セミ・リーマン空間形のローレンツ 極小曲面と null 曲線
榊 真（弘前大理工）
概要．セミ・リーマン空間形のローレンツ極小曲面について，正定値の場 合と比較し，null曲線の視点から議論する．
1 序
Nqn(c)を定曲率cで指標qのn次元セミ・リーマン空間形とし，N0n(c) = Nn(c)とする．Nqn(c)の曲面は，誘導計量がローレンツ計量のとき，ローレ ンツ曲面と言う．Nqn(c)のローレンツ曲面は，平均曲率ベクトルが恒等的に ゼロのとき，ローレンツ極小曲面と言う．
[13]で正定値の場合のisotropicな極小曲面の類似として，isotropic-likeな ローレンツ極小曲面を構成した．その際の正定値の場合との違いの感触が光 的幾何の研究（[14], [15], [17]）のきっかけとなり，null曲線の研究（[16], [18], [20]）を経て，ローレンツ極小曲面に戻ることになる．
N4(c)の極小曲面のガウス曲率K(≤c)と法曲率Kνは(K−c)2−Kν2≥0 を満たし，等号はisotropic点で成立する．Tribuzy, Guadalupe両氏[23]は N4(c)の極小曲面の存在について，計量と法曲率による必要十分条件を与え，
法曲率を保つ等長極小変形について議論した．またN24(c)の空間的極小曲面 の場合，K(≥c)とKν は(K−c)2−Kν2≥0を満たし，等号はisotropic点 で成立する．[11]ではN24(c)の空間的極小曲面の存在について，計量と法曲 率による必要十分条件を与え，法曲率を保つ等長極小変形について議論した．
しかしN24(c)のローレンツ極小曲面の場合には，K−cと(K−c)2−Kν2 の符号は定まらず，異なる状況がいろいろとあるように思われる．
2 例
例１．R42の座標を{x1, x2, x3, x4}，計量をg=dx21−dx22+dx23−dx24と する．J¯を
J¯ ∂
∂x1
= ∂
∂x2
, J¯ ∂
∂x2
= ∂
∂x1
, J¯ ∂
∂x3
= ∂
∂x4
, J¯ ∂
∂x4
= ∂
∂x3
で与えられるR42のパラ複素構造とすると，( ¯J , g)はR42上の平坦なパラ・ケー ラー構造になる．M をR42のパラ複素曲面（J¯(TpM) =TpM, p∈M）とす
ると，[1, Cor.3.1]からM はローレンツ極小曲面になる．
例２（[19]）．定数k >0と関数Q(u) s.t. Q0(u)>0に対し，M を f(u, v) = (Q(u) coshv, Q(u) sinhv, u, kv)
で与えられるR42 のローレンツ曲面とする．M が極小であるのは Q00
1 +Q02 = Q Q2+k2 のときであり，2Q0をかけて積分して
Q0=
√
c21Q2+c21k2−1, (c1>0) となる．c1k= 1のときQ(u) =c2eu/k．c1k <1のとき
Q(u) =
√1−c21k2 c1
cosh (c1u+c2).
c1k >1のとき
Q(u) =
√c21k2−1 c1
sinh (c1u+c2).
これはR31の空間的軸を持つ回転ローレンツ極小曲面（[24], [8]）をR42で変 形したものである．他の変形からもR42，R41のローレンツ極小曲面をいろい ろ構成できる．（空間的極小曲面や平均曲率ベクトルのノルム一定な曲面など も構成できる）．
例３．Mを２次元単連結ローレンツ多様体，Kをガウス曲率，∆をラプラ シアンとし，K > cと∆ log(K−c) = 6K−2cを仮定する．[13, Th.1]から M からN24(c)への等長極小はめ込みが存在する．（余次元が高い場合も[13]
にあり，空間的な場合は[12]）．
例４．Rnq のローレンツ極小曲面Mは局所的に，Rnq のnull曲線P(u), Q(v) s.t. hP0(u), Q0(v)i 6= 0を用いて，f(u, v) =P(u) +Q(v)と表現される（cf.
[3]など）．
3 結果
定理１([19]). (i) M をN24(c)のローレンツ極小曲面とし，Kをガウス曲 率，Kνを法曲率，∆をラプラシアンとする．(K−c)2−Kν26= 0のとき，
∆ log|K−c+Kν|= 2(2K+Kν), (1)
∆ log|K−c−Kν|= 2(2K−Kν). (2)
(ii)Mを2次元単連結ローレンツ多様体とし，Kをガウス曲率，∆をラプ ラシアンとする．KνがM 上の関数で(K−c)2−Kν2>0と方程式(1), (2) を満たすならば，MからN24(c)への等長極小はめ込みでKνを法曲率とする ものが存在する．
定理２([19]). f : M →N24(c)を2次元単連結ローレンツ多様体M から N24(c)への等長極小はめ込みで，Kをガウス曲率，Kνを法曲率とする．
(i) f と同じ法曲率Kν を持つ等長極小はめ込みの２つの１パラメータ族 fθ,f¯θ:M →N24(c) (θ∈R)が存在する．
(ii) (K−c)2−Kν2>0とする．fˆ:M →N24(c)をf と同じ法曲率Kνを 持つ任意の等長極小はめ込みとすると，fˆはあるθについてfθまたはf¯θと 一致する．
定理１，２は接続形式による構造方程式を解析することによって証明され る．(K−c)2−Kν2 >0の場合は正定値の場合（[23], [11]）と類似の状況に あることが分かる．
N24(c)のローレンツ極小曲面M に対し，{e1, e2}を符号(+,−)の正規直 交枠，{e3, e4}を符号(+,−)の正規直交・法枠とする．
Tαβ=hα11hβ11−hα12hβ12, 3≤α, β≤4
で与えられる法束上の対称線形変換Tは，(K−c)2−Kν2>0のときは法枠 のローレンツ変換によって対角化可能であるが，(K−c)2−Kν2≤0のとき は対角化可能でない．これが議論上の大きな違いとなっている．（N14(c)の場 合はどうか）．
次に(K−c)2−Kν2の符号の幾何学的意味について考える．
定理３([21]). M を例４のように与えられるR42のローレンツ極小曲面と
し，{P0(u), Q0(v), P00(u), Q00(v)}は１次独立とする．このときK2−Kν2と hP00(u), P00(u)ihQ00(v), Q00(v)iの符号は一致する．
null曲線の２階微分が空間的か，時間的か，光的か，の組み合わせによって K2−Kν2の符号が定まることになる．この定理の系として，K2−Kν2が正の 曲面から負のものを構成し，負のものから正のものを構成するという写像とし ての対応関係が存在することも分かる．またK2−Kν2= 0はhP00(u), P00(u)i とhQ00(v), Q00(v)iの両方がゼロの場合と一方のみがゼロの場合があるので，
K2−Kν2が正負の場合と合わせて，全体として４層構造になっていることも 分かる．（正定値の場合はisotropicとnon-isotropicの２層構造）．
N24(c) (c6= 0)の場合，例４のような表現はできないが，高橋型の定理を経
由して，類似の結果が成り立つ．
4 今後の課題
(1) (K−c)2−Kν2≤0の場合．
(2) Nqn(c)の場合．一般には(K−c)2− h⊥R,⊥Ri（⊥R：法曲率テンソル）
が出るものと思われる．N14(c)の場合は(K−c)2+Kν2(≥0)が出る．
null曲線の幾何は外側の空間の指標が１のときと２以上のときで複雑さ が異なり，その影響がローレンツ極小曲面にも反映されている可能性が ある．
(3) パラ・ケーラー関数．実数値全体を取りうるのでsinh−1をとってパラ・
ケーラー角度を定義したくなるが，計算すると絶対値１を境に状況が 変わり，cos−1とcosh−1が出る．
(4) 定曲率なローレンツ極小曲面．B.-Y. Chen氏（[3]）が正定値の場合には 全くなかったタイプのガウス曲率一定なローレンツ極小曲面がたくさん 存在することを示している．光錐の曲線（積分するとnull曲線）が関 連する（cf. [6], [7]）．
(5) 大域的な議論．ローレンツ極小曲面についてHopf-Rinowの定理は成り 立たないので，測地的完備性や測地的連結性などが課題となる．（cf. [9],
[10], [22]など）．コンパクトな例はどうか（オイラー数ゼロ）．
(6) 実パラ・ケーラー部分多様体．実ケーラー部分多様体については80年 代半ば以降いろいろあるが（cf. [5], [4], [2],他），[5]と同様に議論しよ うとすると，isotropyを定義するあたりで分からなくなる．今の場合も isotropic-likeな(K−c)2−Kν2= 0から負のあたり（課題(1)）がよく 分からない．null曲線，光的部分多様体，光錐の幾何がどう関連するか．
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