不安定構造物の解析法に関する研究

【論　 文】 UDC ：624

．

023

．

85 ；624

．

e74

．

7 ：624

．

04 日本建 築 学 会 構 造系論文報告集 第 387 号

・

昭 和 63 年 5月

不 安 定 構

造

物

の

_解

_析

_法

に

_関

す

る

_{研 究}

正 会 員 正 会 員

和

　　

田

　 　　　

章

＊

久 保 田

　 英 　

之

＊＊ 　

L

序 　

1．

1

　 目　 的 　静的非線形構造 解 析を数 値 計 算と し て行う 際に生 じ る 最も 困難な問 題は

，

構 造 物が不 安 定にな り剛 性 方程式の 解が求め ら れ な く な ること

，

ま た は収 束 計 算 を行っ ても 不つ り合い力が解 除で きず振 動また は発 散し て し ま うこ とで ある_。 　 本 論文で はこの ような剛 性 方程 式の解が不 能 あるいは 不安に な る よ う な問題に対し

，

近 似 解 を

一

つの_解と して 設 定 することにより非 線 形 構 造解 析を続行さ せ る方法

，

お よ び材 料 非 線 形 問 題 を扱う際に生じ る不つ り_合い力を 載荷経 路を制 御する こ と によ り合理 的に_解除 す る方法に つ い て論 じる

。

　

1．

2

　不 安 定 問題に関す る従来の_{解析 法} 　不安 定問 題の うち

，

形 状 決 定問 題につ い てはこ れ まで も数 多くの研 究が な され て き た が， これ ら に は大き く分 けて以 下に示 す2通りの手 法 が ある

。

　

（a _{）要 素}の ひずみ と節 点 変 位， 応力 と節点力の それ 　 　 　 ぞれの関 係 を評 価す る

。

　（

b

） 幾 何 剛 性 を考 慮し， 剛 性 方 程 式を解く際に工夫 　 　 　 する

。

　（a_）の方 法に よっ た も の に は川 股ら1）

・

Z）あるい は半 谷 ら3 ）

−

6 ｝な どの例 が ある

。

　川 股ら は

，

リンク機 構が任 意の _節点荷重 を受け るとき の釣 合 形 状 解 析の基 礎 式をポテンシャ ルエ _ネルギ 最 小の 原 理に基い て定 式 化し， 混 合 法に よ り非 線 形 方 程 式を導 くことにより

，

ケ

ー

ブル ネッ トの解 析 を行っ た

。

半 谷ら は トラス_{構 造}の幾 何 学 的 適 合 条件と荷重条件と か ら安 定 化 移 行 過 程 を 解析 する方 法 を提 案し た

。

　

一

方

，

（

b

）の手 法に は例え ば

Turner

ら7）_{あ るい は後} 藤らs〕_{の例な ど がある}

_。Turner

_{ら は大変} 形 問 題における 幾 何 剛性マ ト リック ス の考えを 明ら かに し た

。

後藤ら は 剛性マ _トリッ ク ス を線 形 項と幾 何 剛 性によ る_{非 線 形 項}に 分離し， 線 形 項か ら得ら れ る剛 性 方 程 式の解を初期値と し た反 復 解 法を 用い るこ とによ り

，

非 線 形 方 程 式にお け 1 _{東 京工業 大 学 　 助 教 授}

・

_{工 博} ＊ ＊ _{東 京工業 大 学 　 大 学 院 生} 　 〔昭 和 62 年 11月 10日 原 稿 受 理 ） る解の収 束 性 を高め る手法を提 案し た

。

　

（a_）の方 法はケ

ー

ブル構造 や トラ ス構 造な どの _{線 材}の み か ら なる構 造物に_対し て は変形の ほ か に剛 体変位モ

ー

ドが算 出でき る な ど有 効であるが，

一

_般の 有 限要素法 と 混用する ことは困難である

。

それ に_対して （

b

）の_{後 藤} らの方 法は解 析 法と して の汎 用 性は あ る が， 幾 何 学的非 線形 以 外に材 料の降 伏およ び 部 材の破 断 現 象を含ん だ非 線 形 性 も 考 慮 しようと する と適用が難しい と考え ら れ る。 　

一

方

，

通 常の

Newton−Raphson

法で は_解析が困 難な 幾 何 学 的 非線形性の_強い構_{造 物}を解 析 する方 法とし て

，

Riks9｝_は 荷 重ベ _{ク トル と変位}ベ _クトル とによっ て張 られ る空 間にお け るつ り合い経_{路 上}の ベ ク トル の ノ ル ム とし て定義され る弧長 をパ ラメ

ー

タに加える解 決 法 を提 案し ている

。

こ の手 法は確か に幾 何 学 的 非 線 形の よ うに連 続 的に状 況が変 化す る もの に対 して は有 効で あるが， 先に 述べ たよ う な部材の_{破 断 現 象 等}の不 連 続 を伴う材料モ デ ル を用いた場 合に生じ る不安定問 題に対して は有 効で な い と考え る

。

　 1

．

3　本研究の_手法の_{概 要} 　本研 究の_手法は解析対 象とする構 造 物が安 定な場 合は 通 常の有 限要素法を用い た非 線 形 解 析 法と同 じ で ある

。

　

初期形状が定ま ら ない ために不 安 定な構 造物， あ るい は解析途中で_構造 物が不 安 定に なっ た構 造 物の場 合に は_， 剛性マ ト リックスが特 異である

，

あるい は正 則で な い_， な どの理由で通 常の_{連 立 方 程 式}の解 法では解が求め ら れ ない

。

こ の場 合に は

，

剛 性マ ト リックスに

Appen −

dix

　lで述べ _{る特 異値分解を施す}こ とに よ り剛 性 方 程 式 の最 適 近 似解を求め， 解 析を進 行さ せ る。 生 じ た誤 差は 収 束 計 算 （

iteration

＞に よ り解 消さ せ る。 　

一

方， 部 材の力学的挙動の不 連 続 性に起 因する不 安 定 現 象に よ り解析不 能な状態に陥るこ とを避け る た め

，

4

．

2で述べる載 荷 経 路 をと り な が ら解 析を進 行さ せ る。 　以上述べ たことを含め

，

全 体の フ ロ

ー

チャ

ー

ト を図

一

1に示 す

。

　2

．

剛性 方 程 式の解 法 　2

．

1 構 造 物の剛性 方程 式 　構造物を離 散 化し

，

非 線形 問 題において も微 少な増 分

一

₃₅

一

間で の線 形変化を 仮 定する ことにより

，

剛 性 方 程式 と し て次の よ

．

う な連 立1次 方 程 式を作るこ と がで き る。

　　　．

4x

＝

_y

・

………・

………一 ・

………・

……

（1） 　 A ：剛性マ ト リッ クス （n ×n のマ ト リック ス） 　x ：収束計算 中の_{増分 変位}ベ _{ク ト}ル （n 元の ベ クトル）

　

u ：外 力と内 力の差 か ら求め ら れ る不つ り合いカベ ク 　 　 　トル （n 元のベ _{ク ト}ル _） 　こ の連 立1次 方 程 式の解を

一

意に定め ることが 可 能な ら ば， 収 束 計 算 中にお け る増 分変位ベ ク トルが定ま り，

9

．

剛 性　呈式の求解 START 　 　 　 　 　岨性方 程 YES 　 　 　 式 をガウス法で 　 　 　 け る ？ NO

 

特 　 値 分 解 最

 

近 似 解 剛 体 変 位モ

ー

ド 　 　 全 　 外 　 」　 　 正 　 　 　 　 START 　 　 　 素 中に破 　 　 　 Y［s 国0 　 　 　 が発 生した もの力 　 　 　 　 子在す る？ P

．

u

＝

P

，

十 4P　　　　Pn

・

監

＝

P

，

−

dP

 

P

。

： nst _{叩 に お け る}全 外 力 」P ：増 分 夕

L

力 　 　 　 　 図

一

1　フ ロ

ー

チャ

ー

ト

一

₃₆

一

解 析が進め ら れ ることに な る

。

　連 立 方 程式 （

1

）の解ベ ク トル x が存 在す る た めに は_， A の部分空 間

S

（

A

）に対 して

　　　

9∈

s

（

A

）

一 ………・

・

……・

……一 …・

………

（2） が必 要 十 分条件で あ る。

　

安定な構造物では

A

は正 則で あ り

，A

の階数 （rank ） r が n と等 し く な るの で （2 ）の_条件を満た す

。

A

に 対 して逆マ ト リッ クス

A

−

1 が 存 在 するの で

，

（1）の_解 x は形 式 的に は

　　　

x ＝ A

”

g

…・

…一 …・

…………・

………・

（3） と書け る が

，

実 際に は逆マ トリッ クスを求め るこ とは数 値 解 析 上不利で あるの で， 運 立 1次 方 程 式を解くことに な る。 こ の連 立 方 程式の解 法とし て

．

は さ ま

．

ざま なものが 知 ら れ

，A

の性 質， 計 算 機 システム の特 徴な どに よっ て最 適な もの を選ぶ必 要 が ある。 例え ば

A

が特 異に近 い場 合

，

あ るい は

A

の要 素の 中に極 端に絶 対値が異な るものが 存 在 する場 合に は， 部分軸 選 択 を用いた ガウス 消 去法な どを用い て_精度を確 保す る必 要がある。 　 2

．

2　不 安 定 構 造 物にお け る 剛性 方 程 式の解 法

　

不安 定な構 造 物に対し て前節と同様に剛性マ トリック ス を作 成すると

．

A が 正則にな ら ない場 合

，

あ るいは 特異に な る場 合が あ る

。

　

作 成さ れた剛 性マ ト リック ス

A

につ い て

，

（2 ）式が 満た さ れる場 合に は

，

_連立方程式 （1 ）の解は存 在 して （4 ）式で_求め られ る。

　　　

x

＝

∠

4

一

型 十（∬

−

A

−

A

）z＝

A

−

g_十

Rz ・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（4 ） こ こ に R

＝

1

−

A

−

A

，．

4はAppendix 　2で述べ _る

A

の

一

般 逆マ トリッ ク ス，

．

1 は n×n の単位マ トリッ ク ス

，

z は任意の n 元の ベ ク トル であ る。 こ の x は

一

_意に定ま る もの で はない

。

　

作成さ れ た剛 性マ トリッ クス

A

につ いて

，

（2）式が 満た さ れ ない場 合に は解ベ ク トル x は存在し ない。 本 研 究で はこ の よ うな 場 合に

，

生 じ る誤 差の ベ ク トル

Ax

．

−

g の ノ ル ム が

．

最小 と な る もの をこ の連立 方 程式

　

（

1

）の 近 似 解 と して 選 ぶ

。Appendi，

x　2 で 述べ _る

Moore

＆

Penrose一

般逆マ ト リッ ク

．

ス A＋ を用い て 　 （5 ）式の ように ベ ク トル x を 作 る

。

　　　

」じ

＝

1皇

＋

〃 十（∬

−

A＋1且）z＝

A

＋_〃十

Rz ・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

．

5 ）

　

．

　 　 　 こ こ にR

＃

1

−

A＋_A 　

A

’_が A _{の最 小}2 乗_型の

一

_{般 逆マ ト}リッ ク ス であ る と い うこと か ら

，

ごの x は誤 差のベ ク トル e＝

Ax −

g の ノ ル ム 11ellを最 小にする。 力 学 的に は e は不つ り合い カベ _{ク ト}ルを表すか ら

，

（5）式の ベ ク トル x の力 学 的 意 味は 「不つ り_合い_力の ノル ム が_最小と な るベ _{ク ト}ル」

1

であ る

。

　 実 際に は （2）式を満た す 場合に は

A ’

は A

一

に

一

致 す る か ら

，

（4）式は （5）式の特 殊な場 合と み なせ る

。

以 後， （4）式お よ び （5）式 を （5）式で代 表さ せ る

。

　

（5）式で得ら れ た解は力 学 的な条件の み か ら得ら れ た もの であ る。 し た がっ て

，

得 ら れ た変位は剛体 変位を 含ん でい る

。

こ の剛 体 変 位 を表す項 が （5 ｝式の R で あ る。 な お剛 体 変 位モ

ー

ドにつ い ては

2．

3で述べ る

。

　（5＞式で表さ れ る集 合の_中で （

1

）式の解 を

一

意に 定め る た め

，

解の集 合の中でその ノ ルムが最 小とな るも の を 選ぶ。 A ＋ がA の ノ ル ム_最小型

一

般 逆マ _{トリッ ク ス} であ る とい うこ とか ら， 　 　 　x

＝

A＋ y

…・

…・

・

一 ・

・

……・

……一 …・

………

（6） がこの条 件を満た す

。

　

（6 ）式の x は力 学 的に は 「不つ り合い力が最 小と な り かつ _{増 分 変 位 も最 小 とな る}ベ ク トル_」で ある

。

（6＞ 式の x を連 立 1 次方 程 式 （

1

）の_{最 適 近 似 解 と 呼}ぶ こ とにする

。

　 A が正 則の場 合に

A

“

iを求め な くて よ い こ と と同様 に_{， 実 際}に は

A ＋

は求め る必 要はな く，

Appendix

　

2

で 述べ _{る特異値分 解の結 果から得 られる}

V ，D ，

　

U

_を用い て

　　　

x

＝

（

v

（

D

’

i （

u

「 u）））

・

・

…・

………・

……一 ・

……

（

7

） とした方 が 計算効率に優れて い る。 　2

，

3　 剛 体 変 位モ

ー

ド

　

（5 ）式の_{第 2 項，} す な わ ちRz が剛 体 変 位 を表すe

　R

＝

∬

− A

＋

A

_の 階数は n

−

r で ある か ら，

R

の 基 底 Pi

，…，

　Pn

．

_{r が}こ の と きの剛 体 変 位モ

ー

ドに な る

。

言い 換えれば

，

剛 体 変 位は

R

の基 底に よっ て張ら れ る空間 に無 数に存 在す ることに なる

。Appendix

_（

A −

_{1 ）式}に 示す

A

の特異 値_分解の結 果か ら R は次の よ うに書け る_。 　 　 　R

＝

＝

∬

−

A

†

A

　

　

　

　

−

_・

一

_・

［

劣

1

ε

］

u・_U

［

z

’

9

］

VT

　

　

　

　

＋

v

［

tr



9

］

匹

………・

一 一 ……

（・） 　この

R

からその基 底 すな わ ち剛体 変位モ

ー

ドを抽 出 す る方 法はAppendix 　3に_示す。 　以 上 述べ _{た よ う}に_{， 構}造物の剛 体 変位モ

ー

ドを求め る た めには

，

A＋ を 求める必要は な く

，

剛 性マ ト リッ ク ス の特 異 値 分 解に よれ ば良い こ と が わ か る。 　

3

．

数値 解 析例 （

1

） 　 3

．

1　大 変 形 を考 慮し た

3

次元 トラ ス要 素 　本 論 文で解 析 例と し て あ げて い るもの は図

一

2の よ う な トラス構 造 物である

。

こ こで は大変形 問 題 も扱 うた め

，

要 素 剛 性マ ト リッ クス と して軸 力の_{影 響}を_{考 慮し た（9 ）} 式に示 すマ トリックスを用い る

。

部 材軸 力の計 算に_用い る部 材の伸 縮は_{， 両 端}の節 点の最新の座標か ら求め た 長 さ と初 期 長さ との差に よっ て求め る

。

ん ん ん 1 　 霞 ゐ ゐ ゐ。 z Y 図

一

2　大 変 形 を考 慮し た3次元 トラス要 素 0 亙

LO

K0

　 0

一K

　O 0o 亙

Lo

一K

　OO

　　

N

　 　 　

LO

　 　

OK

0　

− 一

一

一

一

　 〇　 　 〇

0

ここ に

，

　 ん ：増 分 節 点 力

LoL

　

O oN τ o

ooN

τ oo 彑

L

d

．

d

‘9dtZd ∫rd 」ydJZ

・

・

・

・

…



一・

・

…



一一・

・

・

・

・

・

・

…



一一・

…

_（9） 　 峨、：収 束 計 算 中の増分変位 　

k

∈

li

_，ノ｝：節 点 番号 　 〃∈

lx

，

　_y

，

　zl ：局 所 座 標 　 K　

＝

AoEILo ：要 素剛性 　 N ：軸 力 　

L

。：初 期の部 材 長 　 A。：初 期の断 面 積 　

E

：ヤング係 数 である

。

　

な お本 章で扱う 例で は部 材を構 成す る材 料は常に_弾性 であるとす る

。

　

3，

2

不 安 定構造物の形状が決定す るまで の過 程 　最も簡 単な例と して図

一

3に示す不 安 定な 1要 素に荷 重 を作 用さ せ， 安 定す る まで に た ど る経 路 を示す

。

　表

一

1に は各 収 束 計 算での_要素の状況

，

解い て い る連 立方 程 式およびそ の解

，

階 数， 不安 定の と き は 生 じ て い る剛 体 変 位モ

ー

ド

，

お よび累 積の_変位ベ _{ク ト}ルを示す。 な お， 表 中の ベク トルおよびマ トリッ クスの成分 は点

B

の x 方向変 位

，

y 方向 変位の順に示して い る

。

ま た 図

一

_{3 中}に はそ れ ぞ れの_{収 束 計 算}にお け る節 点の位 置等を 示す

。

最 初の収 束 計 算で は， 部 材 軸方向に は剛 性を有す

一

₃₇

一

表

一

1 不 安 定 構 造 物に お け る収 束まで の状 況の変 遷

収 　 　口 0　 　 　 1 2 3 4

軸 力

Ol

　

aoO

0

、

500 2100

，

0

、

9了4 1100

軸 方向 変位 OIOOO 0

、

0238 100

，

OIO464 4176E

−

02

剛 性 2LO 2Lo 2Lo 2110 2LO

方向 余 弦 OI　866

−

₀

_，

₅₀₀

−

9_Ol

．

　866

500

一

_【

_，

_26F

−

₀₉

−

_LOO

一

−

L26E_LOO

−

09 ：

｝

_：

lll

；

’

°9

_．

｝

瑠

トノ

占

’ OI　OOO

−

_Iloo

_｛

　

_．

−

914き3 　

−

OI　750 21帽6卜06　 　 　 1 2100

，

｛

　　

−

12

．

，

23F63E

−

−

0902

嬲

攴

［

掘

’

1

：

ll

　

lq

［

−

　15₉₁₀₉

，

8　　

−

9

_5、

、

09₂₅

］

凾

2

［

一

_踰

₀₈

−

1

_費

IE

’

°8

ユ［

−

1

_：

lll

二

ll

−

1111

囲

］

へ

晃

0

．

0206

−

₀

_、

_Oll9

一

−

8616₁₅₀

_，

　 　　

_｛

−

1127lon［

、

−

0了 L23E

−

09

−

₂

_．

_53E

−

₀₂ ラ ン 1 2 2 2

u

体変鹽

　一

0

，

_、

5000肪6 へ

航

｛

　 0

，

0206 　

−

0

，

胆ig

一

₈ε

、

6

−

₁₅₀

_、

一

_−501n

86

，

6

_｛

：

ll

_：

1

　 ｝

蓼1

　

［

　15

，

T50　

−

9

，

0934

−9，0934

　　

5，

2501

］

　

　

零2

　

［

＿

_弖

_季

_b

_轟

_量

_彗



『

_量

₁

_雰

_暑

_昌

_量

_］

Y 自由度1 ：節 点2の x 方向変位　　自由度2 ：節点

2

のy方向変 位 A ，

ll391pmL

．

zpaTziQ−

，

−

2iQ eOEI255  GO π／

6

　 　 　　 　 　　 　　 　 　 且 　 　 ！

、

　　　

’

！

妬

　 　 　 P

＝

1

，

00ton

AE

：2100ton 　 　 　 ’

B

　 　 　

O

［

010

】　 ／

　　　

1 【0

，

0238，

0

、

5001

　 　　　 　　 ， ’ 　 　 　 ’ 　 　 　 ／

3

【

0，

0464

國

0，974

】

4

［

OIG476

，1

。

00｝

　　　　　／

　 　 　 　 ／ 数 字 ：収 束回 ［軸方向 変 位 ｛cm）

、

　 　 　／　 　 　 軸 力 （

ton

）］ 　　 ／

　 ／

〆 ノ ノ 2［

100，2100

］ 図

一

3 不 安 定 構 造 物の形 状 決 定 までの軌 跡 る が

，

そ の直交方 向に は剛 性 を持た ないた め， 剛 性 方 程 式の未 知 数

2

に対 し て 剛性マ ト リッ ク スの 階数が 1とな り， 通 常の連 立 方 程式の解法で は解くこと がで き ない

。

本 研 究で用いている手 法では

，

こ の時には最 適近似解を 用い る。 こ の 解に よ り点B は材 軸 方向に移動す る

。

．

_{以 後} ， こ の_{要 素}に は_引張軸 力が発生す る の で

，

剛 性マ ト リック ス の_階数は 2とな る。 こ の後の節点

B

の収 束 計 算 中の動 き を 見 ると

，

節 点Aの ま わ り に 回転 運 動 を起こ し

，

その 回転の接線 方 向へ _動い た あ と 徐々 に不つ り合い力を解除 し な が ら荷 重と軸 力と がつ り合う点に移 動し てゆ く軌 跡 を描く

。

　こ の よ うに

，

本 解 析 法に よ り初 期の 不安 定 形 状か ら最 終 的に安 定 状 態へ _{遷 移し}てい る状 況 を追 跡でき ること が わ か る。 　3

，

3　 懸 垂 線の形 状 決 定 問題 　

　

　

一

［

8

一

〇

雲 AE

：

23516 ［t］ 　 　 o

，

且（t］

　　　　

翁

・

−

分

　　

fttCef

ノ 　 　 　 　 図

一

4 o

・

1

₁

 0

・

星 　 　 　 ： 　 　 　o：1 　

・

〜　　

kX

　　

’

　 　 　 … 　 　 　 1 形 状 決 定 問題 0

，

1

　

い 、

・

亀

｝

… … 昭 図

一

5　決定し た形状 　形 状 決 定 問 題の

一

つ _{と し}て図

一

4に示す 6本の部 材か ら なる リン ク構 造を解 析す る

。

本 手 法に よっ て得ら れ た 安 定 化 形 状 を 図

一

5に示す。 　この よ うな構 造 物の場合

，

要素分割を無 限に細か くす る と

，

つ り合う形 状は懸 垂 線 （

Catenary

）と なる こと が知ら れ ている

。

図

一

5の中に この例と全 長の_等しい懸 垂線を重ね て示す

。

両 者を比 較す る と本手法の_妥当 性が わ か る。 な お， こ の例で は収 束まで に 16回の 収束 計 算 を 必要と し た

。

　

半谷ら6｝_は ， ひずみ

一

_{変 位マ ト リッ クス に}

一

_{般 逆マ ト} リッ ク ス を用い て評価す る ことに よ り

，

微 小 区 間に お け る最 適移 行 過 程の積み重ね と して形 状 が 決 定 する まで の 過 程を同じ例で追 跡している

。

　

これに対し

，

本 研究で は荷 重につ り合う形状を直接 求 め る手 法を用いてい る

。

したがっ て

，

初 期 形 状か らつ り 合 う形状に至る途 中の形 状 を求 めること はで き ない

。

し か し最 終 形状 を知る こ と だけが 必要な ら ば， 本 研 究の手 法の方が原理的には簡 単で ある

。

　

3．

4

　 立 体 リン ク構 造

　

通 常の解 析 法では

，

大 規 模 構 造 物の

一

部の部 材が破 壊

一

₃₈

一

し

，

その近 傍の_構造が安定を保てなζなっ た時に

，

全体 が解 析で き な く な る。 こ の場 合， 不 安定部分を取り除く ことに よ り残 りの部 分 が 力の_伝達能 力を保持して い れば 解析を続け ら れる こと が ある

。

　本 研 究の手法に よ れ ば_， この よ う な不 安 定な部 分 を有 した構造物に_対して も予 盾の ない解を与え

，

解 析を進 め ること が で き る

。

これを確か め る た め

_，

_以下の ような常 に不安定 な構造物に対し_{， 本 手}法を適 用 する。 　図

一

6のよ う な リン ク構 造の

一

端に下 向き ← z 方 向 〉 の_変形 を与え

，

全 体の変 形 を追 跡す る

。

図

一

7に変 形の 移り変りの _{様 子}を示す

。

どの_部材に _{も軸 力}が発 生し ない た め， こ の 構 造は常に不 安 定で あ る が

，

各 部 材の長 さが 変化せず予 盾の ない 解 が 得ら れて いるこ と がわ か る

。

　 3

．

5　支 持 点の ない構造物 　図

一8

に示す平 面構造 物は

，

外力系がつ り合っ ている ため 構 造 物は内 部 的に安定であ る が

，

支持 点が ない た め

Y223

4 2 q 1P N5

9

6

8

ア け

9X

　 Z　 　g Y 　 34

、

　 2 頃

．

O 5　 　1

8

　 　 6 　 　

7

守

_．

一

Z9P 5678 ヒ 4321x L411

．

41 Y43 Z

2

頃

，

O 守

_．

嗣

レ

’

【

一

’

に

、

＼幽 　

一

　

1

　 　

、

」」

一一

，，

図

一

も　立 体リンク構 造

靨

、

轡

　 ×

似

Φ

_・

汽

ギ

Y Y

 

一

_‘

墨

二

『

丶

・ 　 　 1

　　

［

　

、 、

寅

． ・ 　 　

’

、

、

　 　 　

、

　

N

　

、

直

＞

4

．

幽

＿

竃 ・

・

　

：

　

　

　

1

＞

ぬ く

　　

ノ ” x 　

，

： ＜

　’

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

、

　

　

X p

》

暫

　 　

一

　

メ

、

丹

慰

　 　 乙 ・ 、 、

　

y

_、

！

蕎

驫

−

 

Y

　　　

_γ

進

_レ

・ ・

ヤ

拝

一

　　

i

　 　　　 　　　 　

l

、

愈

：

翻

図

一

7　立 体リンク構 造の変 形 通 常の手 法では解が不安と な る。

　

本研究の_手法を用い て解 析 を 行 う と， 図

一9

の解が得 ら れ る。 こ の解は

，

2

．

3で述べ た よ うに不つ り合い力が 最 小と なる解の中で節 点 変位ベ _{ク ト}ル の ノ ルムが_最小と な るもので ある。 こ の よ うな宙に浮いてい る ような構 造 物に対して も解を求め ら れ る こと が本解析法の_{特 徴}であ る

。

　この構 造 を安 定 な静 定 構 造と す る た め に は3つ の 自由 度を固定し な けれ ばな ら ない こと か ら わ か る よ うに

，

こ の 剛性マ ト リッ ク ス の ラ ン ク は全自由_度

14

に対 して 11 と

3

だ け不 足して い る

。

こ の差が

2．3

で述べ た剛 体 変 位 の_原因とな る

。

剛 体 変 位の モ

ー

ドは （5） 式の R の基 底が張る空 間に無数に_存在す る ため

，

こ こで は その中の 1組の剛 体 変 位モ

ー

ドを図

一10

に示 す

。

　

図

一

10の各モ

ー

ドに任意の倍 率を乗じ て重ね _合わ せ 図

一

9の_変位を加え たものが実 際に支 持 点な し に載荷し た問 題の

一

般解で あ る。

　

4

．

部 材 特 性に 起因 する不 安 定 現象 　4

．

1　部材特性が安 定 性に与える影 響

　

各 種の非 線 形性を含ん だ構 造 物の解 析で は

，

図

一

11 の よ うに_， 小さ な増 分 外 力に対 する応 答 を

収

束 計算に 60 　 　 　 荷 重 ［tOn］ 　 　 　 長さ［cm］ AE 　：24000_［t

・

  ］ 60

2

2

2

，

　 　 　 　

↑

，

一

図

一

8　支 持 点のない構 造 物 図

一

9　変 形 図 （変 形倍率100） node （1｝ mode〔2｝ 　 　 　 aode 〔3） 図

一

10　 剛体 変位モ

ー

ド

一

₃₉

一

P

竃

。七。pL δ σ

1

纂

繍

E σ

　　　ロ

　 大 き な

　　　

t 応 力 変 動 　 　 　 1

図

一

11　step　by　step 法　図

一

12　1　step 当た りの

　 　 によ る非線形 解析 　　 　 　　微小 応 力 変動 σ 　 　 　 口 　ε 　 　 　 1step 図

一

13 破 壊現象発 生に　図

一14

　 　よ る大き な応 力変動 よっ て求め る， とい う手 順を積み重

神

る増分法が

一

_般に 用い ら れ る。 こ の手法は 1回の増 分 step につい て， 図

一

_{12の よ うに微 小な ひず}み増 分とそ れ に対 応す る応 力 増 分 との関 係を追 跡す ることに よる もの で ある。 こ の手 法に ひび割れ発 生などの破 壊 現 象 を材 料の力 学特性に そ の ま ま取 り入 れ る と

，

図

一

13の よ うに微 小ひずみ に対 し て大 きな応 力 変 動が生じ， 収束計 算に よっ て も収 束し な く な ること が多い。 　 4

．

2　収 束 計 算中の 不安 定 状 態の解 消 法 　以 下

，

本 研 究で用いた， 収束計算中の部 材の力 学 状態 をで きるだ け連続に保ち な が ら解 析 を行 う手 法につ い て 述べ る

。

　こ こ で は 3

．

で用い た ト ラス_構造 物 を 対 象と して考 察 す る

。

部 材の座 屈は考えず

，

圧縮側で は常に弾 性とする が

，

引張側で は以 下で述べ る特 性の塑 性 化お よ び破 壊を 考え る

。

　通 常この よ うな構 造 物を構成す る もの は鋼に代 表 され る金 属材 料であり， 解 析上

，

応カ

ー

_{ひずみ 関係}は図

一

14 σ 　 　 　σ y （降伏 応 力） 　 　　　 　　

l

　　 　

El

　t　　　　

l

　 （塑 性 剛 性 ） 　 t　　　　　　 t　　　　　　

，

1

　 　 　 　 1弖 　 　 　 　ノ

／

_＆

−

1

−

〔

i

一

号

〕

ら

一

断

　 　 　

．

　　 　　 　 　　 　　 　 　　

’

E

，弾 性 剛 性 ）

i

　

，

’

E

　 　 εy　 　 　 　ε c　 　E （降 伏ひずみ

1

　 　（破断ひずみ ） ε σ （引張 ）　

1

破断強 度 「 8111 　 ε bi

・

linear型 応 力　図

一

15 破断を考慮し た

一

ひずみ関 係　 　　　 　　応 カ

ー

ひずみ_関係 の よ う な

bi−linear

型 を考え ること が多い

。

しか しこ の 応 カ

ー

ひずみ関 係では

，

図

一15

の よ う に部材の破断を考 慮し たと きに

，

4

．

1で述べ た現象が発 生す ること が あ る

。

　こ の ため， 本 研 究で は破 断 する際の応 カ

ー

_{ひずみ関 係} を図

一

16の よ うに考え

，

載 荷の方 法 を

一

方向単 純載 荷 で は な く

，

減 増 を 何 度 も繰り返す方 法を用い る。 外 力が 0の状 態か ら通 常に載 荷 し_， あ る荷重 step であ る部材 が 破 断ひずみ を 越え た と き

，

次 回の荷 重 step で は外 力 を逆 向きに載 荷する

。

こ の_{逆 向}き載荷を すべ て の_部材の ひずみがそ の部 材の破 断ひず み を下 回る まで続け る

。

そ の_後の荷 重step か ら予 定した外 力 方 向に戻 し

，

載 荷を 続け る

。

こ の場合，

一

_{度 破 断ひずみ以上の ひずみ を経験} し た部材は

，

除荷された状態の応 力 を保 持するように塑 性 剛性を用い る。 この後

，

ある部 材 が 破 断ひずみを越え る た びに

，

以 上の_経路 を 繰 り返 し， 載 荷を続ける

。

　

5．

数値 解 析 例 （

2

） 　 5

．

1 部材の破 断 現象を考 慮し た平 面 トラス構 造の解 析 　図

一

17の よ う な構造物を例と する

。

各 部 材 を構 成 す 図

一

16　本 解 析で用いた応カ

ー

ひずみ関 係 単 位 【cm］

．

_δ

　　　　　　　一

P

自 OO

【

250　 　 　

150

A

　：10　

1c

皿？】 ，E　；2400 ［t／cM2」

，

E

国

＝

24



1t

_／cm2_】 　図

一

17　 平 面 トラ ス構 造の解析 例 　 　 　 εv 図

一

18　材料の応 カ

ー

ひずみ関 係 Ec P〔LOR｝ 2 50

．

0040

，

oo   30

．

00   4 2D

，

o口 且0

，

0  

ヒ

δ｛c園】 0

．

00　 　 1

．

00　 　 2

．

00　 　 ヨ

．

00　 　 4

．

00　 　 5

．

00 図

一

19　 加 力点の変位

一

荷 重 関 係

一 40 一

る材料

，

断面は すべ て同

一

と す る

。

材料の応 カ

ー

ひずみ 関 係を 図

一

18に示す

。

載 荷は図

一

17に示す よ うに中 央 ， O

【

_．

ロ ー ロ 旧

．

ロ ー 馳 駟 破 断し た要 素 図

一

20　部材が破 断し不安 定に なっ た後の変形図 軸 方 向 変形量／ 降 伏変形 量

一

〇

．

32

一

［L ヨ2 m 　 　　 　 　 　　 　

−

OJ5

畢

　

軋

_も

_〜

1

_：

33 口 Ooo

　 ．

口 q ，　 1

諺

_講

　

一

〇

．

54 ： d 「 　 　 　

一

〇

．

26

詈　 　

・_。 、龜 1 軸力 ／ 降 伏 軸 力 　 　 　 丶o

．

oo 卜 oo

一

口 00

一

_〇

_．

25 魁由 い 爭 　 0

．

00 穿 d 圏 D

．

〔匚0

一

_〇

_．

₈₀

 

P

・

₂₉

．

9t・n 囗

．

DO

一

_〇

_．

8D ロ 0 占 1 　

一

〇

．

38 　　0L82 軌56 　

−

0

．

65 目 dI5d 聰

諺

_噐

弔 　

一

〇

．

84 馬 dI

寸

N

_．

O 且 　

一

〇

．

40 α_q 百q＆ 　 0

．

00 專 d 縄d

一

_〇

_．

40 、

彭

伽 や 　 0

．

00 田 d ■ D

．

00

一

_〇

_．

_巳2   P

・

53

，

2t。n 乢00

一

〇

．

82 ロ ロ dI 　

一

〇

．

39 　　q83 σL58 　

−

0

．

00 芻 d ■

5d

。

聾

詣

　 0

．

01 曷 dI ロ ロ

．

Ol 　 0

．

00 qa

_牽

Ω   　0

．

00 等 己 蒂 d 　 o

．

囗囗

譜

3

多

　

一

〇』0 馬 dl 切

【

_．

O ー m

國

_．

Ol 0 口 d 0 ロ

，

q ー O

．

00

一

囗

．

95   P・17

，

4ton

一

〇

．

on

一

_〇

_．

9fi 切 ロ

．

ロ ー o」 四

．

01 切 ロ

_．

0 ー 　

一

〇

．

46 　　 0L99 0L87 　

一

囗

．

oo 旨 dI芻d 、

鍔

穏 　0

．

01 窩 dI   口

，

O ー 　 0

．

00

q

_尋

9・_o 　o』o 鬲 d 田 d 　 0

．

D1 競  価 律

一

〇

，

01 黜 dI 0

．

OD

一

〇

．

00   P

・

20

，

6ton

一

〇

．

00

一

D

．

DD n

【

d − ロ ℃

_．

ロ ー m

一

d

₋

m

一

_，

Ol 0 　 　　 　　 　　 　0

．

00

暑

　 　

・、

ぎ

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・

　 　 　

−

0

．

00　　 　　 　　　 　　

§§

r ・

＆

妛

拶

§

　 　 　 0

．

00 　 　 　 　0

．

00 0　　 　　　 　　　 　　　 　　　　 　　　 　　　 　　　 　　　口

：

　 　

4

_裔

_緬

_号

　 　 　

一

〇

．

oo 　 　 　 　 0

．

00

詈

諍

汐

§

　 　　 　　 　 　　 　　 1 　 　 　 　 0

．

00 　 D

．

DO 　　　　 　　　　　　　　　 　 O

．

00 　 　　   P

・

O

，

et。n 図

一

21　 部 材の軸 力 変 形の状 況 n

肖

_．

O ー の

一

_．

01 ロ 0

_，

0 O ロ

，

0 下 段の節点に対し て変位制御で行う

。

　図

一

19 に加 力 点の変 位と荷 重の関 係を

，

図

一20

に部 材 が 破 断 した後の変 形 図を示 す。 ま た図

一21

に図

一19

中に示し た各 点に おける各 部 材の軸 力と変形を

，

そ れ ぞ れ_降伏 軸 力と降 伏 変 形量 との比で示す

。

これら の結果 か ら， 部 材 が破 断 することによる不 安 定 現 象を含ん だ問題 を， 最 終 的に構 造 物が力を保 持で き な く な る まで解析で き る こ とがわ か る。 な お， 本 解 析 例で用い た材 料 特 性の 影 響で_， 引 張 力 を受 け降 伏 前の段 階で除 荷 され た部 材に は

，

最 終 的に荷 重 を支え られな くなっ た段 階に お い て も 残 留 変 形が生じ て い る

。

　5

．

2　 部 材の破 断 現 象 を考 慮し た立 体 構 造の解 析 　図

一

22に示す構 造 物を解 析 対 象と し

，

節 点31

−

33の 3点 をこ の 3点の作る

牢

面が水 平 を保つ よ うに変 位 制 御 で z 方 向に載 荷 する

。

各 節 点の座 標 お よ び 拘 束 条 件 を 表

一

2に示す

。

部 材はすべ て同

一

材 料で_， 21

−

22お よ び 23

−

21を除く各 部 材は すべ て同

一

断 面積で ある

。

21

−

22 は ほ かの部 材の

0，

9

倍

，23−21

は

1，

1

倍の断 面 積 とす る

。

　本 例は

，

［1 ］初 期の状 態で は剛 性マ ト リッ クス の階 数が不足 してい る_{不安 定構造物}で ある が_{， ［2 ］21}

−

22_， Z ＾

E’

　＝

24t

／cm2 特記な き は

A

・_田

，

Ocm2 　 図

一

22　立 体 構 造 物の例

23

　_’ry1 、 　

°

liSX 表

一2

　 節 点の座 標と拘 束 条 件 節

、

、

座標 拘 束した 翼 琶 勲 11

0

o

0

翼yg

12300

o

o

_yr

13150260

0

z

21 一

妃

，

3

一

25，9200

22343

一

_25、

_02DO

23150310200

31

0

0400

翼y【zl

32300

o400

了

lz

｝

33150260400

【z_｝ 【Z】：

Z

方 向へ の強 制 変 位

一 41 一

22

−

23

，

23

−

21の 3部 材 が 弾 性で引張 力 を負担し てい る 間は安 定 構 造 物と な る

，

［3］こ の 3部 材の う ちの い ず れ か が降伏し変形が増 大す ると

，一

種の座屈 現象が発 生 し

，

全 体の支え る荷 重が低 下 する_{， ［4 ］}こ の

3

部 材の うち のいずれ か が破 断 すると， 安 定ではな くな り荷 重 を 支えられな くな るという性 状 を示す構 造 物で あ る

。

　図

一

23に点 31

〜

33の鉛 直 変 位と発 生す る 反力の_和と の関 係 を 示 す

。

また

，

21

−

22

，

22

−

23

_，23−21

の 3部 材の 軸 力と軸 方 向 変 形とを， 各 部 材の 降伏 軸 力

・

降伏変形量 との比で図

一

24 に示す

。

21

−

22部 材の_降伏の た め， ほ か の 引 張 部 材 22

−

23

，

23

−

21の軸 方 向 変 形 量

・

軸 力が除 荷 23 図

一23

　変 位

一

荷 重関係

23

21







_0．

₂₇





22



21





₁₀

_。

₁₈

　　

 

P

＝

117

［

ton

］

　 　 　

 

P

・＝

2eo

21

21

23

　 0

．

e6

 

P

＝

35723

23

2221



₁₀

_．

_ユ

₅

　　　　　 

P

＝

267

降伏 2　2

23

軸 方向変形量／ 降 伏変形量

　　　

  P

　＝

352

　　　　　

  P ；

o

　 　 　 図

一

24　 発 生しt軸 力と変形

一

₄₂

一

22

22

22 されて い る こと がわ か る

。

最 終 的に はこ の降 伏 し た 21

−

22部 材が破 断する ことに よっ て

，

荷 重を保 持で き な く なること が表れ て い る

。

　こ の ような立 体 弾 塑 性

・

大 変 形 問 題に対し て も本解析 法を用い得る ことを示し た

。

　

6．

結 　論 　本 研 究によっ て得られ た結 論 を以 下に述べ る_。 　（1） 剛 性マ ト リックス が特異であ る

，

あ るい は 正 則 で な い剛 性 方 程 式に対し， 剛性マ ト リ

’

ッ クス を特 異 値 分 解 することにより最 適 近 似解を求め る手法は全体の構造 に対し予 盾する解 を もた ら すことはな く極めて有効であ る

。

剛 体 変 位モ

ー

ドを同時に_求め ら れ ることも利 点であ る

。

　（2） 応 カ

ー

ひずみ関 係に 不 連続な特性を有す る材 料 か らな る_{部 材}を含む構造物を解 析す る場 合には

，

部 材の 応 力 状 態が急変し た場合につ _り合い_状態が存 在し ない事 態が起こ り う る

。

こ の 場 合

，

材料の力学 特 性を 連続 的に と ら え

，

載 荷経 路を制 御 することで

，

解 を得ること がで き る。 参考文 献 1_）真 柄 栄 毅， 国田二郎， 川股重 也 ：混合法によ る ケ

ー

ブル 　 　 ネッ トの解 析その （1）不 安 定 架 構の性 質お よ びリン ク 　 　 機構の解 析

，

日本建築 学 会 論 文 報 告 集

，

No

．

218

，

pp

．

37

−

48

，

　 　 1974

．

4

．

2＞ 真 柄 栄 毅

，

国 田二郎

，

川 股 重 也 ：混 合 法に よ る ケ

ー

プル 　 　ネットの解 析その （2）幾 何 学 的 非 線 形 問 題の厳 密解， 　 　 日本建築 学会論 文 報 告 集

，

No

．

220

，

　_pp

．

35

−

45

，

1974

．

6

．

3〕 田中　尚

，

半 谷 裕彦：不 安 定 トラス の 剛体変位と安 定 化 　 　条 件

，

日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集

，

No

．

356

，

　_pp

．

35

−

43

，

　 　 1985

．

10

．

4）田中　尚

，

半谷裕彦：不安定ト ラスの剛 体 変 位と自己応 　 　力 （1｝基 礎 式 とト ラス の分 類， 日本建築学会 大 会 学術 　 　 講 演 梗 概 集

，

　pp

．

2581

−

2582

_，

　1984

．

10

．

5）田中　尚

，

半谷裕彦：_{不 安 定} ト ラスの 剛体 変 位と自己応 　 　力 （2） 有 限 剛 体 変 位と安 定 化 条 件

，

日本建築学 会大会 　 　 学 術 講 演 梗 概 集

，

pp

．

2583

−

2584

_，

1984

．

10

．

6） 川口健

一，

半谷裕彦 ：_{不 安 定 剛 体}ト ラス の安 定 化 移 行 過 　 　程にお け る最適移行 条件

，

日本建築学 会大会学術講演 梗 　 　 概 集

，

pp

，

1201

−

1202

_，

1987

．

10

．

7） Turner

，

　M

．

J．

，

Dill

，

　E

．

H

．

，

Martin

，

　H

．

　C

．

，

and　Melosh

，

　 　R

．

J．

：LargeDeflectionsof 　StructuresSubjectedto 　 　Heating　and 　External　Loads

，

　Jourual　ef　the　Aero_／Spacus 　 　Sdezce

，

　pp

．

97

−

106

，

　1960

．

2

．

8） 後 藤 茂 夫

，

大 津 聿 紀

，

大 槻 　 護

，

新 村 祐 南 ：非 線型有限

　 　 変 形 法 （大 変 形 法）に よ る トラス の大 変 形 解 析と その応

　 　用プロ グ ラム

，

土 木 学 会論 文 報 告 集

，

No

．

194

_，

　_pp

．

55

−

69

，

　 　 1971

．

10

．

9）　Riks

，

　E

．

：Some　Computational　Aspects　of　the　Stability 　 　Analysis　of　Nonlinear　Structu【es

，

（IOmputer　Methacts　in 　 　AtPlled　Mechandes　and 　Eηgでπ8驫 ηg

，

　vol

．

47

，

　_pp

．

219

−

259

，

　 　 1984

．

解

，

東京大学出版 会

，

1983

，

　Appendix 　A

．

1　マ _{トリッ ク ス の特 異 値 分 解}iO ） 　 以 下

，

特に断わ ら ない限 り こ こ で扱 うマ ト リッ クスは n×n の正方で あ る と す る。 ま た 1は単位マ ト リッ クス であり， マ ト リッ クス Mm は M がm ×m であること を示し ている

。

さらに， MT はマ ト リッ クス M の転 置を表す もの と すtk）

。

　階数 が rの マ トリッ クスA に おいて

，

λ」（」

＝

1

，…，

r）をマ ト リックス ATA のゼロ で ない固有 値と す る

。

　

A

_は次の よ うに分 解で きる

。

．

　　 　A

‘

UDV厂 『

・

・

・

……・

・

……・

…・

…………・

…・

…………

（

A−

1） こ こに U

，

V は ともに直交マ ト リックスで あ り

，

ま た

　

　

　

・

一

［

Z

’



Z

］

………一 ・

一 一 …一 ・

…・

…・

・A

−

・・

　

　

　

Dr

−

［

μ100 μr

］

一 一・

…・

一…一 …一 ・

……

_（A

−

3＞ であ る

。

こ のμ，＝

VX

　（丿磊 1

，…，

r）はマ トリックス A の特 異 値 （singular 　valve _＞と 呼ばれ

，

_（A

−

1_）式は

A

の_特異値 分 解と 呼ばれ て い る

。

　特に A が 正則の と き

，

（A

−

1）式は固 有 値分解と呼ば れ

，

D は次の よ う に書け るb

　　　　　　　　　

l

　

　

　

D

−

［

ll

］

・

…・

…・

・

・

・

・

・

・

……・

…・

…・

…・

………

_・A

−

_4） こ こ に

，

PJ （」

＝

1

，…，

　n）はA の固有 値で あ る。 　A

．

2　

一

般 逆マ _トリッ ク ス10） 　

．

4の部 分空間を V

，

V の補 空 間を W と す る

。

特 異 値 分 解の 結 果を 用い て

，

次 のマ ト リッ クスを 定義す る

。

　

　

　

B

−

V

［

£

ll

_：

］

び

・

…・

…・

・

………・

………・

（醐 こ こ に S

、

，

S2

，

　Ss は それぞ れ rX （n

−

n＞

，

（n

−

r）× r

，

（n

−

r） ×（n

−

r］の任 意マ ト リッ クス であ る

。

　こ の B はA の

一

般逆マ ト リッ クスと呼 ばれて いる も ので

，

通 常A

一

と書か れ る

。一

般 逆マ _トリッ クスは正則なマ _トリッ クス に おける逆マ ト リック ス の概 念 を

一

般 化したもの である

。

具 体 的にはA に対して次の条 件を満た すこと が

，

B が

．

4の

一

般逆 マ ト リックスと な る た めの必 要 十 分 条 件 で ある

。

　 　 　ABA

＝

A

・

…………・

………・

…・

…・

・

・

・

・

・

・

……・

……・

（A

−

6｝ 　こ の B の特 殊な場 合 と して

　

　

　

c

−

v

［

Z

「

1

］

び

一 一 …・

・

……・

・

……・

…・

…

（A

−

7） を考え る と

，

こ の C は 　 　 　ACA

＝

A

……・

……・

・

……・

……・

……・

・

………

（A

−

8＞ 　 　 　CAC

＝

C

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

rrr

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

凾

…

　〔A

−

9） 　　　（AC ）T

＝

ACtt

＿＿＿．

＿＿＿＿＿．

＿．

，

＿．

＿．

，

．

，

．

．

．

（A

−

10） 　　　（CA）T

＝

　CA　

．

＿＿＿，

＿＿＿．

＿＿．

＿．

＿．

．

．

．

＿＿＿

_（A

−

11_） を満た す

。

　（A

−

8），（A

−

9） を 同 時に満たす

C

をA の反 射 型

一

般 逆マ ト リッ クスとい い

，

方 程 式Ax

≡

g に対し て 　　　U

＝

　

Vl十Ut

・

・

・

・

………・

…・

…………・

…・

…・

……・

…

（A

−

12） 　 　 　91∈ v

，

_厚2∈ w と し た と きに

，

C翫

＝

0とな る性 質が ある。 　（A

−

8）

，

（

A −

1  を同時に満た す C を Aの ノ ル ム最 小 型

一

般 逆マ ト リッ クスとい い， 方 程 式Ax

＝

g に対して，　x

＝

（；uの各 成 分の_平方 和 （x の ノ ル ム の 2乗 ）が最 小と な る

。

　（A

−

8｝

，

〔A

−

11）を同 時に満た す C を A の最小2乗型

一

般 逆 マ ト リックス とい い

，

方 程式 Ax

＝

y

，

　_y≠V に対し て 閥〃

−

AxlL を最小に す る

。

　（A

−

8）

，

（A

−

9）

、

．

（A

−

10）

，

（A

−

11） を 同 時に満たすC は

。、

4の Moore ＆ Penrose 型

一

般 逆マ トリックス と呼ば れ

，

通常A

＋

と 書か れ る

。

な お

，

以上 述べたA の Moqle ＆ Penrose型 を含め た

一

般 逆マ ト リッ クス は

，

A が 正 則な ら ば A の逆マ _トリックス A

−

1 に

一

致す る

。

　A

．

3　剛 体 変 位モ

ー

ドの抽出方法 　こ こ では R

‘

［rl

，

…，

司 と し た時のベ _{ク トル}の 集 合レ

、

，

…，

婦をr_{， 求}まっ た R の基 底ベ ク トル の集 合ゆ1

，…，

Pn

一

蹄をp と よぶ

。

　1

．

r の中か ら零ベク トルで ない _{任 意}の ベ ク トルを選び

，

　p

．

　 　 と す る

。

　2

．

そ れまで選ば れ た

1p

，

，…，

　Pilの線 形 結 合と しては表す こ 　　との でき ない r の要素を選び

，

Pt＋ 、と す る。 　3

，

2の_操作をp の_要素数が n

−

r個になるまで繰り返 す

。

　以 上の手 順に よ り求 まる_p

耳

1

_ρ1

，

…，

Pn

−

；は互い に独 立で あ るので

，

R の基 底ベ _{ク トル である こ}と が わか る

。

一

₄₃

一

SYNOPSIS

UDC:624.023.85:624.074.7:624.04

,

A

STUDY

ON

ANALYSIS

METHOD

FOR

INSTABLE

STRUCTURES

byDr.AKIRA WADA, Assoc. Prof.,Tokyo Instituteof Technolegy,and HMEYUKI KUBOTA,

Graduate

Student of Tokyo Instituteof Technology,Members of A.I.

J.

Thi$

study

is

toestablish amethod tocalculate an

instable

structure

in

nonlinear structual analysis,

In

case stiffness rnatrix

is

approximately singttlaror not regttlar,

derive

the optimum approximate soiution

for

a

stiffness equation

by

decomposing

thestiffness matrix with thesingular value, and then_proceed with analysis.

A

resultant error

wi11

be

disSolved

by

convErgence calculation.

''

,

On

the other

hand,

to,calculate an

instaPle

phenomenen resulting

from

the

discontinuity

of the mechanical

be-havior

of a structural member, analysis will

be

_proceeded while choosing such a

loading

route'h's not _preduce

'

stability.

'

This

methed isan improved version of ordinary nonlinear

finite

element method.

Several

analyses

have

rgsulted to verify that this method

developped

in this paper is markedly effective in analysis an instablestructure.

./