡張し([16]), 同様の

解析をより広いクラスの変形環についても行っている ([17]).

上に挙げた2つの条件のうち, formal smoothnessとKrull次元の条件はlocalな性質であり,比較 的容易に考察できる. 実際,R^fl_pのgeneric fiberの各閉点での完備局所環が,対応するBarsotti-Tate p進表現の(標数0のArtin環の圏で考えた)変形環と同型で,しかもこの変形環がformally smooth であることから,R^fl_pのgeneric fiberのformal smoothnessを示すことができる.

一方,連結性の条件はglobalな性質である. 今述べたようにp進Hodge理論ではその完備局所環 しか分からないことに注意する. ここでもし,R_p^Cの特異性がそれほど悪くなく,例えばOE上flat で,かつclosed fiberR_p^Cb_OEOE{mEがreducedであれば, generic fiberの連結性はclosed fiber の連結性から従う. ゆえに,R_p^Cの特異性が十分良ければ話がうまく行くと思われる. ところが,一 般にKの分岐指数が大きい場合, flat表現の普遍変形環R^fl_pは特異性の良い局所環になるとは限ら ない.

そこで, R^fl_p やその剰余環R^C_p の特異性を解析するかわりに次のような道筋を辿る. 特異性の良 いスキームX^Cと,スキームの射X^CÑSpecpR_p^Cqでgeneric fiberに同型を引き起こすものとを 構成し,X^Cのclosed fiberの連結成分の解析を行うことでX^Cのgeneric fiberの, 従ってR^C_p の generic fiberの連結性を調べる.

このようなX^Cの構成は以下のようにして行う. KF_pとし, flatなG_K表現ρ¯|GKの表現空間 をV_Fと書く. Artin局所WpFq代数で剰余体がFであるものAに対しGK表現V_FのAへのflat な変形VAとその有限平坦モデルの組全体の集合を対応させる関手を考えて,これがrepresentable であることを示したい. これは, 局所環の射R^fl_p Ñ Aと, この射による普遍変形V_Rfl

pの引き戻し V_Rfl

pbR^fl_pAの有限平坦モデルの組を与えることと同じである. さらに,上述した有限平坦群スキーム の分類理論とBreuilの忠実充満性定理を使うと,これをWppuqq加群のWrruss-latticeの言葉で書き 換えることができる. 実際,V_Rfl

p|G_K8に対応するWppuqq bZpR^fl_p加群をM_Rfl

pと置くと,V_Rfl pbR^fl_pA の有限平坦モデルを与えることは,Wppuqq b_ZpA加群M_Rfl

pbR^fl_pAのpWrruss b_ZpAq-lattice（＋

付加構造）を与えることと同値になる. このようなlattice全体はAffine Grassmann多様体（の

閉部分集合）でclassifyされる. さらに条件Cに対応する閉部分スキームを取ることで, 求める スキームX^Cが得られる. Cを適切に選べば,X^Cは志村多様体のlocal modelと結びつくことが 示せるので, local modelに関して得られている結果からX^Cの特異性がよい（特にnormalかつ CMでclosed fiberがreducedである）ことが分かる. X^CÑSpecpR^C_pqのgeneric fiberは,OK上 のp-divisible群にそのTate加群を対応させる射なので, Tateの定理より全単射と分かり, 両辺の

generic fiberの特異性がよいことは既に示したので,この全単射から同型が従う.

2 φ 加群 , 有限平坦群スキーム , p 進 Hodge 理論

2.1 G

表現の分類

p¥3を素数とする. KをQpの有限次拡大とし,kをKの剰余体とする. W WpkqのFrobenius 写像をσで表す. Kの素元πと,そのp巾乗根の系tπn|π0π, π^p_{n 1}πnuを固定し,KnKpπnq, K₈”

K_nと置く. 拡大K₈{Kは強APF拡大なので([4]), Fontaine-WintenbergerのNorm体 の理論が適用できる. つまり, 自然な同型GalpK₈{Kq Galpkppuqq^sep{kppuqqqが存在する. 後者

のGalois群は標数pの体の絶対Galois群であり,このような体に関する有限Galois加群はある種

の線形代数で分類できることが知られている. 従って,有限G_K8表現の分類理論が得られたこと になる.

正確な主張を述べるために記号を用意する. SWrruss,O_E Sr1{us^{^} (ただし^はp進完備 化) ,EFracpOEqと置く. また,p乗写像のなす環の逆系を使って

RlimÐÝpOK^¯{pOK^¯ ÐOK^¯{pOK^¯ Ð q

と定義する. Rは標数pの完備付値環である. πPRをπ pπ_n modpqnPZ¥0 で定める. Witt環 WpRqをuÞÑ rπsによってWrus代数と思うと,この射は環のp進連続な埋め込みSÑWpRqと E Ñ WpFracpRqqr1{psを引き起こす. 後者の埋め込みにおけるEの最大不分岐拡大をE^nr, その WpFracpRqqr1{psでの閉包をEx^nrで表す. これはE^nrのp進付値による完備化と同一視できる. φ で,これらの環においてuÞÑu^pが定めるσ-semilinearな連続準同型を表す. また,定義からO_Eynr

にはGalois群GK₈がOE-linearに作用している.

O_E 上のetale φ加群とは, 有限O_E 加群M と, φ-semilinearな準同型φ : M Ñ M の組で, φM OEbφ,OEM と置くとき, 1bφ:φM ÑM が同型であるもののことを言う. これら全体 のなす自然なAbel圏(射はOE-linearでφと可換なもの)をΦM_OEと表す. また,有限Zp加群へ の連続G_K8表現全体のなす圏をRep_ZppG_K8qで表す.

定理 2.1 ([12]). 次の完全関手TはAbel圏の同値を与える:

T : ΦM_OE ÑRep_ZppGK₈q M ÞÑ pO_EynrbOE Mq^φ1. T のquasi-inverseは次で与えられる:

D: Rep_ZppGK₈q ÑΦM_OE

V ÞÑ pO_EynrbZpVq^GK8.

2.2 有限平坦群スキームの分類

記号は前小節の通りとする. Kの素元πのW Wpkq上のEisenstein多項式をEpuq PWrus と置く. また,S^nrO_EynrXWpRqと表す.

定義 2.2. • S加群Mと,φ-semilinearな加群の準同型φ:MÑMの組を,S上のφ加群と 呼ぶ. さらに,1bφ:φMSbφ,SMÑMの余核がEpuqで消えるとき,このφ加群は E-height¤1であると言う.

• 圏BT^φ_{Sを次のように定義する: objectは,E-height ¤1であるようなS上のφ加群で, S 加群として有限生成自由なもの全体. 射はφと両立するS-linear map全体.

• 圏pMod{Sqを次のように定義する: objectは,E-height¤1であるようなS上のφ加群で, S加群として射影次元1かつp巾torsionなもの全体. 射はφと両立するS-linear map全体.

さらに,OK上のp-divisible群全体のなす圏をpp-div{OKq,OK上のp巾で消える有限平坦群ス キーム全体のなす圏をpp-Gr{OKqで表す.

定理 2.3 ([16]). 1. 圏のexactな反同値

BT^φ_{SÑ pp-div{OKq MÞÑΓ

が存在して,自然同値TppΓq|G_K8 HomS,φpM,S^nrqを満たす. ただしTppΓqはp-divisible 群ΓのTate加群.

2. 圏のexactな反同値

pMod{Sq Ñ pp-Gr{OKq MÞÑGrpMq

が存在する. この関手Grは次のようにして定まるもの: M1,M2をBT^φ_{Sの元とし,これら に対応するOK上のp-divisible群をΓ1,Γ2とする. このとき

0ÑM1ÑM2ÑMÑ0

が完全系列であれば, 射M1 Ñ M2に対応するp-divisible群のisogeny Γ2 Ñ Γ1に対し GrpMq KerpΓ₂ÑΓ₁q.

ここから直ちに分かる性質をいくつか述べる.

性質 2.4. MP pMod{Sqと,前小節の関手Tに対し,有限GK₈加群の自然な同型 TpOE bSMqp1q ÑGrpMq^_pOK^¯q|G_K8

が存在. ここでp1qはTate twistで,_はCartier双対を表す.

性質 2.5.

GrpMq^_が

#

etale multiplicative

+

ô1bφpφMq

#

EpuqM M

+ .

これは定理2.3の関手の構成と, crystalline Dieudonn´e加群と古典的なDieudonn´e加群の両立性 から従う. また, 性質の右辺の条件を,Mが

#

etale multiplicative

+

と言う.

性質2.6 ([6], Theorem 3.4.3). flatなtorsionGK加群の圏からtorsionGK₈加群の圏への自然な 制限関手は忠実充満.

証明. キーポイントは,M1,M2P pMod{Sqと,GK₈-linearな同型f : GrpM1qpOK^¯q ÑGrpM2qpOK^¯q が与えられているとき,f が自動的にG_K-linearとなること. これは次のようにして分かる. G_K8 加群GrpMiqpOK^¯q|G_K8 は定理2.1の圏同値の双対でOE bSMi に対応する. Dpfqの双対でこ のふたつのφ加群を同一視し, O_E bSM1 O_E bSM2 … M M1 M2を考える. このと きM P pMod{Sqであり, M1 „ M … M2によって得られるOK 上の有限平坦群スキームの射 GrpM1q ÐGrpMq ÑGrpM2qが,そのgeneric fiberに恒等射

GrpM1qpOK^¯q GrpMqpOK^¯q GrpM2qpOK^¯q を引き起こすので, 確かにf はGK-linearに延びている.

注2.7. flatなp-torsionGK加群の圏に限れば,分類理論を使わなくても性質2.6が証明できることは 注意に値する([1], Proposition 8.5.1の証明). 実際,G^j_KでGKの第j上付き分岐群(normalization は[21]に従う. つまり,G⁰_K ”

j¡0G^j_Kが野生分岐群になる) を表すと, flatなp-torsion GK 加 群V¯ にはj¡ep1 1{pp1qq 1なるG^j_K が自明に作用する([11]). j0ep1 1{pp1qqと置 くと, 有限次拡大K₁{Kの上付き分岐の最大のjumpはj₀である. 従ってK₈XK¯^GjK0 Kであ り,ゆえにGK GK₈G^j_K⁰である. このことから忠実充満性が従う.

2.3 係数付きの場合

変形理論を考える上で,これらの分類理論やp進Hodge理論を係数付きで考える必要が生じる.

この小節では,係数付きのS加群やフィルター付き加群についての定義をまとめておく.

Zp代数Aに対し, pModFI{SqAで次のような圏を表す: objectは, S上有限なφ加群MでE- height¤1であるものと,Zp-代数の準同型ι:AÑEndS,φpMqの組pM, ιqで,MがSASbZpA 加群として有限生成射影であるもの全体. 射はφ, ιと両立するS-linear map全体.

さらに, Aが有限環であると仮定する. このとき, 有限A加群への連続GK₈ 表現全体のなす 圏を Rep¹_ApGK₈qで表す. また, pModFI{SqA と同様に, A作用付きのO_E 上のφ加群全体の なす圏をΦM_OE,Aで表す. このとき, 定理2.1の圏同値T : ΦM_OE Ñ Rep_Z

ppG_K8qは圏同値 TA : ΦM_OE,AÑRep¹_ApGK₈qを引き起こす. この圏同値TAは有限射AÑA¹による係数拡大と 両立する. つまり,自然な同型T_ApMq bAA¹ÑT_A1pM bAA¹qが存在.

同様に,係数付きのフィルター付き加群を定義する. Aを今度は有限局所Qp代数とする. Crys- tallineなp進GK 表現全体のなす圏をRep^crys で表す. また, 有限生成自由A加群へのp進連 続G_K 表現で, p進表現としてcrystallineなもの全体のなす圏をRep^crys_A で表す. さらに, weakly

admissibleなフィルター付きφ加群と,φやフィルター付けと両立するA作用との組全体のなす圏

をpMod{K₀qAで表す. また, その充満部分圏で, MP pMod{K₀qAでgrMKが射影A加群であ るようなもの全体のなす圏をpMod{K0qA-frと置く. このとき, 圏同値

Dcrys: Rep^crysÑ pMod{K0qQp

V ÞÑ pBcrysbQpVq^GK

と,そのquasi-inverse

V_crys:pMod{K₀qQpÑRep^crys

MÞÑFil⁰pB_crysbK0Mq^φ1 は,互いにquasi-inverseであるような圏同値

Dcrys,A: Rep^crys_A Ñ pMod{K0qA-fr

Vcrys,A:pMod{K0qA-frÑRep^crys_A

を引き起こす. これらの関手は有限局所Qp代数の有限射AÑA¹による係数拡大と両立する.

3 groupo¨ıd と変形環

3.1 groupo¨ıd の復習

圏Eに対し,その対象全体をObpEqで表す. また,圏の射θ:FÑEとT PObpEqに対し,FpTq で次のような圏を表す: objectはθpηq T なるη PObpFq全体で,射はFの射αでθpαq idT

となるもの全体.

圏の射θ:F ÑEがE上のgroupo¨ıdであるとは次の2条件が成立することだった:

1. Fの射α:ηÑξ,α¹:ηÑξ¹で,θによってEの同じ射T ÑSにうつるものを考える. この とき,Fの射τ:ξÑξ¹で,α¹ταなるものがただひとつ存在.

2. Eの射f : T ÑSと, θpηq Tなるη PObpFqを考える. このとき, F の射α:η Ñξで θpαq f なるものが存在.

θ : F Ñ E, θ¹ : F¹ Ñ E, θ² : F² Ñ E をそれぞれE 上のgroupo¨ıdとし, Φ¹ : F¹ Ñ F, Φ²:F²ÑFをE上の射とする. このとき,F¹とF²のF上の2-ファイバー積F¹_FF²は次のよ うに定義されるE上のgroupo¨ıdである: objectは,ξ¹PObpF¹qとξ²PObpF²q,そしてFにおけ る射α: Φ¹pξ¹q ÑΦ²pξ²qでθpαq idとなるもの,の3つ組pξ¹, ξ², αq全体. このような3つ組の間 の射pξ¹, ξ², αq Ñ pη¹, η², βqは,射γ¹:ξ¹Ñη¹,γ²:ξ²Ñη²の組pγ, γ¹qで,βΦ¹pγ¹q Φ²pγ²q α を満たすもの全体.

E上のgroupo¨ıdθ:FÑEとηPObpFqに対し,E上のgroupo¨ıdη (同じ記号で表す)を次のよ うに定義する: objectはFの射ηÑξ全体. 射pα:η Ñξq Ñ pα¹:ηÑξ¹qは, Fの射β :ξÑξ¹ でβαα¹なるもの全体. このときpηÑξq ÞÑξはE上のgroupo¨ıdの射ηÑFを定める.

E上のgroupo¨ıdθ:FÑEがrepresentableであるとは,η PObpEqが存在して,自然な射ηÑF がE上の圏同値となること. このとき普遍対象ηは標準的な同型を除いて一意に決まる. 従って θpηqもそうなので,「θpηqがFをrepresentする」とも言う.

各T PObpEqに対してFpTqが集合であるとする. このとき,関手|F|:EÑ pSetqを,T PObpEq に対してFpTqの同型類全体の集合を対応させることで定める. θ : F Ñ E がT P ObpEqで representableのとき,自然同値|F| ÑHom_EpT,qが存在する.

E上のgroupo¨ıdの射Φ : F¹ Ñ Fがrelatively representableであるとは, 任意のη P ObpFq に対し2-ファイバー積Fη : ηFF¹ Ñ E がrepresentableであること. また, Φがformally smoothであるとは, |F¹| Ñ |F|がformally smooth, つまり, Eにおける任意の射T ÑSに対し,

|F¹|pTq Ñ |F¹|pSq _|F|pSq|F|pTqが全射であること. これは任意のη PObpFqに対し|Fη| Ñ |η| がformally smoothであることと同値.

Fを体,Oを剰余体がFであるような完備局所環,m_Oをその極大イデアルとする. 局所Artin有 限O代数(resp. 完備Noether局所O代数)で剰余体がFであるようなもの全体の圏をAR_O (resp.

ARy_O)で表す. AR_O上のgroupo¨ıdF ÑAR_Oは, limitを取ることで自然にARy_O上のgroupo¨ıd に延長される. これも同じ記号Fで表す. F ÑAR_Oがpro-representable (resp. relatively pro- representable) であるとは,この延長FÑ yAR_Oがrepresentable (resp. relatively representable) であること.

さらに,Aug_Oで次のような圏を表す: objectは,O代数Aと,Aの巾零イデアルIでm_OA„I を満たすものの組pA, Iq全体. 射pA, Iq Ñ pA¹, I¹qはO代数の射AÑA¹でIをI¹の中に移すも の全体. 定義から,pA, Iq PAug_Oならある非負整数iに対してmⁱ_OA 0となることに注意する

(つまりこの圏は,AR_OからO有限局所性を外した感じのもの).

3.2 変形と枠付き変形

FとOを前小節のとおりとする. d次元Fベクトル空間への連続G_K 表現V_Fを固定する. これ に対し,AR_O上のgroupo¨ıdDV_F ÑAR_Oを次のように定義する:

• APAR_Oとするとき,A上のobjectは,有限生成自由A加群への連続G_K表現V_Aと,FrG_Ks 加群の同型ψ:VAbAFÑV_Fの組pVA, ψq全体.

• AR_Oの射AÑA¹に対し, この射の上にあるDV_Fの射pVA, ψq Ñ pVA1, ψ¹qは,A¹rGKs加群 の同型でψ, ψ¹と両立するものα:V_AbAA¹ÑV_A1のpA¹q同値類rαs全体.

定義から,|D_VF|は普通の変形関手になる. ここで,射をpA¹qで割っているのは,|D_VF|の関手とし てのrepresentabilityと,DV_FのAR_O上のgroupo¨ıdとしてのrepresentabilityを同値にするため.

さらに,V_Fのordered basisβ_Fを固定する. これに対し,枠付き変形のgroupo¨ıdD_V^l

F ÑAR_Oを

次のように定義する:

• APAR_O とするとき, A上のobjectは, 有限生成自由A加群への連続G_K表現V_Aと, V_A のorderedA-basisβA,そしてFrGKs加群の同型ψ:VAbAFÑV_FでβAÞÑβ_Fとなるもの の組pVA, βA, ψq全体.

• AR_O の射A Ñ A¹ に対し, この射の上にあるD_V^l

F の射pVA, βA, ψq Ñ pVA1, βA1, ψ¹qは, A¹rG_Ks加群の同型α:V_AbAA¹ ÑV_A1でβ_A, β_A1,ψ, ψ¹と両立するもの全体.

V_Fとordered basisβ_Fは準同型ρ_F:G_K ÑGL_dpFqを定める. すると定義から,

|D_V^l

F|pAq tρ_A:G_KÑGL_dpAq |ρ_Fのliftu. このことから, 関手|D^l_V

F| (従ってgroupo¨ıd D_V^l

F) は完備Noether局所環R^l_V

Fでpro-representさ れることが分かる. また, ordered basisを忘れる射D^l_V

FÑDV_Fがformally smoothかつrelatively pro-representableであることも分かる(P GL_dのformal completionでpro-representされる).

注 3.1. D^l_V

Fと違って,DV_Fは一般にはpro-representableにならない. 例えばEnd_FrGKspV_Fq F が成立すれば完備局所環R_VFでpro-representableになる(この条件はV_Fが絶対既約なら満たされ

る)が,局所体のtorsion Galois表現は絶対既約にならない場合が多い. 枠付き変形を導入したの

はそのような場合でも変形環の存在を保証するためである.

4 有限平坦モデルのモジュライの構成

FをFpの有限次拡大とし,V_Fをd次元Fベクトル空間への連続GK表現で, flatであるものとす る (つまり,OK 上の有限平坦群スキームGとG_K 加群の同型V_F GpK¯qの存在を仮定する). こ の節では,小節1.2に述べたような,V_Fのflatな変形とその有限平坦モデルの組のモジュライの構 成について説明する. そのためにまず, flat表現とGK₈表現のそれぞれに対して変形関手を定義す る. 後者は,V_F|GK8を与えるOE 上のφ加群M_Fを変形させることと同じである.

flat表現の変形. V_FのArtin局所WpFq代数への変形全体のなすgroupo¨ıdDV_FÑAR_WpFqを考 える. このfull subgroupo¨ıd D^fl_V

FÑAR_WpFqを,pV_A, ψq PD_VFpAqでV_Aがflat表現であるもの全 体として定める. flat表現の部分表現や商表現がflat表現であることからD^fl_V

FÑDV_Fがrelatively representableであると分かる. 従って,例えばEnd_FrGKspV_Fq Fなら, groupo¨ıdD^fl_V

FはRV_Fのあ る剰余環R^fl_VFでpro-representされる.

これらのAR_WpFq 上のgroupo¨ıdを以下のように Aug_WpFq上の groupo¨ıdに拡張して考える:

pA, Iq P Aug_WpFqに対し, AR_WpFqのobject A¹ と, WpFq代数の単射A¹ Ñ AでradpA¹qをI の中に移すものの組全体のなす自然な圏をAR^A,I_WpFqと表す. このとき,

DV_FpA, Iq: limÝÑ

A¹PAR^A,I_WpFq

DV_FpA¹q

と定める. D_V^fl

Fも同様にAug_WpFq上のgroupo¨ıdに拡張する.

注 4.1. この拡張をすることで,以下で構成する射影スキームG RV_F,ξにSb_ZpO_{G R}VF,ξ 上の普遍 φ加群を付与できるようになる.

GK₈表現の変形. M_F PΦM_OE,Fを,小節2.3の圏同値T_Fに対しT_FpM_Fqp1q V_Fを満たすもの として定義する. これに対し, groupo¨ıdD_MF ÑARWpFqを次のように定める:

• APAR_WpFqの上にあるobjectは,MAPΦM_OE,AでMAがO_Eb_ZpA加群として有限生成 自由であるものと, ΦM_OE,Fの同型ψ:M_AbAFÑM_Fの組pM_A, ψq全体.

• AÑA¹をAR_WpFqの射とする. この射の上にあるDM_Fの射pMA, ψq Ñ pMA¹, ψ¹qは,ψ, ψ¹ と両立するΦM_OE,A1の同型α:M_AbAA¹ÑM_A1のpA¹q同値類全体.

有限生成自由性の条件は, A上有限生成自由なGalois表現への変形しか考えていないことに対応 している. このgroupo¨ıdも, さっきと同様にAug_WpFq上のgroupo¨ıdに拡張して考える. すると, AR_WpFq上の射

DV_FÑDM_F

VAÞÑ pO_EynrbZpVAp1qq^GK8 は,Aug_WpFq上の射DV_FÑDM_Fを引き起こす.

GK₈表現の変形とS-lattice. 最後に, groupo¨ıdDS,M_FÑAug_WpFqを次のように定義する:

• pA, Iq PAug_WpFqの上にあるobjectは, MAP pModFI{SqAと,pOEbZpA{Iq-linearでφと 両立する同型ψ:O_E bSMAb_ZpA{IÑM_Fb_FA{Iの組pMA, ψq全体.

• Aug_WpFqの射pA, Iq Ñ pA¹, I¹qの上にあるDS,M_Fの射pMA, ψq Ñ pMA¹, ψ¹qは,OE に係数 拡大したときにψ, ψ¹と両立するようなpModFI{SqA¹の同型α:MAbAA¹ÑMA¹のpA¹q 同値類全体.

Aが有限環の場合は,pModFI{SqAの元はpMod{Sqにも含まれ,後者の圏はOK上のp巾で消え る有限平坦群スキームの圏と同値なので, このgroupo¨ıdはV_F|GK8 の変形とその有限平坦モデル の組をだいたい分類していることになる.

次に,Aug_WpFq上の射Θ_VF:D_S,MFÑD^fl_V

Fを構成する. 簡単のためにAR_WpFq上だけで考える.

A PAR_WpFqとし,pMA, ψq PDS,M_FpA, mAqを取る. このときVA TApOEbSMAqp1qは有限 生成自由A加群へのGK₈表現を与える. 性質2.4から,VAはflatGK表現に延びていることが分 かる. さらに, Breuilの忠実充満性定理(性質2.6)から次のことが従う: このようなflatGK表現 への延長は一意的で,このGK作用とA作用は可換であり, さらに, ψから定まるGK₈加群の同 型ψ:V_AbAFÑV_FはG_K作用と両立する. そこでΘ_VFpMA, ψq: pV_A, ψq PD^fl_V

FpA, m_Aqと定 める. この議論をAug_WpFq上に拡張することにより,次の定理が示される:

定理 4.2 ([15], Proposition (2.1.4)). Aug_WpFq上の射Θ_VF:D_S,MFÑD_V^fl

Fで,図式

D_V^fl

F //D_MF

D_S,MF

ccFFFF

FFFF

OO

を2-可換にするものがただひとつ存在する. ここで,上向きの射はMAÞÑO_EbSMAが引き起こ

す自然な射であり,横向きの射は上で定義した射D_VFÑD_MFのD^fl_V

Fへの制限 (Breuilの忠実充満 性定理より,これが忠実充満になることに注意する).

さて,A PAR_WpFqとξ pV_A, ψ_Aq PD^fl_V

FpAqとを固定し, M_A pO_Eynrb_ZpV_Ap1qq^GK8 と置 く. ARWpFq上のgroupo¨ıdξも前のようにAug_WpFqに拡張しておくと, Aug_WpFq上の射ξÑD^fl_V

F

を得る. これらに対し, AR_WpFq上のgroupo¨ıdの2-ファイバー積DS,M_F,ξ :ξD^fl_V

FDS,M_Fを考 える.

定理 4.3 ([15], Proposition (2.1.7)). A上の射影スキームG RV_F,ξ Ñ SpecpAqが存在して次の representabilityを満たす: 任意のpB, Iq PAug_Aに対しfunctorialな全単射

|D_S,MF,ξ|pB, Iq ÑHom_SpecpAqpSpecpBq,G RV_F,ξq が存在.

証明. pB, Iq PAug_Aに対して,MB MAbABと置く. すると定義と忠実充満性定理から,同一視

|DS,M_F,ξ|pB, Iq

#

MB„MB

¯¯¯¯

¯

M_Bの有限生成射影S_B部分加群で,M_BM_Br1{usであり, φ-stableかつE-height¤1であるもの

+

を得る. さらに,SBのu進完備化をSˆB, ˆMB MBbS_BSˆBとすると, Beauville-Laszloのdescent lemma ([2])から全単射

#

MB„MB

¯¯¯¯

¯

MBのrankdの有限生成射影部分SB加群で MBr1{us MBなるもの

+

Ñ

#

MˆB„MˆB

¯¯¯¯

¯

Mˆ_Bのrankdの有限生成射影部分SˆB加群で MˆBr1{us MˆBなるもの

+

が存在する. ここでSˆB pBb_ZpWpkqqrrussであり,MAが有限生成自由O_Eb_ZpA加群なので, Mˆ_Bも有限生成自由pBbZpWpkqqppuqq加群である.