四元数 modular 形式に対する Koecher-Maass 級数

四元数 modular ^{形式に対する} Koecher-Maass ^級数

（ A. Krieg 氏の仕事の紹介）

近畿大・理工・長岡昇勇

このノートは四元数modular形式に対するKoecher-Maass級数について の A. Krieg の論文 “Koecher-Maass series for modular forms of quater-

nions” の紹介である．この論文の主要結果は次の通りである：

1.四元数modular形式に対するKoecher-Maass級数の定義とその解析 的性質の解明（極と留数の決定）[荒川氏の結果の analogy]． 2.四元数 modular 形式を Maass 空間に入るHecke 作用素の同時固有

関数とした時対応するKoecher-Maass 級数はEuler 積を持つ．

3.四元数modular形式を2次の Siegel-Eisenstein 級数とした時，対応 するKoecher-Maass 級数は2-factor を除いて Riemann zeta関数の 積として表わされる．

1 ^四元数 modular ^{形式と微分作用素}

1.1 ^記号

1 =e₁, e₂, e₃, e₄ をHamilton四元数体Hの標準的基底とする．すなわち e₄ =e₂e₃ =−e₃e₂, e²₂ =e²₃ =−1.

H の任意の元 a = a₁e₁ +a₂e₂ +a₃e₃+a₄e₄ に対して，その共役 ¯a を

¯

a=a₁e₁−a₂e₂−a₃e₃−a₄e₄ で定義する．さらに Re(a) := 1

2(a+ ¯a), N(a) :=a¯a= ¯a a=

∑4 j=1

a²_j,

(a, b) := Re (¯a b) = Re (b¯a) =

∑4 j=1

a_jb_j, (

a=

∑4 j=1

a_je_j, b =

∑4 j=1

b_je_j )

.

我々は四元数の複素 2×2行列による標準的表現を“ρ” で表わすことに する：

H∋a=

∑4 j=1

a_je_j 7−→ ρ(a) :=

(

a₁e₁+a₂e₂ a₃e₁+a₄e₂

−a₃e₁+a₄e₂ a₁e₁−a₂e₂ )

. さらに M = (m_ij)∈M_n(H) に対して

ρ(M) := (ρ(mij))∈M2n(C),

GL_n(H) :={X ∈M_n(H)| ρ(X)∈GL_2n(C)} と定義する.

Hamilton 四元数体 H の Hurwitz order O とは次で定義されるもので ある．

O :=Ze₀+Ze₁+Ze₂+Ze₃, e₀ = 1

2(e₁ +e₂+e₃+e₄).

Hurwitz order O の基本的性質は次の通り．

1)O は H の maximal order である．

2)O の unit 群 U(O) は次で与えられる：

U(O) = {

±e₁,±e₂, ±e₃, ±e₄, 1

2(±e₁±e₂±e₃±e₄) }

,

♯U(O) = 24.

3)O の内積 (, )に関する dual lattice O^♯ は

O^♯ = 2e₁Z+ (e₁+e₂)Z+ (e₁+e₃)Z+ (e₁+e₄)Z で与えられる．

M_n(H) 内の全てのHermite 行列のなす空間を Her_n(H) で表わすことに する：

Her_n(H) := {

X = (x_ij)∈M_n(H)|^tX¯ = (¯x_ji) =X} . これは R上の vector空間で

dim_RHer_n(H) =n(2n−1)

となる．Her_n(H)は積 X◦Y = ¹₂(XY +Y X)で Jordan 環となる．さら に，これは既に分類されているところの「形式的実単純Jordan環」の系 列の一つとなることがわかっている．

X, Y ∈Her_n(H) に対して

τ(X, Y) := tr(X◦Y) = 1

2tr(XY +Y X)

とおく（reduced trace form と呼ばれる）．Her_n(H) の lattice Her_n(O) の τ に関するdual lattice を Her^τ_n(O) で表わす：

Her^τ_n(O) :={T ∈Her_n(H)|τ(S, T)∈Z for all S ∈Her_n(O)}

= {

T = (tij)∈Hern(H)|tii∈Z, 2tij ∈O^♯} .

1.2 四元数 modular 形式

Her_n(H) 内の正定値行列全体のなす開部分集合をPos_n(H)で表わす：

Pos_n(H) :={Y ∈Her_n(H)|Y >0}. n 次の四元数上半空間とは次で定義されるものである．

H(n,H) := {Z =X+iY |X∈Hern(H), Y ∈Posn(H)} ⊂Hern(H)⊗RC. 群

G_n :=

{

M ∈M_2n(H)|^tM J¯ _nM =J_n, J_n = (

0 En

−E_n 0 )}

は H(n,H) 上に通常の方法で作用する．すなわち Z ∈ H(n,H), M = (

A B

C D

)

∈Gn に対して

Z 7−→M < Z >:= (AZ +B)(CZ+D)⁻¹ ∈H(n,H). 偶数k と関数 f :H(n,H)→C に対して“slash operator”を

f |k M :H(n,H)→C

Z 7−→(detρ(CZ+D))^−k2 f(M < Z >), (

M = (

A B

C D

)

∈G_n )

で定義する．

n 次の四元数 modular 群とは次で定義されるものである：

Γ_n:=G_n∩M_2n(O) (O : Hurwitz order).

四元数 modular 形式の定義． k ∈2Z とする．f : H(n,H)→C がn

次，weightk の四元数 modular 形式であるとは次の条件を満たす時を

いう．

1)f は H(n,H) 上 holomorphic．

2)関数等式

f |kM =f for all M ∈Γ_n を満たす.

3)n= 1のとき，∞でholomorphic（すなわち，{z ∈C|Im(z)> c >0} で bounded）．

n 次，weightk の四元数 modular 形式全体のなすC 上の vector空間を [Γ_n, k] で表わす．[Γ_n, k] の任意の元 f は次の形の Fourier 展開をもつ．

f(Z) = ∑

0≤T∈Her^τn(O)

α_f(T) exp[2πi τ(T, Z)], Z ∈H(n,H).

1.3 ^{微分作用素}

行列Y ∈Her_n(H) は次の様に表示できる：

Y = (y_νµ), y_νν ∈R (1≤ν ≤n), y_νµ =

∑4 j=1

y_νµ^(j)e_j, y^(j)_νµ ∈R (1≤j ≤4, 1≤ν < µ≤n). 通常の“行列単位”を E_νµ としたとき行列微分作用素 ^∂

∂Y を

∂

∂Y =

∑n ν=1

∂

∂y_ννEνν

+1 2

∑

1≤ν<µ≤n

(

∂

∂y⁽¹⁾νµ

(E_νµ+E_µν)e₁ +

∑4 j=2

∂

∂y^(j)νµ

(E_νµ−E_µν)e_j )

で定義する．すると T ∈Her_n(H) に対して

∂

∂Y e^τ(T,Y) =e^τ(T,Y)T

が成り立つ．ここで τ は reduced trace form．[2], I.3.4 によれば det _∂Y^∂ は basis elements

∂

∂y_νν (1≤ν ≤n), ∂

∂yνµ^(j)

(1≤j ≤4, 1≤ν < µ≤n) の整係数多項式となることがわかる．

このようにして次の様な微分作用素が考えられる：

M_n:= (detY) (

det ∂

∂Y )

（[6], §20）．微分作用素 Mn は GLn(H)-不変で，次を満たすことが確か められる．

M_n(detY)^s = (_n−1

∏

j=0

(s+ 2j) )

(detY)^s, s∈C

（cf. [6],§20）．Y ∈Posn(H)に対してσ(Y) = Y⁻¹ とおく．DをPosn(H) 上のGL_n(H)-不変な微分作用素としたとき，Dˆ を

Dfˆ =D(f◦σ)◦σ

で定義される GL_n(H)-不変微分作用素とする（induced invariant opera- tor）．M_n についてこれをあてはめれば

Mˆ_n= (−1)ⁿ(detY)²ⁿ⁻²M_n(detY)²⁻²ⁿ を得る．整数k に対して

D_k:= (detY)^−kMˆ_n(detY)^kM_n なる微分作用素を考えると，これもまたGL_n(H)-不変で

Dˆ_k = (detY)^kD_k(detY)^−k

となる（[6], §20）．

前述の様に [Γ_n, k] の元f は次の形の Fourier展開を持った：

f(Z) = ∑

0≤T∈Her^τn(O)

α_f(T) exp[2πi τ(T, Z)]. そこで

f˜(Z) = ∑

0<T∈Her^τn(O)

α_f(T) exp[2πi τ(T, Z)]

（T が positive なところのみを考えたもの）とおく．

すると次が成り立つ.

D_kf(iY) =D_kf(iY˜ ).

2 Koecher-Maass ^級数

2.1 定義

f ∈[Γ_n, k] の Fourier 展開を

f(Z) = ∑

0≤T∈Her^τn(O)

α_f(T) exp[2πi τ(T, Z)]

とした時，Dirichlet 級数 η_n(f, s) = ∑

{T}>0

α_f(T)

♯(T, T)(detT)^−s, s∈C

を考える．ここで和 {T}>0 は (Her^τ_n(O)∩Pos_n(H))/∼ の完全代表系 をわたる．ただし T ∼T^′ は T^′ =T[U] = ^tU T U¯ (U ∈ GL_n(O)) を意味 するものとする．また ♯(T, T) は T の automorphism group の位数を表 わす．

級数η_n(f, s) は

Re(s)> k+ 2n−1

なる s に対して絶対収束することがわかる．我々はこの η_n(f, s) を四元 数 modular形式 f に対応するKoecher-Maass 級数と呼ぶことにする．

n= 1 のとき

η₁(f, s) = 1 24

∑∞ m=1

α_f(m)m^−s

であり，¹

24 なる因子を除いて f に対応する Hecke の Dirichlet級数と一 致する．

2.2 Koecher-Maass 級数の解析的性質

Pos_n(H) 上のGL_n(H)-不変 volume elementを dv= (detY)¹⁻²ⁿdY

で表わす．ここで f ∈[Γn, k], s∈C に対して，関数 ξ_n(f, s) :=

∫

Rn

(detY)^sD_kf(iY)dv

を考える．ここで Rn は Pos_n(H) 内の reduced 行列全体のなす convex cone を表わす．

補題 1.（ξ_n と η_n の関係） f ∈[Γ_n, k]とする．積分ξ_n(f, s)は Re(s)>

k+ 2n−1に対して絶対収束し ξ_n(f, s) =δ_n(−1)ⁿπⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾(2π)^−ns

(_n−1

∏

j=0

(s−k+ 2j)Γ(s+ 1−2j) )

η_n(f, s) なる等式が成り立つ．ここで δ₁ = 24, δ_n= 2 (n ≥2).

ここで関連する三番目の関数 ζ_n(f, s) =

∫

Rⁿ

(detY)^sf(iY˜ )dv

を導入する．この積分は Re(s)> k+ 2n−1で絶対収束する．

系.（ζn と ηn の関係） f ∈ [Γn, k] とする．Re(s) > k+ 2n−1 なる s∈C について

ζ_n(f, s) =δ_nπⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾(2π)^−ns (_n−1

∏

j=0

Γ(s−2j) )

η_n(f, s)

= (−1)ⁿ (_n−1

∏

j=0

1

(s−k+ 2j)(s−2j) )

ξ_n(f, s)

なる等式が成り立つ．

以上の結果より，Koecher-Maass 級数の解析的性質についての情報が得 られる．

定理 1. f ∈[Γ_n, k] とする．

(1) Koecher-Maass 級数 η_n(f, s) は全 s-平面に有理型関数として接続さ れ，possible simple poles は

s=k−2j, j = 0,1, . . . , n−1 でとる．

(2) 関数ζn(f, s)は全 s-平面に有理型関数として接続され，高々 s=k−2j, s= 2j, j = 0,1, . . . , n−1 で poleを持つ．さらに

ζ_n(f, k−s) =i^nkζ_n(f, s)

なる関数等式を満たす．さらにk > 4n−4なら ζ_n(f, s) の poles は 全てsimple である．

(3) f ∈ [Γ_n, k] がもし cusp 形式ならば，η_n(f, s) と ζ_n(f, s) はともに entire である．

3 ^極と留数

U_n=GL_n(O) とおき，さらに0≤j ≤n なるj について U_n−j,j :=

{( ∗ ∗ O^(j,n−j) ∗

)

∈U_n }

とおく．明らかに U_n,0 =U_0,n =U_n である．

Γ_n,j :=Γ_n∩U_n+j,n−j, 0≤j ≤n

とおく．k > 4(n+j)−2 なる偶数k と cusp 形式f ∈[Γ_j, k]が与えられ たとき f に associate するKlingen 型 Eisenstein級数を

E_n,j^k (Z, f) := ∑

M:Γn,j\Γn

f (

M < Z >

[ E_j 0

])

(detM{Z})^−k

で定義する．ただし M{Z}=CZ+D, M = (

A B

C D

)

．j = 0 の時は f は constantと考える．すると Siegel-Eisenstein 級数

E_n,0^k (Z, f) =f E_n^k(Z) が得られる．

Γ_n,j^∗ :=

{(

A B

C D

)

∈Γ_n

rank ((OE_n−j)C) = rank ((OE_n−j)D) = n−j }

とおく．

0≤j ≤n と cusp 形式 f ∈[Γ_j, k] に対して P_n,j^k (Z, f) := ∑

M:Γn,j\Γ_n,j^∗

f (

M < Z >

[ E_j 0

])

(detM{Z})^−k と定義する．これはE_n,j^k (Z, f)の部分級数であるから，偶数k >4(n+j)−2 に対して vertical strips内で絶対一様収束する．さらに

P_n,n^k (Z, f) = E_n,n^k (Z, f) = f(Z), (n ≥0) を得る．

補題 2. 0≤ j ≤ n とする．k >4(n+j)−2 を偶数としf ∈ [Γ_j, k] を cusp 形式とする．すると全ての Z ∈H(n,H) に対して次が成り立つ．

1)P_n,j^k (−Z⁻¹, f) = (detZ)^kP_n,j^k (Z, f) 2) ˜E_n,j^k (Z, f) =P_n,j^k (Z, f)

+ (detZ)^−k

n−1

∑

ν=j

∑

U:Un/U_n−ν,ν

P_ν,j^k (

−(Z[U])⁻¹ [ 0

E_j ]

, f )

, ここで無限級数は絶対収束．

補題 3. 1≤j ≤ν < n とする．k >4(n+j)−2を偶数とし f ∈[Γj, k]

を cusp 形式とする．ここで次を仮定する．

2(ν−1)<Re(s)< k−2(ν−1)で ζ_ν(E_ν,j^k (·, f), s) =

∫

R^ν

(detY)^sP_ν,j^k (iY, f)dv が成り立ち，積分は絶対収束する．

すると次が成り立つ．

1) Re(s)>2ν なる s∈C に対して

∫

Y∈Rn,detY≥1

(detY)^−s ∑

U:Un/Un−ν,ν

P_ν,j^k (

i(Y[U])⁻¹ [ 0

E_ν ]

, f )

dv

= 4(n−ν)−2 δνδn−ν

2^{−ν(n−ν)}v(n−ν;H)ζ_ν(E_ν,j^k (·, f),2n) 1 s−2ν

（積分は絶対収束）．

2) Re(s)>−2ν なる s∈C に対して

∫

Y∈Rⁿ,detY≥1

(detY)^−s ∑

U:Un/Uν,n−ν

P_ν,j^k (

i(Y[U])⁻¹ [ E_ν

0 ]

, f )

dv

= 4(n−ν)−2 δνδn−ν

2^{−ν(n−ν)}v(n−ν;H)ζ_ν(E_ν,j^k (·, f),2n) 1 s+ 2ν

（積分は絶対収束）．

命題 1. 1 ≤ j ≤ n とする．k > 4(n+j)−2 なる偶数 k と cusp 形式 f ∈[Γ_n, k] が与えられたとする．

1)全てのs∈C に対して次が成り立つ．

ζ_n(E_n,j^k (·, f), s)

=

∫

Y∈Rⁿ,detY≥1

((detY)^s+i^nk(detY)^k−s)E˜_n,j^k (iY, f)dv

+

n−1

∑

ν=j

4(n−ν)−2 δνδn−ν

2^{−ν(n−ν)}v(n−ν;H)

×ζν(E_n,ν^k (·, f),2n)

( i^nk

s−k+ 2ν − 1 s−2ν

) , ここでv(n;H) :=

∫

Y∈Rⁿ,detY≤1

dv <∞.

2) 2(n−1)<Re(s)< k−2(n−1)なる s∈C に対して ζ_n(E_n,j^k (·, f), s) =

∫

Rn

(detY)^sP_n,j^k (iY, f)dv が成り立つ．ここで積分は絶対収束する．

j = 0 の時は多少の修正が必要で，次が成り立つ．

命題 2. k を k > 4n−2なる偶数とする．

1)全てのs∈C に対して次が成り立つ．

ζ_n(E_n^k, s) =

∫

Y∈Rⁿ,detY≥1

((detY)^s+i^nk(detY)^k−s)E˜_n^k(iY)dv

+

n−1

∑

ν=1

4(n−ν)−2

δ_νδ_n−ν 2^{−ν(n−ν)}v(n−ν;H)ζ_ν(E_n^k,2n)

×

( i^nk

s−k+ 2ν − 1 s−2ν

)

+ (2n−1)v(n;H) ( i^nk

s−k − 1 s

) . 2) 2(n−1)<Re(s)< k−2(n−1)なる s∈C に対して

ζ_n(E_n^k, s) =

∫

Rn

(detY)^sP_n,0^k (iY,1)dv が成り立つ．ここで積分は絶対収束する．

四元数 modular 形式の場合の Klingen-Eisenstein 級数による表現定理

（[2], V.4.5）を使えば次を得る．

定理 2. k を k > 8n−6 なる偶数，f ∈ [Γ_n, k] とする．すると全ての s∈C に対して次式が成立する．

ζ_n(f, s) =

∫

Y∈Rn,detY≥1

((detY)^s+i^nk(detY)^k−s)f˜(iY)dv

+

n−1

∑

ν=1

4(n−ν)−2

δ_νδ_n−ν 2^{−ν(n−ν)}v(n−ν;H)ζ_ν(Φ^n−νf,2n)

×

( i^nk

s−k+ 2ν − 1 s−2ν

)

+ (2n−1)v(n;H)α_f(0) ( i^nk

s−k − 1 s

) , ここで Φは Siegel 作用素を表わす．

4 theta ^{級数に対する} Koecher-Maass ^級数

[4]で述べられている事柄から次の事実を引用する．

S が H 上の m×m 正定値偶行列でdetS = 2^m2 となるときS をstable

である,ということにする．この S に対してtheta 級数 Θ(Z, S) := ∑

G∈Mm×n(O)

exp[πi τ(Z, S[G])], Z ∈H(n,H) を考えると，Θ(Z, S)∈[Γn,2m] となる．

定理 3. S を m×m stable 行列とする．すると n ≤m と Re(s)>2m なるs ∈Cに対して

ζ_n(Θ(·, S), s) =δ_nπ^n(n−1−s) (_n−1

∏

j=0

Γ(s−2j) )∑

<G>

(detS[G])^−s が成立する．ここで < G > は

{H ∈M_m×n(O)|rankH =n}/U_n の完全代表系を動き，右辺は絶対収束する．

注意. 上に現れた級数 ∑

<G>

(detS[G])^−s

はRe(s)>2mで絶対収束する．O をZで考えたoriginal caseはKoecher によって導入され，Koecher zeta 関数と呼ばれている．

我々は一番簡単な n=m の場合を考えてみる．するとζ_m(Θ(·, S), s) は

Riemann zeta関数によって表示される．

命題 3. S を m×m stable 行列とする．すると全ての s∈C に対して 次が成り立つ:

η_m(Θ(·, S), s) =

m∏−1 j=0

(2^s2 (

1−2^2j+1−s)

ζ(s−2j)ζ(s−2j−1)) . η_m(Θ(·, S), s) は s = 2m と s = 2m −2 で simple poles を持つ以外 holomorphic で

s=2mRes η_m(Θ(·, S), s) = ( _m

∏

j=1

(2^m−2^2j−1−m)) (_2m

∏

j=2

ζ(j) )

,

s=2mRes−2η_m(Θ(·, S), s) = 2^m−2 (_m−1

∏

j=1

(2^m−1−2^2j−m)) (_2m−2

∏

j=2

ζ(j) )

.

さらに

ξ(2s) = π^−sΓ(s)ζ(2s) とおくと

ζ_m(Θ(·, S), s) = 2^1−m(m+1)π^−m

×

m∏−1 j=0

(2^s2 (

1−2^2j+1−s)

(s−2j−1)ξ(s−2j)ξ(s−2j−1)) となり ζ_m(Θ(·, S), s) は s = 0, s = 2m で simple poles を持ち s = 2j, j = 1, . . . , m−1 で double poles を持つ以外 holomorphic である．

5 Maass ^{空間の元に対する} Koecher-Maass ^級数

ここでは Maass 空間に含まれる四元数 modular 形式に対する Koecher-

Maass級数を考える．示すことは，以下の事実である．

「Maass空間に含まれ，全ての Hecke 作用素の同時固有関数となる様な

四元数 modular 形式に対する Koecher-Maass 級数を考えると，それは

Euler 積をもつ」．

我々は [3]にある（四元数 modular 形式の場合の）Maass空間の定義を 思い出そう．

O ̸=T ∈Her^τ₂(O)に対して ε(T) := max{

q∈N|q⁻¹T ∈Her^τ₂(O)} とおく．

f(Z) = ∑

0≤T∈Her^τ2(O)

α_f(T) exp[2πi τ(T, Z)]

なるFourier 展開をもつmodular形式f ∈[Γ₂, k]が（四元数 modular形 式としての）Maass空間M(k,H)の元であるとは，ある関数α^∗_f :N→C が存在して，全ての半正定値 O ̸=T ∈Her^τ₂(O)に対して

α_f(T) = ∑

0<d|ε(T)

d^k−1α^∗_f(

2 detT /d²)

となる時をいう．

f ∈ M(k,H) が与えられたとき，これに elliptic modular 形式 Ω(f)(z) =

∑∞ l=0

α^∗_f(l)e^2πilz ∈[Γ₀(4), k−2]

を対応させることができる．[1] の analogy としてl ∈N に対して H(l) := ∑

{T}>0 2 detT=l

1

♯(T, T)

とおく．ここで和は Her^τ₂(O)内の正定値行列の全ての類にわたる．これ は類数関数の四元数版を考えたものである．[2] I,§4で与えられている簡 約理論の応用として次が示される．

H(1) = 1

♯(S_H, S_H) = 1 1920. ここで

S_H = (

2 e₁+e₂ e₁−e₂ 2

) .

B¨ocherer の議論[1]の analogy を追うことにより次を導くことができる．

定理 4. f ∈ M(k,H) とし，付随する関数を α_f^∗ とする．Re(s)> k な る s∈C について次が成り立つ．

η₂(f, s) = 2^sζ(2s+ 1−k)

∑∞ l=1

α^∗_f(l)H(l)l^−s.

B¨ocherer の結果[1]と同様に，Koecher-Maass級数η₂(f, s)は基本的には Dirichlet級数φ(s) = ∑_∞

l=1H(l)l^−sとmodular形式Ω(f)∈[Γ₀(4), k−2]

に対応する Hecke Dirichlet 級数の Rankin convolutionに一致する．

命題 3 をm = 2 として，定理4 を k= 4, f =Θ(·, S_H) として適用すれ ば次の定理が得られる．

定理 5. 全てのl ∈Nに対して H(l) = 1

1920 (

σ₂(l)− 10

3 σ₂(l/2) )

が成り立つ．

[5]の系 1，定理4，定理 5を統合すれば次の定理が得られる．

定理6. f ∈ M(k,H)を全てのHecke作用素の同時固有関数でα^∗_f(1) = 1 なるものとする．すると Koecher-Maass 級数 η₂(f, s) は次の形の Euler 積を持つ．

η₂(f, s) = 1 19202^s

( 1−5

3α^∗_f(2) 2^1−s+ 2^k−2s )

×∏

p

[(1−α^∗_f(p)p^−s+p^k−3−2s) (

1−α^∗_f(p)p^2−s+p^k+1−2s)]₋1

. さらに，定理6 を Siegel-Eisenstein 級数 E₂^k に適用すれば次を得る．

系 1. k > 6を偶数とする．すると全ての s ∈Cに対して η2(E₂^k, s) = ck2^s

( 1− 5

3

(2^k−3 + 1)

·2^1−s+ 2^k−2s )

×ζ(s)ζ(s−2)ζ(s+ 3−k)ζ(s+ 1−k), ここで

c_k =− 1 1920

4k(k−2) (2^k−2−1)B_kB_k−2 . 系 2. v(2 ;H) =

∫

Y∈R2,detY≤1

dv = 7

34560ζ(3).

系 3. k >4 を偶数をする．f ∈ M(k,H)を全ての Hecke作用素の同時 固有関数で α^∗_f(1) = 1 なるものとする．すると

ζ₂ (

f,k 2

)

= i^k 3240

(

5α^∗_f(2) 2^−k−3·2^−k2 )

D^∗ (

Ω(f),k 2

)2

が成り立つ．ここで

D^∗(Ω(f), s) =π^−sΓ(s)

∑∞ l=1

α^∗_f(l)l^−s.

参考文献

[1] B¨ocherer, S. : Bemerkungen ¨uber die Dirichletreihen von Koecher und Maass. 1987.

[2] Krieg, A. : Modular forms on half-spaces of quaternions. Lec. Notes Math. 1143, Springer Verlag, 1985.

[3] Krieg, A. : The Maass-space on the half-space of Quaternions of degree 2. Math. Ann. 276, 675–686 (1987).

[4] Krieg, A. : The Hecke-algebras related to the unimodular and mod- ular group over the Hurwitz order of integral quaternions. Proc. In- dian Acad. Sci., Math. Sci. 97, 201–229 (1987).

[5] Krieg, A. : The Maass space and Hecke operators. Math. Z. 204, 527–550 (1990).

[6] Maass, H. : Siegel’s modular forms and Dirichlet series. Lec. Notes Math. 216, Springer Verlag, 1971.

四元数 modular 形式に関連する文献表とコメント

A. Krieg

1. Modular Forms on Half-Spaces of Quaternions. Lecture Notes in Math. 1143, Springer Verlag, 1985

2. The elementary divisor theory over the Hurwitz order of integral quaternions. Linear and Multilinear algebra. 21, 325–344 (1987) 3. The Maass-space on the half-space of quaternions of degree 2. Math.

Ann. 276, 675–686 (1987)

4. The Hecke algebras related to the unimodular and modular group over the Hurwitz order of integral quaternions. Proc. Indian Acad.

Sci., Math. Sci. 97, 201–229 (1987)

5. Eisenstein series on real, complex, and quaternionic half spaces. Pac.

J. of Math. 133, 315–354 (1988)

6. The Maass space and Hecke operators. Math. Z.204, 527–550 (1990)

7. Hecke operators with respect to the modular group of quaternions.

Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 60, 71–85 (1990)

8. The Maass space for the non-trivial multiplier system over the Hur- witz quaternions. Archiv Math. 70, 211–218 (1998)

H. H. Kim

1. Eisenstein series on quaternion half-space. Manuscripta Math. 76, 85–104 (1992)

2. Eisenstein series on quaternion half-space of degree n. Manuscripta Math. 77, 215–235 (1992)

S. Nagaoka

1. Eisenstein series on quaternion half-space of degree 2. Proc. Japan Acad. 68, 101–104 (1992)

A. Hurwitz

1. Vorlesungen ¨uber die Zahlentheorie der Quaternionen. Springer Ver- lag 1919

四元数 modular 形式の一般論については Krieg [1] で展開されている．

Hurwitz order については Hurwitz の講義録 [1] と Krieg [2], [4] に詳し い．[2] では，Hurwitz order 上の行列に関する単因子論が展開され，[4]

では Hecke 環の構造が調べられている．また，四元数 modular 形式の

場合の Maass空間の理論については [3] で論じられている．この場合の

Siegel-Eisenstein 級数については，Krieg [5], Kim [1], [2]で扱われ，Kim [1]では2次の場合のFourier 係数のexplicit formula, Kim [2]では（n 次 の場合の）Eisenstein級数の関数等式の具体的な形が与えられている．ま た最近の話題であるが，2次の四元数modular形式のなす graded ringの 生成元が構成されたとの事である（E. Freitag）．この生成元の構成には

Krieg [8]の結果が十分用いられているとの事である（Krieg氏の話）．最

後であるが，以上の四元数 modular 形式の理論の n = 2 の場合（Krieg [3], Kim [1], Nagaoka [1]）は菅野氏や村瀬氏によって展開されている直 交群 O(2, m+ 2) 上のmodular 形式の理論の特殊な場合（m = 4）を考 えていると言ってよい．