APTの検証仮説
一対角化ゼロ・ファクター・モデルと検証可能性一
村 松 郁 夫
1 はじめに
危険資産の価格決定モデルの一つである裁定評価理論（APT）は，資本資産評価モデル
（CAPM）に対する代替モデルとして注目を浴 びたという背景もあり，これまで，線形モデル としての特徴が，主に，論じられてきた。APT の検証についても，Ro11＆Ross［14］以降， 線形式の係数（ファクター・リスク・プレミア ム）がゼロと異なっているか否かを検定するこ とによって，ファクターの存在を確認するといっ たタイプの実証研究（以下，Ro11＆Rossタイ プの検証と呼ぶ）を巡って，賛否相見え，種々 の成果が蓄積されてきた。 本稿の目的は，まず第一に，Ro11＆Rossタ イプの検証における上述の検証仮説が，APT の理論的含意を正確に反映したものではないこ とを確認することである。付随的に，APTに おける無裁定機会の定義を整理することも，そ の目的に含めておきたい。 APTが成立するためには，無裁定機会（裁 定取引によって利益が生じる機会が存在しない こと）が，うまく定義できなければならない。 無裁定機会が定義されると，APTは，資産の 収益生成プロセスとしてのファクター・モデル から直接的に導出される。それゆえ，ファクター・ （本稿は，1997年度，日本経営財務研究学会第21回 全国大会（名古屋学院大学）における報告に，加筆 修正を加えたものである。有益なコメントをいただ いた，飯野正幸先生（東北大学）に，記して感謝の 意を表します。なお，当然ながら，あり得べき誤謬 は，筆者の責に帰するものである。 リスク・プレミアムの符号や大きさを規定する 条件ないし根拠は，APTの理論的含意におい ては，何ら存在しない。これが，Roll＆Ross タイプの検証仮説は，APTの真の検証仮説と なっていないことの論拠であるが，この第一点 に関しては，APTの導出を通して容易に確認 することができる。 APTにおける無裁定機会の定義は，そのベー スとなるファクター・モデルの設定に応じて， それぞれ，想定される経済が異なる。具体的に は，ファクター・モデルに固有項（idiosyn− cratic term）が含まれないケースと，固有項 が含まれる，より一般的なケースである。固有 項が含まれないケースでは，有限資産経済下で 無裁定機会を定義することが可能であるが，固 有項が含まれるケースにおいては，無限資産経 済を想定することによって，はじめて，裁定機 会を漸近的に定義することが可能となる。そも そも裁定機会とは，同質三田の価格差によって 生じる利益の三二機会を指すが，漸近的裁定機 会においては，財の同質性の程度，つまり，誤 差の程度が考慮されなければならない。APT の場合，実は，資産数が増加するにつれて， APTの線形式における誤差項の二乗和が無限 に大きくなるのか，あるいは，有限な値にとど まるのかが問題となる。そして，後者，つまり， 誤差項の二乗和が発散しないことが，APTが 成立するための必要十分条件となる。 ところで，APT，および，その根底にある ファクター・モデルの特徴として，「因子軸の 回転」が制限されないことがあげられる。因子 軸の回転は，APTにおけるファクター・リス一 156 一 滋賀大学経済学部研究年報Vol．5 1998 ク・プレミアムの大きさ自体は重要な指標では なく，反応係数行列（因子負荷行列）との相対 的な関係のみが分析対象となることを表してい るに過ぎない。これは，APTを線形式として 表現する際の注意すべき一つの視点を与えてい るが，そもそも，ファクター数，ひいては，反 応係数行列が既知ではないファクター・モデル において，ファクター・モデルの条件を満たす ファクター構造を一意に決定することができる
のかという問題を提起したのが，Shanken
［15］のゼロ・ファクター・モデルである。 因子分析を用いて資産の分散共分散行列を分 解しファクターを抽出するというRoll＆Ross の手法に対して，Shankenは，分散共分散行列 の対角化を考えることにより，ファクター・モ デルの既存の条件を満たしつつ，因子数を任意 に設定したモデルを形成することができること を示した。このような変換モデルが存在する場 合には，変換モデルの下でAPTの命題が定義 可能であれば，変換，モデルに対応したAPTを 導出することができる。 本稿の第二の目的は，APTの命題つまり， 無裁定機会を，対角化モデルの下で定義するこ とである。ただし，行列を対角化する手法には さまざまな手法が存在するので，Shankenの対 角化モデルは，その一例にすぎない。そこで， 本稿では，固有ベクトル変換による分散共分散 行列の対角化を考え，ゼロ・ファクター・ APTを提示する。そして，このモデルの下で，APTの命題が変換前のAPTの命題と同値であ
ることを示し，ファクター構造に依存しない無 裁定機会の定義可能性を考察する。 議論の順序として，まず，第H節では，APT の検証モデルについて簡単に振り返り，Roll＆ Rossタイプの検証仮説の再検討を通して， APTの真の検証仮説を確認する。なお，議論 をより単純化するため，まず，ファクター・モ デルに固有項が含まれないケースを扱ったのち， 固有項が含まれるケースを扱う。ファクター・ モデルのこのような設定に基づき，第皿節では， APTにおける無裁定機会の定義を整理すると ともに，Ingersoll［10］を手がかりに，第ll節 で導かれたAPTの命題について，線形式によ らない検証の可能性について探る。なお，本節 は，次節以降で提示する，資産の分散共分散行 列の対角化によるゼロ・ファクター・モデルに 対する準備的考察である。 以降の節では，資産の収益の分散共分散行列 を対角行列に変換することによって構築される， ゼロ・ファクター・モデルに言及する。まず， 第IV節では，固有ベクトル変換による対角化モ デルを提示し，変換モデルにおけるゼロ・ファ クター・APTの命題について，オリジナルな APTの命題との整合性について検討する。第 V節では，Shanken［15］の逆行列による対角 化モデルを取り上げ，その命題について考察す る。そして，第VI節では， APTの検証可能性 をめぐるShanken［15，16］とDybvig＆Ross ［7］の論争について整理すると共に，対角化ゼ ロ・ファクター・モデルの検証上の有効性につ いて考察する。 ］］IAPTの線形式と検証仮説1．Roll＆Rossタイプの検証仮説
ファクター・モデルは，資産の収益をその期 待収益，ファクターに関わる収益，および，資 産に固有な収益の3つの部分から捉えようとす る線形モデルであり，通常，以下のように表さ れる。 r， ＝”，＋ Z bivrk＋ui k＝1 （2−1） ここで，rは資産の単位あたり収益，μは期待 収益，∫はファクター，∂はファクターに対す のる反応係数，πは固有項を表す。資産の収益が 1）固有項とファクターについては，期待値 E（u，）＝0，分散E（πξ）＝σ2＜・。，共分散 E（u，，u，） ＝ O， （i li E（n） ＝ O， E（i−2） ＝ 1， E（i，万）＝0，（i≠の，E（ガ，ut）＝0と仮定する。ファクター・モデルに基づいて発生する仮定す れば，裁定機会が存在しないという条件の下で， APTは， xti一一一” rf十Aibii十12bz2十 ’・・ 十JLKbTk （2−2） のように近似式として表すことができる。ただ し，rfは無危険資産の収益，λはファクター・ リスク・プレミアムと呼ばれる係数である。 ファクターによるリスク評価が有効であるな らば，ファクターには，リスクの対価としてプ レミアムがついているはずである。そして，各 資産が稼得するプレミアムは，ファクターに対 するそれぞれの反応係数に依存する。APTの 線形式については，このような解釈が成り立つ。 そこで，Roll＆Rossタイプの検証では，上式 を完全に成立するものとみなし，ファクター・ リスク・プレミアムの有意性検定に際して，訳 無仮説を Ai ＝Z2＝ e・・ ＝AK＝O とする。 （2−3） 2。1ファクター・APT（固有項がないケース） 1ファクター・モデルに固有項が含まれない 単純化されたモデルの下でAPTを導出し， APTの検証仮説について確認する。 この場合，1ファクター・モデルは，（2−1） 式より， ri ＝ pt，十bif （2−la）
と表される。まず，2資産ポートフォリオP
を形成する。資産iへの投資額をx，資産ブへ の投資額を1−x，つまり，総投資額（コスト） は1とすると，ポートフォリオPの収益は， rp ＝ xri＋（1−x） rJ ＝ ［x（μ乞一μフ）十μフ］一ト［x（b，一bフ）十bフ］ノ （2−5） となる。 次に，無リスク・ポートフォリオ，つまり， ポートフォリオの反応係数， x（b、一bフ）＋bフ＝0 であるポートフォリオを選択し，そのときの， 資産iへの投資額をx’で表すと，．・＝g，． （2−6）
bフーb， となる。コストが1である無リスク・ポートフォ リオの収益は，裁定機会が存在しない場合，無 危険資産の収益に等しいはずであるから， bノ（μ，一μノ） あμ一あμブ 十μフ＝ rp ＝＝ ＝rf b／ 一 b， bノーbt （2−7） でなければならない。そこで， g！， ：一zzmrf ．．， ．1gez，F 2z一一rf ，，， z bz bノ とおき，線形式として表すと， zt， ＝： rf十Ab， （2n8） を得る。 以上，明らかなように，b，≠b，となる2つ の資産が存在すれば，無リスク・ポートフォリ オを形成することができる。また，無リスク・ ポートフォリオの収益が，たとえば，rfのよう な正の値として一つだけ存在していれば，つま り，コストが1，リスクが0のポートフォリオ の収益が正の値ηであれば，裁定機会は存在 しない。このように，APTは，リスクの異な る2資産について，撃一竪 （2一・つ
であるという関係を表現しているに過ぎず， Roll＆Rossタイプの検証式における帰無仮説， λ＝0が棄却されなければならない必然性はな い。λ＝0の場合，すべての危険資産の収益が， 無危険資産の収益rfに等しくなるという，あ まり意味のない世界になってしまうが，少なくとも，λ＝0であっても，APTの成立が妨げ
られることはない。一158一 滋賀大学経済学部研究年報Vol．5 1998
3，Kファクター・APT（固有項がないケー
ス） マルチ・ファクターのケースでも，1ファク ターの場合と同様，互いにリスクの異なる資産 がファクター数よりも一つ多く存在するとき， 無裁定機会を定義することができる。本ケース では，（2−1）式のKファクター・モデルは， ri一μ、＋Σb，kfk （2−lb） k＝1 と表されるので，1ファクターのケースと同様 コストが1に等しいK＋1資産・無リスク・ポー トフォリオを形成する。このようなポートフォ リオにおいては，L
＝ Z 0 二 わ 許Σ片肝Σ卜 0 ＝ 碗 肝Σド 0 ＝ 偲 ゆ 肝Σ律 （2−9） が成立している。無裁定機会を想定し，K＋1 資産・無リスク・ポートフォリオの収益をη とおくと， んキユ ΣXz（Pt、一・rf）一〇 z＝1 が成立するから，行列表記を用いると， （2−10）陰：：：繍⊥li1
ラ クトルは一次従属であり，APTは， pa， ＝ rf十Aibzi十Z2bt2十 … 十ZKbiK （2−8a） と表される。ここで，線形式の係数に関す る（2−3）式の仮説，λ1＝λ2＝…λκ；Oで あっても，APTは成立する。なぜならば，λ1≠λ2≠…≠λK≠0であることは，一次
の従属の必要条件ではないからである。 以上，固有項がない世界では，ファクター数 よりも一つ多くリスクの異なる資産が存在し， コスト1の無リスク・ポートフォリオの収益が 一つの正の値であれば，裁定機会は存在せず， APTが成立することがいえる。4．Kファクター・APT（固有項があるケー
ス） 次に，ファクター・モデルに固有項が含まれ る，より一般的なケースについて，APTを導 出するとともに，その検証仮説を確認する。ファ クター・モデルに固有項が含まれる場合，固有 項が含まれないケースとは異なり，ある資産と 代替的な有限資産ポートフォリオを形成するこ とができないため，有限資産経済下では，そも そも裁定機会を定義できない。以下に見るよう に，無限資産経済を想定することによって，は じめて，漸近的裁定機会が定義可能である。 行列表記を用いて，（2−1）式のKファクター・ モデルをr＝p＋Bf＋u
（2−lc） （2−11） と表される。この同時方程式が自明でない解を 持つためには，左辺の行列の位，rank＜K＋1 でなければならない。そのとき，K＋1個のべ と表す。1とBが張る線形空間上へのμの射 2）上記行列の行に注目すると，固有項が含まれな いケースにおいては，ある資産の反応係数は，有 限資産ポートフォリオによって複製可能であるこ とが分かる。一般に，固有項が含まれないケース においては，分散共分散行列が特異行列となるか ら（脚注7参照），このような状況が成立する。 3） Ze（p−rfl）十Aibi十A2b2十 ’h 十ZKbK 一一 O において，例えば，λo≠0であれば，一次従属 である。影， tt ＝ Z ol十B2 十E を考えると，εは1とBと直交するので，
00
＝＝1B
εε （2−12） （2−13） が成立している。そこで，αεを投資比率ベク トルとして，総投資額がゼロとなるポートフォ リオを形成する。 αε！r＝αε1μ＋αεノBf＋αε’U ＝αε！（λ♂＋βλ＋ε）＋αεノπ ノ ノ ＝αεε十αεπ （2−14） このポートフォリオは，ファクター・リスクが ゼロに等しい（以下では，便宜的に，ゼロ・ベー タと呼ぶ）ポートフォリオとなっているが，そ の収益の期待値と分散は， pp ＝＝ cre／e Vp一α2σ2εノε （2−15） と求められる。 ここで，漸近的裁定機会を考える。無限資産 経済，つまり，ポートフォリオを構成する資産 数η→。Gのとき，ε！ε→。。であるならば，α ラ を適当に選択することにより，リスクVp→O， 期待収益μρ→。。となる裁定機会が存在するこ のとになる。したがって，裁定機会が存在しない という条件の下では，APTの命題は， εノε＜OQ （2−16） となる。 APTの検証仮説について補足すると， E ＝ tt＋Aal−B2 であったから，無危険資産が存在する場合， APTの命題は， e’e ＝＝ （Lt−rfl−BZ）2〈 oo （2−16ノ） と表される。すると，APTが成立する世界に おいては，多くの資産について，右辺括弧内の 値は十分に小さいと考えることができるので， 近似的に， 」et ＝ rfl＋BR （2−2ノ） と表現されてきたのである。しかし，この近似 式を完全線形式と見なしたとしても，APTの 命題から明らかなように，λ＝0であるか否か に関らず，εノε＜。。であれば，漸近的裁定機会 のは存在しない。それゆえ，Roll＆Rossタイプ の検証仮説は，APTの命題を正確に反映した ものとはなっていないのである。検：証を目的と する場合，誤差項の二乗和が発散しないという APTの命題を線形式に盛り込むためには， pt ＝＝ rf十B2十E と表現するのが適当であろう。 （2−17） ・）・一（・・E）一・，（去・P＜1）・おく・ 5）裁定機会は，資産数n→。。のとき，コスト →O，リスク→0，μ＞0と定義される。そこで， l l 錠ポートフォリオにおいて・α＝。・α＝i・
などと適当に定めれば，V→0，μ→0となる無 裁定機会がうまく定義され，APTの命題を代替 的に表現することもできる。例えば，Ingerso11 ［11］o 6）ファクター・モデルに固有項が含まれないケー スについては，裁定ポートフォリオの収益は， ノ ノ αεr＝αεε となるから，分散Vp＝0である。したがって， 無裁定機会は，期待収益pap ＝：αε’ε≡O，つまり， ε＝0と定義される。その結果，APTは，完全 線形式として， μ＝λ01 十・Bλ と表される。しかし，すでに見とおり，固有項が 含まれないケースにおいても，2≠0は，APT の真の検証仮説とはなっていない。一 J60 一 滋賀大学経済学部研究年報Vol．5 1998
皿 ファクター構造と検証仮説
1．ファクター・モデルと分散共分散行列 前節の議論より，検証されるべき真の仮説は， εノε＜。。であることが明らかとなった。資産数 の増加に伴うεノεの動きについて，さらなる考 察を加えるためには，資産収益の分散共分散行 列，特に，固有項の分散共分散行列の構造につ いて，理解を深めておくことが有効である。 そこで，まず，ファクター・モデルにおける 資産収益の分散共分散行列Vを示す。ただし， 固有項の分散共分散行列1）について，十㌶］
スクに関して相対的な情報しかもたらさないこ とを意味している。 次に，刀について検討する。見通しをよく するために，あらかじめ，ポートフォリオの収 益の分散Vpを求める。投資比率ベクトルをX で表せば， Vp＝X／VX （3−3） と計算されるが，裁定ポートフォリオのような ゼロ・ベータ・ポートフォリオについては， BB’に関する項が消えて， Vp J：X／Dx （3−3’） となる。 いま，Dの対角成分が，ある正の値によっ （3−1） ておさえられないような状況を想定する。つま り， と仮定する。Kファクター・モデルを想定す る場合， V＝BBノート1） （3−2） ア が分散共分散行列である。 Vに関して，より重要な役割を担うのは1） であるが，先に，BB’について若干触れておく。 Zを任意のK次直交行列とし，ノ‡＝Z’fによっ て因子の直交変換（回転）を考える。因子負荷行列（反応係数行列）について，B＝BZと
いう変換を定義すると， BT ＝一 Bf B’B’ノ＝BBノ が成立するので，因子の直交変換は，分散共分 散行列Vの構造を不変に保つ。この特徴は， 「回転に関する不定性」として知られているが， ファクター，および，反応係数行列が先験的に 与えられる場合を除いて，反応係数行列は，リ 7）固有項が含まれないケースにおいては， V＝BB’となるが， rank（BB’）≦Kであるか ら，Vは特異行列である。 o，2 fl｛ d〈 c）o が成立しないような場合である。そのとき，あ る資産について，収益の分散は無限大であり， そのような資産を含むポートフォリオについて も同じ状況が生じるため，無裁定機会を定義す るに当たって不都合が生じてしまう。逆に，任 意の資産について， σノ＝0 であるような状況を想定する。この場合，D は非負定符号行列となるので，x’Dx 2 O，つ まり，有限資産経済下での無裁定機会に等しい ラ状況が生じ得る。 そこで，漸近的裁定機会を取り扱う世界では， 1）について， O〈d f｛ oi2 f｛ d〈 oo （3−4） との仮定を置くことが有効である。このような 8）Dは対角行列であったから，x’Dx＝0のとき， 固有項の分散がゼロである資産にのみ投資すること を意味する。ただし，前節の議論からも明らかなよ うに，無裁定機会を定義するためには，想定される ファクター数を上回る，このタイプの資産が必要と なる。仮定の下では，対角行列Dは正定符号であり， 正則である。言い方を変えれば，Dについて 上記の仮定が置かれると，無裁定機会を定義す るためには，漸近的な世界を想定する必要が生 じるのである。 2．固有項の分散共分散行列1）と誤差項ε！ε 固有項の分散共分散行列Dが，上記のよう に規定された場合，漸近的にみて，誤差の二乗 和ε’εは，どのように捉えられるのであろうか。 ここでは，Ingersoll［10］を手がかりに，ε’ε の評価を通して，ゼロ・ファクター・APTに おける検証仮説を検討する。 まず，IngersollのAPT命題を簡単に紹介す る。正定符号行列にD対して，D＝A’Aとな る正則行列Aが存在するので，A−1μをA一 i1 乙A−iBの張る線形空間に射影すると， ノ4−1μ＝λoA−11十A−iB2十ン を得る。誤差εについては， ε＝μ一λμ一B究＝Aン （3−5） （3−6） である。また，vは， A−il，A−IBと，それぞ れ直交するので，（3−6）式より， ゾ14−11＝εノA！rm iA−llニεノ1）一11＝0 （3−7） ン！ン1−1B＝εノノiノー王∠4皿1」B＝ε！1）一1」B＝0 が成立している。 そこで，α＝D−1ε（εノDrmiε）一1を投資比率ベ クトルとし，（3−7）式を満たすゼロ・ベータ・ 裁定ポートフォリオを形成すると，ポートフォ リオの期待収益と収益の分散は， μρ＝α知 ＝ （e’D−ie）一ie’D rm ipt ＝（ε’D−1ε）一1ε！1）一1（λ♂＋B2＋v）
＝1
Vp＝（ε’D』1ε）一2εノ1）一1（BBノ十D）D『1ε 一（εノ1）一王ε）一王 （3−8） と求められる。すると，ε’D−1ε→。。であれば， Vp→0，μp＝1となる裁定機会が生じる。した がって，τを正値として，APTの命題は， εノD−1ε≦τ＜。。 （3−9） と表される。 次に，APTの命題について，前述の（2−16） 式と（3−9）式を比較する。一般に，εノεと εノ1）一1εについては， IID『II「1ε’1）一1ε≦εノε≦ε’D−iε11DII （3−10） なる関係が成立する。Dは対角行列であった から，その対角成分は固有値である。また，（3−4）式のDに関する仮定により，
0＜「ID−it−1， D［［＜・。が成立する。それゆえ， ε’ε〈Q。とεノD−1ε＜。。は，同値であることが いえる。 3．ゼロ・ファクター・APTにおける検証仮説 さらに，ε’D−1εについて分析するために， 分散共分散行列Vの逆行列を求める。 V−i ＝ （BB’十D）一i ＝1）一1−D−iBAB／1） 1 （3−ll） ただし，K次行列， A；（1＋B’D−iB）一1であ る。いま，εo＝μ一価とおく。ε＝μ一η1 −B2であったから，εo＝ε＋B2である。 平均一標準偏差平面におけるシャープの尺度 （Sharpe measure）の二乗は， θ2≡（μ一rfZ）ノV−1（μ一rfl） （3−12） と表されるので，（3−11）式とε。で置き換えて 整理すると， 9）正定符号行列Aについて， x’xllA−ill−i f｛： x’Ax E｛g x’xllA11 が成立する。なお，11AHはAの最大固有値であ る。一162一 滋賀大学経済学部研究年報Vol．5 1998 （E＋BR）’（D−i−D−iBAB’D−i）（E＋B2） ＝εノ1）一1ε一e2λノB■1）一1ε十；己■B／1）一iB2 一（s＋B2）’D−iBAB’D−i（e＋B2） （3−13） となる。（3−13）式の右辺第2項については，b とεの直交性により，ゼロと見なすことができ る。第3項については，b，、＜∞であるという 一般的な仮定の下では， z’B’D−iB2 g 2’B’BZHD一’ll 〈 oo が成立する。以下，第4項についても，同様に 議論を進めることができるので，結局，第1項， ε’D−iε＜。。であるならば，θ2＜。。であるこ ユの とがいえる。 εノε〈o。，εノDmiε＜○。，そして，θ2＜・。の 同値性に着目すると，APTの検証という観点 からは，ゼロ・ファクター・モデルは，扱い易 モデルであることが予想される。そこで，次節 以降，二つの変換モデルによってゼロ・ファク ター・APTを形成し，その検証可能性につい て考察する。
】V 固有ベクトル変換による対角化モデ
ル 1．分散共分散行列の固有値と固有ベクトル 以下では，議論の単純化のため，1ファクター・ モデルを想定し，すべての資産について，固有 項の分散E（u？）一σ2，（σ2は定数）と仮定す る。ファクター・モデル（2−1）式を上記の仮定 にあわせて， r ＝ p ＋ bf＋ u と表すと，分散共分散行列は， （2−ld） 10）実は，ε’D−1εは，ゼロ・ファクター・モデル におけるシャープの尺度の二乗となっている。な お，シャープの尺度と資産評価理論の検証を巡る 議論は，堀本［4］に詳しい。 ．＝ @，，，．．，， ．． ［bll，12 … ．．． ，ilbL，］ （4−1） と計算される。 まず，対称行列Vの固有値と固有ベクトル を示す。91を第1固有値，t1を91に対応する 固有ベクトルとすると， ti＝m狽堰js＝b （4−2）
gi ＝＝： b’b＋a2 o ， る02あ＝
で＆
（4−3）また，他の固有値については，
（i＝2，…，n）となっている。 2．変換モデルにおけるゼロ・ファクターAPT 上で求めた分散共分散行列の固有ベクトルを 要素とする行列Tに対して，以下に示す対角 行列Cを作成する。C一
価
1／b o b’価
t2／ tnノ 1 2 彦 1 Tt＝ o 1 ‘ ノ ー （4−4） ただし，ti’ti＝1，’、1ち＝0，’／b＝0，1 ’b≠0， 1’tt≠0と仮定する。この二つの行列の積につ いては， （CTノ）1＝1 が成立しているから，CTtの各行を投資比率べクトルとみなせば，コストが1である1＞個の ポートフォリオを形成することができる。 原資産の収益rに対して， ri＝ （アT／r （4−5） によって，N個のポートフォリオの収益r’に 変換する。r’の期待収益μ＊と分散共分散行列 V’を求めると， μ‡＝ CT／E （4−6） V’ 一 CTtVTCi G窮）2（ a21十かわ） 0 0
o ・一 o
a2 （1 tt，）2 e．． O o2 一一 o （1 ’tn）2 （4−7） となるので，固有ベクトル変換による対角化モ デルにおいては，N個の変換されたポートフォ リオの分散共分散行列y’が対角行列となるよ うな，ゼロ・ファクター・モデルを形成するこ ユの とができる。 ところで，γ＊は対角行列であったから，その対角成分は固有値である。それゆえ，
うノゐ →。Qとなる場合， V＊の第一固有値は発1！b わ！わ ラ 散する。そこで， ＜。。と仮定すると，変 1 ’b 換モデルにおけるゼロ・ファクター・APTと して， μ‡＝rfl÷ε’ （4−8） を得る。 11）ポートフォリオの反応係数ベクトルb‘は， b”＝ （cTib）i＝ ［一i91（ll−bb o ・・． o］ となっているので，厳密には，すべてのポートフオ リオについて反応係数がゼロであるというわけで はない。 12）Chamberlain＆Ro七hschild［6］流にいえば， ファクターが存在するケースに相当する。 3．変換モデルにおけるAPTの検証命題 原資産ベースで定義された，誤差項の二乗和 に関するAPTの命題が，変換モデルにおける ゼロ・ファクター・APTについても当てはまる ことを示す。つまり， E＊S 〈 oo 一 e”E’〈 oo E’E−oo 一一一 E’tE“一〇〇 が成立することを示す。 原資産ベースのAPTは，（2−17）式より， pt ＝＝ rfl＋Zb＋e と表されたから，左からCT’を掛けてMを求 めると，μ㌧c7知
＝rfl十λCT！b十 CTノε を得る。そこで，変換モデルにおけるゼロ・ファ クター・APT，（4−8）式との差分をとると， ε＊＝λ07ノわ十C1▼！ε したがって， ε＊「ε‡＝A2bt71（」2Ttb一ト2λbtTC2Tノε 十εノTC 27▼ノε （4−9） となる。ここで，TC 2Tノについては， TC・T…． ibb’P’b）、＋（洛＋…＋（舞
（4−10） と計算されるが，t、！t、＝1， t、’t、＝0， t，’b＝0， b／b ＜。。と仮定されていたから，（4−10）式を 1／b 適用すると，（4−9）式の右辺第1項については， （b／b）2 Z2btTC2Ttb ＝＝ A2 〈 co （4−11） （1／b）2 第2項については，bとεの直交性により， （わ’b）2（わノε） 2Zb’TC2T’e ＝ 21 ．o （1 ’b）2（ゐ’わ） （4−12） が成り立つ。一164一 第3項については， e’TC・T’s−
Pク；z（9；ii＋8讐＋…＋8鮮
（4−13） と表しておく。ところで，π個の固有ベクトル は，η次元の正規直交基底の一つである。そこ で，π次元ベクトルεを固有ベクトルちの一次 結合で表現すると， ・一Σ・，’フ 」＝1 ただし，α、＝（ε，ち）である。（4−13）式に代入 すると，第3項は，野外㍉魯（、傷
と表される。η→。。のとき，εノε＜。。であれ ば， ε！ε一Σα多く。。 ノ＝1 となるので，ε’TC 2T’ε＜。。が成立する。逆に， ε’ε→。。のときには，εノTC 2Tノε→。。となる。V Shankenの対角化モデル
1．変換モデルと分散共分散行列V’ Shanken［15］の対角化モデルがどのような ものであったのか確認し，固有値ベクトルによ る対角化モデルと対比する。なお，分散共分散 行列については，固有値ベクトルによる対角化 モデルと同様に， 滋賀大学経済学部研究年報Vo1．5 1998 ヨラ と表される。ここで， v＝bb’＋σ21 とする。Vは正定符号行列であり， V−iが存在すると仮定すると， なる正則行列Qが存在し， u−2bb’o−2 V−i ＝ o’21− 1＋σ 2b／b σ一2bbノ ＝σ ケー 02十b’b 一 t， ［i一 sf， Z2i7Ebt，， ］ 一 QtQ （4−1） 逆行列 V−i＝Q’Qと （5−1）Q一⊥（1−hbb・） （5．2）
σ k＝h1／b （5−3） とおくと， Q1＿．L｛1＿h（1・’b）b｝＝■（1＿kb） σ σ （5−4） ユの を得る。すると，このようなQに対して， σ 0 1−kb， σ σ＝ 1一んb2 （5−5） 0 σ 1一んbn を形成することにより，UQ1＝1，つまり， UQの行ベクトルを投資比率ベクトルとする， 13）正則行列Aと二つのベクトルu，vについて， （A一’の（V／A一’） （A十衡ヅ）一1＝A−i− 1十ンノA−lu が成立する。Rao［12］，邦訳31ページ。 14） hについては， Qη一歩（・一hbbt）・（・一hbb’） r｝［・一2hbb’＋h・b（b・b）b・コ σ 一÷［1一（2h一わノbh2）瑚 σ であるから， 1 2h＿b’bh2＝ σ2十b’b と表される。この2次方程式を解けば， 1 σ2 ん＝ キ b’b一 （σ2＋bノの（b’b）2一［1±論、］、lb
を得る。また，ん＝履ノδとおけば， k・・＝m1±論、］1；1
となる。変換されたポートフォリオモデルを形成するこ とができる。 それでは，UQによって変換される，ポート フォリオモデルの分散共分散行列V＊は，どの ように表されるのであろうか。 V＊ ：一 UQ V（UQ）’ ＝UQ VQtuノ ＝ U2 と計算されるから， V’ 一＝ 02 （1−kb，）2 a2 （1−kb，）2 o o 02 （1−kbn）2 （5−6） と表され，変換モデルにおけるポートフォリオ の分散共分散行列は，対角行列となる。 2．変換モデルにおけるAPTの検証命題 固有ベクトルによる対角化モデルの場合と同 様に， ε〆ε＜ OQ 一一一→レ ε秤ε＊＜ OO ノ ホノ ギ εε→DO 一一㎜ｨP
@εε→OQ
が成立することを示す。原資産ベースのAPT， （2−17）式， μ＝η1＋λわ＋ε に，左からをUQ掛けて期待収益を変換する と， μ’＝σQμ＝η1＋λUQb＋UQε となる。一方，変換モデルにおけるゼロ・ファ クター・APTは，（4−8）式と同様に， グ＝雇＋ご と表される。ただし，逆行列による変換モデル において，ゼロ・ファクター・APTを定義する ことができるように，ji Ull＜。。，11y『¶＜・。 を仮定する。両式の差分をとると， s’ ＝＝ RUQb十 UQE したがって， ε’tε‡＝ λ2btQ！U2Qb十22b／Q／U2Qε ＋ε’Q／u2Qε ＝ Z2b’Q’V＊Qb＋2b’Q’V＊QE 十ε！（｝ノV＊Qε （5−7） となる。（5−7）式の右辺各項について見ると， 第1項：λ2b’Q／V’Qb≦λ2b／QQゐliy剛く。。 第2項：2λb1Q／y窺ε→0 第3項：ε’Q’V『＊Qε≦：ε勾Qε［iy‡1 が成立するので，第3項について，εノε＜・。で あれば，εノQ’y囎ε＜・。，ε’ε→。cであれば， εノp’YxQε→。。となる。つまり，変換モデルに おけるゼロ・ファクター・APTについても，誤 差項の二乗和によって，APTの命題を表現す ることができる。W 対角化モデルを巡る議論
1。ShankenとDybvig＆Rossの論争
鋼V節，第V節を通じて，二つのゼロ・ファクターeAPTを紹介してきた。手順は異なる
が，これらのモデルは，資産の収益の分散共分 散行列を対角化することによって，ファクター 構造を変換するモデルであった。ファクター構 造に関しては，これまで様々な議論が展開され てきたが，以下では，Shankenのモデルを巡る 論争について整理することを通して，対角化ゼ ロ・ファクター・モデルと矛盾するケースにつ いて整理する。逆にいえば，このような矛盾す るケースを分析，把握することによって，対角 化ゼロ・ファクター・モデルが有効となるよう な条件を求めることができるであろう。一 166 一 滋賀大学経済学部研究年報Vol．5 1998 本稿で取り上げた対角化モデルについて，要 約しておく。
・資産の収益の分散共分散行列V＝BB’
＋Dは，ゼロ・ファクター・モデルの場合， V＝D，つまり，対角行列である。 ・V＝BBノ＋Dに対して， Vを対角化する 変換行列Pが存在し，変換された分散共 分散行列V’＝PVP’で求められる。 ・y＊は対角行列であるから，ゼロ・ファク ター・モデルのファクター構造を持つ。し たがって，変換された対角化モデルの下で， ゼロ・ファクター・APT，グ＝ηfl ＋E’を ユの 導出することができる。 このような対角化モデルに対して，Dybvig ＆Ross［7］は，以下のように反駁する。対角 化モデルにおける分散共分散行列 Iz＊＝PVPノ （6−1） については，コーシー・シュワルツの不等式に より， N Vii 〈 llP−il12 11 V＊II が成り立つ。したがって，11 Vl l→。。のとき， 少なくとも， （i） 11 V’ll ．F oo （ii） 11p−lll ． oo のいずれかのケースが成立している。 まず，1［y剛→∞のケースについて考える。 この場合，対角化モデルにおける分散共分散行 列Wの最大固有値が発散することになるので， Chamberlain＆Rothschild流にいえば，ファ クターが存在することになる。つまり，対角化 モデルが，ゼロ・ファクター・モデルの構造を 備えていないという矛盾が生じるケースである。 一方，」IP 111→。。のケースについては，対 角化モデルの再変換， p ＝ rfP−il 十Pris’ （6−2） の矛盾を指摘する。対角化モデルにおける APTの命題，ピノE’＜。Gが成立しているとして も， εノε一（P−1εつ’（P−1ε＊）→。C となり，再変換によるゼロ・ファクター・APT は成立しない。また，再変換によるゼロ・ファ クター・APTの誤差項の二乗和はおさえられ ないので，原資産ベースのオリジナルなモデル において，ファクターが説明力を有している可 能性を示唆するケースである。 2．対角化モデルの形成可能性最後に，Dybvig＆Rossが提示した代替的
な二つのケースのうち，目y寧llに関するケース について検討する。本稿で取り上げた二つの対 角化モデルの分散共分散行列は，すでに求めら れているので，実際に行列と照らし合わせれば， 」iWHに関する具体的な分析を行うことができ るであろう。 ここで，分散共分散行列Wを再掲する。 ・固有ベクトルによる対角化モデル 15）Shankenは， Pの逆行列を用いて，対角化ゼ ロ・ファクター・APTを再変換し，還元されたゼ ロ・ファクター・APT，P−ip’＝rfP−il＋Prie’ （6−2）
：． pt ＝ rfl十s を導出する。このような変換，再変換が可能であ るかぎり，オリジナルなファクター構造と再変換 後のファクター構造が一致している保証はない， というのがShankenの主張である。 16）実は，第IV節，第V節においては， Dybvig＆ Rossのケース（i）に該当する可能性が，あら かじめ排除され，た。本文でも指摘したとおり，こ れに該当する場合，対角化ゼロ・ファクター・モ デルを形成することができないからである。なお， この点に関して，さらなる検討を加え，対角化ゼ ロ・ファクター・モデルの有効性を探ることが， 本小節の目的である。V＊一 （一i71（g−b，）2（i＋一il；，ii−Z） o … o o a2 o （1 tt，）2
o
o2 ・一 o （1／tn）2 ・逆行列による対角化モデル（Shanken） V’＝ 02 （1一肋1）2 02 （1−kb，）2 o 02 （4−7） o なお，Shankenモデルにおいて， ・一m1±4（論b）協
（1−kbn）2 （5−6） であった。 二つのV’は，いずれも対角行列であるから， 対角成分は固有値となっている。そこで，対角 bib に注目して， 成分に含まれるスカラー値 1tb lV’IIに関するケースを再分類する。 btbo
〈QOのケース 1 ib 固有ベクトル・モデル 】1 V’1［＜・。 Shankenモデル b／b Cl） →D。のケース 1 ib 固有ベクトル・モデル Shankenモデル N Wlj 一 oo 1［ v’1ト→。。 IIWII 〈 oo この分類からも分かるように，対角化ゼロ・ ファクター・モデルを構築できる，万能な変換 Pが存在するというわけではない。しかし，そ れぞれのケースについて，ll Wll＜・。となる ような変換は存在している。行列を対角化する 手法は，いく種類も存在するので，状況に応じ て，II V’n〈・Gとなるような変換を選択すれ ば，対角化ゼロ・ファクター・モデルを構築で きることが期待される。 また，11 V’［［＜。。となるような変換が存在 すれば，Hp−i［1→。・であるようなケースを考 慮する必要はない。これは，対角化ゼロ・ファ クター・モデルの効用である。対角化ゼロ・ファ クター・モデルを構築することが可能であるな らば，少なくとも，実証的観点から見れば，原 資産ベースのオリジナルなファクター・モデル における，ファクター構造の特定を巡る問題を 捨象することができる。 皿 おわりに ファクター構造を特定し，ファクターの価格 （リターン）を評価するという，従来一般的で あったAPTの実証研究に対する批判的考察を 手がかりに，代替的なAPTの検証仮説につい て検討してきた。その過程を通して，APTの 検証仮説としては，基本的に，価格式の誤差項 の二乗和の有界性（ε！ε＜Q。）以外に表現し得 ないことが明らかとなった。 対角化ゼロ・ファクター・APTは，オリジ ナルなAPTの真の検証仮説を反映したモデル であるだけではなく，実証的側面から見ても， 扱い易いモデルである。なぜならば，ゼロ・ファ クター・APTにおける誤差項の二乗和は，潜 在的なファクター構造とは独立に計測し得るか らであり，また，シャープの尺度という代替的 な指標も存在するからである。 我々が現実に手にすることのできる情報は， 分散共分散行列に関する情報である。本稿の分 析は，分散共分散行列を分解することによって， ファクターと固有項に関する情報を抽出するこ とを目的とする，因子分析に基づく統計的手法 を否定するものではない。本稿は，ポートフォ リオ・セオリーに代表される，資産価格評価の一168一 滋賀大学経済学部研究年報Vol．5 1998 領域で蓄積されてきた，ポートフォリオの収益 と分散，具体的には，分散共分散行列に関する 「ファクト」をAPTのベースとなるファクター・ モデルに融合しようとする一つの試論である。 参考文献 ［1］飯野正幸，「APTの理論的発展」，大阪大学経 済学，VoL39， No．1−2，1989，59−69ページ ［2］飯野正幸，「資産評価理論の検証についての一 考察」，富大経済論集，第46巻，第5号，1993， 111−126ページ ［3］飯野正幸，「APTにおける因子構造の検討」， 神戸学院経済学論集，第25巻，第1・2号，1993， 31−39ページ ［4］堀本三郎，「タンジェンシー・ポートフォリオ の振舞い，一「Rollの批判」を克服できるか一」， 彦根論叢，第311号，1998，117−134ページ ［5］ Chamberlin，G．， “Funds， Factors， and Diversification in Arbitrage Pricing Thoery”， Econornetrica， Vol．51 No．5， 1983， ppユ305−1323 ［6］ Chamberlin，G． ＆ Rothschild，R．， “Arbi− trage， Factor Structure， and Mean− Variance Analysis on Large Asset Mar− kets”， Econometrica， Vol．51 No．5， 1983， pp．1281−1304 ［7］ Dybvig，P．H． ＆ Ross，S．A．， “Yes， the APT is Testable”， Journal of Finance， Vol．40， No．4， 1985， pp．1173−1188 ［81 Gilles， C． ＆ LeRoy， F． “On the Arbitrage Pricing Theory” ， Economic Theory 1， 1991， pp，213−229 ［9］ Huberman， G．， “A Simple Approach to Arbitrage Pricing Theory”， Journal of Eeonomic Theory， Vol，28， 1982， pp．183−191 ［10］ lngersoll， Jr．， Jonathan E．， “Some Re− sults in the Theory of Arbitrage Pricing” ， Journα1（ゾFinαnce， Vo1．39 No．4，1984， pp．1021−1039 ［11］ lngersoll， Jr．， Jonathan E．， Theory of Financial Decision Maleing， Rowman ＆ Littlefield Publishers， lnc．， 1987， ［12］ Rao， C． R．， Linear Statistical Jnference and lts Application， 2nd edition． New York：John Wiley and Sons， Inc．，1973，奥 野忠一他訳，『統計的推測とその応用』，1977， 東京図書株式会社 ［13］ Reisman， H．， “Reference Variables， Factor Structure， and the Approximate Multibeta Representation”， Joumal of Finαnce， Vol．47 No．4，1992， ppユ303−1314 ［14］ Roll，R． ＆ Ross，S．A．， “An Empirieal Investigation of the Arbitrage Pricing Theory”， Journal of Finance， Vol．35 No．5， 1980， pp．1073−llO3 ［15］ Shanken，J．， “The Arbitrage Pricing Theory： ls it Testable？”， cJournal of Fi− nance， Vol．37， No．5， 1982， pp．1129−1140 ［16］ Shanken，J．， “Multi−Beta CAPM or Equilibrium−APT？： Reply”， Journal of Finanee， Vol．40， No．4， 1985， pp．1189−1196 ［17］ Shanken，」．， “Current Status on the Arbi− trage Pricing Theory” ， JournaZ ofFinance， Vol．47， No．4， 1992， pp．1569−1574
