同値関係と部分群

次のように、群の部分集合が与えられたとき、（逆元を用いているので、群でないとできな いような）二項関係の定義をしよう。

定義2.4.34. (G,◦, e)を群とし、H ⊂GをG(の台集合)の部分集合とする。このとき、G(の 台集合)の上の二項関係∼^L_Hを

∀a, b∈G a∼^L_H b⇔a⁻¹◦b∈H で定義する。Lは左(left)のLである。

同様に、

∀a, b∈G a∼^R_H b⇔a◦b⁻¹∈H で∼^R_Hを定義する。

例 2.4.35. H ={e}のとき、

a∼^L_Hb⇔a⁻¹◦b∈ {e} ⇔a⁻¹◦b=e⇔b=a.

よってこのときは∼^L_Hは等号と一致する。

次の定理は、∼^L_H が同値関係であるということと、H が部分群であるということが同値で あることを主張する。

定理 2.4.36. (G,◦, e)を群とし、Hをその部分集合とする。∼^L_Hが同値関係である必要十分 条件は、Hが部分群であることである。

証明. ∼^L_Hを単に∼であらわす。

• ∼が[E2]を満たすことと、Hが[S2]を満たすことが同値であること:

∀a a∼a⇔a⁻¹◦a∈H ⇔e∈H.

• ∼が[E3]を満たすこととHが[S3]を満たすことの同値性：

[E3]を満たせば

e∼a⇔a∼e.

これをHの言葉でかけば

e⁻¹◦a∈H ⇔a⁻¹◦e∈H.

e=e⁻¹よりa∈H ⇒a⁻¹∈H、従ってHは[S3]を満たす。

逆にHが[S3]を満たすならば、

a∼b⇒a⁻¹◦b∈H [E3]

⇒ (a⁻¹◦b)⁻¹∈H ここで問題2.22を使うと

(a⁻¹◦b)⁻¹=b⁻¹◦(a⁻¹)⁻¹=b⁻¹◦a.

これがHに入るのだからb∼a。すなわち[E3]が言えた。

• ∼に[E3]を仮定（または、同値であるHに[S3]を仮定）した上での、∼が[E1]を満た すこととHが[S1]を満たすことの同値性：

∼が[E3]を満たすので、∼が[E1]を満たすとする。a, b∈Hとすると[S3]よりa⁻¹∈H よってe∼a⁻¹。またe∼b。[E3][E1]を使ってa⁻¹ ∼b。よって(a⁻¹)⁻¹◦b∈H、す なわちa◦b∈H で[S1]を満たす。

Hが[S3][S1]を満たすとする。

a∼b, b∼c⇒a⁻¹◦b, b⁻¹◦c∈H [S1]

⇒ (a⁻¹◦b)◦(b⁻¹◦c)∈H ⇒a⁻¹◦c∈H ⇒a∼c.

注意2.4.37. 同様に、∼^R_Hが同値関係となる必要十分条件も、H < Gとなることである。

定義 2.4.38. Gを群とし、H < Gをその部分群とする。定理2.4.36により、∼^L_HはG上の 同値関係である。この同値関係をHを法とする左合同関係という。

G(の台集合)をこの同値関係で割って得られる商集合を

G/H:=G/∼^L_H

であらわし、その一つ一つの元をGのHによる左剰余類という。G/Hを「Gを右からHの 作用で割って得られる商」、または「GのH による左剰余類集合」という。

同様に∼^R_HをHを法とする右合同関係といい、Gのそれによる商集合を H\G:=G/∼^R_H

であらわし、GのH による右剰余類集合、あるいはGを左からHの作用で割って得られる 集合という。

上の定義の状況で、∼^L_Hに関してa∈Gの属する同値類[a]は

[a] ={g∈G|a∼^L_H g}={g∈G|a⁻¹◦g∈H}={g∈G|g∈a◦H}=a◦H である。ここで、a◦Hは次に定義する集合である。

2.4. 群 59 定義2.4.39. (G,◦)をマグマとする。S⊂G,a∈Gのとき

a◦S :={a◦s|s∈S}

と定義する。同様にb∈Gに対し

S◦b:={s◦b|s∈S}

である。Gが半群のときは

a◦S◦b:={a◦s◦b|s∈S}

である。

またマグマの場合にもどって、S, T ⊂Gのとき

S◦T :={s◦t|s∈S, t∈T} と定義する。

混乱の恐れの少ない場合、◦はしばしば省略される。a◦bの代わりにab,a◦H◦bの代わり にaHbと書かれる。

上の記法を用いれば、次を示したことになる。

命題2.4.40. Gを群、Hをその部分群とする。a∈Gの属する∼^L_Hに関する同値類、すなわ ちaの属する左剰余類はaHである。

a∈Gの属する∼^R_Hに関する同値類、すなわち右剰余類はHaである。

（特に、どちらの場合でも単位元eの属する同値類は[e] =Hである。）

この事実に定理1.3.8を適用すると次を得る。

系 2.4.41. Gを群、Hをその部分群とする。任意のa, b∈Gに対し、

aH =bH またはaH∩bH=∅ のどちらかが成立する。

GはaHの形の集合に分割される：

G= a

aH∈G/H

aH

注意2.4.42.

G= a

aH∈G/H

aH

の式は少々わかりにくい。G/Hの一つ一つの元は実はaHという形の集合である。aH=a⁰H となるようなa, a⁰もあるかも知れないが、そういうものは同じと思って、G/Hの一つ一つの 元を集合と思うと、Gをきれいに交わりなく分割しているということである。

上は左剰余類の場合であるが、右剰余類でも同じことが言える。

問題2.26.

a∼^L_H b⇔b∈a◦H を示せ。

問題2.27. (Z,+,0)を整数のなす加法群とし、mを自然数とする。H :=mZ:={mx|x∈Z}

をmの倍数の集合とする。（この記法は2.4.39で◦=×の場合を用いている。）

1. Hは部分群であることを示せ。

2. ∼^L_Hは、≡mをmを法とする合同関係(定義1.3.19)と一致することを示せ。

3.

Z= a

a=0,1,...,m−1

(a+mZ) を示せ。（この記法は2.4.39で◦= +の場合を用いている。）