【論 文】 UDC ：624
．
023 ：624．
042．
7：620，
1 日本 建 築 学 会構 造 系論文報告 集 第 380 号・
昭和 6Z 年10月立
体架
構
の
動 的
ね
じれ
連 成 挙 動
に
関
す
る
考察
正 会 員 正 会 員 員 会 正 員 会 正坂
小
渡
辻
本
浜
辺
井
芳
雅
順
＊朗
＊＊生
＊ ＊ ＊孝
＊＊ ＊ ＊ 序 本 稿は， 立 体 架 構の並 進一
ね じ れ連 成 応 答と ね じ れ を と もなう地 震 荷 重 効 果につ い て の考察を行っ た もの で あ る。
立 体 架 構の並進一
ね じ れ 連 成 挙 動の理 論 的 あ るい は 数 値 解 析 的 考 察では，
そ の連 成挙動を純並進変位と ね じ れ変 位 成 分に分離して記 述・
考察す るのが 明快で あ る。
本 稿で は，
1軸 偏 心， 1方 向 地 動入力の線 形 連 成 系を考 察の対象と し てい る が，1
層お よびせ ん断 型 多 層 立 体 架 構では静 力 学 的に 変 位 成 分の分 離が可 能である。 動 的 問 題では 静 力 学 的に分離され た並 進， お よ びね じれ変 位は 慣 性 項を介し て動 的に連 成す る。
こ の動 的 連 成 効 果は連 成系の固有モー
ド特 性を 用い てその基 本 的 性 状 が 記 述で き る。 ま た，
立 体 架 構の動 的ね じれ連 成 特 性と 地震 荷 重 効 果 を評 価する 1つ の指 標と して動 的ね じ れ偏心パ ラメー
タ につ い て考 察が 加え ら れてい る。
連 成 系の並 進お よ びね じ れ変 位の最大値応 答に よ り定 義さ れ る動 的 偏 心パ ラ メー
タと2乗 時 間 平 均 応 答に基づ く動 的 偏心パ ラ メー
タ につ い て述べ て い る。
後 者の 2 乗平 均応答に基 づ く動的 偏 心パ ラメー
タは連 成 系のエ ネルギー
応 答に も関 連づ け ら れ，
また解 析 的に求め や すい パ ラメー
タであ る。 これ ら の動 的 偏心パ ラ メー
タ の相互的性状に考 察を加え る と ともに，
簡 便な動 的 偏 心パ ラ メー
タの評 価 式を提 示して いる。 さ らに，
動 的 偏 心パ ラ メー
タを用いた ね じ れ連 成 地 震 荷 重の近 似 評 価 法とそれに関 連 する高 次 振 動の影 響 につ いて述べ ている。一
連の応 答 解 析の入力 波に は模 擬 地 震 波の標本集合 が 用い ら れてい る （Appendix
参 照 〉。
§1．
動的 ね じれ偏 心 図一
1 （a）に示す 1層 立 体 架 構モ デルが， 図 中に示 す コc−
y座 標の （Xs，
0） 点 回り に静 的ね じ れ変 位 φ を生 じ て い る とき，
ノ通 り フ レー
ム の y 方 向変位 YJお よびせ ん断 力Q
バ ノ蕁1，2，…
m ）は，
剛床仮 定の 下で下式で 表さ れ る。 yi； （x ，−
Xs）φ………・
一 ………・
……・
…・
・
（1−
1）Q
丿＝K
丿 yd・
・
…
一
一
・
・
・
・
…
tJ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
tt・
（ユー
2） こ こに，K
，はj
通 りフ レー
ム の y方 向剛性 を表し，
φは，
反時 計回 り を正とする。
こ の変 形 状 態にお けるつ り合い条 件から，
m m ΣQ
，＝ ΣK
，〔x∫−
x。）φ＝ 0…・
一 ・
・
………
（1−
3） J＝
1 1＝
1 m m．
’
．
Xs
＝
ΣユK，x，／ZK
，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
Ψ
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（1
−
4＞ ∫＝
1 丿ml
（1−
4）式で定 義さ れ る （Xs，
0 ）点を 「静 的ね じれ中心」 と呼ぶ ことにする。 静 的 荷 重P
が （Xp，0
）点に作 用するとき， Xs 点 回り のね じ りモー
メ ン ト荷 重 Me は，
M
φ＝− P
（Xs−
Xp）…・
……・
……・
……・
……
（1−
5） こ の と き， 静 的ね じ れ偏 心 量 es は下 式で定 義 され る。e
．
＝
1Me
／P1；
1Xs
−
xρ1
・
・
・
・
・
……・
・
………
（1−
6） 寧 名 古屋大学 教授・
工博 “ 名 古 屋 大学 助 教授・
工博 牌寧 大同 工業 大学 助 教 授・
工 修 ＊ ＊ ＊＊ 清水 建 設・
工修 （昭和 62 年 3 月且O 日原稿受理） la ） 匚b） 図一1−11
層 立 体 架構 在 厂 次に，
こ の立 体 架 構が地 震 動 鉐 （t）（図一
1（b
））を う け る動 的 応 答 問題 を考よ う。 動 的つ り合い式は下式の よ うに記 述で きる。闔
傍
・ ・［
謝
聾
［
稲 ］
撞
一一
｛
｝
｝
Yg
…・
・
………・
…………
（1−
7） こ こ に， m2
一厩
φ，
ω＝
ΣK
，／m，
J±
1ω：＝
K
。／m （eZ＋〆），
…一 ・
…
（ユー
8
）v ＝
e。／el＋ρ 2，
ρ＝ s／iJ7iii
“
（1−
7）式で は，
剛 性 比 例 型 粘 性 減 衰を仮 定してお り，
γ は減 衰パ ラメー
タ （γ＝
2h，／ω 1 ；本 論で は h，；
O．
05 と する ）で ある。
また，
（1−
8） 式 中の Kφ は x。点 回り の静的ね じり剛性
，
Ieは質量回転 慣 性モー
メ ン トを表す。
m tA
Kφ＝
ΣユK
∫（ユワー
こむ8）2十 ΣコK，1ノ覧・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（1−9
） 丿＝
1 鳶＝
L こ こに，K
，は桁行フ レー
ム の剛 性であ る。 （1−
7 ）式の ysとz は，
慣 性 項を介して動 的に連 成す る。 （1−
7）式 右辺の 加 振 項お よ び 左辺の 減 衰 項を除いた 自 由 振 動 方 程 式の固 有 値 解析か ら得ら れ る 固有モー
ド行 列お よ びス ペ ク トル行列 を［
A
］一
［
1
：
：
1
：
：
｝
［A
］一
［
lil
；］
……
（・−
1・） と する。
ω1お よび ω、
は， ね じれ連成時の 1次お よび 2 次固有円振 動 数で あ る。
動的ね じ れ偏 心パ ラメー
タedlは，
下 式で定義さ れ る。
e・ ・
」
箸
（1
轟
）ト器
’
−
1
：
／
L
≡
ll
’ s （3
、膿
・・−
1・・ れ こ こ に，Kv・
＝
E
］K
，，
max．
記 号は最 大 値 応 答 を表 す。
J＃
1 ね じれ連 成 応 答において， 1次 振 動が卓 越 して 2次 振 動の寄 与が小さい とみ な され る ときに は， （1−
11）式の 動 的ね じれ偏 心パラ メー
タ ed、は，
1次モー
ドの み を用 い て近 似 的に下 式に よっ て算 定で き る。
edi一
舞
・
歯
器
1
………・
…・
一 ・
・
（1−
・2） あるいは，
舞
一
論
・
舞
・
・
………・
…・
…………
（・−
13） こ こ に，
re＝
》厩，
β且 は1次 刺 激 係 数で あ る。
図一
ユー
1 （b
）の 立 体 架 構モ デル の固 有 円振 動 数お よ び 1 次モー
ドは下式で表さ れ る。
，
＿ 2
爵岫 （ tU1．
1−
1一
ユ4） （ω｝十ω乙〉± （ωi
一
ωら）2十4ザ2ω争ω乙舞
一
｝
｛
（
ω Y ω1）
同
・
…………・
…………
（・−
15） （IT14 ）， （1−
15 ）式を用い る と ， （1−
13）式の動 的ねじれ 偏 心パ ラメー
タ ∂dl は下 式で表さ れ る。 壱dL・
2 es 「e （1− R
： ）z十4（es ／re）2十（1−
R2） γe 1．
0 e r ／ dハ
e 0．
5 0 7ノ， ’ ， ’ ，’
” ’ ’1
「 ’ ’≡
o。
5e ！r s e’
7’
ノ礑
o，
4 〆 「 ’’
ノ
＝
o．
3 ρ／r＝
o．
9 e唱
「
o．
2 ’鬲
o．
1’
L A−
model ρ！r＝
o eB−
mode ユ 図一
1−
2 0・
5 R2 1・
0 動 的ね じ れ偏心 ：銑 ［（1−
16＞式］…・
……・
・
…・
・
…・
…………
（1−
16 ＞ こ こ 亭こ，
R
＝
ρ1十e§／re・
・
tS…
一
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（1−17
） （1−
16） 式は，
1次 振 動が卓 越 する場 合の動 的ね じ れ 偏心パ ラ メー
タ ∂．，を立 体 架 構の静 力 学パ ラ メー
タ で表 し たもの であり，
図一
1−
2は それ を図 示し たもの であ る。 図一
1−
2中の ρ／r。
＝
O の破 線は質 量 回 転半径が p・
＝O，
つ ま り全 質 量が立 体 架 構 平 面の幾 何 学 的 中心に集 中して い る場 合 を表 す。 こ の と きには，
if＝
1．
0，
R ＝
e。／ r。一 ………・
…・
……・
…
（1−18
） e．，／re＝
es／re・
・
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（1−
19 ） と な る。 こ の破 線の右 側の領 域で は， 動的ね じれ偏心パ ラ メー
タ edlは静的ね じ れ偏心パ ラ メー
タ e。よ り増 大 する。 ま た，
図中の p／re＝0，
9
の破 線 は，
（1−
16）式の 概 括 的な適 用 範 囲 を示す もの と し て記入 さ れ てい る。 さ らに，A
およびB
の 鎖 線は，
後に述べ る数値解 析モ デ ル の p／re の設 定 値を表す。§2
．
2乗 時 間 平 均 応 答お よびエ ネル ギー
応 答に基づ く動 的 ね じれ偏 心パ ラメー
タ立 体 架 構の ね じれ お よ び変 位応 答の最 大 値
1
φ（t）1
max．
お よ びi
〃。¢
）lmax
．
が， それ らの 2乗 時 間 平 均 応 答 φ（げ お よ び Y。
（t）2 と近 似 的に （2−
1）式の関 係を もつ 場合に は， 2乗 時 間 平 均 応 答を用い た動 的ね じれ偏 心パ ラメー
タの表 現が （2−
2），
（2−3
）式と し て得られ る。
膿
・牆
・器
・
…・
…・
…・
…一
・2−1
）Ke
ed2
＝
Kr
あ るいは，
φ（げ・
・
一・
・
・
・
・
・
…
一・
一一・
一・
・
・
・
…
（2−
2 ）y
。（t） 2讐
褫
（iil
，ii
’i
，・
…・
・
………
・・
個 ） こ こ ・，
甜一
（1
川イ
、
（t）・d
・，
．
・・ ・… （・）・・ 継 続 時 間 （応 答 が 十 分 小さくなっ たとみな される時 間 ）で ある。
さ ら に，
（2−
4 ）式の仮定もしく は近似が用い ら れ る場 合には，
（2−
5）式の動 的ね じ れ偏心パ ラメー
タeasの表 現が得ら れ る。
φ（t）2／シ3（t
） t ＝ φ（t
）t／！ノe （t）t・
・
・
・
・
・
・
・
…
9鹽
・
・
…
（2−
4）K
φ φω 2・
・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（2−
5 ）e・・
＝’
jl
；
’
雪。（t） ！図
一
1−
1 （b
’
〉に示さ れ る よ う に，
立体架構を構成す る 各 平 面フ レー
ム に粘性減衰ダッ シュ ポッ トを もつ 架構モ デル を考えると，
j
通 り フ レー
ムの y方 向速度応答お よ び粘 性 減 衰エ ネル ギー
は下 式で表さ れ る。 盈，（t）＝
シε（t）十（」じ∫−
Xs）φ（t）・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
…
r
（2−
6）’
E
・，
・・（t）−c
・．
C
’le
・（t）＋（x・−
Xs）φ
（t
）1
’dt
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（2−
7 ）一
23
一
C
，＝
γ．
K
，の仮 定の下で （2−
7 ）式は下 式 と なる。
E
・，
・・（・）・＝・〔
K
・x
’9
．（・） ・dt
＋
K
・（x厂 x。）・
f
， ’6
（t）・dt
＋2 鵬
一
恥 ）ズ
觚（聯
｝d司
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
（2−8
） 同 様に，
x 方 向フ レー
ム の減 衰エ ネルギー
も含め て ， 継 続 時 間 （t＝
T．）における全 粘 性 減 衰エ ネルギー
は m lE
，（Tn
）’
”
Σ］E
．，
，（To
）十ΣEa，
t（To
） ’＝
1 iC＝
・
1−
・｛
・・x
”’o
．（・） ・dt
＋ ・・ズ
φ
（t） ・dt
｝
・
・
・
・
・
…
曾
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
・
・
・
・
・
…
（2−9
｝ な お，
（2−
8）式の右 辺 第 3項の立 体 架 構 全 体につ いて の 総 和は零と な り，ll
。（t
）と φ（t
）と の相 乗時 間 積 分項は 全 粘 牲 減衰エ ネル ギー
に は含 まれ ない。
弾性系の全入力 エ ネルギー
E，は全 減 衰エ ネルギー
に等しいか ら，EJ
＝Eys
＋E
φ…・
…・
…・
……・
・
…………・
…
（2−10
＞ ・rs−
・K
・XTDo
・
（・） ！dt，
E
・一
・K
・x
’°
φ
（t
）2dt…………・
・
……
（2−
11） （2−11
）式の関係を （2−5
）式に用い る と，
easは下式の よ うに表さ れ る。・・
一
藷
・
》
嘉
…………t・
…一 …・
・
（2−
12） あ るい は，咢
一
薇
…一 …一 ・
一 …・
………・
（z−
13 ） （2−12
），
（2−13
）式は，
動 的ね じ れ偏心パ ラ メー
タが 近 似 的に連成 系のエ ネルギー
応 答と 関 連づ け られ ること を 表 して い る。
上 述の 2乗 時 間 平 均 応 答あるい はエ ネル ギー
応 答に基づ く動 的ね じ れ偏 心パ ラメー
タは，
ね じ れ 連 成系に モー
ダル解 析 手 法とス ペ ク トル領 域にお け る解 析 方法S｝を 適用す る ことにより解 析 的 表 現が導かれる。
1．
0 edfre O．
5 0！
ノ
ノ
〆
〆！
〜！
17「
ハ
ed1 巳d2−一
一
一
ed3e ！r 5 e＝
0．
5ノ
！ ！〆
’
！7
厂！
’
！ ！
！
！ノ
’ノ
’
！ ’ ’／
！
〆
’
’
’＝
D．
コ，
’
ノ
’
〆
／
’
ノ
；
Q．
1一
尸 ’
r
r
Ty亭
0．
5呂
ec 0・
5 R2 （a ） Ty＝
0．
5sec 図一
3−
1 1．
0 §3．
動 的応答解 析に よ る考 察 前 述の動 的ね じれ偏心パ ラメー
タ ∂di の近似式（1−
16 ） 式の適用性 と ed，，
ed2，
eas の相互的な性 状につ い ての 数値解 析に よ る考 察 を以下に述べ る。
（1−
7）式に モー
ダル解 析 法 を 適 用し， 1次お よび2次 の モー
ダル応 答を 蝋 の，
u2 （t）とする と，
陰
ll
｝
一
［
1
：
：
：
：
：
］
1
＃
：
：
：
：
｝
………
（3−
1・ 2次 振 動の寄 与 を考 慮す る場 合に は，
（2−
3） 式の ed，は 下 式で表さ れ る。
ede＿
「e
（α・・
’
Ul ＋α・偽 ）’．
＿ ．
（3．
2） 「・〆＋e9 （α 1幽 ＋α、2
・
u，） ・＝
［（1− 16
〕式］X ηd・
……・
・
…・
………・
・
…
（3−
3 ），、 一
驪
…．
……．
…．
．
『
．
．
…
（、．
4 ） （Ul十 al2／all・
Ut）！ （3−
2 ）〜
（3−
4 ）式 中の モー
ダル 応 答の項は下 式で表され る。u・（t） ・ 一 （1／
T
・〕・
∫
各ω
d
ε一 （
1
／2
・為）・
1
こ
β§1
娠 （・）1
・
1
・Y’
P（・）1
…，
s二1，2・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（3−
5 ）・1伽 ・（t）一 （1／T・）
．
ll
’” Ul （t）・・〈t｝dt
− （1／・… ）
・
∫
ン
・
β1… ［・・1（・）・：・（・｝］lFy
，（ω）1
’d
ω………・
…………・
（3−
6） こ こ に，Hus
（ω〉は s 次モー
ドの 周 波 数 応 答 関 数，
1FVg
（ω）【
は地 震 動 加 速 度 波の フー
リェ 振 幅スペ ク トル，
＊ お よ びR
。．
の記 号は共 役お よ び実 部 を表す。 図一
3−
1．
（a）お よ び （b
）は，
上述の モー
ダル ス ペ ク トル解析 手 法に よる動的ね じ れ偏心パ ラメー
タ ede，
eas と （1−
16）式に よ るad1
との比 較 を図示し た も のであ る。
こ の数 値 解 析 例で は，
非 定 常 模 擬 地 震 波 標 本 （文 献1）） の フー
リェ 振 幅スペ ク ト ル が トFr 。（ω）1
に用い られ て い 1，
0 ed ／re O．
5 0 ア．
’ ’‘
A
−
ed 工一
ed2一
一
曹
一
ed3e ／r 8 e30
．
σ
5’
，
’
，
’’
，
’’
，
F
’
’’’
’’
’，
r卩
「
r
’・
！軍
0．
3’
盖
0，
L−一一
’
Ty冨
3・
Osec 1層 立 体 架構の動 的ね じ れ 偏 心 0．
5 （b ） Ty＝3．
Osec2R LOる
。
1．
5 TelT・
1．
O o．
5 0 図一
3−
2 o．
5 2 1．
o R 連成系の固有 周 期一
般に，
連 成系の 1次，2
次の固 有 周 期が接 近 する時 に は （3−2
＞式の ηdの項は無 視で き ない。 図一
3−2
に連 成 系の固 有 周 期，T
。／T ．
（s＝L
2）とR2 の関 係が 示 さ れ てい る が，R
が1．
O
に近づ く程，
T
，とT2
の差は小さ く な る。 図一3−1
（a｝に示さ れる短 周 期 系 （純 並 進 固 有 周 期 Tr＝
0．
5sec）で は， 連 成 系の 1次固有周期 T，が 入力 波の フー
リエ 振 幅ス ペ ク トル の スペ ク トル ピー
ク周 期に近い た め，1
次モー
ダル応 答が卓 越 する。
こ の よ う な 場合に は，
（1−
16）式のedi
とモー
ダル ス ペ ク トル解 析によ る e。 ，，
eas と は良い対 応を示して い る。 た だ し，
R
が1．
0
に近づ くにっ れ て2
次 振 動の関 与が 認 め ら れ，
（1−
16 ）式のe
．，
とモー
ダル ス ペ ク トル解 析に よ る edZ，
eas と の差 異を生 じ る。
こ れ に対して，
長 周 期 系 （Tr＝
3．
O sec，
図一
3−
1（b
）） で は，
連 成 系の 2次 固 有 周 期が入力 波の スペ ク トル ピー
ク周 期に近く な る た め， RZ≧0．
7の領 域で は 2次モー
ド の影 響が現れ， こ の 傾 向は静 的ね じ れ偏 心 e。／re が大 きい程 顕著になる。
図一
3−
3は， 純 並 進 固 有 周 期Tr＝
0．
5，
1．
0，
L 5，3．
Osec．
の立体 架構モ デル につ いて文献1
）で用い ら れ て いる 模 擬 地 震波の標 本 集 合 （標 本 数N
＝ 25）を 入 力 波と し た時 刻 歴 応 答 解 析に よっ て算 定され た （1−
11）式の edl
，
（2−
3）式の ed2，
および （2−
13）式の ea3の 各 動 的ね じ れ偏心パ ラ メー
タ の平 均 値を図 示し た もの で ある。
これら の数 値 解 析 結 果お よ び図一
3−
1か ら （1−
16） LO ed ／re 0．
5 0 勿 〃一
；Eq，
｛1−
161 。 … d1！・e，
〆 ’ ’F ノ 軌 丶・edZ1 「 e μ 即 ed3 ！re 嵐 ’ ノ ’ 厂 ’ ’ elr s e ！ 1 ， 1 1＝
0，
4 ’ ！’昌
o．
3置
0．
2 ’ r＝
D．
1 o 韋Ty≡
o・
5sec■
：Ty雷
1・
qseC D・
5 R2 （a ＞ Ty＝
O，
5， 1．
Osec 図一
3−
3 1．
0 式の 動 的ね じ れ偏心パ ラ メー
タ ed、の 近 似 式 は，R
！ ≦0．
8
， es／ r．
≦0，
4
の範 囲で満 足な適 用 性 を持っ てい るとい え る。
§4．
せ ん断型多層立体 架構、
せ ん断 型 多層 立 体 架 構 （図一
4−
1参 照）の動 的つ り合 い式は下 式の よ うに記 述できる。
［
影
：
：
1
［
illl
：
1
］
胤
・ ・［
［T
］ t ［0
］ ［0
］ ［T
］t］
［
［雛
1
，］
［
1
糊
鬧
・［
［T
］ t ［0
］ ［0
］ ［T］t］
［
［諾
1
［k
°i
］］
［
1
駻隅
囎
一一
捌
｝
・…・
…・
・
…・
……・
・
…………・
……
（4−
1 ） こ こ に，
［
1
灘 黜
一一
般鼈 行列 ［Kr
｝＝diag．
［Kn ，
Kv2，
……，
Kr
。］：層 剛 性行列 ［Ke
］＝diag．
［κ φ1，
K
φ2，
……Ken
］：層ね じ り 剛性行列 ［T
］， お よび［T
］ t ；変 換 行 列， お よびその転 置 行 列iY
。
｝，
および1
φ｝：y 方 向 変 位ベ ク トル，
お よ び ね じれ 変位ベ ク トルILr
｝，
およびILJ
：加 振 項ベ クトル，
n ：層 数 せ ん断 型 多 層 立 体 架 構で は，
静 力 学パ ラメー
タKVi，・
1 1．
0 ed ／re D．
5 o n゜
121 〔a）こ
“
態
…
K1 1 tb［ 図一
4−
1 せ ん断型 多層 立 体 架 構 勿 〃 ；Eq・
〔1−
151 。 ・・ed11 「 e ノ ’ 〆’ ！建
厂 ノ ’ ’∬
い ：ed2 ！r 。 耳 耳・
ed3 〆r 。 ’ ノ 1 ， 「 e ！r 5 e I噐
0，
4’
’’＝
o．
3蒿
02 ’ ，≡
0．
1 O：
Ty崙
1・
55ec．ε
Ty翼
3．
Osec 0．
5 （b） Ty＝
’
1．
5，
3．
Osec l層 立 体 架 構の勤 的ね じ れ 偏 心 2R 1．
0 x一
25
一
Ket，
e。tな ど は各層ご と に定 まる。
以 下の記 述で は層 間 変 位，
層ね じ れモー
メ ン トは 雪・，
φ‘，Me
‘の よ うにA’
記 号 を付す。
1
雪。1
と1
φ1
は静的に は非連 成で あ り， 剛 性 方 程 式は下式で表さ れ る。
膿
、ト
［
［f
。1
］ 【k
°1
］］
｛
留
｝
……・
…・
……
・4−
・） ま た， 剛 性 半 径 行 列を下 式で定義す る。
［re】；
［K
γ］−
1／：・
［K
φ］ ［／2・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
…
r−・
・
…
（4−
3） 1層 立 体 架 構と同様に，
各層の最 大 変 位 応 答に基づ く 動 的ね じ れ偏心パ ラメー
タ1ed
、1
を下 式で定 義する。1
… ｝一
｛
1
瀦
｛
黔
H
砦
1
鑷
1
監
畿
｝
・
・
…
一
・
・
・
…
−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4−
4）1
次 振 動が卓 越する せ ん断 型 多 層 立 体 架 構で は，1
次 固 有モー
ドの層 間成分 as，
1＝
ai． 邑一
a“ を用い て各層 の動 的ね じれ偏 心パ ラメー
タが近 似 的に下 式で算定さ れ る。｛
毎
ト
圏｛
慕
｝
、一
［K
・］一
・／・ ［K
・］ ’／・胤
・
・
…………
（4−5
） こ こ に，1
＝
Ma
，8lt
，
1a
。lt
｝1， ベ ク トル記 号卜｝。
の右 下 添 字 s は モー
ド次 数を表す。 同 様に，
ede，
easにつ いて も 層 間変 位の 2乗 応 答，
層 エ ネルギー
応 答を用い て算 定され る。
図一
4−
2−
4−6
は せ ん断 型 多 層 立 体 架 構モ デル の 数 値 解 析 例を 示 し た もの で あ る。
架 構モ デル は 6層 5 構面フ レー
ム に よっ て構成され る せん断 型立体 架構であ り， 全 層に同一
の静 的ね じれ偏 心 を もつ 場 合と特定の層に静 的 ね じ れ偏心 を もつ モ デル につ い て動 的ね じ れ偏 心 edl，
ed2，
easが算 定さ れ て いる。 入 力 波 は前 述の模 擬 地 震 波 fii54321 esl「
e 沌 司卜
卩
−
1 睥 30
宦
20＝
1D量
「，
1脚
卩
1卩
．
l
II
I
I1
「
1
鬮
巳
塵
lI
I
■
■
1
■
lI
I1
1
1
嚠嚠
ロt
！ ロロ
る e．
6 o．
e gd1 ／re a ） ’ y1’
°・
Ssec 6i54 ］ 21 es！re冨
o．
ユ＝
0．
2iO． iO，
4 ｝ 脚●
1■
1 31 鬮「 ’
1r’
1丘 「
11卩 ’
，
1’
1P’
卩
，
1圏
181 口 111 ゜’
2”
’
4 °’
亀 、恐 8 dl e b ） Tyl＝
1・
5se匚
図一
4−
2 全 層一
様静 的ね じれ偏 心 を もつ 6層 立 体架構の動 的ねじれ偏 心 （etit／re）；
−
A一
皿Qdel，……
B−
mode ⊥1
．
0 ed ／re 0．
5 0 図一
4−
3 1．
0 ed ！re 0．
5 勿 ！’ ：Eq．
11−
1511
： ，！’
1’
’ ・ed21 「 。・
Ty・＝
0・
5sec ・ed2 〆・
Ty ・＝
1・
5sec1 ’ ！ ’ ’ ’ ’ ’ ！ τ■ ’ ， 置 ε 〆r 5 e＝
I 0．
4’
τ ： 1日
0．
3＝
0．
27一
’ ，＝
o．
1 0・
5 R2 1・
0 ° 0・
5 R2 1・
0 （a ） edl／re 〔b） edヨfre
全 層一
様 静 的ね じれ偏心 をもつ 6層 立 体 架 構 （Tn≡
O．
5，
1．
5sec）の動 的ね じれ偏 心・
工 匸．
o．
v．
’
ユ 匚．
o，
v．
・
↓ 匚・
o・
t・
「
⊥ c．
o．
v．
゜ °’
2・
d・・ eed・re
’
・dノ・。
’
・t。
’
（a ） Tn＝
0．
5sec．
，
es／re＝
0．
3 （b） Tn＝
3．
Osec．
，
es／re＝
0．
3 図一
4−
4 第3層 に 静 的ね じれ偏心をもつ 6層立 体 架 構の動的ね じれ偏心 （平 均 値，
変 動 係 数 ），
の標 本 集合 を 用 い
，
同 図に は edl，
ed2，
easの 平均 値が 爪 さ れてい る。 図一4−2
お よ び図一4−3
は全 層に わ たっ て 同一
の 静 的 ね じれ偏心 を もつ 立体 架 構 （T
”1O．
5，
1．
5sec ， e。
／r．
＝
＝
O．
1，
0．
2，
0．
3，
0．
4）の数 値 解 析例であ る。
図中のA
，B −
model は 1層 立 体 架 構につ いて の図一1−2
中の鎖 線 A ，B に対 応 するように，6層 立 体 架 構の静 力 学パ ラメー
タ が設 定さ れた モデル である。 これ らの解 析モデル の よ う に，
高さ方向に同一
の静 的ね じれ偏心 を もつ 特別の立体 架 構で は，
その固有 モー
ド行列 とス ペ ク トル 行 列は， 行 列の 直積 を用いて 下式の よ うに表さ れ る4 〕。
［A
］＝
［nAr ］婁［，
A
アφ］・
・
・
・
…
：・
・
（4−
7） ［A
］＝
［nAv ］婁［iAre ｝・
・
・
・
・
・
…
（4−8
） こ こ に，
［nAr ］，
［nAx ］：並 進変位の み を 生 じ る、
時の n 層 立 体架構の固 有モー
ド行 列お よびス ペ ク トル行 列。
［LAy φ］，
［IA ゆ］：並 進一
ねじれ連 成 1層 立 体 架 構の 無 次 元 固 有モー
ド行 列お・
よび 無 次 元ス ペ ク トル 行 列。
また，
二記 号は行列の直積を表す。 上 式の性 質から，
高 さ方 向に一
様な静 的ね じれ偏心 を もつ せ ん断 型 多層 立 体 架 構で は，
1次 振 動 が卓越 して高 次 振 動の 影 響が小さい 場合には動的ね じ れ偏心 パ ラ メー
タ ed、は全 層に わ たっ て1
層 立体 架 構の そ れ と変ら ない。
この様な性 状は 図一
4−
3に示さ れて い る短 周 期 系 （Tn
＝O．5sec
＞の動的ね じ れ偏心パ ラ メー
タ と同 図 中の 1層 立 体 架 構の動 的偏 心パ ラ メー
タの 近 似 式 （（1−
16｝ 式，
図 中の 実 線）との対比におい て認め ら れ る。 な お，
図一
4−
3では 全層の動的ね じ れ偏心 応答値の範囲が線状に図示さ れてい る。 図一
4−
2（b
）に示され るよ うに，
長周 期 系 （Tn；
1．
5sec ）の勤 的ね じ れ偏心 の高さ方 向 分 布は，
e。／re が大き く な る と や や一
様で な く な る。 これ は連 成 系の 2，
3次振動の寄 与に よ る。 図一
4−
4，
4−
5は特 定の 層に静 的ね じ れ偏心 をもつ 立 体 架 構につ いて の数 値 解 析 例である。
図一
4−
4は， 第 3層に静的 偏心 （es／re＝O．3
）を もつ モ デル の算 定 例で あ り，
図一
4−5
は第6
層，
3層あ i る い は 1層に静 的 偏心 を もつTn
＝ 1．
5sec
の 架 構モ デ ル の応 答 解 析 例 （eas／r。）で ある。
な お， 両図中に は動 的 偏 心パ ラ メー
タの高さ方 向 分 布の変動も参考に併わ せ て図 示さ れ てい る。
図一
4−
6は （1−
11），
・
（2−
2），
（2−
5＞ 式の edl， ed2， eas と （4−
5）式に よっ て1
次モー
ドの みを用いて評 価し た場合 （∂di）の比較を es／re
＝O．
4の例 につ い て示し た もの であ る。
同 図 は，
この よ う な近 似 評 価 法がある制約の下で せ ん断型多 層 立 体 架 構に適 用でき 匚．
0．
Y．
O l．
o 5 4一
・
皀 4 。 野一
2 図 0Oi5
4 3 2 6・
− 5 4 3 2 5i543218
−
°’
Vi．
o 1hli覧
馳
L es1【
e・
：
＝
0，
1−一
．
一
：
＝
o，
2−＿
− 一
＿
：
：
犀
o．
3 「 口・
4ll
1LL
」
岫
、
、、
馳髄
、
、
L
1「
、
、
、
、
互
｝
、、
、
厂
’置
7卩
厂
’
厂
’
rf
「
’
’
’
’
’
illl
脚
l IIlA一
田
od巳
王 Ty1冒
155・
・
1・
ユ 匚’
e” i．
。 o o．
2 o．
q o o2 o
．
4 ・d31「 。 ed3 ！「。 特定の 層 に静 的ね じ れ偏 心 を もつ 6層 立 体 架 構の動 的 ねじれ偏 心 （eas／r。
；平 均 値，
変 動 係 数 ） Tn ＝ 1．
5sec．
，
A−
model O O．
2 0Aed ／re
Ca
｝ o 5・
1 4 3 2 6 5i 4 3 2 ： II
【
5
．
」
lI
l
I
I
嚠
L一
一
．
齟
一
一
一
・
。皿！：
Eq．
14−
5P ：e訌！田
d3ノl
I
鬮
11
」
幽
卩
區
．
．
．
層
1
11
」
l
l
I
I1
1
1
1
」
r
．
．
．
層
．
．
．
．
1」
脚
【
I
I
1
鬮
−
II
r
．
．
．
．
．
層
唱
−
I
I
I
L
I
幽
A一
価odEl7y1＝
0569・
O ／r＝
0．
・ 5已
D O．
2 0．
亀 0・
O●
2 0r4ed／「 e
ed ！・e Tn
＝
0．
5sec．
，
e．
／re＝
0．
4，
A−
model 6・
ユ 5 4 3 2 6・
工 5 4 ヨ 2 1一 ；
Eql・曹
51 10
．
−
脚
圏
幽
l
l1
”
−・
a砠！「e lI −
FI
I
脚 一
一
一
・
勉〆 Ir一一
・
・
6ユ〆，
：
卩
，
−
．
［
幽
層
．
9幽
1IIIliI
鬮
−
．
．
1
●
I
I11iA
一
加odε
1 ，，
．
圏
．
圏
I
ー
ト
Ty1’
ユ・
5Se°
II
圏
1
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卩
」
幽
゜。
ノre 司・
4騎
、
O曾
2 0．
4 0 0．
2 0r4 0 0曾
2 0・
4・d／re
・d／・ e
．
ed／「， （b） Tn＝
1．
5sec．
，
es／re＝
＝
o．
4，
A−
model 図一
一
4−
6 1次モー
ドを 用い て 算定さ れ る動 的ね じ れ 偏 心 ［（4−
5） 式1
との比 較一
27
一
ること を示 唆して い る。 こ こ に
，
「ある制 約の下で」 と い う適 用 範 囲を付し た理 由は高 次 振 動の関 与とそ の評 価 に関連す る より詳 細な考 察が残され て い る ことによる。
一
般 論 的に，
多 層 架 構にな る程，
換 言 すれ ば ， 多 自 由 度 系にな る程，
入 力 （加 振 ）の ス ペ ク トル特 性 と関 連して 高 次 振 動 成 分の適切な評 価が必要と な るこ とは動的応答 問 題に おい て い う までもない ことである。
高 次 振 動 成 分の寄 与が無 視で き ない場 合に は，
上 に述 べ た動 的 偏心パ ラ メー
タ，
特に時間 関数 Me （t），
Q
（t
） ある い は φ（t｝，
雪s（t）の瞬 時 的 最 大値に よ り定義され る edl の有 効 性と一
般 的 適用性に疑問 をと も な う であ ろ う。 本 論におい て定 義さ れて い る動 的ね じ れ偏心パ ラ メー
タ は，
並 進一
ね じれ連 成 立 体 架 構の 地 震 荷 重 効 果を 準静 的に下式で評 価す ること も意図 して い る。
Q
＝1Q
（t）lmax
．・
…・
・
………・
……・
………
（4−
9）M
φ＝
ed】。
IQ
（t
）lmax
．
・
…・
…・
…・
……・
・
…
（4−
10 ）・・
一
£
・砦
（XJ−
Xs）・
・
…・
…・
・
………・
…
（4−
・1）嘉
一
1＋（
咢際
鞠一 ……・
一 ………
（4−
・2＞ （4−
12） 式の 蛍ノ島は純 並 進 変 位 醜 に対す る 」通りフ レー
ム の動 的ね じ れ連成変 位 倍 率を表す。
こ の よ うな視 点か ら は，
高 次振 動の関 与が相 対的に強 く，
Me （t）とQ
（t）の最 大値が 同時 刻に生 起す る とは限 ら な い場 合に は，M
φ（t），
Q
（t）の 各々 の最大 値 応 答で 定義さ れ る動 的偏心パ ラ メー
タθdlは （1−
12 ）〜
（1−
13） 式 を含めて それを用いるこ との力 学 的 根 拠が弱くなる で あ ろ う。
同様な 疑 問は edi，
eas につ い ても 瞬 時 的 最 大 値 応 答を直接に は 用い てい ないが， 時 間 平 均，
ある いは時 間 積 分操作に よ りM
φ（t
｝，
Q
（t
）の 時 刻 歴 特 性が正 当に 組み 入 れ ら れ ない こ とにな る点が指 摘され る で あ ろ う。
これに関 連 する問 題の考 察を次 節に加え よ う。 §5．
ね じれ連 成 応 答にお け る高 次 振 動の影 響 図一
5−
1は，
1層 立 体 架 構の短 周 期 系 （T
．＝
O．
5sec ） と 長 周 期 系 （Tn ；3．
Osec
）につ い てね じ れ モー
メン ト 応 答 Me（t）と せ ん断力 応 答Q
（t）の 時 刻 歴 とM
．｛t
）−
Q
（t）図の例を示 し た もの であ る。
短周期 系で は 2次 振 動 の影 響が相 対 的に小さ く，M
φ（t
）− Q
（t＞曲 線は幅の狭 い ルー
プを描い てい る。
こ の よ うな ね じ れ連 成 応 答を示 す 場合に は， 前 節ま で に述べ た動 的ねじれ 偏 心パ ラ メー
タは有 効である。
これに対し，
図一
5−
1下 図に示さ れ て いる長 周 期 系の M．（t）−
Q
（t｝特 性，
お よ び時 刻歴 図で は， ね じれ モー
メ ン トとせん断 力の最 大 値応答は両者の 生 起 時 刻に時 間 差 を生じて い る。
こ の よ うな ね じれ連 成 系では，
ゴ通 り フレー
ム の最 大せ ん断 力応 答 を近 似的に 推 定す る手 法と し て，
a｝絶 対値和法 （ABS
法）とb
） 2乗 和 開平 法 （SRSS
法 ）が用い ら れ る。 a ）ABS 法 」通リ フ レー
ム の せ ん断 力 応 答Q
，（t）は， 立 体 架 構 の並 進 変 位 Y。（t
）に よる せん 断 力Qr
。，
j（t
）とね じ れ変 位di
（t）に よる せ ん断 力Q
。．
」（t）との和で表され る。
Q
丿（t
）＝
QVs
．
，（t
＞十Qe
，
」（t
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
…
（5−1
）ABS
法で は，
1Q
，（t）lmax
．
を2
つ の 時 間 関 数Qrsi
（
t
）とQ
φ，
丿（t
）の最 大 値 和と して近 似 的に推 定 する。｝
Q
、ωlmax
．
ψ
1Q
ωlmax
．
揖
κ’・（嘱
驫
1
踟
max・
一
評 IQ
ωlm
。x．
Σ K，°
JEI・
｛
1＋鶚
恥・
咢ト
・
一 ・
・
（5−2
） 上 式 右 辺 に 動 的 ね じ れ 偏 心 パ ラ メー
タ edl ｛＝
IM
¢lmax
／lQlmax
）が用い られ て い る。
b
）SRSS
法1Q
，（翻
max．
をQr
。，
」（t
）とQe
，
J（t
）の最大 値の 2乗 和 開 平によ り近 似的に算定す る。IQ
、（t）1max
＝Q
，。．
， tmm ［＋Q
。．
Jtmu−
5
’IQ
ωlmax
．
那
・ 1
＋（
Xl−
Xs Te）
t（
讐
）
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5−3
） （5−2
）式と （5−3
）式のいずれ が適 切な近 似を与え る か の一
般論 的な判断は難しい。
ち な みに，
図一
5−
1下 図 の ね じ れ連 成応答で は，
立体 架構の y 方 向ね じ れ連 成 変位が最 も大きい m 通り フ レー
ム （図一1−1
（b
）参照） につ い て，
a）ABS
法では，IQ
。
（、）lm
。x4 ・．
IQ
ωlmax
，
渇
K・・
｛
1
＋翫許 謝
：O．
62
［v・
・
・
・
・
・
・
…
b
）SRSS
法で は，
Km……・
……・
…
（5−4
）lQ
・
ωlmax
・
＝ Σ瓦
IQ
ωlmax
・
・ 1
＋（
Xm−
Xs 7e）
2（
）
2 ＝O．
44
・
・
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5−
5） c）時 刻歴 解析に よ る m 通 りフ レー
ム の最大せ ん断 力応答は，
1Q
。
（t
）1max
．
＝0．
43cu で ある。
こ の算 例で は， SRSS 法に よ る推 定 値は良い近似 とな り， ABS 法は安 全 側の近 似を与え る。 図一
5−2
は第3
層に静的ね じ れ偏心 （e。／r。ニ0．4
）を もつ 6層 立体 架 構 （T，
，1・
O．
5，
1．
5sec ；A
−
mbdel ）の例牽
示 し た もの である。 偏 心 層のMe
（t
）−
Q
（t）曲 線はTn −
O．
5sec および Trt＝
1．
5sec の両モ デル とも狭い ルー
プ を描き，
M 。（t）とQ
（t）は一
方が最 大 値を示す と．
「
M φ〔tl ！ρ。’
m’
ygmax B LO一
1．
O LOQ （切 A m・
y qmax．
一
LO し 5L × 心 日 い Z 匠 5冖
」
臼 や ミ（
ど αー
LZ
5 Z 5 工 臼 −× 。 巨 ひ 訥
゜
α こ ど ノ A・
IQimaX
2 4r61B 監臼 12
111
− IB
’
1
・ φ1
．
。ax．
…
i
14 16 182 日 22 24 t 〔sec．
｝ Ty＝
°・
5 s∈r
・
・
e 。／ 「 e＝
°・
4’
A−
model 2 4，
5、
B l臼 重2．
14 ！6 182 臼 22 24 t．
〔sec．
） M φ（tl／・、・
m’
ヤ gmax．
0，
1B 0．
1一
〇．
1 A一
〇，
ユ1
匚
Z −囲
工 必 z
一
× 。爵
・
呈
ど σ −図 9 臼
，
x 霍2
幽
日 1一
嘘
図 q こ ど ノ A・
IQImax
24 ：
1
8 旧
lB
’
IM
φ』
。 ．．
1
12 14 16 L弓 2臼 22 24 t （sec．
） T＝
3．
O sec．
，
e ／r＝
0・
4，
y s e A−
model 2 4 6 B rz 12 14 16 1B 2図 22 24 t 〔sec．
） 図一
5−
1 1層 立 体 架 構 （Tr＝
0．
5，
3．
Osec）の Mφ（t）− Q
（t）曲 線およ び時 刻 歴 性 状；ρε‘
〆＋ e§ 「1
り
M φユ〔切1ρ 。ユm％．
。
．」
四
M φ31tl．
ノ・ 。3m％
m 。 。 髷 φ、｛ ・）／・ 。、 ・＿ 11
12
IlO
．
5一
．
−
51一
2 1．
i一
5｝
5〜
1卍
5 21i配
Ω6〔切rI
Q1 〔．
t） m・
り gmax Ω31七1一
1
一
2 m％
。 。 ．一
〇．
5 m・
シ qmax ユst ・螽
3rd s七〇ry 6th stQry（a ＞ Tn
＝Q．
5sec．
，
es 〆re≡
O．
4，
A−
mode 且．
、
・〔ヒ）／％・m1 シg＿
〜
．
M φ3｛t レ／・。3m．
。 。 ．
〃
−
M φ6〔tlノρ，6m鹽
ジ q。ax 10．
51
10．
25 1⊥
…
−
21 費 2四
一
2 2〜
一
1 1〜
Q1 〔tl Q3 〔ヒ｝ Q61 ヒ1一
〇．
5 m・
シgmax
一
1 m・
ygmax一
〇．
25 m．
シgmax1sセ story 3rd sしory 6七h ＄tQry
（
b
） TVi＝
1．
5sec．
，
e．
f
re＝
0．
4，
A−
rnodet図
