ON EXTENDED ALMOST ANALYTIC VECTOR FIELDS
IN TANGENT BUNDLES OF MANIFOLDS
WITH A NON−LINEAR CONNECTION
BYMAsAMI SEKIZAWA
Recent玉y the differential geometry in a tangent bundle of a manifbld with a non− 1inear connection has been studied by many authors．［1］，［2］，［3］，［6］，1）and it has been proved that there exists an almost complex structure in the tangent bundle of aman冠bld with a non−1inear co皿㏄tion［2］，［6］． On the other hand the extended almost．analytic vector fields in an almost complex manifbld have b㏄n studied by S．Sawaki and K． Takamatsu and others［4］，［5］． In．§1 we shall consider the tangent bundle of a man迂bld with a non−linear co皿㏄一 tion． In§2 we shall consider the adapted frame． In§3 we shall discusse the ex− tended contravariant almost analytic vector fields． The pres㎝t author wishs to express his hearty thanks to Prof． T． Adati fbr his I血dguidances and encouragement． He also thanks deeply to Mr． M． Matsumoto fbr his valuable「criticisms． ・ 1．Tange皿t bundle of a manifol己wit血anon−linear connection． Let 8（Mn）be the set of all differentiable functions of class C°°on an n−d㎞ensional differentiable manifbld Mn of class C°°， and駕（Mn）the set of all differentiable vector fields of ￠lass cca onルfn． Let us suppose that there is given a mapping 7：駕（Mn）×駕（Mn）→駕（Mn）satisfying the conditions： （a） （b） （c） （d） （e） where X， X， of 8（Mn）， the symbo17apPearing in the above equation（d）’denotes an arbitrary血ear conn㏄一 り tion in Mn． Such a symbol 7 is caUed a non−linear connecガon inハ〃［2］．（7yX）ρ e does not depend on the五near connection 7 if Xp ＝＝ O．7r．zx−7rX＋7zx，
7アrX−f7rX，
クy（fX）一（Yf）x＋f7rX， り （7rX）ヵ＝（VアX）ヵ， if Xp ＝＝0， （クy（X十X））ρ＝（7vX）ヵ十（7rX）ρ， if Xp十Xp＝0， − Y and Z are arbitrary elements of駕（Mn）and∫an arbitrary element and Xp denotes the value of a v㏄tor丘eld X at a poilltクof Mn， and o 1）Numbers in brakets refer to the bibliography at the end of the paper． ［14］ON EXTIiNDED AI．MOST ANALYTIC VECTOR FI肌DS IN TANGENT BUNDI．ES 15
The local representation of a non一血1ear conn㏄tion is as fb皿ows． Let’σbe a coord血1ate lleighb6urhood of Mn with local coordinates（ξゐ）and e‘一∂／∂ξ⊆∂’the natural亀me coπespo血ding to（ξり． We represent 7．‘X as 7，iX−（∂iXk＋rlh（ξダx））eh，’ 『： where X∈駕（ルの，X−．XZeh inσand r∼（ξ， X）are fimctions of 2n一五1dependent var− iablesξh， Xゐand homogen◎ous of degree one with respect to Xb． Then we have 7rX・＝】ge7e‘x」ri（∂iX＋r∼（ξ， x））θカ． Ullder a coordmate transfbmationξみLξ昨ξ）inσ（ξ）∩ぴ（ξ’）≠φ， the負1nctigns rih（ξ，x）have the fbllowing transfbmlati6n law：、−T…’（ξ’・x・）一乃・器器一器∂警叢声 『
In the next place，1et T（ハイリbe a tangent bundle ofハ〃with a hon−linear cohn6c； ti…L・tσbe a c…dm・t・n・ighb・画6・d・fM・ and（ξ・）1㏄。1。。。idin。t，、 d。血ξd inσ・ Then the open setπ一・（σ）is a coord五1ate nei8由bourhood of 7てル旬ahd．（ξh． γ）ar・4・・a1・…血・tS，・ inπ一1（σ），・be血g中・b皿d1・p・・jecti・n・πハの→ハ〃， Where・fbr a pointσ．having．10cal coordロ1ates（ξ為，ηり桓π一・（σ）， the point、ρ＝π（σ） has local coordin』1tes（ξりin σand（ηりare五ngar coordhlatesロ1 t五e五bre Fp＝π一・（P） ＃w・th・respect．t・the nat暇1肋me・∂／∂ξb．． ．』、・ ．
T・th・tr・n・f・m・a廿・n・f l㏄・1・・…血・tes i・噸∩σ’（ξ’）≠φ∫ （1・1） ’ヤξ解一ξ〃（ξ・，…，ξり， there corresponds a transformation of local coordinates i皿π一1（σ）∩π一1（σ’）≠φ（1⑳一・一ξhLξ・’（ξ・・…・ξ・）…’一纂…’二 ’
If we put ．◆“ ξ為＊’一ξ（n＋みγ一η！’，．ξ元＊一ξ鋸＋b ．． opb，then w・m・y・e頑C〈1，2）．a・． ． 、・−tt ．’ tt
（1．3） where A， B，…−1， 2， given by （1．4） ξA’ 一 9A’（ξB）一ξA’（ξゴξう， …，2n． The Jacobian matriX of the transformation（1．3）is ∂ξh’ て塞）／一 ∂ξh轟・・
0
∂ξh’ ∂ξb B㏄ause of（1・4）the transfo血ation of compone皿fS 6f an arbitrary v㏄tor V at、a コ apomt−obelonging toπ一1（U）∩π一1（U’）is given by （Vh，Vh＊’）一 ∂ξみ’ γみ ∂ξゐ鑑がγ・＋器γ㌣
， where we have put V−VA∂4＝．戸’aA’atσ∈π二1（σ）∩π一・（u’）．’− Let〃be a vectOr：field on Mn，屹may consider， fhe fbllow短g v㏄tof fields on T（ハの： ㎏ 1 ’ ‘16
M．SEKIZAWA
（a）’Xhas the components（ノXA）atσ（ξ，η）of T（ルの， where （’XA）一（一㍑が）・ （b） ”X has the components（”XA）atσ（ξ，η）of 7てMn）， where （〃XA）一（8，）・ （c） 叉has the components（矛）atσ（ξ，η）of T（ルの， where （xり一（，劃・ They are called the horizontal， vertical and complete lift of〃rCsp㏄tively． Aset of horizontal五fts of a皿vector丘elds determines anπ一d㎞㎝sional subspace ffa of the tangent space at each pointσof T（Mn）． Such a subspace H。 is spanned by．a basis（Bi）：r（1・5） （昨己）・
where Bi is the horizontal I近of local v㏄tor field￠‘on M．． Ha is called the hori− zontal plane atσ． A distribution H：σ→Ha is ca皿ed the horizontal plane field or horizontal dis〃ibution． Aset of vertical lifts of． all v㏄tor fields detemli皿es the tang㎝t space of fibre Fp and such a subspace T（Fp）is spanned by a basis（Ci＊）：（1・・） ． （q・・）一（，9、）・
−where Ci＊is the vertical lift of local v㏄tor fieldθ‘onハ〃． An integral distribution ・σ→Ta（Fp）is complemantary to the horizontal distribution互 A．Kandatu has proved that the tensor field F detemined by（1・・） （躍（ξ・・））一（一、ih一薇認聴，，）−rlを，，））
is an almost complex structure in T（fUの［2］． 2． Adaptedむame． Let us denote 2η一vectQr fields ol1π一1（σ）（・・1） （…）一（助G・・）一（2㍊、）・
’then a system（．4a）is ca皿ed the adapteq佃me associated with coordinates（ξりde一 廿ned inσ， whereα，β，…＝1，2，…，2〃． If we denote the matrb【inverse to（2．1）by
（・．・） （A・D−（説）一（芸￡、）・
（2．3） （BhA）＝（δ∼0）， （Cみ＊D＝（τ▼∼δ《り， then we have AaA∠4『β＝＝δBA， ∠taAノ｛β五＝δβα． If components of a tangent v㏄torγofτ（Mりat a pointσare VA， then the com− ponents with resp㏄t to the adapted丘ame areレ「a＝VAAαA， that is： v・＝ VA∂A＝v”Aa． ，ON EXTEM）ED ALMOST ANALYTIC VECTOR．FIELDS IN TANGENT BUNDI． ES 17
We see that the componepts of any horiZontal vector丘eld V are given by （Vd）一（］iih） Twith resp㏄t to this亀me， and those of any vertical v㏄tor field V are givell by （vat）イ；・）・ We also see that the components of any complete lift V of a vector飼d．びonルf” are given by ⑰一（ vhがク」〆）・ where we have put ムコ ク5〆＝∂」〆＋（∂，・r。りが． S㎞ce the components of the a㎞ost complex structure F with respect to the adapted fξame iS giVen by Fβα＝AβBFBA／laA，1 we haVe from（1．7），（2．1）and（2．3）（・・4） 腓（」，hτり・
S㎞ilarly we can丘nd that the so￡a皿ed NijenhUis tensor N of the almost complex structure F which is defi皿ed in everyπ一1（u（ξ，η））by NCBA−FcD（∂DFBA−∂BEDA）一・FβD（∂bFcA−∂cFDA） has the fb皿owillg components凡βαwith Tesp㏄t to the adapted frame， （2．5） ハrrβt「＝1弓・ε（ノ鍾ε」F「βα一ノ4β1己α）−FBε（∠1ε・Fra−∠4τちα） 一ρ・βα一FBδF・αa・δ”−F，δ・F・a2δβv＋F，δFβ・2δ。α， where we have put （2．6） 2，βα一AaA（A。AβA−AβAγA）， Aa−AαB∂β． Besides， a㏄ording to（2．1），（2．3）and（2．6）we have the．non−vanishing components of non−holonomic object 2rβα：⑳ ｛ぽ：こ慧ご㌫
where we have put Riih−∂」rεL∂」▼」カー乃鳶∂・・rib＋r∼∂鳶・r♪， ｛，、一∂／∂ξ・and∂、。一、／、，、． ・ The non・vanishing components of NijenhUis tensor N may be w亘tten as②・） ｛㌫㌫；認ご忘ご㌫T””・
where we have put （2．9） Tiih＝11」∼一τ《」カ， τ’jih＝∂i＊1マノ． Fillally， if X iS a tangent vector field on．T（ハの， then the components of￡FBA with x resp㏄t to the adapted丘ame are given by （2．10） （￡F）βα＝．−Fβε∠4εXa十FεαノtβXe十Xs（9εδ”Fβδ一』2εβδFδα）． 「 −” xt 18
M．SEKIZAWA
3．EXtended contra▼ariant almost魂1ytic▼ector fields． In an almost complex manifdld， th・v㏄t・r丘・ld X・iS・ca皿・d an eXt・・id・d…’佗…iant・alm・・’・・alyti・…− tor．field［5］． if it satisfies ． ． ∴（3．1）・ ￡FBA＋aFBCNCDA∼rD−0，
ズ whereλis all arbitrary scalar負mction of dassぴon the manifold． Particularly． Whenλ＝−1／2， this de6nition coin6ides with Sat△’s definition obtained fto皿the standpoint of the cross−section of a㎞gent bundle［4］． With respect to the adapted frame，（3．1）may be written as （3．2） （￡F）βα十λFBrNrδαxa ＝＝ O． ヱ Let A「be an arbitrary v㏄tor field gn．1「（・Mつ・ By use of （2・1）・（2・3）・（2・7） andi （2・10）・w・h・Y・th・n・n−vani・㎞9 C°mp°nents°f（fF）Ba：『『（…） ｛1鵠；：こ；欝ご三窪㌶1鰺凪’h’
x x where we have put （3・・）@｛麗撫1㌶；1；i：：
L。t・X・b。・an。，bit，ary・h。・i。。nta1 ’・・6t・・五・ld・nτ（Ms）． The c・mp・n・nt・M＊be ing zero， we have （3．5） where we have used（2．4），（2．8）， and（3．3）． av㏄tor丘eld v onルfn， then（3．5）are replaced by （3．6） （￡F）」・＋ZF」・ lv』δ唖 ｛（鋤」・カ＊＋λFiieNeδh°珊 x x ＝7ゴ・M＋（1一λ）X”R。」ゐ， （￡F）∫・〃＋λ巧・・1v』δ力万δ一（￡F）♪＊＋λ乃ε1v・δゐ＊x6 x x A ＝・＝（7jxn一λx”T．jh）， Esp㏄ia皿y， if X姪ahor□ontal Uft oξ （￡F）」叫鳩・N』δ唖一一｛（tF）」・カ＊＋砺・・N』δみ＊x6｝ x x ＝（1一λ）がR。」カ， （￡F）∫・み＋鳩・N，δhxa−（￡F）∫み＊＋λちε1v』δ〃＊x6 x x A −一（7」vh−zがTa，り． Thus， we have from．（3．2），（3．5）and（3．6） THEoREM 3．1． In a tange〃t bun〃εげa〃1απ蓼b〃withαηoπ一1匡ηεαr co〃nection・a 乃・物η’α1昭伽field・X iぷextended・C・n’ra・a・∫励α加・ぷt・aualyガCぴα〃4・吻ぴ べ （3．7） 7j・Xh＋（1一λ）矛R♂−O and V」Xh−ax” T・」h＝0， whereλi∵an arbi’r卿scalar functioηげc14∬C°°． CoRoLLARY 3．2． In a tangen，加π4Zθげαma鳩fold w匡，h aηoπ．linear con刀ectio〃， a horiz・〃’α1籏Xげα顕・r field V・〃ルt”iぷextended・C・π〃’avariant・alm・ぷ’a〃alytieぴand onlyぴ
べ （1一λ）〆R。ゴ』Oand 7」〆一λ〃σ万♪−0，、．
ON EXTENDED ALMOST ANALYTIC．VECTOR FIELDS IN TANGENT BUNDLES 19．
wh・ke z i・・a・ar励ary ・s・alar吻bti…f。la∬c・・．．・、 ・
L・t・Xbe a…bit鋼・・ni・a1・㏄t…丘・ld・n質λの．．The c・mp・n・nt、 X・．being zero， we have ：． （fF）ノ＋aFiεN・・xδ・・一｛（iF）・・み＊橘＊eN・δh㌻Y6｝・（3．8） r7・Xhf＋λXa＊Ta・ゐ・ ．
， ・（fF）i・h＋aF」＊eN・δhXδ一（iF）∫み＊＋λ酬δみ＊xδ 一ク’・Xh＊＋λXa＊R。ノ， where we have used（2．4），（2．8）and（3．3）． Esp㏄ially， if X is a’vertical lift of ll v㏄tor丘｛｝ld〃onハイ蕗， then（3．8）are replaced by （fF）51†λちεMδみ盟＝一｛（｛F）ゴ・ゐ＊＋λ万・εN・δh＊x6｝ ＝ク」〆十λvaTaih， （3．9） （｛F）・＊b＋鳩＊eN・δbX6−（まF）」ゐ＊＋λFjeN・δb＊LX7δ 一λがR。♪．ThUs we have froin（3．2），（3．8）and（3．9） ‘ 層「 ”
THE°REM 3・3・れτ卿・’み・熾輌％晒〃崩⑭η一1’・・・…〃…伽，・
晒・・1吻・・fie”Xi・ext・nd・d・e・〃’ra・a・i・・t・alm・・t” analy”・ヴand・ψぴ 7iXh＊＋λXa＊T。j“・＝o a〃d 7」・M＊＋ZXa＊R。5b−o， where a∫ぷa〃arbitraryぷealar fu〃c伽げcla∬c・・．C・R・叫RY 3・4・伽伽螂ゐ〃idL・輌砲〃｛fol4 wi吻・・〃−1幼・・・…ne・伽，
の・・伽1⑳吻…t・r・fi・〃・・n Mn匡・extend・d…〃・励・胸加・・’・U・ly’∫・σ
硯40吻ぴ ’
ク1’vh十λva］陥ξみ＝O and v”Raiカ＝0， w乃θ’eλ∫・・n・a・bitra・y．ぷcalar吻c伽げcla∬c°°． ・L・tκ』・・mp1・t・lift・Qf…㏄t・・、丘・1d．・、6・M＃， th・n・・c・・dmg t・．（2．4），（2．9） and（3．3）we have 『 ‘ ’（￡Fx）’丸＋λFjeN・・．”X“一一．｛∫興・λ＊＋！脚δλ＊x“｝一’（・・1・）（fF）−Ne、・；三雛辮篇み＋（1一λ繊．・
バ ーλ｛〆万力＋η5（17bva）R。」施｝。 Thus， accordillg to（3．2）and（3．10）we have THEOREM 3・5・ In a tangent加〃〃θof a〃mnifo〃wi〃5 aηoπ一1f〃ear connection，α C卿1・’・励げ…C’・r fi・ld v・川〃匡・・xt・nd・d・C・・’ra・・吻伽肋・・t・an・lyガ・ヴ刷40吻ぴ
（3．11） ηワあが＋ληb（fibva）T』♪＋（1一λ）がR。ノ＝0α煽！vaTa♪＋η砂（倉6めR。ノー0， where Z∫ぷan・ar励aryぷealar吻c’i・n ・f cta∬c・・． If we takeλ＝1， then by v蝕tue of（2．9）−and（3．4）3， the s㏄ond equation of（3．7） is redu㏄d to 75万ゐ＝0． He11㏄we may rew亘te the Theorem 3．1 and Coτ011ary 3．2 as丘）110ws：20
