非線形電子回路のカオス的ダブルスクロール・アトラクタのエルゴート性

愛知工業大学研究報告 第

2

8

号 平 成

5

年 7

非 線 形 電 子 回 路 の カ オ ス 的

ダ ブ ル ス ク 口 ー ル @ ア ト ラ ク タ の エ ル ゴ ー ト 性

m 弘 治 M 胃 守 司 割 旬 輪開岨 ︽ H t M 闘 開 閉 幽

e i

例 目 且 内 Hh n H v a す 且 前 助 恥 制 翻 閥 間 島 品 目 w m l E 絹 伊 闘 閤 思 必 R E a 品 目 W 炉 、 u 周骨組箇 h v E 脅自凶 p m r b @ 甫闘且 瓜 刻 岨 間 相 川 切 開 t -m R h w 品 開 園 旬 踊 r i AS 弘 首 eHa h A 円

t

RHa-AEU

i

i

向 H M V 齢 間 M m z a 内 H U A R U 斡 M 且 百 九 凶 目 官 官 も E の lu h む 白 b

i

i

官 h 山 M m 陶 此 脳 蹄 臥 M m 品 川 町 曹 関 u a mM 叫 u a 向 日 W A む の E U 隣 同 組

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i

罰 管 極 限 幽 曹 司 昆 現 a a の H M w m 刊 日 目 命 綱 凶 命 HHW E h m 時 間 削 問 問 問 n r 唱 し V -h H H AS 町 首 旨 晶 司 令 省 a u aHMw-u 阻 且 爾 機 開 炉 、 A M 拘 t a n H U 耳 目 聞 も の l u u ぬ 絹 凶 禍 r a a 綱 同 百 恥 M H M n r ' u 向 r u e -E m M M A H U W H M K M m 冒 E 閉 山 町 山 深 谷 義 勝 ヘ 鈴 木 郊 宇 日 ， 岩 田 博 之 口 七 新 美 吉 彦 本 衣 料

Yoshikatu FUKAYA

，

Kou SUZUKI

，

Hiroyuki IWATA and Yoshihiko NIIMI

Abstract Recent1y

，

in the wide range of fields

，

such as medical science

，

psycho1ogy

，

technology and economical or social systems etc.

，

and especially on the applications of some sciences and engineering

，

researches and treatments of the chaotic phenomena have rapidly developed and have been advancing very high speedy. Unti1 present time

，

many such research papers of understanding the intrinsic properties of chaos had been widely reported.

We had considered and investigated with respect to the chaos of nonlinear electronic circuits

，

particularly ofdouble-scroll attractor[l). This phenomena could be observed with Vc-h Lissajou's curves or pictures

，

and we could provide the phenomena. Furthermore

，

there exists correlative relationships mutually between each other on the waveformed of the oscillations and we could observe a chaotic dynamical behavior from them.

As the conseguence obtained from our resea.rches and experiments

，

we could induce that 1) the range of the osci11ations ha.s a kind of probabi1istic characters by local stationaTIness of the oscillation

，

and that 2) As there exist periodic

，

randomness in the oscillation

，

we might be applied a probabi1istic process. And therefore ergodic properties would be examined from these facts.

Though it was already pronounced that chaotic osci11ation have existed guasi-random Dumber serIes[111 [12) [1副

，

here we are particularly to practice probabi1istic

，

statistical measurements of the circuits. 1.まえがき 我々が実測に使う電子回路を通してカオスを研究 するとき，力学系としてのストレンジ・アトラクタ [lOJ(stra日gea ttractor)，スパイラル・アトラクタ 本 愛 知 工 業 大 学 電 子 工 学 科 (豊田市) 帥 愛 知 工 業 大 学 電 気 工 学 科 (豊田市) 帥串 愛知工業大学情報通信工学科 (豊田市) 帥 帥 愛 知 技 術 短 大 電 子 工 学 科 (豊田市) が観測されるカオス領域をまず知る必要がある.そ して，周期アトラクタの領域(窓という)があって 前者と交互に存在したりする.振動が成長(粂件を 変える)することでスクリュー。アトラクタになり， さらにダフ

γ

レスクロールeアトラクタとなる. カオス的アトラクタについて周期解はランタームな あらゆる周期の種類を持っている.いわゆる外部か らのランダム入力がなく，無秩序な周期の種類も多 く存在するカオス振動となっている@この挙動は予 測不能の場合があるが，高次の複雑な軌道を持つこ とによる.

8 愛知工薬大学研究報告.第28号臼 平 成5年.VOI. 28-8. Mar. 1993 単純な雑音というより，不規則な振動をする非線 形確率系として扱うべきと思う.よってダブルスク ロール・アトラクタについて，確率過程として3ラ ンダムな振動を捉えて進める.そして，エルゴート 性過程の適用の可否があるか，などの点を考察して いる. 非線形O Pアンプ回路とLC回路の結合回路によ り得られるダブルスクロール出力を確率過程の基本 測定をする.すなわち確率分布，確率密度関数など そしてグラフ化を行い検討した報告である. 2.本論 2 . 1 カオス的ダブルスクロールの発生 カオス的振動は非線形電子回路(負性抵抗)を用 いる法により容易に発生することができ，理論的に 力学系の場合に対応できる.ダブルスクロールの発 生については第 1図のように非線形側の負性抵抗回 路と線形回路が損失抵抗で、結合するシステムの構成 である.この目的の回路はチュア・松本らにより研 究が進められてきたーそのダブルスクロール@アト ラクタ[7]について安定領域の存在範囲や非線形特 性の有様の条件も明らかになっている.我々もダプ ルスクロールeアトラクタへの勤特性確証[1]を行っ て，カオス振動の起動を現実に容易にした。カオス 現象とその分岐(パイファケーション)が狭い領域 の回路素子値で条件を満足している. E a μ Q ) 7 K 値 4 2 抗 Q O 抵 k 6 の 7 0 4 時 8 = 士 定 7 1 l 安 C R 1 ) ' ' ( 5 2 F Q Q Q P × μ k k k 1 ( 7 3 6 6 A ム A44dqAq ヮ ， o o n u q d 寸 i ハ U 7 4 8 V O 一 市 上 F h u に d I t -2 A A Q U 1 i n u p u u = 一 一 H 1 土 = ' 4 1 lQRR pubh 6 Q P H 5 0 m 2 m O A D 0 1 3 一 ' H 1 1 士 = p a l -V 一 一 け ヨ O D ± L R R 第 1図 カオス(ダブルスクロール)発生回路 カオス現象は，決定論的な力学法剣に従うことで ランダム運動の軌道を決めているが，ダブルスクロー ルも同じ状態を持っている.そして一定の確率法則 に従うランダム運動が，非線形負性抵抗回路から得 られている. 第1図に示すカオス発生回路の回路方程式は次で 示される@

C ，竺主_:~

G(

Vcz-Vcl) -9 (Vcd

dt

d

VC2 Cz

一

一

一

=G(VCI-Vc

2)+

i

L

dt

( 1 ) d

i

L L ~一一一=-VC2

dt

ここで G= l/R

。

g(VC')=非線形部分回路N字特性 カオスの状態はパラメータGの値により異なり， スクリュー・アトラクタ(G=O.時7)が得られてさ らにGを大きくすると原点対象で二つのアトラクタ が成長して合体しダフルスクロール・アトラクタと なる.この場合状態変数が有界な領域内で非周期的 運動すなわちランダム運動を行っている.無限に周 波数の高い周期解があればs当然雑音(ノイズ)に なるが，周波数帯域が回路により決まり，カオスも 不変的構造を持っている. 2・2 カオス振動のエルゴート性 現実的に起こる定常物理現象におけるランダムデー タは，一般にエルゴード的であるといわれているー またランダム現象について多くの場合，一つの時刻 歴としてサンプリングによる処理解析が行われる. サンプリング系列が十分長い系列ならば，その中に は過程を決める確率的構造がすべて表現されており， 代表的な系列であるe換言すれば，ある状態の現れ る先験的確率に近似できる。なお確率過程である標 本関数(サンプリング)の集合はその平均化あるい は，異なる時刻におけるサンプリング関数の備の相 関(結合モーメント，自己相関関数)によって現象 の性格を記述することができる. ランダム(不規則)過程に関するアンサンフツi〆平 均と詩間平均とが一致する場合，このランダム過程 はエルゴート過程と呼ばれる. (逆も成立するとみ てよい)これは定常的時系列となっている.その上

9 非線形電子回路のカオス的ダプルスクローIL .アトラ7タのエルゴード性 確率過程になるときエルゴード集合は代数的関数で・ ある点に注目したい. カオス振動は不規則な相互作用で動的振舞いを行っ ている.すべてランダムだと言い切れないところも ある.しかしこの不規則過程は確率過程であって， 確率集合の概念を導入できる.さらにカオス振動の 生起確率が初期状態の影響を受けることもない.こ れらの事項からエルゴード性の条件は満たされる. そしてカオス的ダブルスクロール・アトラクタにつ いては外部ランダム入力を必要としないが，局所的 にはランダムとかノイズと考えられる領域も存在す るし，かっカオス生起の機会に高次元状態があり複 雑な軌道を作り出している.なおかつ決定論的カオ スであるととも明らかになっている.こうしてダブ ルスクロール・アトラクタもエルゴード性を持つも のと想定する. 第2図 ラ ン ダ ム 変 数 x(t) さて，ランダム過程において，ダブルスクロール の確率密度測定に関するサンプル関数 X(t) に， 定常確率過程 {X(t)} として，その期待値 E{f(X(言))}を仮定すると，f(X( t))の時間 平均 ηTは 1 I +T/2 ηT=-::-If(X(t))dt ( 2 ) ! "， -T/2 と表わされ

，

T→ ∞ に お い て E [f(X(

t

)

)

J

に 平均収束するとき，(X(t)}はエルゴード性であ る.すなわち，

~!JJl ηT=

E[f(X( t ))J ( 3 ) であり，ごのことはアンサンプル平均 E[f(X( t)) ]が単純サンプルの時間平均から決 定できる意味がある. 次にランダム変数の分布関数 F(X;t)は時間

t

の関数であり ，x( t)をリアル過程とおくと， F(x;t)=p {x(t)::o::x} (4) そして x(t) の第一次分布と呼ばれる.これから

x

に関する微分から密度が求められる. すなわち，

a

F(x. t) f(x.t) = θ

x

一方，結合分布においては， F(x

，

.xz;t" tz) ( 5 ) =P{X(t，)::O::Xl，X(t2)三三X2} (6) x( t)過程の第2次分布であることを付げ加えてお くことにした. 第4式において，

x

の条件式が成立したとき，確 率過程を

y(

t

)

とすれば， x( t)三三x ならば y(t)=l x( t )>;むならば y(t)= 0 と表すことができる. その平均 E{y(t)} は そして， E{y(t

)

l

=

1・P{x(t)ζx} =F(x) E (y( t

+

τ

)y( t)} ( 7 ) ( 8 ) = 1 ・P{x(t + で)三三x，x(t)三三x} =F(X"X2. ;τ) ( 9 ) 上式の F(X

，

.X2.;て)は x(t)の第二次分布， それによって自己相関が与えられる.そして， x( t )=xより下のレベル x(t) の平均時間に 対して積分

YT

が等しい. !im~\y(t)dt=F(x) (10) T~æ

2T

.J::""T lrZ斗 r¥

J

i

皿

;

:

;

:

¥

[1-~._~F(x ， .x2.; τ ト F2(X))d

τ

T→aTJo ¥

2

TI = 0 (11) 分布についてエルゴード性に関する結論は，ランダ ム変数 x(t+で)と x(t) が大きな T に無関 係ならば(第2図参照) J 2 F ( X h h，;T)=FZ(X) で表され て真ということである. (住1) t

，

t

・

E吋π (柱2) I I T YT=一一一"'::_~F(x) .._-， YT=-:-:: ¥y(t)dt

2

T

•. 2

TX;

x

(

t) ~x ， 十í}l:大きI\ TI:する EfYT}=E{y(t)}=F(x)

が成立する.

2・3 カオス振動と確率密度関数

非線形ダイナミツク・システムの第 l図回路は， 外部からノイスeを供給しないが，カオス振動モード

1

0

震知工業大学研究報告.第28号8.平 成5年.VOI. 28-8. Mar. 1993 率過程から，確率密度関数

(P.D.F.)

の実測に よって，その特性を調べる必要がある. 一般的には，ランダム非線形システムの応答は，

P.D.F.

複合最大曲線特性を表すことが理論的に 知られている. (第

3

図波形と

P.D.F.

との対比 参照)

(

W

a

v

e

f

o

r

臨)

(

P

.

D

.

F

.

)

ドマ、ド¥

ト

Ai

W

w

川

m

m

崎純t&ピ

第

3

図 波 形 と

P

.

D

.

F

.

との対比 ごこで，二つの具体例[9]について，ランダムな 動的確率過程を考えることにする.はじめに，マル コフ過程から進展した

F-P-K

方程式を示すと， δP-!!..θ

-

_

-

.

+>:で一

[α

，

P]

d t; l=id X

，

-

~:t~ーごと寸 buP]=O

(12)

2t

叶 J=lθX

，

θXJ 初期条件 P(X.Oぽ0.0)=δ(芳 一 支o)

=日

δ

(X

，

-X

，

o)

(13)

i:=1 また係数について

{

α

…(一一で

. P( Y. t

+

t

:

:

.

t I x. t) d y

，

.

.

.

d yπ b u(

瓦ペ

'(YJ-XJ)P(y. t

+

ムt

I

x

.

t) 'dy

，

...dyπ (14 ) さらに

.n

次元マルコフ過程

X(

t

.

ω) X(t. ω )=[X ，(t• ω )'Xz( t.ω)・・'Xπ(t.ω)]" (15 ) (ランダム過程として

x

(

t

.

岨).

t

く

t

.

<

t

"

"

くべ

t

認である.) そして確率密度関数

(P.D.F.)

は P. D. F.

=

P( X

.

，

..・ .X π • t Ix

，

o.・・・.Xπ。) (1

6

)

(註)

F-P-K

式 :

(

F

o

k

k

e

r

-

P

l

a

n

k

-

K

o

l

m

o

g

r

o

v

)

式 2・3 ・1 白色雑音の撹乱非線形振子[9] モデルシステムは.

1

9

8

6

:

T

h

o

皿

p

s

叩による平均セ守 口なる定常ランダム作用力がある振子である， (第 4図)このシステムのmの運動は

(

子

，

=Xz Xz=αX

，

-

λsinX

，

+η( t.ω) ( 1 7 ) ただし，ホワイトノイズ η(

t

.

ω)が成立する. そして δP

一一一= 0

かっ

at

F-P-K式から定常状態の P.D.F.が求められ る.変移X

，

.

分岐パラメータ

A

からESI， 内

4

…

ω

( 1 8 ) これは第5図で表されて， η(

t

.

ω)=0の決定論 的システムの分岐と確率過程の分岐の類次を示して いる.

マ

(

t

，

ωj ---，'~)--司、(~~ 1}γ ウI"'. t H x J

，

r v

、

f

f

~k

k

:

torslonal stlffness， m: mass.

1:the length of the massless beam. 第4図モデルシステム ~ Q301 0..0.15

o

2 λ 4 第5図 分布確率過程の三次元表示 2・3・2 ノイズ的カオス応答のP.D. F.[9】 非線形動的システムの

P.D.F.

の性質をダフィン 発振器を例に考える.ランダムノイズで撹乱される とき

X+

α3

c

+bx

十C

X

3_{= BcosQ}

t

+

η

(

t

.

ω) (19 )

非銭形電子回路の点オス的ダブルλクロール アトラ77のエルゴード性 11 の方程式で示される.初期粂件あるいは

F-P-K

式を満足させる変換によって ，

x

，(t，ω)の

P.D.

F.は 同 国 同 A

P(x"t)=111

。P(X"X2，"'.X4.tIX'O.X20.B.D) 'dX2dxadx4 ( 2 0 ) により計算される@システムのパラメータによって， 第6図の形式曲線が得られる. α =1.0， b=-lO.O， c=lOO.B =1.2， D = 0.2のシステムパラメータにおいて .，Q=3.4， t =20のとき図

(A)

， ，Q=3.5.

t=40

のとき 図 (B)が得られる。 同叫1 IP(，x.I) l旧3¥ I十0.3 ¥ -0.5 ，.x ID -0.5 x

，

1.0. (A) (B) 第6図 P.lI.F.曲線

3

.

確率過程の各実験結果 第1図による測定は，確率密度，結合確率密度そ してパワー・スペクトル密度の測定であり，その結 果について述べる.ダブルスクロール発生回路が非 線形負性抵抗側と線形共振

LC

側回路から構成され ている観点からそれぞれ-7J1!院している@第7図 (A) ，

(

B

)は確率密度関数

P.D.F.

の結果であって， 第7図 (A)は明らかに複合最大値特牲を示した. 第3図に類似できるから本質的には正弦波型と不規 則波形の合成で作られる波形を表すものと考えるa 第7図 (B)については概念的にガウス分布であっ て，狭帯域性の形状といえる.カオス的ダブルスク ロール振動の成長振動波形は第8図のようになる. これは

LC

回路のステッフn応答特性傾向があって， 跳躍瞬時から振動開始の指数関数的振幅成長が観察 できる.やはり線形的なため正弦波形状を示してい る. 第9図については回路が線形側と非線形側が抵抗 により結合されているため結合特性(相互関係)と して，結合確率密度を求めた.そしてデータ処理で

"

'

'" T Prob. Densily Gragh {nonl inearl

"

"

3D

"

、 F J Z m c ω 口 叩筒 m Volt.ge!p-pl 1S (A)

'

"

I C E L l a n n H ︼ a r p b v y ' 与 し B h u q J u n u n H F

・

QU n r n U 7 0 e トパ平一前回 C U ロ IQ 15 a ( B } 第7図

P.D.F.

の特性 3D 三次元表示のグラフに作成したから直感的観察が可 能であるーこの場合は，不規則に振動の相聞を表し ている.また，第10図では結合確率分布の三次元 グラフを示した.この場合は累積確率分布として知 られるが，密度関数を一∞から

x

まで積分したもの に等しい.こうした図形を見ることができる.パワ スペクトル密度関数については，第11図において

FFT

測定図を示した.これは密度と周波数の関係 をプロットしたことになっている。

4

.

むすび カオスの動的振舞いを基本的考察しつつ，ダブル

12 愛知工業大学研究報告.第28号8，平成5年 VOI 28-8， Mar 1993 第8図 カオス振動成長波形 スクロール。振動について，不規則(ランダムネス) 性は確率過程を満たしている。よってエルゴード性 の仮定は正しいことが言明される.実験から判明す ることは，白色雑音ではないが局所領域的に正弦波 とランダム雑音が適当な量において合成された状態 を持っている. 今後ヲさらに確率統計的手法による測定からカオ ス的ダブルスクロールの振動の性質を詳しく調べて9 工学的な応用さらに実用面へ進展することを期待し たい.

5.

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