2018年度岡山大・理系数学

(1)

－1－１解答解説のページへ関数_f( ) (1_x ₌ ₊_{x e}) x_{について, 以下の問いに答えよ。} (1) ( )f x =0を満たすx の値を求めよ。 (2) 曲線y= f( )x について, 原点を通るすべての接線の方程式を求めよ。 (3) 曲線y= f( )x について, 原点を通る接線のうち, 接点の x 座標が最大のものを L とする。曲線y= f( )x と直線L および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2)

2018 岡山大学（理系）前期日程問題－2－２解答解説のページへ図 1 のような経路の図があり, 次のようなゲームを考える。最初はⒶから出発し, 1 回の操作で, 1 個のさいころを投げて, 出た目の数字が矢印にあればその方向に進み, なければその場にとどまる。この操作を繰り返し, Ⓓに到達したらゲームは終了する。例えばⒷにいるときは, 1, 3, 5 の目が出ればⒸへ進み, 4 の目が出ればⒹへ進み, 2, 6 の目が出ればその場にとどまる。n を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) ちょうど n 回の操作を行った後にⒷにいる確率を n の式で表せ。 (2) ちょうど n 回の操作を行った後にⒸにいる確率を n の式で表せ。 (3) ちょうど n 回の操作でゲームを終了する確率を n の式で表せ。 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 3,4 1,3 2,5,6 1,3,5 4 4 図1：経路の図

(3)

－3－３解答解説のページへ k を実数とし, x についての 2 次方程式 _x2_-_kx₊₃_k_{- = を考える。以下の問い}₄ ₀ に答えよ。 (1) _x2_-_kx₊₃_k_{- = が虚数解をもつような}₄ ₀ _{k の値の範囲を求めよ。} (2) _x2_-_kx₊₃_k_{- = が虚数解}₄ ₀ __をもち,_4_{が実数になるような} _{k の値をすべて} 求めよ。

(4)

2018 岡山大学（理系）前期日程問題－4－４解答解説のページへ xyz 空間内に 3 点 A ( 2, 0, 1) , B( 0, 3, -1), C( 0, 3, -3)がある。線分BC 上の点をP( 0, 3, )s とおく。線分 AP を : (1t - に内分する点をt) Q とする。ただし, t は 0< < を満たす。点t 1 Q を中心とする半径 3 の球面を K とし, 球面 K と xy 平面が交 わってできる円の面積をS , 球面 K と yz 平面が交わってできる円の面積を₁ S とお2 く。以下の問いに答えよ。 (1) 球面 K の方程式を求めよ。 (2) S を s と t の式で表せ。 1 (3) 点 P は線分 BC 上で固定し, 点 Q は線分 AP 上を動くものとする。S1+S2が最大値をとるt を s の式で表せ。 (4) (3)において点 Q が線分 AP の中点であるときにS1+S2が最大値をとるとする。このときのs の値を求めよ。

(5)

© 電送数学舎 2018 －1－１問題のページへ (1) ( ) (1_f _x ₌ ₊_{x e}) x_{に対して, ( )}_f _{x =}₀_の解は,_{e > から}x ₀ _{x = - である。}₁ (2) ( )_f_¢ _x ₌_ex ₊(1₊_{x e}) x ₌( 2₊_{x e}) x_{から, 曲線}_y₌ _f_{( )}_x _{上の接点を}_{( , (1}_t ₊_{t e}_{) )}t とおくと, 接線の方程式は, (1 ) t ( 2 ) (t ) y- +t e = +t e x t- , _y₌_{( 2}₊_{t e x}₎ t _-₍_t2_{+ -}_t ₁₎_et 原点を通ることより, ₍_t2_{+ -}_t ₁₎_et_{= すなわち}₀ _t2_{+ - = となり,}_t _{1 0} 1 5 2 t=-  よって, 求める接線は, 3 5 12 5 2 y= + e- + x, 3 5 12 5 2 y= - e- - xである。 (3) まず, ( )f x の増減は右表のようになり, lim ( ) 0 x-¥f x = , lim ( )x¥f x = ¥ また, 条件より, 接線 _: 3 5 12 5 2 L y= + e- + xとなり, 1 5 2 =- + とおくと, :L y=( 2+)e x と表せ, 接点の座標は( , (1 +)e)となる。すると, 曲線y= f( )x と直線 L および x 軸で囲まれた 部分の面積S は, 1 1 (1 ) (1 ) 2 x S  x e dx   e -=

ò

+ - ⋅ +

[

]

₁ 1 1 (1 _{x e}) x   _{e dx}x ₂_(1 _)_e - -= + -

ò

- + 1 1 (1 )e (e e- ) ₂(1 )e = + - - - + 1 (1 ₎ 1 2  e e -= - + 1 5 2 1 5 3 5 1 1 2 2 2 e e - + - + -= ⋅ ⋅ + 2 5 12 5 1 2 e e - + - + = +

［解説］

微積分の総合問題です。数値はやや複雑ですが, 内容は基本的です。 x … -2 … ( )x ¢ f _－ ₀ _＋ ( )x f  -_e12  O 2 -1 -  y x (1+)e

(6)

2018 岡山大学（理系）前期日程解答解説 © 電送数学舎 2018 －2－２問題のページへ (1) n 回の操作の後, Ⓐ, Ⓑ, Ⓒにいる確率を, それぞれan, n b , c とおくとn , 条件より, 0a =n (n ≧1)である。また, b = のもとで, 条件より, 1 1₂ 1 1₂ 1₃ n n n b + = a + b =1₃bn よって, 1

( )

1₃ 1 n n b =b - 1 1

( )

1 2 3 n-= ………① (2) c = のもとで, 条件より, 1 1₃ 1 1₃ 1₂ 2₃ n n n n c + = a + b + c =1₂bn+₃2cn ①を代入すると, cn 1 1 1_{4 3}

( )

n 1 2₃cn -+ = + ………② ここで, ②を満たす 1 つの数列を, を定数として,

( )

1 1 3 n n c = - とおくと,

( )

₁ _{1 1}

( )

1 ₂

( )

₁ 1 3 4 3 3 3 n n n  = - +  -すると, 1 1 2 3= +4 3から= - となるので, 34

( )

1

(

)( )

1 3 1 1 1 2 3 1 4 3 4 3 3 4 3 n n- n -- = + - ………③ ②－③より, 1 3_{4 3}

( )

1 2₃

{

3_{4 3}

( ) }

1 1 n n n n c + + = c + - となり,

( )

1

{

( ) }( )

0 1 1 3 1 3 1 2 4 3 4 3 3 n n n c + - = c + -

(

1 3

)( )

2 1 3 4 3 n-= + 13 2

( )

1 12 3 n-= よって, 13

( )

2 1 3

( )

1 1 12 3 4 3 n n n c = - - -(3) Ⓓに到達したらゲームは終了するので, その確率をP とおくとn , (i) n = のとき Ⓐ→Ⓓの場合から, 1 P = 1 1₆ (ii) 2n ≧ のとき a = からn 0 , Ⓑ→ⒹまたはⒸ→Ⓓの場合より, 1 1 1 1 6 3 m n n P = b- + c -

( )

{ ( )

( ) }

2 ₁₃ 2 ₃ 2 1 1 1 1 2 1 6 2 3 3 12 3 4 3 n- n- n -= ⋅ +

-( )

1 ₁₃

( )

1 ₃

( )

1 1 1 2 1 4 3 24 3 4 3 n- n- n -= + - 13 2

( )

1 1 1

( )

1 24 3 2 3 n- n -=

-［解説］

(7)

© 電送数学舎 2018 －3－３問題のページへ (1) 実数 k に対し, 2 次方程式 _x2_-_kx₊₃_k_{- = ……①が虚数解をもつ条件は,}₄ ₀ 2 ₄₍₃ _{4 ) 0} D=k - k- < , _k2_-₁₂_k₊_{16 0}_< よって, 6 2 5- < < +k 6 2 5………② (2) まず, _{x を}4 _x2_-_kx₊₃_k_{- で割り, 余りを ( )}₄ _{r x とおくと,} 4 ₍ 2 ₃ _{4 )(} 2 2 ₃ _{4 )} _{( )} x = x -kx+ k- x +kx k+ - k+ +r x ただし, _{r x}_{( ) (}₌ _k3_-₆_k2₊_{8 )}_{k x}_-₍₃_k_-_{4 )(}_k2_-₃_k₊_{4 )} さて, ①の虚数解に対し, _2_-_k_₊₃_k_{- = であることに注意すると,}₄ ₀ 4 _r_{( )}  =  =(k3-6k2+8 )k -(3k-4 )(k2-3k+4 ) すると, _4_{が実数となる条件は,} _{k が実数であることより,} 3 ₆ 2 ₈ ₀ k - k + k= , (k k-2)(k-4 ) 0= よって, 求める k の値は, ②より, 2, 4k = である。

［解説］

複素数と方程式に関する問題です。面倒なのは, 整式の除法の計算だけです。

(8)

2018 岡山大学（理系）前期日程解答解説 © 電送数学舎 2018 －4－４問題のページへ (1) 点 A ( 2, 0, 1) , B( 0, 3, -1), C( 0, 3, -3), および線分 BC 上の点 P( 0, 3, )s ( 3- ≦ ≦s -1)に対して, 線分 AP を : (1t -t)( 0< <t 1)に内分する点Q の座標は, Q( 2 2 , 3 ,- t t st t- +1)となる。このとき, 点 Q を中心とする半径 3 の球面 K の方程式は, 2 2 2 {x-( 2 2 ) }- t +(y-3 )t +{z-(st t- +1) } = ………① 9 (2) K と xy 平面が交わってできる円は, ①にz = を代入して, 0 2 2 2 {x-( 2 2 ) }- t +(y-3 )t = -9 (st t- +1) かつ z = 0 すると, その面積S は, 1 S1={ 9 (- st t- +1) }2 ………② (3) K と yz 平面が交わってできる円は, ①にx = を代入して, 0 2 2 2 (y-3 )t +{z-(st t- +1) } = -9 ( 2 2 )- t かつ x = 0 すると, その面積S は, 2 S2={ 9 ( 2 2 ) }- - t 2 ………③ さて, S=S1+S2とおくと, ②③より, 2 2 { 9 ( 1) 9 ( 2 2 ) } S= - st t- + + - - t ={18 (- st t- +1)2-( 2 2 ) }- t 2 ここで, 点 P を線分 BC 上で固定し, 点 Q は線分 AP 上を動かすという条件を, s をs=s0 ( 3- ≦s0≦-1)と固定し, t を 0< < で動かすと考えて, t 1 {18 ( ) } S= -f t , 2 2 0 ( ) (t = s t t- +1) +( 2 2 )- t f すると, S が最大値をとるとき, ( )f t は最小となることより, 2 2 2 0 0 ( ) (t = s -1) t +2(s -1)t+ +1 4t -8t+4 f 2 2 0 0 {(s 1) 4 }t 2(s 5)t 5 = - + + - + 2

{

0

}

2 0 2 0 ₂ ₂ 0 0 ( 5) 5 {( 1) 4 } 5 ( 1) 4 ( 1) 4 s s s t s s -= - + + - + - + - + ここで, -3≦s0≦-1より, 0 ₂ 0 5 ₀ ( 1) 4 s s -- > - + となり, 2 0 0 0 2 2 0 0 5 ₁ ( 1) 4 ( 1) 4 s s s s s - + -- - = - + - + 0 0 2 0 ( 1) ₀ ( 1) 4 s s s - -= < - + よって, 0 2 0 5 0 1 ( 1) 4 s s -< - < - + となり, ( )f t は 0 2 0 5 ( 1) 4 s t s = -- + で最小となる。すなわち,

S が最大値をとるのは,

₂5 ( 1) 4 s t s = -- + のときである。 (4) 点 Q が線分 AP の中点, すなわち 1 2 t = のとき S は最大値をとるので, 25 1 2= -₍_s_-s₁₎- ₊₄, s2-2s+ = -5 2s+10 すると, _{s = となり, 3}2 ₅ _- _{≦ ≦}_s _-₁_から, _{s = -} ₅_となる。

(9)

［解説］

空間図形を題材とした複雑そうな問題設定ですが, 内容は基本的です。最もエネルギーが必要なのは, 平方完成をして軸の位置のチェックの箇所ですので。

2018年度 岡山大・理系数学

ò

[

]

ò

［解 説］

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)( )

( )

{

( ) }

( )

{

( ) }( )

(

)( )

( )

( )

( )

( )

{ ( )

( ) }

-( )

( )

( )

( )

( )

-［解 説］

［解 説］

{

}

S が最大値をとるのは,

［解 説］

2018年度岡山大・理系数学

［解説］

-［解説］

［解説］

［解説］