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工業数学Ⅰ

第7章多変数関数の微分

1. R

n

における曲線

第7章多変数関数の微分 1 Rn_{における曲線} 1.1 パラメータ表示 ●関数の記述 xはベクトル(太字) ->多変数関数 fもベクトル (太字) ->ベクトル値関数 要素(列ベクトルx)と集合(定義 域D)を区別 関数fは集合Dを集合Rm_に写像 n >1, m>1の場合 P82 4節 で述べる ※定義域がスカラー値(n=1)の場合、集合Dではなくて I (アイ)で表記

●スカラー関数とベクトル値関数 ※注意 zとfはスカラーなので細字、xは ベクトルなので太字 ● n=3, m=1の2変数のスカラー関数の例 図 スカラー関数の例 定常流の管内圧力分布

x=[x

,x

,x

]

∈R

図ベクトル値関数の例 n=3, m=2 場所を固定すれば、風速度uは時間t(スカラー 値)に関するベクトル 翼周りの2次元空間xにおける2次元速度ベクトルfの時間変化 ● n=1, m=2 の例 図ベクトル値関数の例n=1, m=2 ● n=3, m=2 の例 ※注意 時間はスカラーなので細字、 風速度uはベクトルなので太字 ※注意 fもxもベクトルなので太字 ※参照 P82 4節 ベクトル値関数 ●像空間のベクトル量: 加速度、速度、変位、力、重力、運動量など

𝒖 = 𝒇 𝑡 =

_𝑓

𝑓

(𝑡)

(𝑡)

● パラメータ表示

●多変数の極限 各要素の極限

多変数の極限や微分は、各要素で考える

※ 𝒙 𝑡 と 𝒙′(𝑠)の違いに注意 ↓・がある

●部分曲線と正則

図158 曲線

※ 𝒙 𝑡 =0 正則ではない -> 運動が止まる 始点

●弧長 s(t)とその時間微分 : [a,t]にわたる部分曲線 ●弧長要素ds と弧長要素ベクトルdx :曲線x(t)の時間微分の大きさでもある (3) (4) (5) x(t)がわかればスキーヤー自 身が速度や距離を測れる!! 時間tの位置x(t)の速度 GPS速度計: アンドロイドのス ピードメーター https://play.google.com/store/apps/details?id =de.meditgbr.android.tacho&hl=ja

)

(a

x

O

)

(a

x

)

(t

x

)

(t

x

ds

s(t)

dx

●単位接線ベクトル λは任意の実数 T(t):接線ベクトル Tangential N(t):主法線ベクトル Normal B(t):従法線ベクトル Binormal 図159 動標構 1.2 動標構、曲率、ねじれ率 (6)

)

(

t

T

O



●単位主法線ベクトル 単位従法線ベクトル (T(t), N(t), B(t)) ●動標構 ※右手系 (T(s), N(s), B(s)) ※弧長sをパラメータとして表すこともある ●_{曲線x(t)を微分⇒接線ベクトルT(t)} ●_{単位接線ベクトルT(t)を微分} ⇒主法線ベクトルN(t) ● _{T(t)とN(t)との外積⇒従法線ベクトルB(t)} 定理1.1(後述)で B(t)を曲線x(t)で表す。 ●接触平面 r (λ, μ) λ ,μ ∈R λ とμは任意の実数 (7)

)

(t

T

O





)

(t

N

●曲率κ(t) 曲率κ(t) :弧長s(t)の時間微分または曲線のx(t)の時間微分の大きさ に対する 接線ベクトルT(t)の時間微分の大きさ 接線ベクトルの向きの変化大⇒κ(t)大 接線ベクトルの向きの変化小⇒ κ(t)小 ※単位長さ{Δs(t)の微分}=OA=OB(単位 時間 OCではない!! もし青の速度が速 いと・・・)、つまり、弧長の変化率𝑠(𝑡) が基準

T(t

)

T(t

)

s(t

)

s(t)

T(t)

T(t

)

O

A

B

C

𝑻 𝑡

s(t

)

●速度、加速度と動標構(接線ベクトルT(t)主法線ベクトルN(t))との関係 式(6)単位接線ベクトルの定義 𝒙 𝑡 = 𝒙 𝑡 𝑻(𝑡) 式(4)の弧長の定義を代入 𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) さらにtで微分 𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) + 𝑠(𝑡) 𝑻(𝑡) 式(7)単位主法線ベクトルの定義 𝑻 𝑡 = 𝑻 𝑡 N(t) 𝑻 𝑡 = 𝜅 𝑡 𝑠(𝑡) xのtに関する二回微分は、 𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) + 𝑠(𝑡)2𝜅 𝑡 N(t) (9) 式(8)の曲率 の定義 𝑻 𝑡 = 𝜅 𝑡 𝑠(𝑡) N(t)

)

(t

x



O

)

(t

x

)

(t

T

)

(t

N

)

(t

x



)

(t

x

_T

_(t

₎

)

(t

T

N

(t

)

●運動学的な意味 図160 運動学 速度ベクトル 加速度ベクトル B N T 右手系

●曲率κ(t)と従法線ベクトルB(t)をx(t)で表す ※ 式(10)と式(11)を導出できること!! 外積は0 外積はB(t) 速度𝒙 𝑡 と加速度 𝒙 𝑡 との外積は? (9) 従法線ベクトルB(t)の定義

●ねじれベクトル𝑩 𝑡 / 𝑠 𝑡 と ねじれ率τ(t) ねじれベクトル: 孤長s(t)の時間変化率に対するB(t)の時間変化率 τ(t): ねじれ率 マイナスがつく 定義より 𝑻 𝑡 = 𝑻 𝑡 𝑵 𝑡 なので 0になる。 𝑩 ∙ 𝑩 = 𝟏 より 𝑑 𝑩 ∙ 𝑩 𝑑𝑡 = 𝑩 ∙ 𝑩 + 𝑩 ∙ 𝑩 = 𝟐 𝑩 ∙ 𝑩 =𝟎 N T B κ τ κ τ 平行 𝑩 T+𝑑𝑻_𝑑𝑠 N+𝑑𝑵_𝑑𝑠 B+𝑑𝑩_𝑑𝑠 紫□はあと で説明 注)sで微分 (12)

●ねじれ率 フレネ・セレの公式から証明 スカラー三重積は行列式detで表される x(t)が平面曲線であるための必要十分条件 ⇔ τ(t)=0 平面上にある曲線は、ねじれていない。 T B N N T B 曲がっているけど ねじれていない線。 ⇒T,Nは場所によ り変化 _Bは変化 なし 曲がっていてねじれ ている線。 ⇒ _{Bは場所によって} 変わる。 T N B 曲面がねじれてい るのであって曲線 がねじれているの ではない。 B B (13)

17 x(t)だけで表し たいので、 N(t)の定義式 (7)と違うので 注意 定義式(6)より 式(10)より 式(11)より 式(13)より、詳 細は後ほど

18 ●つる巻きばねを用いた例題

動標項の動画

青 T

、

_{茶 N}

_{、黒 B}

(※Bの向きが微妙に変わることに注意)

定理 1.1 参照 𝑵 𝑡 = 𝑩 𝑡 × 𝑻 𝑡 曲率 ねじれ率

x × y = (x₂y₃- x₃y₂ ， x₃y₁ - x₁y₃ ，x₁y₂ - x₂y₁) x = (x₁ , x₂ , x₃), y = (y₁ , y₂ , y₃) ●つる巻きばねを用いた例題 計算のヒント 𝒙 = 𝒂_𝟏𝟏 𝒂_𝟐𝟏 𝒂_𝟑𝟏 𝒚 = 𝒂_𝟏𝟐 𝒂_𝟐𝟐 𝒂_𝟑𝟐 𝒛 = 𝒂_𝟏𝟑 𝒂_𝟐𝟑 𝒂_𝟑𝟑 3つの要素の外積の求め方 たすき掛けで演算 ●detの求め方 余因子展開を使う 行列Aのs行,t列の余因子: （s,t）余因子 Δ_st

det (x, y, z) =

𝐴 =

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

= a

Δ

+a

Δ

+a

Δ

= 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

− 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

+ 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

n次正方行列Aから s 行（a_s1･･･a_sn）と t 列（a_1t･･･a_nt）T_{を取り除いた} （n-1）次正方行列の行列式_{に (-1)}s+t _{を乗じた行列}

x(t) T(0) N(0) B(0) mT(0) ねじれ成分 mB(0) 曲げ 成分 -zがFの作用線 𝒆₃ = 00 1 𝒙(𝑡) = 𝑟cos𝑡𝑟sin𝑡 ℎ𝑡 rとFは定数 3次元ベクトルmを𝑇,𝑁, 𝐵方向に分割𝑇,𝑁,𝐵の 大きさは1なので成立 O x(t)がFより前 －がつく理由右下動画 T,N,Bの各成分は2ページ前参照 x(0) ↓F モーメントx ＋方向定義 ←m https://ja.wikipedia.org/ ※ばねの場合のxは 逆なので－必要 x O

1.3 自然パラメータとフレネー・セレの公式 ●パラメータを時間tではなく孤長sで表す パラメータがsのときはその表記をしていない ⇒ T=T(s)の意味 曲線y(s)のsに関する微分は長さが1となる。 ⇒ 式(9)と比較 = κN ●孤長パラメータsのときのT’とκの関係 y’ = T, y’’ = κ N 曲率κのもう一つの定義:Tのsに対する変化率の大きさ = 𝑑𝑻 𝑡 𝑠 /𝑑𝑡 𝑑𝑠(𝑡)/𝑑𝑡 = 𝑻 𝑡 N 𝑻 𝑡 /𝜅 式(7)Nの定義 式(8)κの定義 曲線 y(s₁) s₁ s=0T(s=0) T(s₁) T’(s=0) =κ(0)N y(s=0) ‥‥(A) 分母はsを時間t(s)で微分したと いう意味。()は掛け算ではない A B O

●孤長パラメータsのときの B’ とτの関係 𝑩′ 𝑠 = 𝑑𝑩 𝑑𝑠 = 𝑑𝑩 𝑡 𝑠 /𝑑𝑡 𝑑𝑠(𝑡)/𝑑𝑡 = −𝜏𝑵 式(12)より、 ねじれ率τ 𝑵′ 𝑠 = 𝑑𝑵 𝑑𝑠 = 𝑑(𝑩 × 𝑻) 𝑑𝑠 = 𝑑𝑩 𝑑𝑠 × 𝑻 + 𝑩 × 𝑑𝑻 𝑑𝑠 = −𝜏𝑵 × 𝑻 + 𝑩 × 𝜅𝑵 = −𝜅𝑻 + 𝜏𝑩 N = B×T をsで微分 の詳細 式(1)c)を使った ●孤長パラメータsのときの N’とκ、_τの関係 ‥‥(B) ‥‥(C) N T B κ τ τ κ T+𝑑𝑻_𝑑𝑠 N+𝑑𝑵_𝑑𝑠 B+𝑑𝑩_𝑑𝑠

𝑻′ 𝑠 𝑵′ 𝑠 𝑩′ 𝑠 = −𝜅0 𝜅0 0𝜏 0 −𝜏 0 𝑻 𝑠 𝑵 𝑠 𝑩 𝑠 前ペーシ(A)式 前ペーシ(B)式 N = B×T をsで微分 式(C) N T B κ τ τ κ T+𝑑𝑻_𝑑𝑠 N+𝑑𝑵_𝑑𝑠 B+𝑑𝑩_𝑑𝑠 ●フレネー・セレの公式 tバージョン 𝑻 𝑡 𝑵 𝑡 𝑩 𝑡 = 𝒙 𝑡 0 𝜅(𝑡) 0 −𝜅(𝑡) 0 𝜏(𝑡) 0 −𝜏(𝑡) 0 𝑻 𝑡 𝑵 𝑡 𝑩 𝑡

𝜅 𝑠 = 𝑻′ 𝑠 𝜏 𝑠 = 𝑵′ 𝑠 ∙ 𝑩 𝑠 = det 𝑻 𝑠 , 𝑵 𝑠 , 𝑵′ 𝑠 = 1 𝒙′′ _𝑠 2 det 𝒙′ 𝑠 , 𝒙′′ 𝑠 , 𝒙′′′ 𝑠 = 1 𝒚′′ 2 det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′ κ(t)、τ(t)を、 κ(s)、τ(s)で表すと、 κ(s)が 𝑻′ 𝑠 で、τ(s)がy’,y’’,y’’’のdetで書けることを次で証明 𝒙 𝑠 = 𝒚と表す がな ぜ=かの 証明は省 略 ‥‥(D) ‥‥(E) sバージョンのκとτの特徴 ●孤長パラメータsのときの曲率κとねじれ率τの特徴 tバージョンのκとτの特徴 (8) (13)

𝑵′ 𝑠 = −𝜅 𝑠 𝑻 𝑠 + 𝜏 𝑠 𝑩 𝑠 (E)式の証明 フレネ-セレ式より、 𝜏 𝑠 = det 𝑻 𝑠 , 𝑵 𝑠 , 𝑵′ 𝑠 = 1 𝒚′′ 2 det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′ 両辺にB(s)を内積して 𝑩 𝑠 = 1, 𝑻 𝑠 ∙ 𝑩 𝑠 = 0より 𝜏 𝑠 = 𝑵′ 𝑠 ∙ 𝑩 𝑠 B(s) 定義とスカラー3重積の性質より 𝜏 𝑠 = 𝑵′ 𝑠 ∙ 𝑻 𝑠 × 𝑵 𝑠 = det 𝑻 𝑠 , 𝑵 𝑠 , 𝑵′ 𝑠 ‥‥(F) 一方次の行列式 を計算す ると、 det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′ = det 𝑻 𝑠 , 𝜅 𝑠 𝑵 𝑠 , 𝜅′ 𝑠 𝑵 𝑠 + 𝜅 𝑠 𝑵′ 𝑠 = det 𝑻 𝑠 , 𝜅 𝑠 𝑵 𝑠 , 𝜅′ 𝑠 𝑵 𝑠 + det 𝑻 𝑠 , 𝜅 𝑠 𝑵 𝑠 , 𝜅 𝑠 𝑵′ 𝑠 = 𝜅 𝑠 2det 𝑻 𝑠 , 𝑵 𝑠 , 𝑵′ 𝑠 = 𝒚′′ 2det 𝑻 𝑠 , 𝑵 𝑠 , 𝑵′ 𝑠 ‥‥(G) (F)式と(G)式とを比較すると、 ⇐行列式の分配則 Nが二つなので=0 ⇐(D)式より自明 ⇐ y’’’はy’’をもう一回sで微分 ●sバージョンのねじれ率τの特徴 𝑻′ 𝑠 = 𝜅 𝑠 𝑵 𝑠 ●sバージョンの曲率κの特徴 両辺に𝑵 𝑠 の内積、 𝑵 𝑠 = 1なので 𝜅 𝑠 = 𝑻′ 𝑠 ∙ 𝑵 𝑠 𝜅 𝑠 = 𝑻′ 𝑠 = 𝒙′′ 𝑠 = 𝒚′′ 𝑵 𝑠 = 𝑻′ 𝑠 𝜅 𝑠 (D)式の証明 フレネ-セレ式より

●スカラー三重積 の大きさ _{bとcの作る平行四辺形の面積} の方向 平行四辺形の法線方向 a, b, cが作る平行六面体の体積

𝒃 × 𝒄

𝒂 ∙ 𝒃 × 𝒄 = 𝒂 𝒃 × 𝒄 𝐜𝐨𝐬𝜽

𝒂 𝐜𝐨𝐬𝜽

𝒃 × 𝒄

c

a

b

𝒂 ∙ 𝒃 × 𝒄 = −𝒂 ∙ 𝒄 × 𝒃

𝒄 × 𝒃

●スカラー三重積の特徴#1 1) スカラー三重積は積の玉突き入れ替えの順番によらない。 2) 同じベクトルがあると 0となる。 (b×c)･b ＝(b×c)･c ＝0 前ページの体積でθ=90°よりcosθ=0 [ ] グラスマン記号 3) スカラー三重積は行列式で表される(成分計算すれば自明) 3つのベクトルを転置しても行列式は同じ 4) 1)を応用するとスカラー四重積も定義できる これをaと思う 𝒂, 𝒃, 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 × 𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒄 × 𝒂 = 𝒄 ∙ 𝒂 × 𝒃 = 𝒃 × 𝒄 ∙ 𝒂 = 𝒄 × 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 × 𝒃 ∙ 𝒄 𝒂, 𝒃, 𝒄 = 𝑎_𝑎1₂ 𝑏_𝑏1₂ 𝑐_𝑐1₂ 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃ = 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ 𝒂 = 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝒃 = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝒄 = 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃

(a×b)

･

(c×d)＝c

･

{d×(a×b)}

5)外積は行列式で書ける = 𝑎_𝑏2 𝑎3 2 𝑏3 𝒊 + 𝑎₃ 𝑎₁ 𝑏₃ 𝑏₁ 𝒋 + 𝑎𝑏1₁ 𝑎𝑏2₂ 𝒌 𝒂 = 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝒃 = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝒂 × 𝒃 = 𝑎₂𝑏₃ − 𝑎₃𝑏₂ 𝒊 + 𝑎₃𝑏₁ − 𝑎₁𝑏₃ 𝒋 + 𝑎₁𝑏₂ − 𝑎₂𝑏₁ 𝒌 余因子展開の逆を用いた = 𝒊 𝑎_𝑏2 𝑎3 2 𝑏3 − 𝒋 𝑎₁ 𝑎₃ 𝑏₁ 𝑏₃ + 𝒌 𝑎𝑏₁1 𝑎𝑏2₂ = 𝒊 𝒋 𝒌 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 7)rotも行列式で書ける rot𝒂 = 𝛁 × 𝒂 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 × 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ = 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝒄 ∙ 𝒂 × 𝒃 = 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 6)前ページ 3) スカラー三重積は行列式で表される 𝒂, 𝒃, 𝒄 の一例 (H)式でi,j,kをcとすれば ‥‥(H) (H)式から ●スカラー三重積の特徴#2