不規則分布荷重を受けるアーチ部材の分散・共分散応答解析 : 不規則分布荷重を白色雑音過程でモデル化した場合(その1)

』

1

論　 文

l

UDC ：624

．

042

．

4 ：624

．

042

　 　 日本 建 築 学会 構 造 系 論文報告集

’

第 423 号

・

1991年 5 月 Jeurnal　of 　Struct

．

　Constr

．

　Engng

．

　AIJ

，

　ND

．

423

、

_．

M_羣Y

，

1991

不 規 則 分 布 荷 重

を

受

け

る ア

ー

チ

部材

の

分

散

・

共

分

散

応 答 解 析

　　　　　　

不規 則 分布荷 重 を白色雑 音過程

でモ デル

化

し た 場

合

（

その

1

_）

PROBAB

正

LISTIC

　

ANALYSIS

　

OF

　

ARCHES

　

SUBJECTED

　　　 　

TO

　

STOCHASTIC

　

DISTRIBUTED

　

LOADS

　　　　

The

　case 　Qf　white 　noise 　randQm 　

field

（

Part

　

1

）

　

卜

．

　 　 　

岡 林 隆 敏

＊

，花 井 正 実

＊ ＊

，

吉

田

啓

三

＊ ＊＊

Takatoshi

　

OKABA

　

YASffl

_，



Masami



LllAIVIAI

_and

1

_壷伽

YOSHI

_ヱ）

A

　

This　

paper

　is　cQncerned 　with 　a　

i

ぬethod 　

for

　calculating 　the　

deviatiqn

　of　the　

displacements

．

and

the　

internal

　

forces

　of　arches 　to　stochastic 　

distributed

　

loads．

　

The

　purpose　of　this　_paper　is　to　ex

−

plain　the　basic　_Concept　ofthe_presentmethod _andto_apblythe　method 　tα _；

he

　arches 　subjected 　to

di

ミtributed　

load

きidealized　into　white 　noise 　random 　fields

．

　

As

　the　numerical

「

results

_，

　the　standard 　

deviation

　of　the　responses 　of　

displacements

　and 　the　

inter

−

nal　

forces

　are　shown 　

for

　a　two 　

hinged

　arch　and　a　

fixed

　arch 　under 　the　white 　noise 　dis廿ibuted

load．

κeg 脚 晦 1_卿 鹹 鯒 …

ψ

_蹴 st・cha・tic　

differential

　eeaation

_，

・覦 伽 飼

4

_a・eh

　　　　　　

確 率 論 的 解 析

，

確 率 微

_分

方 程 式

，

確 率 場

，

アニ チ



．



．



’

1，

は じ め に 　 信 頼 性に基づ く構 造 設 計 理 論に よれ ば

_，

構 造 物の安 全 性は，変動す る荷 重に対す る構造系の応答の確率特性と

，

材 料 強 度の確 率 特 性によ り評 価さ れ る

。

こ の場 合

，

前 者 につ いて は_， 動的 荷 重であれ ば

，

それ に よ る 構 造系の応 答の確 率 特 性は

，

不 規 則 応 答 解 析によ り求め られる

。

こ の分 野で は

，

特に

，

破 局 的な事 態 を 引き起こ す地 震や強 風によ る構 造 物の動的応答め_{問 題}につ い て

，

ネ規 則 振 動 論に よ る様々 な解 析手法が 提案1LZ ｝ さ れ てい る。 静 的な 荷 重につ いて も特に_変動の大きい構造物の活 荷 重に関し て近 年 多くの調 査が行わ れ

，

確率論 的な荷 重モ デルコ）

一

’） の_研究が_進め られ てい る。 中で も空 間 的に不 規 則に分 布 す る床荷 重につ い て は‘空 間

的

に相 関のあ る確 率 場で モ デル化4）

−

D｝す るこ と が試み られて い

．

る

。

また

，

叢 近で は

，

不確 定力 学特性を有

_す

る静 的 構 造 物の解 析につ い て も 様々な研 究が行われて い る1°）

・

11 ＋ 。 　こ の静 的 不 規 則 分 布 荷 重が作用 する構造系の_解析は

，

不 規 則 振 動 解 析が初 期 値問題にな るの に_対して_{， 境界 値} 問 題になるた めに

，

こ れ ま で グリ

ー

ン_{関 数}に よ る解 法が 用い ら れて きた

。

し

Q

・

．

し

，

グリ

ー

ン関 数 法5 ）

・

D ）で は

，

_グリ

ー

ン関 数が複 雑になる構 造 系や

，

荷 重の_罕問 的な変 動の自 己相関 関数が複 雑な 場合

，

応答の分散を得る ため の積 分 が極 めて煩 雑に な るた めに_， こ の 解 法で実際に _{解 析}で き る構 造 系あ るい は荷 重モ デル は 限定さ れて いる。 　そこ で

，

本 研 究で は

，

不 規 則 分布荷重が作用する ア

ー

チ部 材の変形と断 面 力の分散

・

共分 散 を 得 る た めの

，

_確 率 微 分 方 程 式に よる不 規 則 応 答 解析の手 法 を提 示し

，

さ らに こ の解 法に より得ら れた結 果 を用い て

，

荷 重の 空間 的な変 動の状態 が 応答に及ぼす影 響につ い て検 討し た も の であ る。 ア

ー

チ構 造は偏 在 荷 重に対し て脆 弱である こ と が知ら れてお り

，

信頼性 解 析で は荷 重の空間 的な変 動 と 応答の関 係を 明 ら かにして お く必要が ある。 こ の よ う な問 題の _{実 際 的対 象}と しては

，

ア

ー

チ構

_造

の屋 根に積 雪 が あ る場 合が挙げ られ る が

，

風_ρ状 態に

_ホ

っ て様々 な積 雪の状 態が形成さ れる こ と が知ら れ てい る12｝

・

］：1 ）

_。

　 著 者らは

，

不 規 則 分 布 荷 重の作 用す る単 純 ばりの解 析14）

・

15 ）_を 行っ ており

，

本 研 究で は荷 重の空 間 的な変 動に 敏 感に応答す る ア

ー

チ部材の _{解 析}に こ の理論を拡張 し た。 本 論 文で は

，

不規則分布荷重を白色 雑 音 場で モデル 化し た場合の ア

ー

チ部 材の分散

・

共 分散応答解 析 手 法と 数 値 解析 結 果につ い て_示した

。

本 解 法では

，

まずア

ー

チ 部材の変 形の挙 動 を状 態 空間で確 率 微分方 程 式に よ り記 　＊ _{長 崎 大学工学 部 社 会 開 発工学 科 　助 教授}

・

_{工 博} ＊ ＊ _{広 島 大学工学 部 第4類 （建 設 系} ）教授

・

工博

’

＊ ＊ ＊ _松 尾橋梁 （株 ）

・

・

工修

Assoc

．

　PrQf

．

，

Dept

，

　Qf 　Civil　Engineering

，

　Nagasak 互Univ

．

　Dr

．

　Eng

，

Prof

．

，

Dept

．

　 of 　Architectura［Engineering　Hiroshima　Univ

．

　Dr

．

　Eng

Maluo　Bridge　Co

．

　Ltd

，

　M

．

　Eng

．

述 し

，

次に応答の分 散

．

共 分 散の変 化を微分方 程 式で記 述さ れ る共 分 散 方 程 式で表 現する。 こ の 方 程式は境 界 値 問 題になっ て いるので， 伝 達マ ト リッ クス法の理 論を拡 張し た手法によ る解 法 を示し た。 具体的な解 析モデル と し て

，2一

ヒ ンジア

ー

チ お よ び 固定ア

ー

チを考え

，

数値解 析 を行っ た。 本解 法は， 境 界 条件の変更， 変 断 面の場 合

，

さ ら に空間的に非 定 常な変動を有す る荷 重の場 合にも容 易に適 用で き る 汎用 性 を有してい る

。

　

本 論文では不規則分 布 荷 重を白色雑音場で モデル化し たが

，

実 際の荷重は空 間 的に相 関が あ る確 率 場で表さ れ る。 こ の よ うな場合， 白 色 雑 音過 程 を 入力し

，

こ れ にあ る種の フ ィ ル タ

ー

をか け た荷重系を導入 する

。

こ の よ う な荷重 系と構造 系に対して本 論 文の手 法 を適 用 すること により

，

基本 的に こ の よう な問題の解 析は可 能で ある

。

2，

ア

ー

チ部 材の状 態 空 間表示と境 界 条 件の処 理 （1 ）基 礎 方 程式の_状態 空 間表 示

　

分 布 荷 重の作 用す る， 変 断 面 任 意 形 状ア

ー

_{チ部 材}の_変 形 と 断 面 力につ いて考え る

。Fig、

1に ア

ー

チ部材の微 少 素片 を示 し た。 ア

ー

チ軸 線の s にお け る半径 方 向 変 位

，

接線方 向 変 位

，

た わみ_角， 曲げモ

ー

メン ト

，

軸 力お よ び せ ん断 力 をそ れ ぞ れ

，U

（s）

，

面（s）

，

φ（s）

，

　

M

（s），　

N

（s） お よび

Q

（S）とする。 ま た

，

半 径 方 向お よび接線方 向の 荷重 強 度 を

p

｛s）と す（s_）で表すと， 微 小 変 形を 仮定し た ア

ー

チの基 礎 方 程 式IE，_は

_，

_{次 式}で与え ら れ る。 た だ し， 変位の正 方 向は荷重 と 同 じ向き で定 義す る もの と す る。

　　

　籌

rw

（・

后

漏

π（・）＋

赫

。）万（・）

蓋

万（・）

一一

鳶

茄（・）＋

」

（・）

寿

（・）

_E

’

（。）

万

（ ・）

蓋

万〔・）

−

Q

（・｝

妾

万（・）

一

意

頁

（・）

一

す（・）

譱

頁

（・）

一一

歯

雨

う （・）

Fig

．

1　Segment　of　arch

……

_（

₁

_）

．

dM

◇dN

一

₉₈

一

こ こ に

_，

∬（s）

，A

（s）

，

　

R

_（s）お よ び E は

，

それ ぞれ断 面 2次モ

ー

メ ン ト

，

断 面 積

，

曲率 半 径お よび弾性 係 数であ る

。

こ の方 程式 を 無次 元 表 示す る た めに_， ア

ー

チ軸 長

，

基 準 断 面

2

次モ

ー

メン トおよび基 準断 面積をそれ ぞ れ

，

L

，

1。お よび

Ao

として

，

　 　　冗oω ＝ 「副8）／

L ，

　u（x｝＝

E

（s）／

L

　　　

il

（x_）　

＝

・

　

il

_（s_），

　M

（x） ＝

LM

（s｝／

Elo

　　　N

（x〕；

Lt

ハア（8）／E1』

，

　

Q

（x）＝

L2Q

（s）／E1_』

　　　

x＝　s_／

L − ・

………・

・

……一 ・

…・

・

一 …

（

2

） なる無 次 元 量を導入 す る

。

　

次に

，

ア

ー

チの基 礎 式 を 状 態 空 間表示す る た めに

，

状

ma

変

tw

　

x

_（x_）を 次の式で定 義する。

　　　x

（x）

＝

［w（x）u（x＞φ（x）M （x）N ｛x｝

Q

（x）］T 　 　　　 　　　 　　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（3 ） この状態変数を 用い て無 次 元 化し た方 程式 は

，

　　　誌

x（x）

譎

ん ω xω ＋凡ω 　 　　　 　　　 　　 　 （

O

≦x ≦1 ＞

・

・

け…

　

一・

…

　

一…

　

一・

（4） 　境 界 条 件 ：

X

_（

O

_）

＝

芯

，．

舐

1

）

＝K

， の よ うにベ ク トル表示さ れ る

。

こ こ で

，

係 数 行 列 Ax（1：） と外 力ベ ク トル 凡 （x）は_，

Ax

（x）

＝

＝

　0　 　θ（x）0　 　0

一

_{θ（x）　 0　　1}

₀

　0　 　　 0　 　0　

− i

（x） 　0　 　 　

0

　 　

0

　 　

0

　

0

　 　 　

0

　 　0　 　 0 　0　 　 　 0　 　0　 　 0

b

（x）　

0

　

0

　 　 　

0

　 0　 　 　 0 　 0　 　 　 1 　0　 　θ｛x）

一

_θ（x）

₀

　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　 　　　

・

・

（5 ） 　 　　Fx（x｝

＝

［0 　0 　0　0　　η（エ）　ξ（x）］T

・

　　　

…

　（6） で ある

。

なお

，

　 　　θ（」じ）

＝L

／

R

（x），　α（x）；

AoR

（x） 2 ／　

i

， 　 　　a（コじ）

＝

Ao／

A

（x），　

i

（x）

＝

＝

　lo／1（x） 　　 　

b

（x）

＝

αω ／（αω θ 2 （x）） であり

，

さ ら に

，

接線方向お よび半 径 方 向の無 欠 元 外 力 を

　　　

η（コじ）

＝一

_γて「（s）

，

　　

ξ（x）＝

　

一

_γす（s） と し た

。

こ こ に

，

γ

＝L

ヲ

E

ムで あ る

。

　

（4 ）式の解は

，

線 形微分方 程式の理 論よ り

　　　

x（x）一 _・ x（x，。）x・・

∬

・

・

（・・，脇 ω

d

・

・

…・

_（・） で与え ら れ る

。

こ こ に dix（x

，

λ〉は状 態 遷 移 行 列で あ り，

　　　

蓋

・。 （・

，

・）

−

A・（・）・・x （x

，

・）

…………・

…・

・

（・） 　 　 　φx（凡λ）＝＝1 で定 義さ れ る もので あ る

。一

様 断 面の 円弧ア

ー

チ の場 合 には， 係数行列の要素が定 数と な るの で

，

状 態 遷 移 行 列 は

，

　　 　φエ （λ，

，

λ1）＝ exp （A

エ

〔λ_，

一

λ₁））

………・

…

　

…・

…

（9） で表 され る。 この場合， 状 態 遷 移 行 列の要 素は解 析 的に

決 定 する こと がで きる。 こ の状 態 遷移行列 φx（λ，

，

λ，）の 要 素を付 録 ［

1

］

’

に示し た

。

1’

　 　 　 1 （2） 境 界 条 件の処 理

　

本 研 究で提 案 する解 法は

_，

伝 達マ

’

ト リッ クス法で確 立 された境 界 条 件の処 理 法により， 境界値 問題 を初 期 値 問 題に変 換するもの である

。

こ こ で は_， ア

ー

チ部 材め右 端 と左 端の境 界 条 件の処 理につ いて説 明す る

。

　

左端と右 端の境 界 条 件の要 素は_，



”

　 　　K。＝ ［w。 u。 φ¢ M。　N。　

Q

。］ T

−…一 ・

・

………

（10）

　　　X

，

＝

［ωLUL φ‘M， N，

Q

，

．

］ T

・

………

（

11

） であ る。 左端が回転支点ある い は固 定 支 点の場 合

，

そ れ ぞ れ次の よ う な自由 度が ある。

　　　

［φo

　

／Vo

　

Qo

］ 7

，

　

［ルfo丿V』

　

Qo

］T

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

∴

・

・

_（ユ2） こ れ を初 期ベ ク トル と称し て x。で表すと

，

左 端 境 界 条

f

牛　｝ま

，



’



噛



1



・



．



r



，

　 　 　X。

＝

BエX 。

・

………・

………・

………・

…tt・

……

（13） とな る

。

こ こ

’

に

，

Bx は左 端 境 界マ トリック ス であ り

，

回転 支 点お よ び固 定 支 点に対し て　L 　 　 　 　

’

　　　　　　「

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

調

0000 ∩

V1

000010 001000 00000 ユ 000010 000100

…



一一

_∵

・

・

・

・

・

…

_（

₁₄

_） で与え ら れ る

。

　他 方

，

右 端では回転 支 点お よび 固 定 支 点につ いて

，

そ れ ぞれ次の変 数は

0

と な る

。

　 　　［WL 　UL　

M

，］ T ，　

』

［WL 　UL 　φ，］ T

・

・

一

・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（ユ

5

） これを終 端ベ ク トルと称して XL で_表す と

，

右端 境界 条 件よ り

XL

は右端境 界マ ト リックス 瑳 を用い て

，

次の よ う に抽 出す るこ と がで き る。 　 　　B

．

f

　XL

；

XL

＝

0

…・

…・

…・

一 ……一 ……・

…・

・

_（16 ） こ こ に

，

濫 の要 素は回転 支 点お よび 固定 支 点に対して

，

そ れぞれ

’

・

［

ili

｝

ii

_］

，

隣

iii

］

　 　　　 　　　 　　　

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　《

17

） で与え

．

ら れる

。

3．

不規 則応答解 析 （1 ）

　

荷重の モデル化と応答の確率 特性 　 半 径 方 向および接 線 方 向の荷 重 強 度 を

，

空 間 座

ee

　x で規 定さ れ た確 率過程で モデル化 す る

。

確率過 程 は

，

　 　　η（コρ）＝

E

［_η（X）］

』

十

il

（X）　　　　

1

　　

’

　　　

ξ（x_）一

’

E

’

［ξ（、，）］＋

ξ

（x）

’

”

_．

”… ’

… … ”

_《’8） の よ うに_，

一

般に平 均 値と平 均 値

圃

りの変 動に分 離する こ と がで き る

。

こ こ に

，

E ［ ］は集 合 平 均の た めの演 算子 で あ り

，

＾

は平 均 値 回 りの変 動 を表 す もの とする

。

さ らに_平均値回

・

り の変 動は_，

　　　

∫_｝（二じ）

；

gi（x｝nL（x），

　

ξ

（二t＞ ≡

＝

9，（X）n2（コσ）：

・

・

・

・

…

　

（19 ） の よ うに

，

荷 重 強 度の空 間 的 変 化 を表す確 定 関 数 91ω 一

g2

（x）と_， 定 常 確 率 過 程 nl（x ）お よ び nt〔x）の積で構 成さ れる非 定 常 確 率 過 程で表され る もの とする。

．

本 論 文は，

．

解 析 手 法の基 本 的な構 造を示すもの であ るの で

，

定 常 確 率 過 程と して正規 白 色 雑 音 過 程を考える

。

正規 白色 雑 音 過 程の_{確 率 特 性}は

，

平 均 値と共 分 散に _より規 定さ れ る。 　a_）

E

_［ni（x）｝

＝0

　　 （

i＝1，2

）

…………一 一 ・

・

（

20

） 　

b

）　

E

［ni（ユ

iDnJ

（x！｝］＝ σあ 2 δ〔x1

−

x2） 　 　　 　　　 　　　 　 （

’

i＝

・

1，

2

　ブ

＝1，2

）

・

…・

∵

…

（

21

） こ こ に

，

δ（x）は ディラッ ク

「

（

Diiac

）の デル タ関 数であ り， σあ 2 は白色 雑 音 過 程の強 度で あ る

。

　この よ う な荷 重が作用す る ア

ー

チ部 材の _{外 力}ベ ク トル と応 答_{φ確率特 性}につ い て述べ る。 （

6

）式の外 力ベ ク トル は

_，

　 　　」『』（3ぴ）

＝E

［Fx（x）］十Fi （こじ）

・

・

tt

・

・

・

・

…

　

77・

・

一・

・

・

・

…

　（22） に分離さ れ

，F

ヨ  は平 均 値 0の白 色 雑 音 過 程ベ ク トル と な る

。

し た が

．

っ て

，

Fx（x）の共 分 散 行 列は

，

・

　

−

　 　　

E

［

Fx

（Xl）

Fl

（Xt）］量 　　 　 　

L

［

：

：

1

_二

1

_：

_：

1

_：

_：

lllll

_：

1

_：

_：

_：

11

一 と な る。 白 色 雑 音 過 程ベ クトル の共 分 散 行 列は， （

21

＞ 式よ り 　 　　E ［Fx（Xi）Fl｛Xr）］

＝

Qx

（Xl）δ（Xl

−

Xt_）

…



…・

・

…

_（25_） で

_表

さ れ る。 こ こ で

，

強 度 行 列

Q．

（x）の要 素は

Q

・…

一

［

：

：

：

_：

lil

_：

_：

_：

_無

1

_：

1

　　 　　　 　　

…・

…・

…・

…・

・

・

……・

…・

…一

（26 ） で与 えら れ る

。

上記の_行列におい て Ore1は （ic× ‘｝の 0行 列を表す もの と す る。 こ こで

，

無 次 元 化 し た荷 重 η（x）

，

ξ〔x_）につ い て考えて いる が

，

この荷 重を構 成 する白 色 雑 音過程と ρ（s）

，

q（s）の荷重を構 成す る白 色 雑 音の 分 散

・

共分散との関 係は

，

　　 　

．

σ

IJ2

＝

γ2L σ

1

∫

…・

一 …

：

…・

…・

一 一 ・

………

（27） と なっ てい る

。

こ こ に

，

ah は s の座標で与えた場 合の 白 色雑 音過程の強度である_。 な お

，

atj＝_{crli であ}る

。

_こ の関 係は付 録 ［田］に示し た

。

な お

，

半径 方 向の み に定 義 区間で定 常 な 分 布 荷 重の作 用す る よ う な場合は

，

（25） 式に お い て_，

g

，（x）

＝

Oお よ び g，（x）

・

−

1と な り

，

強 度 行 列

Qx

｛x ）は定 数 行 列とな る。 　この よ うな荷 重の作 用す る構 造 系の応 答は

，

一

一

₉₉

一

　　 　丿

r

〔x）

＝E

［

X

（コc）］十

X

（コc）

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

…

　（28） の よ うに分離で き る

。

外 力の平均 値

E

［＆ ω ］に対する 応 答の_{平 均値}

E

_［

X

_（x_）］の_{解 析}は

，

従来の_{構 造 解 析}の_対 象と さ れ て き た もの で あ る

。

本研究の 目的は応答

X

（x） の分 散

・

共 分 散 を 解 析することである

。

す な わ ち，

　

　　

蓋

畑

一

毒ω

細

鴫

ω 　　 　　　 　　　 　　（0≦x ≦1）　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

（29 ） 　 境 界 条 件 ：X_（0_）

＝

X_。

，

X_（1_）

＝

Xi の方程 式よ り

，X

（x）の共 分 散 　　 　

R

エ（x）

＝E

［

X

（x）

X

（x）『】

……・

・

・

・

……・

……・

…

_〔30） を求め る ことで あ る

。

外 力凡（x）が正 規 過 程である と す れ ば， 応 答の確 率特 性は

E

し

Y

（x）］とRx（x）に より規 定 で き る

。

　本 研 究では

，

平 均値回りの_変動の み に着 目する。 そ こ で

，

式の表 記を簡略化す る た めに_， 以 後， 平 均 値 回り の 変動の 記 号　を取り除いて諸式を表 示す る

。

（2 ｝ 応 答の共 分 散 方 程 式に よ る表 現 　応 答の分 散

・

共 分 散の _{空 間 的 変 化}を記述 する共分散 方 程 式につ い て説 明す る。 応答の共分散の定 義 式 （30）式 に

，

状 態 方 程 式の解 過 程 （7） 式 を代入 し

，

白色 雑 音 過 程の性 質 （25）式を用い て積 分を実 行する と

，

次 式を得 る。 ＆ ω ＝ _φ エ（x

，

O

）

R ＝。

　

dil

（x

，

　O） ・

∬

・［

x

。

Fl

（λ）］・；（x

，

・）

d

・ ・

∬

覲 （x

_，

・）・［

x

・

FE

（・）］・・ ・

．

cx

　・・．（Xt ・）

Q

・（・）・：（・

，

・）

d

・ 　 　 　 　

…・

・

………・

…・

・

…・

……

（31） 〔

31

＞式は_{共 分散}応 答を表し て い るが

，

dix（x

_，

λ）が複雑 な場 合

，

Lの積 分は極めて煩 雑にな る。 さ らに変断面任 意 形 状の ア

ー

チ部 材で は

，

こ の積 分は解析 的に_実行で き な い

。

　そこ で

，

（31）式を数 値 解 析に適 し た微分方 程 式に変 換す る

。

誘 導を付 録 ［且］に示し た

。

　 　 　 d 　　 　　

Rx

（x ｝

＝A

エ｛x）

Rr

（x）十

Rx

（x）

AUx

） 　 　 　

dx

　　 　　　 　　 　十 Φエ（x

，

O）E ［XeFi （x）］ 　　 　　　 　　 　十

E

［凡 （ヱ床 『］φ丕（x

，

O

｝十

Qx

（コc） 　 　 　 　

……・

・

……・

・

…・

・

………

（32） 　境 界 条件：

Rx

_（

O

_）＝

R

．

。

，

　

Rx

（

1

｝

＝Rx

、

…・

…・

・

…

_（33） こ こ に

，

Rx

。

と RxLは右 端と左 端の境 界 条 件の共 分 散で あ り

，

　　 　

RXe＝E

［

X

』

X8

ユ，　RXi

＝

E［X，X 『］

…

　

tt・

・

・

・

・

・

…

　（34） で定 義され る

。

（3 ）共 分 散 方 程 式の解 法 　共 分散方程式は境 界 値 問 題になっ てお り

，

こ の方 程 式

一



_IOO

一

を解くために は

，

次の問 題 を解 決し なけれ ばな ら ない。 （a _{＞ 初}期 条件と外 力の 相 関 関 数

E

［XeFgx ）］

1

お よび

E

［

F

鼠コじ）招 ］の決 定 （

b

＞初 期 条 件の共 分 散

Rx

。の決 定 これ らの値が求められる と

，

（32＞式は初 期 値 問題 と な る の で_， 共 分 散 方 程 式の解 析は微 分 方 程式の _{数 値 解 析}に 帰 着 する

。

（a _{） 境 界 条件}と外 力の相 関 関数 の決 定 　応 答の解 過 程 （7）式におい て x＝ ユ と す る と右 端 境 界 条 件 を得る。

　　

　

X

（

1

圃

1，

嘱 ・

鼻

（・

_，

・）

F

・（・）

d

・

・

…・

（35） 右側 よ り 」監 （コじ）T を か け

，

平 均の _{操 作}を行い

，

_{白 色}雑音 過程の性 質を用い て積分を実行す る と

，

　 　 　

E

［

X

（1）F；（x）］

＝

Φ皿（1

，

0）E し

r

。

Fl

（x）］ 　　　 　　　 　　 　　 十 ψエ（1，　x）

Qx

（x｝

・

・

・

・

・

・

・

……

（

36

｝ を得る

。

次に

，

（

16

）式で定 義し た右 端 境 界マ ト リック ス を左 側よ り作 用さ せ る と

，

　 　 　 泓 φ冨（

LO

）E ［X。F壬（x）］十8をφτ（1

，

x）

Q

．（X）

＝

036 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　（37） が得られ る

。

さ ら に

，

_{左 端境}界マ _{ト リ}ッ ク ス （13 ）式を 用い て X。を表す と

，

　　　

E

［

XoF

丕（x）］

＝− A

−

i 　

B

．　

ip

＝（

1

，x）

Q

＝（x）

…・

・

一

（

38

） が得ら れ る

。

こ こ に

，

　　　

A

＝ _{昆 φ}

エ

（1 ，0）

Bx ・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

39

） であ る。 （

36

）式が計算で き る と，

・

_{左端 境} 界マ ト リッ ク スに より

　　　

E

［

XoFI

（x）］＝

BxE

　［

XoFI

_（x）］

・

………・

（40） を得る。 さ らに

，

　　　

E

［

Fx

〔X｝

X

；］＝

E

［

XoFI

（x｝］T

…

　

一・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　_（41_） が得ら れ る

。

（

b

）初 期 条 件の共分散 　ア

ー

チ部 材 右 端の応 答の共 分 散は

，

（31）式よ り 　　　Rx（1｝

＝

φヱ（1

，

0〕Rx。φ王（1

，

0）十Px（1）

・

・

・

・

・

・

・

…

　（42） で表され る

。

こ の 式の Px（1）は

，

左 端の 境 界 条 件を

0

と し た と きの荷重項の みに よ る応 答で あ る。そこ で

，

（42） 式の両 辺か ら右 端 境 界マ ト リッ ク ス を作 用さ せ ると_， （16）式の関係 より

，

　 　 　

Bx

　dix（1

，

0）RエoΦ

i

（1

，

0）

e

． T 十

BxPx

（1）B∬

；

033 　　　 　　　 　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

7r・

…

　

7・

・

・

・

・

…

　

マ

（43 ） を得る

。

こ こで， 左 端 境 界マ トリッ クス

Bx

を用い て

X

。を表し

，

初 期ベ ク トル の共 分 散 を 　　　

R エ

e＝ ＝

E

［

XoX

‘］

一・

・

・

・

・

…

　

一・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

tt・

tt

（44） で定 義す ると， （

41

）式よ り 　　　R ＝ 。

＝一

ノliiBIP』〔1）Bl 「 （AlI）「

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（45） とな る

。

し たがっ て

，

初 期ベ ク トル の共 分散は 　　　RXo

＝

＝

BxRXoBl ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

．

・

・

（46＞ より決 定で き る。

　

4．

数 値 計 算 と考察 　　 本 論 文で は， 不 規 則 分 布 荷 重を受ける ア

ー

チ部 材の解

　

析の可能 性と応 答の基本的な特性を

把

握する ために_{， 不}

　

規則分布 荷重を最も不 規 則な白色 雑 音過程でモ デル_化す

　

る

。

こ の 白 色 雑 音過程の 逆の極 限とし て は

，

空間的に_変 　 動 が な く 荷 重 強 度のみ が確 率 変 数で表さ れ るよ う な等 分

　

布荷重が対応す る。 前 者は

，

空 間 的な相 関 が

0

の場合で

　

あ り

，

後 者は相関が 1の場 合で ある

。

_．

実 際の荷 重モ デル 　 は特 定の空間 的 な 相 関 を有する もの とし て構 成され るの 　 で， これ らの両 極限 の荷 重モ デル の間に位 置する もの と 　 考え ら れる。 　 　 解 析 例 と し て

，

半 径 方 向 成 分のみ を有する荷 重が作 用 　 す る

一

様 断面の円 弧 ア

ー

チ を考え る。 こ こ で計 算 を行っ 　 たもの は

，

Fig．

2に示し た中心角 θ

＝

60°の 2 ヒ ンジア

ー

　

チと固 定ア

ー

チである。 解 析 結 果は

，

それぞ れ 応答の標

　

準 偏 差を

，

半 径 方 向の

一

_{様 分 布 荷 重 万}が作 用 し た と き

　

の応 答の最 大値で基 準 化 した値で表 示し た

。

不規則 分 布

．

荷 重の 白 色雑 音過 程の強 度 σ と_，

一

様分布_荷重の荷 重 　 強度万との_{関 係 を}

　　　　

σ

＝

7

ヲvで

17

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　マ

・

…

　7r・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

_（47_）

　

で規定す る

。

な お

，

無 次元 化 座 標 系の

場

_合で は_弖半 径 方

　

向の

一

様

_{分布 荷重}を ρ とする と

，

白 色 雑 音の強 度との 　関係は， σ ＊

＝

p と な る。

IIIlIIIIl

（a）　Two　hinged　arch 　　　 　　　 　百（s）

lllllllli

　　 　　　 　 （

b

＞　Fixed　arch

Fig

_，

₂Archunder a　stechastic 　distributed　IQad

　

Fig．

3

に 2k ン ジア

ー

チあ解 析 結 果 を 示し た

。

　

Fig．3

の （a_）（

b

_）（c_）（

d

_）（e）は

，

接 線 方 向 変 位

，

半 径 方 向 変位

，

曲げモ

ー

メ ン ト

，

軸 力お よ びせ ん断 力の_標準偏 差を示し たもの である

。

な お

，

そ

_、

れ そ れの応答は

，

等分布荷 重に よる そ れ ぞ れ の最 大 値， Wmax

，

　

Umax，

　

Mmax，

　

Nmax

お よ

び

Qm

。

x で基 準 化し た

。

解析結果よ り

，

応 答の特 徴 とし て次の ことが指 摘で き る

。

2ヒンジ ア

ー

ヂの場 合

，

等 分 布 荷

重

で は L／2点の接

_綿

方 向の_変位は0 と なるが

，

不 規 則 分 布 荷 重で は_， こ の点の応答の_変動が最 大にな る。

　

曲 げモ

ー

メ ン トは

_，

等_分布 荷 重で は

L

／

2

点で最 大と なるが

，

不 規 則分布 荷 重に よ る応答の変動の最大値は

L

／4点お よ び 3　L_／4_点で生じ，

L

／2 点で は最 大に な ら ない。 さ らに

，

せ ん断 力は等 分 布 荷 重で は

L

／

2

点で

o

』

で あるが

，

不 規 則 分 布 荷 重による応 答の変動は

L

／2点 で極 大値を示す

_串

うな形 状とな る

。

半 径 方 向変位と軸力 で は

，

等 分 布 荷 重に よ る応 答と不規則分布荷重に よ る応

0

　 2 　 　

1

　

0

．

．

． E ≧ こ ・

｝

3b

0

　 2 　 　 1 　

　

0

．

k6E コ こ さ ⊃ O

O．

5X （q ）

1・

0

0

2

　 10 ・ 刃 ∈ ミ ヨ

言

5

）

・

XbO （ 1

．

₀

O

．

5X

（c）

1．

0

1

「 11 「

I

」

0

2

　 　

1

　 　 0 × 詈 三 三 zb

0

2

　 　 1 　

0

話 、 。 二 躍

〕

8

0 ．

5X （d） 1

．

0

0 ．

5X

（e） 1

．

0

Fig

_．

_31Standard　deviation　responses 　of　the　two　hinged　arch

蠢

ξ

2

葦

1

δ

0

　 　

0

O

L

ピ 　 ー 　

0

．

話 E つ こ 躍 ろ O 　 　 ，

50XG

　 　 （

1．

0

0

　

2

　 　 1 　 　

0

蠢 ∈

ミ

三

Σ D

0，

5x

（

b

）

1．

0

0

2

　

1

　

0

民

閃 E

三

亘 zb

0．

5X

（c ）

1．

0

O

．

SX

〔d） 1

．

o

　 　 詈

2

　 　 望 　 　11 　 　

b

　 　DO 　 　 　 　O　 　 　 　O

．

5　 　 　 1

．

O

　 　 　 　X 　 　 　 〔e）

Fig

．

4　

Standard

　deviation　responses 　of　the　fixed　arch

答の変 動は_， 同じ形 状 を 示 す。

　Fig．

4

は 固定ア

ー

チの解 析 結 果である

。

接 線方 向変位 は_等分布荷重の場 合 L〆2点で 0 と なるが

，

不規 則 分 布 荷 重に よ る応 答の変 動は

，

図のように極 小値を示す

。

曲 げモ

ー

メ ン ト は等 分 布 荷 重で は

，L

／4点と 3L ／4 点で 0とな る の に対 し て

，

不 規則 分布 荷 重による応 答の変 動 は

，

これ ら の点で最 小値を示す が

0

とはな ら ない。 せ ん 断 力につ い て も等分布 荷 重の 場 合に は

，

L／2点で oと な る が

，

不 規則 分布 荷 重で は応 答の変 動は

，

こ の点で最 小値に な る だ け である

。

半 径 方 向 変 位および軸 力につ い て見る と

，

等分布 荷 重に よ る応 答 と不 規 則 分 布 荷重によ る 応 答の _変動 は 同 じ形状を示す

。

　以 上の ように

，

不規 則分布荷重に よ る応 答の変 動 と等 分 布 荷 重に よる応答は

，

同じ傾 向を示すとは限らない。 等 分 布 荷 重によ る応 答が

Q

の点で も， 不規 則分布 荷 重に よ る応 答では

_，

境 界条 件の よ うに確 率1で_応答が

0

と な る点 以 外は

，

応 答の変 動は 0とはな ら ない

。

この よ うに

，

一

₁₀₂

　

一

不規則分布 荷重に よる応 答の変 動の形 状は

，

確 定論 的な 解析か ら単純に予 想できない。 こ こ で示 した解 析 例は

，

荷 重の変 動に対してパ ワ

ー

が

一

定である白色 雑 音場で モ デル_化し た もの で ある_{。 実 際}の荷 重モ デル で は_， 荷 重の パ ワ

ー

スペ ク トル密 度 が特 定の周 期の領 域に集 中 する場 合が考え ら れ る

。

そこで

，

ある特 定の周期の荷 重に敏 感 な ア

ー

チ部材では_， 確 率論的な安 全 性の 照査が必 要に な ること が 予想され る

。

5，

お わ りに 　 本 研 究の 目的は

，

空 間 的に不 規 則に分 布す る荷 重が作 用 する

，

ア

ー

チ部 材の変形と断面 力の分散

・

共分散を解 析する手 法を確 立す ることであ る

。

そこで

，

本 論文で は

，

本 解 法の基礎的概念と な る， 白 色 雑 音 場でモ デル化さ れ た_荷重に_対す る ア

ー

チの解 法 を 示し た

。

さ らに

_，

_本解法 に よ る数 値 解 析を行い

，

ア

ー

チ部 材の変 形お よ び断 面力 の分散

・

共 分散応 答の特徴につ いて述べた

。

　本解法は， 微分方 程 式の数 値 解 析とマ トリック ス演 算 を基 礎と してい るの で_， 計算機を有効に活 用で きる汎用 性の あ る 解法と なっ て い る

。

し たがっ て

，

境 界 条 件の変 更

，

変断 面任 意 形 状ア

ー

チ

，

さ らに荷 重が空 間 的に非 定 常な特性を 有する場 合 等の解 析が容 易に実 行 可 能で あ る

。

　本 解 法の具 体的な数値解析例と して

，

白 色 雑 音 場で モ デル化された不 規 則分布 荷 重を 受 け る2 ヒンジ ア

ー

チ と 固 定ア

ー

チの解 析を行い， 変形と断面力の分散応答を求 め た。 そ の結果

，

次の こ と が確 認で き た

。

不 規 則 荷 重に よる応 答は

，

等分布荷重が作用 す る確 定 論 的な解 析か ら 予 想 され る応 答 形状に な る と は限ら ない。 さ ら に

，

不規 則 応 答 解 析で は

，

境界条 件の よ う に確率

1

で

0

と な る点 以 外は_， 応 答は 0と は ならない

。

　 実 際の荷 重に対 する モ デルは

，

空 間 的に相 関が ある確 率場で構成さ れ る

。

こ の よ う な荷 重は

，

白 色 雑 音 過 程 を 入力し， 実際の外 力と対 応す る よ うに フィ ル タ

ー

_{をか け} た荷 重 系の出 力 より構 成 すること がで き る。 空 間 的に相 関のある荷 重が作 用する問題につ い ては

，

構造系とこ の 荷 重 系を合成 し て構造

一

荷重 系の方 程 式 を構 成 し

，

本 解 法を適 用す ること に よ り基本的に解 析 可 能で あ る

。

荷重 系の 処理 と空間的な相 関が応 答に及ぼす影 響につ い て は 続 報で検討 す る

。

付　録 ［

1

】 状 態 遷 移 行 列Φ

、

（λ，

，

λ，）の要 素 　 状 態 方 程 式の係 数 行 列が 定 数行列の場 合

，

　 　 λ

＝

λ2

一

λ1 で表す と

，

状態 遷 移 行 列は次式の よ うにな る

。

（A

−

1＞

φ

エ

ω

己

α 1【　α

鬮

2　α 13　α 14　α■5　α■6 伽 0000 α 0000 伽 1000

．

α 2・　 α 2ts　a2E 03100 a3s　 a

！

Ea4s 　a“ as5　assafi5 　 ass こ こ に

，

要 素は次のように な る

。

　 　 　a”

＝

COS （θλ）　　a2」

＝−

sin 〔θλ）

　 　　all

＝

sin （

bA

）　　all

＝

COS （e叺） 　 　 　α ls

＝

（1

−

COS （eA））ノθ 　 　　α、4

＝一

（λ

1

θ）＋ sin 〔eA）／θ2 　 　　aN

＝

（cos （θλ）

−

1）／et　　　a“

＝一

λ au

＝

sin〔θλ）／θ α

匸

5＝

＝

（λ／θ z_） 十（α十1）λCQS （θλ〕／〔2αθつ 　 　

一

（3α

一

1）sin ｛θλ）／（2αθs｝ a！s＝〔1

−

COS （θλ））／θi 　　

−

（a 十1）λsin （eλ）／（2　trθz） α35

＝

（λ／θ）

−

sin （θλ｝／θi α 15

筥

（cos （ex）

二

1）／θ afifi

＝−

sin （θλ） ale

＝

（COS （θλ｝

−

1）／θe 　 　 十（α十1）λsin （θλソ（2αθe） α26

＝

（a 十1＞λCOS （θλ｝ノ（2αθ2｝ 　 　

一

｛a 十llλsin （eλ）／（2αθi） a3fi

＝

（cos 〔θλ）T1 ）／θi

a46

＝

sin （θλ）／θ　　ase

＝

sin｛θλ｝

ase

＝

COS （θλ） 共分散 方 程 式の誘導 ass

＝

rCOS _｛θλ）

・

・

…・

…

_（A

−

2） ［

m

〔31）式の両 辺 をx で微 分し， 状 態 遷 移 行 列の性 質 （8＞ 式 を 用いる と_， 次 式 を得る

。

　

　

　

2

．　 R

。

（・_）− A

．

_〔x）φ

、

（x_、・）R

．

，φ

1

（・

，

・〉 　　　 　　　　 　十軌 （銑 ωR恥 媛〔コCi　e）Al（x）＋

　　　　　　　　

Ax〔聊 ・

，

・）

∫

” ・［x・・

an

］・捌 ・・

　

　

　　

　

　

　　

・d・

。

（・

，

・〕

舌

μ

［x。FI〔λ〉］・；（x

，

・）d・

．

t

　　　　　　　　

・

∬

d・

＝

（

di

．

・阻 （輒 ・・φ；（x

．

嘱 ω

　

　

　　

　

　

　　

・

蓋μ

（・・

，

・）鵬 （凝 ・・Φ；（x

−

・）

　

　

　　

　

　

　　

・

訂

帥

．

脇 畷 （・・

．

・｝・・ 　 　 　 　

………

∵

………・

…・

…・

………

　（B

−

1） （B

−

1）式の右 辺に現れ る4項

，

6項お よ び7項の微 分は

，

次 の よ う に な る

。

　 　 　 d 　 　 　dx

∬

E剛 ω陬 ・）d・

−

E鬧 〔・・）］ ・

∬

・［x・Fl（

N

］・

．

（・

，

・鷹 （x）

…・

…・

…・

…

…

（B

−

・）

蓋

∬

d・

．

（・

，

・臨 （糊 …

E

［

F。

（・）

x

・

o

・

∫

　　　

x

　

　

　

　 　　 」α（x＞Φ瓢（x

，

λ）E［Fr（λ｝X『］dλ

・

…・

…………

（B

−

3｝

蓋∬

Φ_。〔x

_，

・）

Qx

（・）・

lc

・

．

・

abd

・

−

f

。

＝

A．嘲 x

，

A｝

Q・

〔n・

1

〔・c

，

・｝・・

　　

・

x

’ 　・

．

｛・

，

喞 臨 ・）dM ：（・_）・砧 ω 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

P・

・

・

・

・

…

　

r・

r

〔B

−

4｝ （B

−

2）

，

（B

−

3）

，

〔B

−

4） を （B

−

1

．

）に代入 し

，

再び 〔31＞式 を用

．

いて R、〔x）を表す と

，

（3Z）式の共分散方程式が得られる

。

［皿］　白 色 雑 音 過 程の変 数変換

．

　Wiener過 程ω〔8）の微小 増 分 　　　 dω（s〕

＝

w（s＋ds）

一．

ω（s）

・

……一

・

…………・

…・

・

∵ （C

−

1） の分散は

，

次 式で与え ら れる17）

。

　　　E ［伽 〔謂

＝

σ’ds

・

・

……卜

…一…………

r

・

……・

・

…

（C

−

2＞ こ こ に

，

σ は雑 音の強 度を表す定数 で あ る

。、

x

＝

s／L と し た場 合

，

x に関 する

Wiener

過 程w（x｝の微 小 増分 の分 散は_， 　　　E［dw（x）

’

］＝ σ2dπ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

………・

…………

_（C

−

3_） 　　　 　　　　 　

＝

：

v

’

ds／L

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（C

−

4） で あ た え ら れ る

。

し た がっ て

，

．

次の関係 を得る

。

　　　dw（s）

＝

ndw

（x｝

・

・

・

…

　

tttttttt

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（C

−

5） 白 色 雑音過 程 は

，

Wiener

過 程の形 式 的な微 分 〔12）宅定 義さ れ る

。

す な わち

，

　　　n〔s）

＝dw

（s｝／

ds ・

…

　

tttt

・

・

…

　

tt・

・

tttttt

・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

C−

6） である

。

し た がっ て

，

　　　 dw〔s ）／ds

＝

〔1／

M

）dw〔x＞／dx

………・

・

・

・

・

・

・

・

……・

｛C

−

7） の関係が得ら れる

。

こ れ よ り

，

　　　

n（s）

＝

　n｛x）／》τ

…・

………・

…・

：

…・

・

一 ・

…………・

（C

−

8） とな る

。

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