国際物理オリンピック
研修用テキスト I
力学・波動・光学
特定非営利活動法人
物理オリンピック日本委員会
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第 1 章 物理量の単位と次元
1.1 物理量
物理学とは，ノーベル物理学賞を受賞した朝永振一郎氏の言葉を借用すると，「われわれ をとりかこむ自然界に生起するもろもろの現象—ただし主として無生物にかんするもの
—の奥に存在する法則を，観測事実に拠りどころを求めつつ追及すること」(1)である。こ のために現象にかかわる様々な量を洗い出す。物理現象の記述に使われるこれらの量を物 理量(physical quantity)という。時間や長さ，質量，速さ，加速度はいずれも物理量であ る。物理法則は物理量の間の数量的な関係式として記述される。
1.2 単位と単位系
物理量を表すには，基準となる大きさの単位(unit)を決めて，この単位の何倍になるか を示せばよい。すなわち物理量は
物理量=数値×単位
と表される。(2)単位はそれぞれの物理量に対して任意に選ぶことができるが，物理量の間 に関係がある場合にはそれぞれ独立に単位を選ぶのは賢明ではない。例えば長さの単位を 決めたら，面積の単位にはこの長さを一辺とする正方形の面積を，体積の単位にはこの長 さを一辺とする立方体の体積を採用すると便利である。また長さと時間の単位を決めたら，
単位時間に単位の長さを進む速さを速さの単位とすると都合がよい。単位をまったく独立 に決めてよい物理量を基本物理量，その単位を基本単位(base unit)，基本単位から導かれ る単位を組立単位(derived unit)という。力学現象を記述する物理量には3つの基本単位 が必要である。国際単位系(略称: SI(3))では3つの基本物理量として時間(time)，長さ (length)，質量(mass)が選ばれ，それぞれの単位は次のように決められている。
時間の単位1秒(s)は133Csの放出する波長約3.26 cmの電磁波の1周期の時間の 9 192 631 770倍
長さの単位1メートル(m)は光が真空中を1/299 792 458 sの間に進む距離 質量の単位1キログラム(kg)は国際キログラム原器の質量
なお，長さの単位が基本物理定数である光速度に基づいて定義されているように，質量 の単位を，同じく基本物理定数の1つであるプランク定数を基準とする定義に置きかえる ことが検討されている。
(1)朝永振一郎著『物理学とは何だろうか』上巻，岩波新書(1979) p.5
(2)したがって物理量を表す変数は単位も含む。また物理量の数量を表すとき，単位を括弧に入れる必要はない。
(3)SIはSyst`eme International d’Unit´es (フランス語で“国際単位系”)の略
1
1.3 物理量の次元
一般の物理量と基本物理量との関係を表す概念を次元(dimension)という。長さの次元 をL，質量をM，時間をTと表すと，一般の物理量の次元はLxMyTzと表すことができ る。x，y，zは通常，整数値である。例えば，面積の次元はL2，体積の次元はL3，密度の 次元はML−3，速さの次元はLT−1，質量と速さの積(運動量)の次元はLMT−1，加速度 の次元はLT−2である。次元の式はまた，一般の物理量の単位が基本単位とどのような関 係にあるかを示している。
物理量の関係式においては各辺，各項の次元は同じでなければならない。このことを利 用して物理量の間の関係を予測する手法を次元解析(dimensional analysis)という。
2
-1-
第 1 章 物理量の単位と次元
1.1 物理量
物理学とは，ノーベル物理学賞を受賞した朝永振一郎氏の言葉を借用すると，「われわれ をとりかこむ自然界に生起するもろもろの現象—ただし主として無生物にかんするもの
—の奥に存在する法則を，観測事実に拠りどころを求めつつ追及すること」(1)である。こ のために現象にかかわる様々な量を洗い出す。物理現象の記述に使われるこれらの量を物 理量(physical quantity)という。時間や長さ，質量，速さ，加速度はいずれも物理量であ る。物理法則は物理量の間の数量的な関係式として記述される。
1.2 単位と単位系
物理量を表すには，基準となる大きさの単位(unit)を決めて，この単位の何倍になるか を示せばよい。すなわち物理量は
物理量=数値×単位
と表される。(2)単位はそれぞれの物理量に対して任意に選ぶことができるが，物理量の間 に関係がある場合にはそれぞれ独立に単位を選ぶのは賢明ではない。例えば長さの単位を 決めたら，面積の単位にはこの長さを一辺とする正方形の面積を，体積の単位にはこの長 さを一辺とする立方体の体積を採用すると便利である。また長さと時間の単位を決めたら，
単位時間に単位の長さを進む速さを速さの単位とすると都合がよい。単位をまったく独立 に決めてよい物理量を基本物理量，その単位を基本単位(base unit)，基本単位から導かれ る単位を組立単位(derived unit)という。力学現象を記述する物理量には3つの基本単位 が必要である。国際単位系(略称: SI(3))では3つの基本物理量として時間(time)，長さ (length)，質量(mass)が選ばれ，それぞれの単位は次のように決められている。
時間の単位1秒(s)は133Csの放出する波長約3.26 cmの電磁波の1周期の時間の 9 192 631 770倍
長さの単位1メートル(m)は光が真空中を1/299 792 458 sの間に進む距離 質量の単位1キログラム(kg)は国際キログラム原器の質量
なお，長さの単位が基本物理定数である光速度に基づいて定義されているように，質量 の単位を，同じく基本物理定数の1つであるプランク定数を基準とする定義に置きかえる ことが検討されている。
(1)朝永振一郎著『物理学とは何だろうか』上巻，岩波新書(1979) p.5
(2)したがって物理量を表す変数は単位も含む。また物理量の数量を表すとき，単位を括弧に入れる必要はない。
(3)SIはSyst`eme International d’Unit´es (フランス語で“国際単位系”)の略
1
1.3 物理量の次元
一般の物理量と基本物理量との関係を表す概念を次元(dimension)という。長さの次元 をL，質量をM，時間をTと表すと，一般の物理量の次元はLxMyTzと表すことができ る。x，y，zは通常，整数値である。例えば，面積の次元はL2，体積の次元はL3，密度の 次元はML−3，速さの次元はLT−1，質量と速さの積(運動量)の次元はLMT−1，加速度 の次元はLT−2である。次元の式はまた，一般の物理量の単位が基本単位とどのような関 係にあるかを示している。
物理量の関係式においては各辺，各項の次元は同じでなければならない。このことを利 用して物理量の間の関係を予測する手法を次元解析(dimensional analysis)という。
2
-2-
第 2 章 運動学
2.1 位置と座標系
力学の基本概念は運動である。運動とは，物体が時間とともに位置を変えることである。
位置を記述するために座標系(coordinate system)を用いる。座標系には直交座標系，極座 標系，円筒座標系などがあるが，直交座標系が最も基本的である。ある点を原点と定めて，
この点を通り互いに直交するx軸，y軸，z軸からなる座標系が3次元直交座標系である。
空間における点の位置は座標(x,y,z)で指定することができる。
空間の位置を一般的に記述するためには3次元座標系を用いるが，考える空間が一平面 内に限る場合には2次元座標系を用いる。図2.1に2次元の直交座標と極座標の座標点の 表し方を示す。図2.2には3次元の直交座標，極座標，円筒座標の座標点の表し方を示す。
- 6
O x
y
(a)直交座標
- 6
O r
θ
(b)極座標 図2.1 2次元座標系
- 6
O x
y z
(a) 3次元直交座標
- 6
O θ
r
φ (b) 3次元極座標
- 6
O z
θ r (c)円筒座標 図2.2 3次元座標系
2.2 ベクトル
物理量には通常2種類ある。ひとつは単位を適当に決めるとひとつの実数値によって表 される量で，スカラー(scalar)と呼ばれる。例えば時間や長さである。もうひとつは，単 位を決めるとある実数値が対応するが，それだけでは決まらず，さらに方向を指定する必 要がある量で，ベクトル(vector)と呼ばれる。例えば速度は，速さとともにどの方向に向 かっているかを指定しなければならない。したがって速度はベクトルである。
ベクトルは方向を決めれば，ひとつのスカラー量と同等になる。このことからベクトル は方向をもった線分，すなわち矢印で表すことができる。図2.3のように点Pを始点，点
3
Qを終点とする矢印−→PQで表されるベクトルをひとつの文字Aで表そう。
A=−→PQ (2.1)
P→QをベクトルAの方向または向き，線分の長さPQをベクトルAの大きさまたは絶 1
P
Q A 図2.3 ベクトル 対値といい，|A|またはAで表す。
|A|= PQ または A= PQ (2.2)
大きさと方向が等しい2つのベクトルは等しいと定義する。したがってベクトルの始点の 位置は意味をもたない。Qを始点，Pを終点とするベクトル−→QPは−→PQと比べて，大きさ は同じで，向きが逆になるので−Aと表す。
−A=−→QP =−−→PQ (2.3)
またλを実数とするときλAというベクトルはλ >0ならばAと同じ向き，λ <0なら ばAと逆向きで，大きさは|λ| |A|のベクトルを意味する。
2.3 ベクトルの演算
ベクトルの演算を定義しておこう。2つのベクトルA，Bを考える。Aの始点をP，終 点をQとする。Bを平行移動して，その始点をQにもってきたときのBの終点をRとす る(図2.4(a)参照)。このときベクトル−→PR =CをAとBの和といい，
C=A+B (2.4)
と書く。Bの代わりに−Bを加えるとA+ (−B) =A−B，すなわちベクトルの差が得 られる(図2.4(b)参照)。
1 P
Q A
R B
>
A+B
(a)A+B
1 P
A Q
B
−B A−B j
(b)A−B 図2.4 ベクトルの和と差
4
-3-
第 2 章 運動学
2.1 位置と座標系
力学の基本概念は運動である。運動とは，物体が時間とともに位置を変えることである。
位置を記述するために座標系(coordinate system)を用いる。座標系には直交座標系，極座 標系，円筒座標系などがあるが，直交座標系が最も基本的である。ある点を原点と定めて，
この点を通り互いに直交するx軸，y軸，z軸からなる座標系が3次元直交座標系である。
空間における点の位置は座標(x,y,z)で指定することができる。
空間の位置を一般的に記述するためには3次元座標系を用いるが，考える空間が一平面 内に限る場合には2次元座標系を用いる。図2.1に2次元の直交座標と極座標の座標点の 表し方を示す。図2.2には3次元の直交座標，極座標，円筒座標の座標点の表し方を示す。
- 6
O x
y
(a)直交座標
- 6
O r
θ
(b)極座標 図2.1 2次元座標系
- 6
O x
y z
(a) 3次元直交座標
- 6
O θ
r
φ (b) 3次元極座標
- 6
O z
θ r (c)円筒座標 図2.2 3次元座標系
2.2 ベクトル
物理量には通常2種類ある。ひとつは単位を適当に決めるとひとつの実数値によって表 される量で，スカラー(scalar)と呼ばれる。例えば時間や長さである。もうひとつは，単 位を決めるとある実数値が対応するが，それだけでは決まらず，さらに方向を指定する必 要がある量で，ベクトル(vector)と呼ばれる。例えば速度は，速さとともにどの方向に向 かっているかを指定しなければならない。したがって速度はベクトルである。
ベクトルは方向を決めれば，ひとつのスカラー量と同等になる。このことからベクトル は方向をもった線分，すなわち矢印で表すことができる。図2.3のように点Pを始点，点
3
Qを終点とする矢印−→PQで表されるベクトルをひとつの文字Aで表そう。
A=−→PQ (2.1)
P→QをベクトルAの方向または向き，線分の長さPQをベクトルAの大きさまたは絶 1
P
Q A 図2.3 ベクトル 対値といい，|A|またはAで表す。
|A|= PQ または A= PQ (2.2)
大きさと方向が等しい2つのベクトルは等しいと定義する。したがってベクトルの始点の 位置は意味をもたない。Qを始点，Pを終点とするベクトル−→QPは−→PQと比べて，大きさ は同じで，向きが逆になるので−Aと表す。
−A=−→QP =−−→PQ (2.3)
またλを実数とするときλAというベクトルはλ >0ならばAと同じ向き，λ <0なら ばAと逆向きで，大きさは|λ| |A|のベクトルを意味する。
2.3 ベクトルの演算
ベクトルの演算を定義しておこう。2つのベクトルA，Bを考える。Aの始点をP，終 点をQとする。Bを平行移動して，その始点をQにもってきたときのBの終点をRとす る(図2.4(a)参照)。このときベクトル−→PR =CをAとBの和といい，
C=A+B (2.4)
と書く。Bの代わりに−Bを加えるとA+ (−B) =A−B，すなわちベクトルの差が得 られる(図2.4(b)参照)。
1 P
Q A
R B
>
A+B
(a)A+B
1 P
A Q
B
−B A−B j
(b)A−B 図2.4 ベクトルの和と差
4
-4-
次にAとBのなす角度をθとして，スカラー量ABcosθ=|A| · |B|cosθをAとB のスカラー積(scalar product)または内積といい，A·Bと表す。すなわち
A·B=ABcosθ (2.5)
である。スカラー積A·Bは，AのBへの射影の大きさ(Acosθ)とBの大きさとの積 (あるいはBのAへの射影の大きさ(Bcosθ)とAの大きさとの積)ともいえる。
- 1 6
A B A×B
θ 図2.5 ベクトル積 これに対してABsinθの大きさをもち，AとBにとも
に垂直で，AからBへ(180◦より小さい角度)まわした右 ねじの進む向きのベクトルを，AとBのベクトル積(vector product)または外積といい，A×Bと表す(図2.5参照)。
ベクトル積の大きさ
|A×B|=ABsinθ (2.6) は，AとBを隣りあう2辺とする平行四辺形の面積に等 しい。
とくに2つのベクトルが平行である場合と垂直である場合には，これらの積は A//Bならば A·B=AB， A×B= 0 (2.7) A⊥Bならば A·B= 0， A×B=C (2.8) である。ただしCは，A，Bをそれぞれx，y軸の正方向とすると，z軸の正方向のベク トルで，|C|=ABである。また同じベクトルのスカラー積は
A·A=A2 (2.9)
である。とくに大きさが1のベクトルを単位ベクトルという。なお次の関係が成り立つこ とは容易に証明できよう。
A·B=B·A， A·(B+C) =A·B+A·C (2.10) A×B=−B×A， A×(B+C) =A×B+A×C (2.11)
2.4 ベクトルの直交成分
ベクトルAの始点に原点をもつ直交座標系において，ベクトルAのx，y，z軸方向へ の射影の長さAx，Ay，AzをそれぞれAのx，y，z成分という。ベクトルがx，y，z軸 となす角度をα，β，γとすると
cosα=Ax
A, cosβ=Ay
A, cosγ=Az
A (2.12)
A2=Ax2+Ay2+Az2 (2.13) である。cosα，cosβ，cosγをAの方向余弦という。方向余弦を与えると方向は完全に決 まるので，ベクトルAは成分Ax，Ay，Azによって完全に決定される。すなわち
A= (Ax, Ay, Az) (2.14)
5
と書ける。λをスカラー，Bを(Bx, By, Bz)のベクトルとして次式が成り立つ。
λA= (λAx, λAy, λAz) (2.15) A+B= (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) (2.16) 次にx，y，z軸方向の単位ベクトルをそれぞれi，j，kとする。
i= (1,0,0), j= (0,1,0), k= (0,0,1) (2.17) これらの単位ベクトルを使ってベクトルAは次式のように表すことができる。
A=Axi+Ayj+Azk (2.18) 単位ベクトルの間には，容易にわかるように，次の関係が成り立つ。
i·i=j·j=k·k= 1, i·j=j·k=k·i= 0 (2.19) i×j=k, j×k=i, k×i=j, i×i=j×j=k×k= 0 (2.20) これらの関係を使うと次式を得る。
A·B= (Axi+Ayj+Azk)·(Bxi+Byj+Bzk)
=AxBx+AyBy+AzBz (2.21)
A×B= (Axi+Ayj+Azk)×(Bxi+Byj+Bzk)
= (AyBz−AzBy)i+ (AzBx−AxBz)j+ (AxBy−AyBx)k
=
i j k Ax Ay Az
Bx By Bz
(2.22)
2.5 ベクトルの微分
-
* A(t) A(t+Δt)
ΔA
O P
P
図2.6 A(t)とA(t+Δt) ベクトルAがある独立変数t(tは時間に限らなく
てもよい)の値に対して決まった値を取るとき，これを A(t)と書こう。tが変わるにしたがってA(t)が連続 的に変化するとしよう。A(t)の始点をつねにOとする と，A(t)の終点はtが変わるとき1つの曲線を描く。
A(t) =−→OP，A(t+Δt) =−−→OPおよびA(t+Δt) = A(t) +ΔAとするとΔA=−−→PPである(図2.6参照)。
このときΔt→0とすると|ΔA| →0であるので，通 常の微分と同様にΔA
Δt の極限のベクトルを
Δt→0lim ΔA
Δt =dA
dt (2.23)
と書いて，ベクトルA(t)の微分係数という。ベクトルdA
dt の方向はΔt→0のときの
−−→PPの極限の方向(Pの移動方向)であるから，その方向はP点における曲線の接線方向で
6
-5-
次にAとBのなす角度をθとして，スカラー量ABcosθ=|A| · |B|cosθをAとB のスカラー積(scalar product)または内積といい，A·Bと表す。すなわち
A·B=ABcosθ (2.5)
である。スカラー積A·Bは，AのBへの射影の大きさ(Acosθ)とBの大きさとの積 (あるいはBのAへの射影の大きさ(Bcosθ)とAの大きさとの積)ともいえる。
- 1 6
A B A×B
θ 図2.5 ベクトル積 これに対してABsinθの大きさをもち，AとBにとも
に垂直で，AからBへ(180◦より小さい角度)まわした右 ねじの進む向きのベクトルを，AとBのベクトル積(vector product)または外積といい，A×Bと表す(図2.5参照)。
ベクトル積の大きさ
|A×B|=ABsinθ (2.6) は，AとBを隣りあう2辺とする平行四辺形の面積に等 しい。
とくに2つのベクトルが平行である場合と垂直である場合には，これらの積は A//Bならば A·B=AB， A×B= 0 (2.7) A⊥Bならば A·B= 0， A×B=C (2.8) である。ただしCは，A，Bをそれぞれx，y軸の正方向とすると，z軸の正方向のベク トルで，|C|=ABである。また同じベクトルのスカラー積は
A·A=A2 (2.9)
である。とくに大きさが1のベクトルを単位ベクトルという。なお次の関係が成り立つこ とは容易に証明できよう。
A·B=B·A， A·(B+C) =A·B+A·C (2.10) A×B=−B×A， A×(B+C) =A×B+A×C (2.11)
2.4 ベクトルの直交成分
ベクトルAの始点に原点をもつ直交座標系において，ベクトルAのx，y，z軸方向へ の射影の長さAx，Ay，AzをそれぞれAのx，y，z成分という。ベクトルがx，y，z軸 となす角度をα，β，γとすると
cosα=Ax
A, cosβ=Ay
A, cosγ=Az
A (2.12)
A2=Ax2+Ay2+Az2 (2.13) である。cosα，cosβ，cosγをAの方向余弦という。方向余弦を与えると方向は完全に決 まるので，ベクトルAは成分Ax，Ay，Azによって完全に決定される。すなわち
A= (Ax, Ay, Az) (2.14)
5
と書ける。λをスカラー，Bを(Bx, By, Bz)のベクトルとして次式が成り立つ。
λA= (λAx, λAy, λAz) (2.15) A+B= (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) (2.16) 次にx，y，z軸方向の単位ベクトルをそれぞれi，j，kとする。
i= (1,0,0), j= (0,1,0), k= (0,0,1) (2.17) これらの単位ベクトルを使ってベクトルAは次式のように表すことができる。
A=Axi+Ayj+Azk (2.18) 単位ベクトルの間には，容易にわかるように，次の関係が成り立つ。
i·i=j·j=k·k= 1, i·j=j·k=k·i= 0 (2.19) i×j=k, j×k=i, k×i=j, i×i=j×j=k×k= 0 (2.20) これらの関係を使うと次式を得る。
A·B= (Axi+Ayj+Azk)·(Bxi+Byj+Bzk)
=AxBx+AyBy+AzBz (2.21)
A×B= (Axi+Ayj+Azk)×(Bxi+Byj+Bzk)
= (AyBz−AzBy)i+ (AzBx−AxBz)j+ (AxBy−AyBx)k
=
i j k Ax Ay Az
Bx By Bz
(2.22)
2.5 ベクトルの微分
-
* A(t) A(t+Δt)
ΔA
O P
P
図2.6 A(t)とA(t+Δt) ベクトルAがある独立変数t(tは時間に限らなく
てもよい)の値に対して決まった値を取るとき，これを A(t)と書こう。tが変わるにしたがってA(t)が連続 的に変化するとしよう。A(t)の始点をつねにOとする と，A(t)の終点はtが変わるとき1つの曲線を描く。
A(t) =−→OP，A(t+Δt) =−−→OPおよびA(t+Δt) = A(t) +ΔAとするとΔA=−−→PPである(図2.6参照)。
このときΔt→0とすると|ΔA| →0であるので，通 常の微分と同様にΔA
Δt の極限のベクトルを
Δt→0lim ΔA
Δt =dA
dt (2.23)
と書いて，ベクトルA(t)の微分係数という。ベクトルdA
dt の方向はΔt→0のときの
−−→PPの極限の方向(Pの移動方向)であるから，その方向はP点における曲線の接線方向で
6
-6-
あることがわかる。またA=Axi+Ayj+Azkを微分すればわかるように(座標軸方向の 単位ベクトルi，j，kはtによらない)
dA dt =dAx
dti+dAy
dtj+dAz
dtk (2.24)
である。次の関係が成り立つことは容易に証明できよう。
d
dt(λA) =dλ dtA+λdA
dt (2.25)
d
dt(A·B) =dA
dt·B+A·dB
dt (2.26)
d
dt(A×B) =dA
dt×B+A×dB
dt (2.27)
2.6 位置座標，速度，加速度
空間の任意の点Pは，座標の原点Oを始点とするベクトル−→OP =rによって指定するこ とができる。このベクトルrを位置ベクトル(position vector)と呼ぶ。位置ベクトルの始 点はつねに原点Oにとることに注意しよう。
:
* r(t) r(t) Δr
O
P P
図2.7.位置ベクトルの時間変化と変位Δr 点が時間的に移動するとき，その位置ベ
クトルrが時間tの関数として表されると しよう。r=r(t) =
x(t), y(t), z(t) はあ る空間曲線を描く。時刻tのときの位置ベ クトルをr(t)，時刻tのときの位置ベクト ルをr(t)とする。このとき
Δr=r(t)−r(t) (2.28) を変位(displacement)という。変位をその 間の時間Δt=t−tで割ったΔr
Δtはその間の平均速度を表し，Δt→0とするとき lim
Δt→0
Δr Δt が存在するなら，これは点の瞬間的な速度(velocity)を表す。速度(ベクトル量である)を vと書くと
v= lim
Δt→0
Δr Δt=dr
dt≡r˙ (2.29)
である。力学では時間微分を˙を付けて略記することがある。固定した直交座標系で
r=xi+yj+zk (2.30)
と表し，両辺をtで微分して v=dr
dt=dx dti+dy
dtj+dz
dtk (2.31)
すなわち速度の直交成分(vx, vy, vz)は vx=dx
dt≡x,˙ vy=dy
dt≡y,˙ vz=dz
dt≡˙z (2.32)
である。また速度ベクトルの大きさ，すなわち速さは次式で与えられる。
v=
vx2+vy2+vz2 (2.33)
7
速度の時間微分として加速度(acceleration)(ベクトル量である)が定義される。加速度を aと表すと
a=dv dt=d2r
dt2 ≡¨r (2.34)
である。ここで¨は時間についての2階微分を表す。固定した直交座標系でaを記述すると a=dv
dt=dvx
dti+dvy
dtj+dvz
dtk=d2x dt2i+d2y
dt2j+d2z
dt2k (2.35) であるから，加速度の直交成分(ax, ay, az)は
ax=v˙x=¨x, ay=v˙y=¨y, az=v˙z=¨z (2.36) 加速度の大きさは次式で与えられる。
a=
ax2+ay2+az2 (2.37) [例題]x-y平面内でx，y座標の時間変化が
x=pcosωt, y=qsinωt, (p, q, ωは正の定数)
で与えられる点Pが描く軌跡と，P点の速度，加速度を求め，加速度の方向がつねに原点 を向いていることを示せ。
[解答]軌道の式はx(t)，y(t)からtを消去して x2 p2+y2
q2= 1 すなわち軌道は楕円である。速度のx成分とy成分は
vx=x˙=−pωsinωt, vy=y˙=qωcosωt である。したがって速さvは
v=
vx2+vy2=ω
p2sin2ωt+q2cos2ωt である。また加速度のx成分とy成分は次式で与えられる。
ax=v˙x=−pω2cosωt=−ω2x, ay=v˙y=−qω2sinωt=−ω2y したがって加速度はa=−ω2rと表される。加速度の大きさはa=ω2
x2+y2 =ω2r (ただしr= OP)，加速度の方向は−→POの方向である(図2.8参照)。とくにp=qの場合 には，軌跡は円で，−→OPとx軸のなす角度はωtである。
x y
+ Y O
P v a
p q
x y
図2.8 x=pcosωt，y=qsinωt
8
-7-
あることがわかる。またA=Axi+Ayj+Azkを微分すればわかるように(座標軸方向の 単位ベクトルi，j，kはtによらない)
dA dt =dAx
dti+dAy
dtj+dAz
dtk (2.24)
である。次の関係が成り立つことは容易に証明できよう。
d
dt(λA) =dλ dtA+λdA
dt (2.25)
d
dt(A·B) =dA
dt·B+A·dB
dt (2.26)
d
dt(A×B) =dA
dt×B+A×dB
dt (2.27)
2.6 位置座標，速度，加速度
空間の任意の点Pは，座標の原点Oを始点とするベクトル−→OP =rによって指定するこ とができる。このベクトルrを位置ベクトル(position vector)と呼ぶ。位置ベクトルの始 点はつねに原点Oにとることに注意しよう。
:
* r(t) r(t) Δr
O
P P
図2.7.位置ベクトルの時間変化と変位Δr 点が時間的に移動するとき，その位置ベ
クトルrが時間tの関数として表されると しよう。r=r(t) =
x(t), y(t), z(t) はあ る空間曲線を描く。時刻tのときの位置ベ クトルをr(t)，時刻tのときの位置ベクト ルをr(t)とする。このとき
Δr=r(t)−r(t) (2.28) を変位(displacement)という。変位をその 間の時間Δt=t−tで割ったΔr
Δtはその間の平均速度を表し，Δt→0とするとき lim
Δt→0
Δr Δt が存在するなら，これは点の瞬間的な速度(velocity)を表す。速度(ベクトル量である)を vと書くと
v= lim
Δt→0
Δr Δt=dr
dt≡r˙ (2.29)
である。力学では時間微分を˙を付けて略記することがある。固定した直交座標系で
r=xi+yj+zk (2.30)
と表し，両辺をtで微分して v=dr
dt=dx dti+dy
dtj+dz
dtk (2.31)
すなわち速度の直交成分(vx, vy, vz)は vx=dx
dt≡x,˙ vy=dy
dt≡y,˙ vz=dz
dt≡˙z (2.32)
である。また速度ベクトルの大きさ，すなわち速さは次式で与えられる。
v=
vx2+vy2+vz2 (2.33)
7
速度の時間微分として加速度(acceleration)(ベクトル量である)が定義される。加速度を aと表すと
a=dv dt=d2r
dt2 ≡¨r (2.34)
である。ここで¨は時間についての2階微分を表す。固定した直交座標系でaを記述すると a=dv
dt=dvx
dti+dvy
dtj+dvz
dtk=d2x dt2i+d2y
dt2j+d2z
dt2k (2.35) であるから，加速度の直交成分(ax, ay, az)は
ax=v˙x=¨x, ay=v˙y=¨y, az=v˙z=¨z (2.36) 加速度の大きさは次式で与えられる。
a=
ax2+ay2+az2 (2.37) [例題]x-y平面内でx，y座標の時間変化が
x=pcosωt, y=qsinωt, (p, q, ωは正の定数)
で与えられる点Pが描く軌跡と，P点の速度，加速度を求め，加速度の方向がつねに原点 を向いていることを示せ。
[解答]軌道の式はx(t)，y(t)からtを消去して x2 p2+y2
q2= 1 すなわち軌道は楕円である。速度のx成分とy成分は
vx=x˙=−pωsinωt, vy=y˙=qωcosωt である。したがって速さvは
v=
vx2+vy2=ω
p2sin2ωt+q2cos2ωt である。また加速度のx成分とy成分は次式で与えられる。
ax=v˙x=−pω2cosωt=−ω2x, ay=v˙y=−qω2sinωt=−ω2y したがって加速度はa=−ω2rと表される。加速度の大きさはa=ω2
x2+y2 =ω2r (ただしr= OP)，加速度の方向は−→POの方向である(図2.8参照)。とくにp=qの場合 には，軌跡は円で，−→OPとx軸のなす角度はωtである。
x y
+ Y O
P v a
p q
x y
図2.8 x=pcosωt，y=qsinωt
8
-8-
2.7 加速度の接線成分と法線成分
:
* r
r+Δr Δr Δs
O
P P
A s
図2.9 曲線にそっての長さs 位置ベクトルが空間に描く曲線上の定点Aから曲
線にそっての長さをsとして，曲線をr=r(s)と記 述しよう。sとs+Δsに対応する2つの点P，Pの 位置ベクトルをr，r+Δrとすると，Δr=−−→PPお よびΔs=PPである(図2.9参照)。ただしPPは PからPまでの曲線の長さを表す。Δs→0のとき PP→PPであるから
dr ds
= lim
Δs→0
|Δr| Δs = lim
Δs→0
PP
PP= 1 (2.38)
である。またΔs→0のときΔrの方向はP点における接線方向に限りなく近づくから，
Pが進む向きの接線方向の単位ベクトルをtとすると，次の関係が成り立つ。
dr
ds=t (2.39)
点がP，Pを通過する時刻をそれぞれt，t+Δtとしよう。Δt→0の極限でPP→PP
となるから
Δr Δt
=PP Δt →PP
Δt =Δs
Δt (2.40)
したがって
|v|= lim
Δt→0
Δr Δt
= lim
Δt→0
Δs Δt=ds
dt (2.41)
である。速度の方向は軌道の曲線の接線方向であるから，接線方向の単位ベクトルtを 使って
v=vt=ds
dtt (2.42)
と表すことができる。
加速度は速度の時間微分として定義されるから次式を得る。
a=dv dt=dv
dtt+vdt dt=dv
dtt+vdt ds
ds dt=dv
dtt+v2dt
ds (2.43)
ここで点P，Pにおける接線方向の単位ベクトルt，t=t+Δtのなす角度をΔϕとしよ う。点P，Pにおいてそれぞれの接線に垂直な線を描き，その交点をCとする(図2.10(a) 参照)。曲線が点Pの付近で直線的でなければ，Δs→0のとき，点Cは有限の位置にあり，
Δϕ Δs ρ
P P
t t
C
(a)
t t Δt
Δϕ
(b) 図2.10 接線方向の単位ベクトルtの変化
9
点P付近の曲線の曲率中心と呼ばれ，ρ= CPを曲率半径という。このときΔs→ρ Δϕで ある。次にt，tを始点を共通に描いた図2.10(b)において，t，tは単位ベクトルである から，Δs→0のとき，すなわちΔϕ→0のとき|Δt|= 2 sinΔϕ
2 →Δϕである。Δtの 方向はtに垂直で−→PCの方向に限りなく近づく。この方向を，曲線の点Pにおける法線方 向という。法線方向の単位ベクトルをnとすると
dt ds= lim
Δs→0
Δt Δs= lim
Δs→0
Δϕ Δsn= 1
ρn (2.44)
である。この関係を式(2.43)に代入して，加速度は a≡att+ann=dv
dtt+v2
ρn (2.45)
と表される。at=dv
dtは加速度の接線方向の成分(接線加速度(tangential acceleration))，
an=v2
ρ は法線方向の成分(法線加速度(normal acceleration))である。接線加速度は速さ の変化率を表し，法線加速度は速度の方向が変化していることを表す。法線加速度はつね に曲率中心の方向であることに注意されたい。なお直線運動は，曲率半径が無限大となる ので，法線加速度は0となる。
[例題]x-y平面内でx，y座標の時間変化が x=ut, y=h−1
2gt2
で与えられる点の軌跡，速度の大きさと方向，加速度の大きさと方向，および接線加速度 atと法線加速度anを求めよ。ただしu, h, gは正の定数である。
x y
h
O
? s s θ
a v an
at
x y
図2.11 x=ut,y=h−1 2gt2 [解答]軌跡の式はx(t)，y(t)からtを消去して
y=h− g 2u2x2
と表される。この曲線は放物線である。速度のx，
y成分はvx=u，vy=−gt，加速度のx，y成 分はax= 0，ay=−gである。速度の大きさ(速 さ)は
v= u2+g2t2
速度の方向(軌跡の接線方向)とx軸のなす角度 をθとすると
sinθ= gt
u2+g2t2，cosθ= u
u2+g
