成 蹟 大 学 理 工 学 研 究 報 告 J.ac.ci.Tech,eikeiUnix Vo1.481)pp.15-22
確 率論 的観 点 か らの画像 割符 の定式化(第2報)
樋 口 政 和*1川
崎 秀 二*2ガ
ン バ ジ ョ ナ*2小
池 淳*3村
上 仁 己*4
AFormulationofVisualCryptographyfromStochasticViewpoint(PartII)
MasakazuHIGUCHI*1ShujiKAWASAKI*2JonahGAMBA*2
AtsushiKOIKE*3HitomiMURAKAMI*4
ABSTRACT:Inthispaper,weconsidertoformulateanimagedatahidingschemebasedonerror diffusion.Byusingthescheme,visualpatternsareembeddedinahalftoneimagewithoutaffecting itsperceptualqualitydependingonahalftonekeyimage.Theschemehasthefeatureofvisual cryptographywithrespecttoextractingoftheembeddedpatterns,i.e.,whenweprintthetwo halftoneimagesontotransparenciesandstackthemtogether,theembeddedpatternsarevisibleby humanvisualsystemwithoutanyspecialelectroniccalculation.Weproposeaformulationforthe schemeintheviewofastochasticanalysis.Theideaisbasic,buttheoreticalstudiesbyformulating isimportanttrialinthisfield.Keywords:Datahiding,Visualcryptography,Halftoneimage,Errordiffusion,Probabilitytheory
(ReceivedOctober17,2011)
1.は じ め に 視 覚 復 号 型 暗 号 技 術 は,人 間 の 視 覚 特 性 を利 用 した 画 像 暗 号 化 の技 術 で あ る,そ の 方 式 で は,秘 匿 画 像 を複 数 の 画 像 に分 割 し,そ れ ら を 暗号 化 す る.秘 匿 画 像 は 暗 号 化 さ れ た 画 像 か ら 電 子 的 な 計 算 な しで 視 覚 的 に 復 号 す る こ とが 可 能 と な る.近 年,そ の 技 術 を 画 像 情 報 埋 め 込 み 技 術 に 応 用 した 研 究 が 盛 ん に 行 な わ れ て い る.画 像 情 報 埋 め 込 み 技 術 は,一 般 に1枚 の 秘 匿 画 像 の 情 報 をn枚 の 別 の 画 像 の 中 に埋 め 込 む 技 術 で あ る が,こ の 「情 報 の 埋 め 込 み 」 を 視 覚 復 号 型 暗 号 技 術 の 考 え を 利 用 し て 行 い,秘 匿 画 像 がn枚 の 画 像 に 「暗 号 化 」 さ れ た と考 え る の で あ る.秘 匿 画 像 は,そ の 「暗 号 化 」 さ れ たn枚 の 画 像 の うち の 任 意 のk枚 の 画 像 を 重 ね 合 わ せ る,す な わ ち重 畳 す る こ と に よ っ て 光 学 的 に再 現 す る こ とが で き る.本 稿 で は,こ の 技 術 を 画 像 割 符 と呼 ぶ. 先 行 研 究 は 以 下 の 通 り で あ る.視 覚 復 号 型 暗 号 技 術 は NoarとShamirに よ っ て 初 め て 提 案 さ れ た3).ま た,画 像 1 2 3 4 * * * * 情 報 科 学 科 博 士 研 究 員 情 報 科 学 科 ユ ビ キ タ ス 工 学 研 究 室 客 員 研 究 員 情 報 科 学 科 教 授 情 報 科 学 科 教 授(hi-murakami◎st.seikei.ac.jp) 割 符 に 関 して は,複 数 の 疑 似 濃 淡 画 像 に 秘 匿 画 像 の 情 報 を 埋 め 込 む 研 究 が 主 流 で あ り,秘 匿 画 像 と して,FuとAuは 2値,3値 の 簡 単 な 文 字 画 像 を,古 賀 と 山 本 は カ ラ ー 画 像 を 取 り扱 っ て い る4),6)が,大 部 分 の 研 究 者 は グ レ イ ス ケ ー ル値 の 画 像 を取 り扱 っ て い る5),7)-12).疑 似 濃 淡 画 像 の 生 成 に は 主 に誤 差 拡 散 法1)が 利 用 さ れ て い る.誤 差 拡 散 法 の 基 本 原 理 は2次 元 デ ル ターシ グ マ 変 調 に よ り量 子 化 誤 差 を高 域 側 に 変 調 す る こ と で あ る.そ の 結 果,量 子 化 の 影 響 を比 較 的 目 に つ き に くい 形 で 処 理 で き,自 然 な 疑 似 濃 淡 画 像 を生 成 す る こ とが で きる.KDDI研 究 所 の 明 堂 ら は,2枚 の 白 黒2値 疑 似 濃 淡 画 像 か ら 秘 匿 画 像 を 高 品 質 に 再 現 す る手 法 を 開 発 し た7).著 者 ら は,明 堂 らの 手 法 に ヒ ス トグ ラ ム修 正 型 の 輝 度 変 換 と入 力 画 像 に応 じた 輝 度 変 換 パ ラ メ ー タ の 自 動 調 整 を 取 り入 れ る こ と で,明 堂 法 よ り も秘 匿 画 像 を 主 観 的 に 高 品 質 に再 現 す る こ とが 可 能 な 手 法 を提 案 した8)-12). 画 像 割 符 に お い て,生 成 さ れ る 疑 似 濃 淡 画 像 と そ れ ら か ら再 現 され る 秘 匿 画 像 の 品 質,入 力 画 像 の 特 徴 と秘 匿 画 像 の 再 現 性 の 関 係,な ど を 理 論 的 に 検 証 す る た め に は,提 案 さ れ た 手 法 が 理 論 的 に 定 式 化 さ れ て い る こ と が 望 ま しい.し か し な が ら,先 行 研 究 で は 手 法 の 理 論 的 な 定 式 化 は 行 わ れ て お らず,実 験 的 観 点 か らの 評 価 の み で あ っ た.こ れ は,画 像割 符 の 処 理 に は,不 確 定 な要 素 が 含 まれ て お り,確 定 的 な 定 式 化 は 困 難 で あ る た め と考 え られ る.画 像 割 符 で は,例 え ば 秘 匿 画 像 の 明 る い 個 所 は そ れ の 再 現 画 像 に お い て も明 る く な る よ う に 疑 似 濃 淡 画 像 上 の 対 応 す る 個 所 付 近 の 白 と黒 の 画 素 の 割 合 を調 整 す る と い っ た 処 理 が 行 わ れ る.す な わ ち, 画 素 の 明 暗 に応 じ て処 理 が 異 な る とい う こ と で あ り,具 体 的 に画 像 が 与 え られ れ ば 処 理 後 の 結 果 が 確 定 す る が,定 式 化 の 段 階 で は そ れ は不 確 定 で あ る.ま た 、 誤 差 拡 散 法 は 前 段 の 画 素 で の 処 理 結 果 が 後 段 の 画 素 で の 処 理 結 果 に 影 響 を 及 ぼ す 動 的 な シ ス テ ム で あ り,こ れ も ま た 不 確 定 な 要 素 を含 ん で い る,こ の よ う な 状 況 に 対 し て 確 定 的 な 定 式 化 を行 お う とす る と非 常 に複 雑 な も の と な っ て しま う.こ の よ う に,条 件 に 応 じ て 異 な る 状 況 や 動 的 な 振 る 舞 い を理 論 モ デ ル に 組 み 込 む た め に は,確 率 的 な 記 述 が 有 効 で あ る と考 え られ る. 筆 者 ら は,こ れ ま で の研 究 に お い て,FuとAuに よ っ て 提 案 さ れ た 画 像 割 符 の 手 法 に対 して 確 率 論 的 観 点 か ら の 定 式 化 を 与 え た13)・14).FuとAuの 手 法 は 比 較 的 簡 単 な着 想 の 下 で 構 成 さ れ て い る に も関 わ ら ず,高 い パ フ ォ ー マ ンス が 得 ら れ る 手 法 で あ る た め,画 像 割 符 の 定 式 化 の 足 掛 か り と し て こ れ を 選 ん だ. 本 稿 で は,FuとAuの 手 法 に 基 づ い て 構 成 され て い る 明 堂 法 に 対 して 確 率 論 的 観 点 か ら の 定 式 化 を 試 み る. 本 稿 の 構 成 は 以 下 の 通 りで あ る.第2節 で は,明 堂 法 に つ い て 述 べ る.第3節 に お い て は,明 堂 法 に対 す る確 率 論 的 観 点 か らの 定 式 化 を提 案 す る.最 後 に第4節 に て,本 稿 を纏 め る.
2.対
象 手 法 の 概 要
2.1処 理 フ ロ ー チ ャ ー ト 明 堂 法 の 流 れ を 図1に 示 す.入 力 画 像 は3枚 の グ レ イ ス ケ ー ル 濃 淡 画 像 で あ る,擬 似 濃 淡 画 像 元 の2枚 の グ レ イ ス ケ ー ル 濃 淡 画 像 を そ れ ぞ れG1,G2と し,同 じ く グ レ イ ス ケ ー ル 濃 淡 を 持 つ 秘 匿 画 像 をSと す る.明 堂 法 で は,前 処 理 と してG1とG2お よ びSに 輝 度 変 換 を施 し,得 ら れ た 変 換 後 画 像G1'とG2'お よ びS'に 割 符 処 理 を 行 う.ま ず, G1'を 誤 差 拡 散 法 に よ り疑 似 濃 淡 画 像 に 変 換 す る.そ れ を 一 枚 目 の 擬 似 濃 淡 画 像W1と す る .次 に,W1とS'の 情 報 を考 慮 し な が らG2'を 誤 差 拡 散 法 に よ り疑 似 濃 淡 画 像 に 変 換 し,得 られ た 画 像 を二 枚 目 の 擬 似 濃 淡 画 像W2と す る.手 法 の 評 価 はW1とW2を 重 畳 して 得 ら れ る 白 黒2値 の 画 像 Cに 対 して 行 う.評 価 方 法 と して はSとCのPSNR(Peak Signal-to-NoiseRatio)な どが 用 い られ る,な お,以 後,画 像Xのk番 目 の 画 素 にお け る輝 度 値 を 簸 で 表 す.ま た,輝回 →
輝
度
変
換
→GF→2値
化 →Wl一
1
一y
Cr2H
→G2'→
2値化 →W2一
SH
m L ノ、→S『
C
E n評価
図1明 堂 法 の フ ロ ー チ ャ ー ト重
畳
度 値 は0か ら1ま で の 連 続 階 調 値 を と る も の と す る.0は 黒 を表 し,1は 白 を 表 す. 2.2誤 差 拡 散 法多 階調 の画 像 を2階 調 の画像 に変換 す るに は,量 子 化 を
行 う必 要が あ るが,そ れ に は必 ず量 子 化誤 差 が 伴 う.し た
が って,高 品位 な擬 似 濃淡 画像 を生 成 す る には,量 子化 誤差
を視 覚 的 に目障 りにな らない よ うに制 御す る必要 が ある.誤
差拡 散法 の基 本原 理 は人 問の視覚特 性 を考慮 して,量 子化誤
差 を高 域 に変調 す る こ とで あ る.誤 差 拡 散 法 の構 成 は2次
元 デ ル ターシグマ変 調 とみ なせ るの で,こ の処 理 に よ り,量
子 化誤 差 を高域側 に変調 す る こ とが で きる.そ の結 果,量 子
化 の影 響 を比 較 的 目 につ き に くい 形で 処理 で きる.
誤差 拡散 法 に対 す る入力 画像Xと
出力 画像Wのk番
目
の 画素 の 輝度 値 の 関係 は以 下 の通 りで あ る.
uk=xk十ERk,一
既 一{1
e鳶=u烏 一 ω 鳶. ERk一 Σ あ ・、, 乞∈J配 (?娩 くT) (uk≧T)'(1)
(2)
(3)
こ こ で,ERkは 蓄 積 誤 差 で あ り,Jkは 誤 差 拡 散 フ ィ ル タ が 適 用 さ れ る 画 像 上 の 領 域,ゐ は 誤 差 拡 散 フ ィル タ の 重 み を 表 す,な お,k=1の と きの 蓄 積 誤 差 は0で あ る.Tは 量 子 化 閾 値 で あ る.処 理 は 画 像 の 左 上 の ピ ク セ ル か ら右 下 の ピ ク セ ル へ 向 け て ラ ス タ走 査 に よ り順 次 行 わ れ る. 2.3秘 匿 画 像 の 埋 め 込 み 処 理 まず,白 黒2値 の 重 畳 規 則 を 図2に 示 す.一 般 に 画 素 同 士 の 重 畳 は 各 画 素 の 輝 度 積 で 表 さ れ,白 黒2値 の 場 合 はo,i の 論 理 積 に 対 応 す る. 明 堂 法 で は 秘 匿 画 像 の 情 報 埋 め 込 み はG2'の2値 化 の 際 に行 わ れ る,G2'に 対 す る2値 化 に お い て,処 理 中 の 画 素 の回
回
回
国
↓
↓
↓
↓
回
国
回
国
回
回
国
国
図2白
黒2値 画 素 同士 の重 畳 規則
輝 度 値92kに 蓄 積 誤 差 を 加 え た 値ukが, T-Du<uk<T十Du(4)
を 満 た して い る と き に,こ の 画 素 の 位 置 に 秘 匿 画 像 の 情 報 を埋 め 込 む.こ こ で △uは 任 意 の 正 定 数 で あ る.情 報 の 埋 め 込 み 規 則 は以 下 の 通 りで あ る, ま ず,現 在 の処 理 位 置 の 付 近 に対 応 す るW1とW2の 領 域(輝 度 値 が 既 知 の 領 域)を 重 畳 し得 ら れ る 白 黒 領 域 に ガ ウ シ ア ン フ ィル タ の 一 部 を適 用 す る こ と に よ り,そ の 領 域 が 仮 に グ レ イ ス ケ ー ル 濃 淡 を 持 っ て い た 場 合 の 輝 度 値 を 推 定 す る.そ の 推 定 輝 度 値 を 礁 とす る と,ゐ は 以 下 で 与 え ら れ る. dk一 Σ ・副 即2・ ・(5) 乞∈Aた こ こ で,且 κは ガ ウ シ ア ン フ ィ ル タが 適 用 さ れ る 画 像 上 の 領 域,a;,は ガ ウ シ ア ン フ ィ ル タ の 重 み を表 す.そ して,dkと 実 際 のS'のk番 目 の 輝 度 値s'kを 参 照 し,以 下 の い ず れ か の 処 理 をw2kに 対 して 行 う, 1.dk>s'の と き は,推 定 輝 度 値 を 暗 くす る た め にWl とW2のk目 の 画 素 を 重 畳 し た と き に必 ず0と な る よ う にW2の 輝 度 値 を調 整 す る.具 体 的 に は, (a)砺 一sk>tbの と き,ω 端=1か つw2k=1で あ れ ば,w2k=wlkと す る. (b)dk一 砺>tbuの と き,ω 玩=0か つ ω 翫=0 で あ れ ば,盟%=盟 鵡 と す る. 2.dk〈s'の と き は,推 定 輝 度 値 を 明 る くす る た め に, W1とW2のk番 目の 画 素 を 重 畳 し た と き に 確 率1/2 で1と な る よ う にW2の 輝 度 値 を 調 整 す る.具 体 的 に は, (a)砺 一dk>tdの と き,wlk=1か つw2k=0 で あ れ ば,w2k=wlkと す る. (b)礁 一dk>掘uの と き,wlk=0か つw2k=1 で あ れ ば,ω2々=ω 玩 と す る. 3.1(a),1(b),2(a),2(b)以 外 の と き はw2kは 誤 差 拡 散 法 の 量 子 化 に よ っ て 得 ら れ た 値 と す る. パ ラ メ ー タtb,tbu,td,tduは 任 意 の 正 定 数 で あ り,礁 とsk が 異 な る と判 断 さ れ る 閾 値 で あ る.dkとs'kの 差 の 絶 対 値 が 各 パ ラ メ ー タ以 下 の と きは,砺 とskは 等 しい と見 な さ れ, ω2鳶 に 対 し て は 何 も処 理 は 行 わ れ な い.dkと 各 パ ラ メ ー タ の 関 係 は 例 え ば 図3の よ う に な る.こ の埋 め 込 み 規 則 に よ dh-tbdh+td-
5々 輝 度 tbu fat,T 4-'ろ 〃61㌃+tdu 図3推 定 輝 度 値 とパ ラ メ ー タ の 関 係 の 一 例 り,重 畳 画 像Cに お け る微 小 領 域 の 擬 似 輝 度 値 がS'の 対 応 す る領 域 の 平 均 輝 度 値 に 近 づ き,そ の 結 果,Sに 近 い 画 像 を Cに よ っ て 再 現 す る こ と が 可 能 と な る. 2.4適 用 例 明 堂 法 の 適 用 例 を 図4に 示 す,図4よ り,擬 似 濃 淡 画 像 UI (TZ s図4明
堂 法 の適 用例
wi w2 C W1とW2は 高 品 質 に 生 成 出 来 て い る こ と が 分 か る,ま た, 重 畳 画 像Cも 良 好 に 秘 匿 画 像Sを 再 現 出 来 て い る.こ の 例 で は,G1とG2お よ びSに 施 す 輝 度 変 換 と し て,ア フ ィ ン 型 の 変 換 を 用 い て い る,G1とG2に はz'=0.45x+0.275 な る 変 換 を,Sに は 〆=0.45xな る 変 換 を 施 して い る.x は 処 理 画 像 の あ る 画 素 に お け る輝 度 値 を 表 す.ま た,G1'と G2'の2値 化 と情 報 埋 め 込 み に 関 す る パ ラ メ ー タ はT= ∩,5,△u=0.067,tb=t(1=α1/2,tbu=tdu=α1/4に設 定 して い る.た だ し,α1は 着 目画 素 に 対 す る ガ ウ シ ア ン フ ィル タ の 係 数 を 表 す.
3.対
象 手 法 の 定 式 化
3.1前 準 備 本 節 で は,統 計 確 率 的 な 解 析2)を 用 い る こ と に よ り,明 堂 法 を 定 式 化 す る.同 手 法 に お い て,入 力 画 像 に前 処 理 と し て 輝 度 変 換 が 施 さ れ て い る が,こ れ は 定 式 化 の 本 質 に は 関 係 し な い の で,こ こ で は 省 略 す る こ と にす る.も し前 処 理 も含 め た 解 析 が 必 要 で あ れ ば,定 式 化 の 際 に 現 れ る 各 種 入 力 画 像 の 画 素 の 輝 度 値xをr=Tr(x)
(6)
に よ っ て 変 換 して 得 ら れ た 値 〆 に 置 き換 え れ ば 良 い.こ こ でTrは 適 当 な 画 像 変 換 を 表 す. 本 稿 で は,画 像 の 各 画 素 の 輝 度 値 を確 率 変 数 と見 な す.す る と,割 符 処 理 の 際 に現 れ る 各 種 変 数 は,画 像 の 画 素 の 輝 度 値 に依 存 す る の で,そ れ ら も ま た確 率 変 数 と見 な す こ とが で き る.画 像 は 画 素 の 輝 度 相 対 度 数 分 布 に よ り特 徴 付 け ら れ, 画 像 の 画 素 の 輝 度 値 に 対 応 す る 確 率 変 数 は そ れ か ら得 ら れ る 確 率 密 度 関 数 に 従 う.理 論 的 に は,そ の 確 率 密 度 関 数 と輝 度 相 対 度 数 分 布 は 同 じ も の と な る.な ぜ な ら,輝 度 値 は 区 間[o,1]上 の 連 続 値 を 取 る か らで あ る.従 っ て,割 符 処 理 中 の 各 種 変 数 に 対 応 す る 確 率 変 数 も ま た 確 率 密 度 関 数 を 持 つ. な お,以 後,確 率 変 数Xが 持 つ 確 率 密 度 関 数 をfXと 表 す.3.2擬
似濃 淡 画像 の統 計確 率 的解 析
こ の 小 節 で は,擬 似 濃 淡 画 像 の 白 黒 画 素 の 分 布 に つ い て 考 察 す る.擬 似 濃 淡 画 像 はG1とG2に 誤 差 拡 散 法 を適 用 す る こ とで 生 成 さ れ る.そ こ で,誤 差 拡 散 法 の 際 に 生 じる 誤 差 を 確 率 的 に 記 述 し,W1とW2の 白黒 分 布 の 挙 動 を 明 ら か に す る. 誤 差 拡 散 法 に現 れ る 各 種 変 種 槻,ERk,ekに 対 応 す る 確 率 変 数 を そ れ ぞ れ 碗,ERA,&と す る と,式(1)よ り, uk-x+ε π ・,ERk一 Σ ゴ・ε・(7) 乞∈J配の 関係 を得 る.こ こで,xは
処 理 画像 の画 素 の輝 度値 に対
応 す る確率 変数 を表 す.2つ
の 確 率変 数 の和 に対 す る確 率
密度 関 数 はそ れ ぞれ の確 率 変数 に対 す る確 率 密 度関 数 の畳
み込 み で与 え られ るこ とか らukに
対 す る確 率密 度 関数 は,
姻
一!ン
・(u-y)励)dy(・)
とな る.ま た,式(7)の 誤 差 項 に お い て,任 意 の ぎ∈ ゐ に対 す る ゴ,ε、の 確 率 密 度 関 数 は, 偏(・)-fE,(7i・)(9) で 与 え られ る の で,こ れ と確 率 変 数 の 和 と畳 み 込 み の 関 係 を 用 い れ ば,ε π κ に 対 す る 確 率 密 度 関 数 は, ∫επ、(e)一 猛
仏(渉(・
一 Σ 肋
乞
∈」
た))耳
鳥(樋
z≠z'z≠ 乳ノ (io) と な る.こ こ で,多 重 積 分 はIJ々1-1回 の 積 分 で あ る.Ek に 対 す る確 率 密 度 関 数 に 関 して は,G1とG2と で 導 出 方 法 が 異 な る.そ れ は,G1に は 通 常 の 誤 差 拡 散 法 を 適 用 す る の に 対 し,G2は 情 報 埋 め 込 み 処 理 を 含 め た 誤 差 拡 散 法 を 適 用 す る か ら で あ る.導 出 方 法 は そ れ ぞ れ 以 下 の 通 り と な る.な お,sk,wlk,w2kに 対 応 す る 確 率 変 数 を そ れ ぞ れ S,ンV玩,γV2κ とす る, G1の 場 合 に つ い て は,ukの 値 は 以 下 の2通 りの 場 合 が 考 え ら れ る の で,そ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て 誤 差 の 分 布 を調 べ る と, Case1.一 〇Q〈uk<Tの と き wlkは 必 ず0と な り,式(3)よ り 砺=ukと な る.よ っ て,上 記 のukの 範 囲 をekで 記 述 し直 せ ば,-DOく 儲 くTと な り,こ れ を 満 た す 儲 に対 応 す る 確 率 変 数 ε!1)の 分 布 はukの 分 布 と等 し くな る とい う こ とで あ る.す な わ ち, !,(・)(・)=プ 砿(・),一 。。<・<T(11) 庸 で あ る, Case2.7「 ≦ 妬 くOoの と き wlkは 必 ず1と な り,式(3)よ りek=uk-1と な る.よ っ て,上 記 の 無 の 範 囲 をekで 記 述 し 直 せ ば, T-1≦2k〈Ooと な り,こ れ を 満 た すekに 対 応 す る確 率 変 数 ε!2)の 分 布 は 偽 一1の 分 布 と等 し く な る と い う こ とで あ る.す な わ ち, 1,(・)(・)-fug-・(・)た
=fug(e十1) ,T-1≦eくOQ(12) で あ る. よ っ て,式(11)と(12)よ り,Ekの 確 率 密 度 関 数 は, f・、(・)一!,(・)(・)+f,(・)(・)(13) k`k と求 め る こ とが で き る. G2の 場 合 に つ い て は,妬 の値 は 以 下 の4通 りの 場 合 が 考 え ら れ る の で,そ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て 誤 差 の 分 布 を調 べ る と,Case1.一 〇〇<無 ≦T-△uの と き w2kは 必 ず0と な り,式(3)よ りek=ukと な る.よ っ て,上 記 の 妬 の 範 囲 を 銑 で 記 述 し直 せ ば,一 〇〇< 儲 ≦T-△uと な り,こ れ を 満 た すekに 対 応 す る 確 率 変 数(iEk)の 分 布 は 礁 の 分 布 と等 し く な る と い う こ とで あ る.す な わ ち, !,(・)(・)=飢(・),一 ・Q〈 ・ ≦T-△u(14) 驚 で あ る. Case2.T+△u≦ 砺 く ○○ の と き w2kは 必 ず1と な り,式(3)よ りek=uk-1と な る.よ っ て,上 記 の 娠 の 範 囲 を 鍋 で 記 述 し 直 せ ば, T+△u-1≦ekくOQと な り,こ れ を 満 た すekに 対 応 す る 確 率 変 数(zEk)の 分 布 はuk-1の 分 布 と 等 し く な る と い う こ と で あ る,す な わ ち, ∫,(・)(・)一
驚
肱 一 ・(・) 一fu g(e+1), T十 △u-1<e<OQ(15)
で あ る. Case3.T-△u〈uk<Tの と き 通 常 の 誤 差 拡 散 法 で あ れ ば ω%=0と な る が,情 報 埋 め 込 み の 規 則 に よ っ て は ω2鳶=1と な る 場 合 も あ り得 る.従 っ て,w2kの 値 と して 期 待 値 を 用 い る こ と に す る.こ こ で, Ps〈-P(s・x)イ!・(s)ds Ps・-P(s・x)-ff(・)ds PN'tk=Pb(ンV翻=0),t-1,2 増 妬=P(ンV翻=1),t=1,2(is)
(17)
(i8)
(is)
とお く.た だ し,P(A)は 事 象 凶 が 起 こ る確 率 を表 す. 初恥 の 期 待 値 は, <w2k>-pr2ん ・0+増2允 ・1 で 与 え ら れ る. Pwzkwは,(zo)
情 報 埋 め 込 み 規 則 よ り,式(20)中 の 増2一 畷 〉.伽 ぜ1辱P撮 言〉欄 増1配(21) と な り,ぜ2た は, Pwzb一P撮 証〉.伽P謬1た+P撮 言〉欄 ぜ1配 +畷 〉+td-P撮 証〉.tbu(22)とな る.た だ し,推 定輝 度値 は,そ れ の期 待値 を用 い,
〈dk)一 Σ ・綱,(23) z∈Aた 幅 〉一(1一 増1・ 増2り ・0 +(増1・ 増2り ・1(24) で 与 え られ る,式(3)のwkを 式(20)で 置 き換 え,上 記 の 娩 の 範 囲 を 儲 で 記 述 し直 せ ば,T-△u-〈w2k)< ek<T-〈w2k)と な り,こ れ を満 た す 砺 に 対 応 す る 確 率 変 数E(3k)の 分 布 はuk-@2紛 の 分 布 と等 し くな る と い う こ と で あ る.す な わ ち, !,(・)(・)=ん 、一く叫(・) κ =ん 庸(e+〈 ω2鳶 〉), T-△u-〈u/2烏 〉〈e〈T-〈 ω2鳶 〉(25) で あ る. Case4.7「 ≦ 妬 〈T+△uの と き 通 常 の 誤 差 拡 散 法 で あ れ ばw2k=1と な る が,情 報 埋 め 込 み の 規 則 に よ っ て は ω%=0と な る 場 合 もあ り 得 る.Case3と 同 様 にw2kの 期 待 値 を 考 え る と,そ れ は 式(20)で 与 え ら れ る.情 報 埋 め 込 み 規 則 よ り,式 (20)中 のPW2kbは, 酬2一 蛮 〉-tbPwlk+P(dti>.WltitduPb(26) と な り,.Pn/2kwは, 増2一 蛮 〉一,、可1配+P濫 〉.WlktduPw +P漏.Ps<tdu(dk>-tb(27) と な る.式(3)のwkを 式(20)で 置 き 換 え,上 記 の 無 の 範 囲 を 鍋 で 記 述 し直 せ ば,T-〈w2k>≦eκ 〈 T+△u-@2紛 とな り,こ れ を 満 た すekに 対 す る確 率 変 数 ￡.(4k)の分 布 は 臨 一@2陀 〉の 分 布 と等 し くな る と い う こ とで あ る.す な わ ち, !・￡・・(・)=ん ・一く叫(・) =fug(e十 〈w2k>), z「一 〈ω2烏 〉 ≦e〈7「 十 △u-〈 ω2鳶 〉(28) で あ る. よ っ て,式(14),(15),(25),(28)よ り>Ekの 確 率 密 度 関 数 は, !・・(・)=!・!・・(・)+!・!・・(・)+!・!・・(・)+!・!・・(・)(29) と求 め る こ とが で き る. 以 上 に よ り,誤 差 拡 散 法 に お い てk番 目 以 前 の 処 理 で 発 生 した 誤 差 分 布 と処 理 画 像 の 画 素 の 輝 度 分 布 か らukの 確率 密 度 関 数 を計 算 す る こ と が で き,そ れ を 用 い れ ば,W1の k番 目 の 画 素 が 白 に な る確 率 は,
増1一
ズ い
脚(・
・)
で 求 め る こ とが で き る,ま た,W2のk番 目の 画 素 が 白 に な る 確 率 は, Pwzk=pw(T-△u〈 臨<T)畷>Wlti‐t6uPb +P(T-△u〈 臨<T)Ps>/dw>Wlk+tdPw 十P(T≦ 臨 くT十 △ の ・ (Ps</dw>-WlwtbPb+P㍍ 〉馳 曜1・ +畷 脚 ゼP畠 薫〉-t・) 十P(Llk>T十Du)一
且塩
飯(碗
・ぜ+㌦
脚+心
蘭 脚
(31)
で 求 め る こ と が で き る.た だ し, P1-Ps</dw>一 飴。酬1た+Ps>/dw>Wlk+tdPw Pz-Ps</dw> 一飴 罵"1た+P畠 言〉+pWlwtduw S<SG で あ る.3.3重
畳 画像 の統 計 確 率的 解析
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こ の 小 節 で は,重 畳 画 像 の 白黒 画 素 の 分 布 に つ い て 考 察 す る.CはW1とW2を 光 学 的 に重 ね 合 わ せ る こ と に よ り 得 られ る.Cの 画 素 が 白 に な る の は,W1とW2の 画 素 が 共 に 白 に な る 場 合 の み で あ る.従 っ て,Cのk番 目 の 画 素 の 輝 度 値 に対 応 す る確 率 変 数 をCkと す る と,そ れ が 白 に な る 確 率 は, PCtiw=P(Ck=1) -P(T-△<uk〈T)噛 〉欄 増1配 十P(T<uk〈T十Du) 噛 〉.m、。他 伽}酬1た +P(uk≧T+△ のP謬1た T PwP(dk)+tafuw(u)du T-Du+Ps>(dti・
一_一
・ズ+㌦
励
・∴
飯(u)du}
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で 求 め る こ とが で き る. 4.ま と め 本 稿 で は,明 堂 ら に よ り提 案 さ れ た 画 像 割 符 の 手 法 に つ い て 確 率 論 的 観 点 か ら の 定 式 化 を 試 み た.定 式 化 の 結 果,疑 似 濃 淡 画 像 と 重 畳 画 像 の 輝 度 分 布 に 関 して,そ れ らの 確 率 的 な 挙 動 を 理 論 的 に 記 述 す る こ とが で き た.こ れ に よ り,例 え ば,疑 似 濃 淡 画 像 か ら高 品 質 な 重 畳 画 像 が 得 ら れ る よ う な 入 力 画 像 セ ッ トの 推 定 や 画 像 割 符 の パ フ ォ ー マ ン ス に 影 響 を及 ぼ す 各 種 パ ラ メ ー タ の 最 適 化 な どが 理 論 的 に 可 能 と な る. 今 回 の 定 式 化 で は,統 計 確 率 論 に お け る 初 歩 的 な 手 法 を 用 い て お り,得 ら れ た モ デ ル が 実 際 の 結 果 に 即 し て い る か を シ ミュ レ ー シ ョ ン を 行 い 検 証 す る 必 要 が あ る.そ して,よ り洗 練 さ れ た 着 想 に 基 づ く定 式 化 を行 い,よ り高 度 な 理 論 モ デ ル と して 昇 華 させ て い く.以 上 の こ と を 今 後 の 課 題 と し,本 稿 の ま と め とす る,謝 辞
本 研 究 の 一 部 は,戦 略 的 研 究 基 盤 形 成 支 援 事 業 の 援 助 を 受 け て い る こ と を こ こ に 記 し,謝 意 を 表 し ま す.参 考文 献
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