化学のための物理I(b) 事前学習その2

1

化学のための物理Ｉ(b) 事前学習その２

○一次元空間での運動の記述

以下に物体の直線運動を記述する「道具」となる種々の重要な概念について説明します。

【質点（mass point）】

物体の形状や大きさを無視して、物体そのものを１点で表したものを質点と呼びます。質量が１ 点に集中したものと考えてください。物体の形状を考え出すと、複雑すぎて手に負えなくなってし まうので、「物体を一個の点として単純化してしまえ！」というわけです。

【位置（position）】

質点の位置を表すことは物体の運動を記述するための第一歩となります。質点が直線に沿って運 動する場合は、その直線を座標軸（たとえばx軸）に選び、座標軸の原点を定めます。原点は通常O という文字で表します。長さの単位を決めると、質点の位置は座標によって表すことができます。

図２－１の座標軸を見てください。この座標軸では単位を m（メートル）に選んでいます。この座 標軸で質点が原点から+ 2 m 離れた位置にあるとき、質点の位置はx = 2 mのように表すことができ ます。ここで、座標軸の右端の「x/m」に注目してください。教科書（p11 図1.1）ではx [m]という 表記になっていますが、どちらの表記でも間違いではありません。 ただ、「x/m」という表記は、

座標軸の目盛が無次元の数であることを想起しやすい表記といえます。位置 x は長さの次元をもつ 物理量ですが、物理量は「数値」×「単位」で表され、「数値」は無次元、「単位」は物理量と同じ 次元をもっていることを思い出してください。x＝無次元の数値×長さの単位（m）となるので、「x/

m」は、

x/m ＝（ 無次元の数値×長さの単位（m） ）/ 長さの単位（m）

というふうに見ることができ、右辺の分母の「長さの単位（m）」と分子の「長さの単位（m）」がキ ャンセルされ、「x/m」が無次元の数であることがわかります。すなわち座標軸の目盛にある数値は 無次元の量であることがわかります。

図２－１に示すように一つの座標軸上でのみ記述される運動は一次元空間での運動ともいいます。

一次元空間で運動をしている物体の位置は時間とともに変化するので、質点の位置 x を時間の関数 としてx（t）というふうに表します。図２－２に示すように横軸が時間t、縦軸がxのグラフはx−t グラフと呼び、x（t）の曲線によって質点の位置が時間とともにどのように変化していくのかを表し ます。

O

0 1 2 3 4 5

図２－１ 座標軸（x軸）

2

【速度（velocity）】

（１）距離と変位

直線運動をする質点の速度について説明するための準備として、ある時刻t1での質点の位置をx(t1)、 t1より後の時刻t2（t2 > t1）での質点の位置をx(t2)とします。このとき、質点の移動距離は

移動距離： x t

( ) ( )

2 −x t1

となります。「距離」は常に正の値をとる量なので、絶対値がつくことに注意してください。これに 対し、絶対値のつかない x(t2) － x(t1) は「時刻

t

₁^から時刻

t

₂までの質点の変位」といいます。

変位：

x t ( )2 − x t ( )1

( ) ( )

2 1

0

x t − x t >

のときは質点が正の向きに移動し、

x t ( ) ( )2 − x t1 < 0のときは質点が負の向きに移動 したことを意味します。変位の正負の符号は運動の向きを表し、大きさは２点間の距離を表します。

図２－２ 質点の位置の時間変化を表す図（x－tグラフ）

t x

0 0

x(t1)

x / m

0 1 2 3 4

－1

－2

－3

－4

x(t2)

〈例１〉

〈例２〉

x / m

0 1 2 3 4

－1

－2

－3

－4

x(t1) x(t2)

・時刻

t

₁^から時刻

t

₂までの質点の移動距離は4 m

・時刻

t

₁^から時刻

t

₂までの質点の変位は－4 m

・時刻

t

₁^から時刻

t

₂までの質点の移動距離は2 m

・時刻

t

₁^から時刻

t

₂^{までの質点の変位は}2 m

3

（２）速さ（平均の速さ）と速度（平均の速度）

質点の速さ（平均の速さ）は「質点の移動距離」を「質点が移動に要した時間」で割ったものにな ります。

質点の速さ（平均の速さ）＝ 移動距離

移動に要した時間 ^(2.1)

「質点が移動した距離」は x t

( ) ( )

2 −x t1 ^、「移動に要した時間」は

t

₂

− t

₁なので、質点の平均の速さ は次式で表されます。

質点の速さ（平均の速さ） ＝

( ) ( )

2 1

2 1

x t x t t t

−

−

(2.2)

速度（平均の速度）は「質点の変位（位置の変化量）」を「質点が移動に要した時間」で割ったも のになります。

質点の速度（平均の速度）＝ 質点の

移動に要した時間

変位 (2.3)

変位は

x t ( )2 − x t ( )1 、「移動に要した時間」はt2− t1なので、質点の平均の速度は数式で表すと次の ようになります。

質点の速度（平均の速度） ＝

( ) ( )

2 1

2 1

x t x t t t

−

−

(2.4)

速度は本質的に運動の方向を含む物理量です。一方、速さは速度の大きさだけを表す物理量なので、

方向の情報を持っていません。これは速さが変位

x t ( ) ( )2 − x t1 の絶対値で表されていることからもわ かります。

（３）瞬間速度 ～瞬間速度は位置の時間微分！～

瞬間速度はある時刻における速度をあらわしています。大学の物理では平均速度よりも瞬間速度 の方が重要になるので、速度といえば、普通は瞬間速度のことを指します。さて、瞬間速度は時間 の関数として表され、

v t ( )のように表記します。瞬間速度は位置の時間微分（x t ( ) の導関数）で

定義され、これが今回の一番の重要ポイントになります。

瞬間速度

( ) d

d v t x

= t

(2.5)

【要点１】

4 ではなぜ瞬間速度

v t ( )が位置x t ( )の時間微分となるのかをx－tグラフを用いて説明しましょう。準 備としてつぎのような記号を用いることにします。

・変化量（変位）を表す記号としてΔ（デルタ）を用いる。

位置の変化量（変位）：

∆ = x x t ( ) ( )2 − x t1 (2.6) 時間の変化量（変位）：∆ = − t t2 t1 (2.7)

質点の平均速度を用いて、瞬間速度を説明しましょう。図２－３のx－tグラフでは質点の位置x(t) が、ある滑らかな曲線で描かれています。時刻

t

₁^{で質点の位置が}

x t ( )1 となる点をP1 、時刻t2で質 点の位置がx t ( )2 となる点をP2とすると、P1とP2を結ぶ直線は図２－３の太線で表されます。この 直線の傾きは ( ) ( )2 1

2 1

x t x t t t

−

−

となりますが、この傾きが時刻

t

₁^から

t

₂までの質点の平均速度を表してい ます。「平均速度とは点と点を結ぶ直線の傾きである」という認識を持つことが大事です。

上の表記(2.6)および(2.7)を用いると、時刻

t

₁^から時刻

t

₂^{までの平均の速度}v ^（vバーと呼ぶ）は

( )

2

x t

( )

1

x t

t x

図２－３ x－tグラフ その１

直線の傾き

( ) ( )

2 1

2 1

x t x t t t

−

−

＝時刻

t

₁^から

t

₂^{までの質点の平均速度}

5

v x

t

= ∆

∆

(2.8)

と表されます。これは図２－４の灰色の直角三角形の二つの辺の比を表しているとも言えます。

次に時間軸で時刻

t

₁^と時刻

t

₂^{の間に時刻}

t

_1.5^{を置いてみます（図２}-５参照）。このとき、時刻

t

₁^から 時刻

t

_1.5^{までの平均速度}

x

v t

= ∆

∆

^{は、点P1と点P1.5}を結ぶ直線（図２－５のグラフで示した直角三角 形の二辺の比）の傾きになります。すなわち、

( ) ( )

1.5 1

1.5 1

x t x t

v x

t t t

∆ −

= =

∆ −

(2.9)

三角形の形は図２－４の形よりすこし変形した形になっているのがわかります。この要領で図２－

６に示すように曲線

x t ( ) 上に描いた点をP1に近づけていくと、∆tと∆x がどんどん小さくなって いきますが、∆t に対する∆xの比 x

t

∆

∆

は一定の値に収束していきます（グラフで示した三角形が小 さくなっていきますが、一定の形に収束していくことになります）。その一定になった比

x

t

∆

∆

^が時刻

t

¹ における瞬間速度になります。遠く離れた点（P₂^）を点

P

₁に近づけていき、二点を結ぶ直線の傾き がこれ以上変わらなくなったとき、これら二点を結んだ直線を点

P

₁での接線といいます（接線の定 義）。速度はまさにある時刻tにおける

x t ( )の接線の傾きであるということがわかります。

図２－４ x－tグラフ その２

平均速度 x

v t

=∆

∆ ^は

直角三角形の二つの辺（Dt^とDx^） の比！

t x

Dt

Dx

6

t x

P1.5

図２－５ x－tグラフ その３

t x

( )

2

x t

( )

1

x t

( )

1.5

x t

t

1.5

( )

x t

^上の点をP₂ ^からP₁^{に近づけていくと、}

比 x t

∆

∆ が一定になる！

点P1を通り、一定になった x t

∆

∆ ^{を傾きに持つ直} 線が時刻t1でのx(t)の接線。

時刻t1での瞬間速度は時刻t1でのx(t)の接線 の傾き！

P1.5

図２－６ x－tグラフ その４ Dt

Dx

時刻

t

₁^から時刻

t

_1.5^{までの平均速度} v x

t

=∆

∆ ^は

直角三角形の二つの辺（Dt^とDx^） の比！

7 ある時刻

t

^と、

t

からからほんの少しだけ遅れた時刻をt+ ∆t で表すことにすると、時刻

t

^から時 刻t+ ∆t までの平均の速度は次のように表されます。

( ) ( )

x t t x t

v x

t t

+ ∆ −

= ∆ =

∆ ∆

(2.10)

∆t をどんどん小さくしていった極限での平均速度が時刻

t

での瞬間速度になります。式で表すと、

次式のようになります。

( ) ( ) ( )

lim

0 t

x t t x t

v t

^{∆ →}

t

+ ∆ −

= ∆

(2.11)

上式の右辺はまさに微分の定義となっているので、時刻

t

^{での瞬間速度は}

( ) d

d v t x

= t

(2.12) となります。ここで、

d

d x

t

^{は x(t)}の導関数という言い方もすることに注意してください。

x t ( )がtの

関数であれば、それを微分したものもやはり

t

の関数になることを強調した呼び方です。位置

x t ( )

の時間微分で表された速度も時間の関数となり、

v t ( )というふうに表されます。

○等速直線運動

質点の速度の時間変化は横軸を時間 t、縦軸を速度 v に選んだ v－t グラフで図示されます。v－t グラフはx(t)の導関数を図示するグラフです。図２－７(a)に示すように質点の位置x(t)が時間に比例 して正の方向に移動する場合、x－tグラフでは質点の運動が直線で描かれます。直線は傾き a と切 片bを定めることで決まるので、質点の位置の時間変化はx(t) = a t + bと表されます。時刻t = 0で

の位置はx(0) = bとなるので、切片bはt = 0での位置（初期位置）を表します。また、瞬間速度の

式(2.12)にx(t) = a t + bを代入すると、

( ) d d ( )

d d

v t x at b a

t t

= = + =

となり、x(t) = a t + bは速度が一定の運動を表すことがわかります。このように直線上を一定の速度

で進む運動を等速直線運動と呼びます。一定の速度を v、初期位置をx₀とすると、等速直線運動は 次式のように表されます。

等速直線運動の式：

x t ( ) = x

⁰

+ v t

・等速直線運動はx－tグラフで直線として表される。

・直線の切片が初期位置、直線の傾きが速度となる。

【要点２】

8 図２－７(a)のx－tグラフに対応するv－tグラフは図２－７(b)のようになります。

x－tグラフからv－tグラフへの対応は以下のような流れになります。

x－tグラフで示された直線が右肩上がりになっている → 直線の傾きは正の値で一定

→ 速度が正の値で一定→ v－tグラフでは、時間に関して一定のvが図示される。

○三次元空間の運動の記述

【位置ベクトル（position vector）】

三次元空間での質点の運動を記述するための第一歩は、一次元空間での運動と同様に質点の位置 を座標で表すことです。三次元空間で点の位置を表す座標として用いられるx, y, zは、座標軸である x軸、y軸、z軸が互いに直交するので、直交座標と呼ばれます。三次元空間のどこかに原点を定め、

質点の位置が原点からどれだけずれたところにあるかを座標を用いて表します。原点と座標 x, y, z で指定される点を結ぶ直線は大きさと方向を持つので、この直線をベクトルとして扱うのも質点の 位置を表す方法の一つになります。この場合、原点を始点、質点の位置を表す座標を終点にもつベ クトルを位置ベクトルといいます。ベクトルなので、rというふうに太字で表します。位置ベクト ルr^{は直交座標}x, y, zを用いると以下のように表されます。

+ +

x y z

=

r i j k (2.13)

x

t

(a)

v

t

(b)

図２－７ x－tグラフと対応するv－tグラフ

9 ここで、i^はx軸方向の単位ベクトル、j^はy軸方向の単位ベクトル、k^はz軸方向の単位ベクトル を表します。また、(2.13)式の右辺の座標x y z, , はそれぞれ位置ベクトルr^のx成分、y成分、z成 分を表します。ベクトルの成分だけを取り出してベクトルを表す（成分表示）表記では、

( x y z , , )

=

r (2.14)

となります。(2.13)や(2.14)のようにベクトルの表し方として、単位ベクトルで表す表記と成分表示 で表す表記があります（ここでは詳しい説明は省きますが、どちらの表記にも一長一短の特徴があ ります）。

さて、位置ベクトルr^の大きさrは、ベクトルの成分x y z, , を用いて次式のように表されます。

2 2 2

r =

r

= x + y + z

(2.15)

ここで、r ^や r は長さの次元をもつ量になります。座標x y z, , はそれぞれ長さの次元をもち、単 位ベクトルi j k, , は無次元の量になります。単位ベクトルがなぜ無次元になるかをr^{と同じ向きを} もった単位ベクトルで説明しましょう。rと同じ方向を向いた単位ベクトルu^{は次式で表されます。}

=

r

u r (2.16)

上式の右辺では分母と分子がいずれも長さの次元をもった量になっており、キャンセルされて無次 元になるのがわかります。 単位ベクトルi j k, , についても同様に考えることができます（例えば、

x 方向を向いた単位ベクトルi^はx 方向に向いた適当なベクトルA ^{とその大きさ} A ^{で割ったもの} で表されます（

=

A

i A ^{）。 Aと} A ともに長さの次元をもつので、i は無次元量となります）。

質点の運動は時間の関数とした位置ベクトル^r

( ) t 、すなわち、

( ) t = x t ( ) + y t ( ) + z t ( )

r i j k (2.17)

で記述されます。^r

( ) t を調べることはベクトルの成分であるx t ( ) ( ) ( ) , y t z t , がそれぞれどのような

時間の関数になるかという問題に帰着されます。

10

【速度ベクトル (velocity vector) 】

三次元空間での変位は三つの成分を持ったベクトルで表されます。例えば、時刻

t

₁^から時刻

t

₂^ま での変位Dr^は

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

2 1

2 2 2 1 1 1

2 1 2 1 2 1

+ + + +

t t

x t y t z t x t y t z t

x t x t y t y t + z t z t

D = +

= +

= + + + +

r r r

i j k i j k

i j k

となります。ここで、

x t ( )

²

+ x t ( )

^{1 が変位のx成分、}

y t ( )

²

+ y t ( )

^{1 が変位のy成分、}

z t ( )

²

+ z t ( )

^{1 が}

変位のz^{成分となります。}

時刻

t

^から時刻t+ ∆t^（Dtは微小な時間変位）までの変位では、Dr^は

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

+ + + +

t t t

x t t y t t z t t x t y t z t

x t t x t y t t y t + z t t z t

D = + +

= + + + +

= + + + + + + +

r r r

i j k i j k

i j k

∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

となります。三次元空間での速度vはこのDr^と∆t^{を用いて、}

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

lim lim 1

lim

d d dz

dt dt dt

t

t

t

= t

x t t x t y t t y t + z t t z t

t

x t t x t y t t y t z t t z t

t t + t

x y

D ®

D ®

D ®

D D

= + + + + + + +

D

+ + + + + +

D + D D

+ +

v r

i j k

= i j k

= i j k

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

となります。速度もベクトル量なので、速度ベクトルと呼ばれます。

速度ベクトル（単位ベクトルを用いた表現）：

d d dz

dt dt dt

x y

= + +

v i j k (2.18)

速度ベクトル（成分を用いた表現）： d d dz , , dt dt dt

x y

=æçççè ö÷÷÷ø

v (2.19)

11 (2.18)式から

+ +

x y z

v v v

=

v i j k (2.20)

d d dz

, ,

dt dt dt

x y z

x y

v = v = v =

(2.21)

となることがわかります。また、これらの成分を使うと速度ベクトルの大きさ

v

^{が次式のように表} されます。

2 2 2

2 2 2

d d dz

dt dt dt

x y z

v

v v v

x y

=

= + +

æ ö ÷ æ ö ÷ æ ö ÷

ç ç ç

= ç ç è ø ÷ ÷ + ç ç è ø ÷ ÷ + ç ç è ø ÷ ÷

v

(2.22)

速度が変化する質点では、速度ベクトルが時間に依存するので、ベクトルv^に

( ) t

^{を付け加え、}

( ) t = v t

^x

( ) + v

^y

( ) t + v t

^z

( )

v i j k

と表します。

12 運動の記述と速度に関する問題

（１）平均の速さとは何か。

（２）60 km h^-1は何m s^-1か。

（３）ＡからＢ地点までの直線距離を300 mとする。Ａ地点からＢ地点まで3分かけて歩き、すぐ に折り返して走って１分でＡ地点に戻った。行きと帰りの平均の速さはそれぞれ何ms^-1か。有 効数字２桁で答えよ。

（４）窒素分子の293K（２０℃）における平均の速さは約470 m s^-1である。これは何km h^-1か。

（５）一次元空間において時間変化する質点の位置を x(t)で表すことにする。質点の速度

v t ( )

^を微

分をあらわに含む形で表せ。

（６）質点の位置がx(t) =

at

² (aは定数)で表せられるとする。質点の速度をaとtを用いて表せ。

（７）一次元の質点の直線運動で初期位置を

x

₀^、速度をvとする。これらを用いて、質点の位置^{x t}

( )

を表せ。

13 解答（運動の記述と速度に関する問題）

（１）移動距離を経過時間で割ったもの

（２）単位を含んだ計算には単位変換因子を使う考え方がとても便利。以下は単位変換因子を用い た解法です。

1 km = 1000 m ・・・①

①式の両辺を kmで割ると、

1 =

1000 m

km

^・・・②

②の右辺をkmからmへの単位変換因子という。基本的に１というただの数なので、何にか けても影響はない。同様に

1 h = 3600 s ・・・③

③式の両辺を hで割ると、

1 =

3600 s

h

^・・・④

④の右辺はhからsへの単位変換因子という。②、④の二つの単位変換因子を用いると、

60 km/h = ¹

1000 m

km km 1000 m

60 60 16.7 ms

3600 s 3600 s

h h

= = + ^答え：

16.7 ms

⁺¹

上の途中の計算で単位km同士が割り算のように計算できて消えてしまう。hも同様。

（３）1.7ms^-1, 5.0ms^-1

（４）1 m =

10 km

^{+3 の両辺を}mで割ると、1 =

10 km

3

m

+

・・・⑤

1 s =

1

3600 h

^{の両辺をsで割ると、1 =}

1 h

1 h 3600

s = 3600 s

^・・・⑥

⑤、⑥の単位変換因子を用いると、

470 m s^-1

3

3

3 1 1

10 km

m m 10 km

470 470 470 3600 10 km h 1692 km h

1 h 1 h

s 3600

3600 s

+

+ + + +

= ´ = ´ = ´ ´ =

（５）

( )

^d

d v t x

= t （６）

2 a t

^（７）x t

( )

=x0+v t kmからmへの単位変換因子

hからsへの単位変換因子

mからkmへの単位変換因子

sからhへの単位変換因子