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第６回 静定ラーメンの応力と応力図
• ラーメンとは柱と梁部材が剛接された構造物をいう
• 静定ラーメンは次スライドの三種類（第３回）
• 応力の求め方と応力図の描き方
– 方向は、自分の仮定と結果が対応していること
に注意すれば基本的には表示に決まりはない
– しかし，Nの符号は大切，Qも区別しておく
• 応力図の特徴は梁で述べたことと共通
（静定梁の応用編！）
2静定ラーメン構造の例（以下の３種類）
単純梁系 片持梁系 ３ヒンジ 構造内部のヒンジは どこにあってもよい （第３回より） 3応力の求め方（１）
①反力を求める p l h A B 2 pl 2 pl 荷重は鉛直方向のみ 対称荷重より図のように求まる C D ②応力を求める （３区間でつりあい式は異なる） AB間 0 0 0 2 M Q pl N 0 0 2 M Q pl N Q M A 2 pl N x 柱の左側を梁の上側と考えて N,Q,Mの向きを仮定する 4応力の求め方（１）
p l h 2 pl 2 pl A B C D BC間 0 0 2 M Q pl N ＣＤ間 0 0 2 0 2 2 N pl Q px pl x x px M 0 2 2 N l Q p x px M l x N 2 pl Q M D x 0 0 0 2 M Q pl N 応力を求める位置の x はBからとるが、自由 物体はAからつながって いることに注意！ このつりあい式は単純梁と同じ！ M Q A B N x h 2 pl px どちらから をとってもよいがここでは 柱の左側を梁の上側と考えて応力の向き を仮定すると・・・ x5
応力図
A B C D 圧縮 圧縮 A B C D (＋) (－) A B C D p l x Q 2 Mpx
lx
2 ＢＣ間は前回の単純梁の応力と同じである N図 Q図 M図 l 2 pl 2 pl A B C D N,Qはどちらを正に表 示してもよいが、符号 を明示すること Mは引張側にかくこと 6節点での力のつりあい
A B C D 圧縮 圧縮 A B C D p l x Q 2 N図 Q図 B C 梁のせん断力と柱の軸力がつり あっている（直交しているから） 2 pl Q 2 pl 2 pl N 2 pl Q 2 pl 2 pl 2 pl N 2 pl 正 時計回り 負 反時計回り (＋) (－) 7節点での力のつりあい
B 梁のモーメントと柱のモーメントがつりあっ ている（節点にモーメント荷重がない場合） A B C D
l x
px M 2 M図 C 0 M 0 M 0 M 0 M 8応力図の概略の描き方
A B C D ①AB、DC間では軸力のみ作用 Nは一定，M＝０。 ②BC間は等分布荷重だからMは 二次式。両端のB，C点で柱とつ りあうからM＝０，N＝０。 A B C M図 D ③以上からM図の概形がかけ，そ の傾きとしてQ図の概形がかける。 N図の概形もかける。 A B C Q図 D A B C D N図9
応力の求め方（2）
a 2a a P ①反力を求める H M 0 M Pa 反力の表示 （V=0は自明なので省略） 0 H P HP Pa M P 10 a 2a a ②応力を求める（３区間でつりあい式は異なる） P Pa A B C D P P Q M A AB間 x 0 0 0 M Px Q P N Px M P Q N 0 M Q A B N P BC間 x Pa M Q P N 0 0 0 0 M Pa Q N P 応力を求める位置の はBからとるが、自由物体は Aからつながっていることに注意！ x x 11 a 2a a ②応力を求める（３区間でつりあい式は異なる） P Pa A B C D P N M Q A P CD間 B C x1 符号決め方は，符号を正しく取り扱える限り，自分で仮定するときの基本 を決めておいたほうがよい。 0 ) ( 0 0 1 M a x P Q P N ) ( 0 1 a x P M P Q N x2 aより小さい 場合を想定 すると・・・ 2 2 ( ) 0 ( ) P a x M M P x a なお，Dから x の距離での切断も同じ結果となる。 （上式と同じ式） 12 ②応力図 P Pa A B C D P -P P N図 Q図 M図 Pa Pa Pa 固定端の場合はモーメントが生じているの で、始点側にモーメントを描く（+の場合） Px M Pa M x a P M モーメントは仮定した 向きと逆のため負の 値になっている （－） （＋）13
M図の性質（梁の規則からの理解）
節点にモーメント荷重がな ければ柱と梁のモーメント はつりあっているから、必 ず大きさが等しく、引張側 は図で同じ側にくる 集中荷重を受ける片持梁の モーメント図に類似 力の作用線上ではモーメ ントはゼロ （原則）荷重を受けていない点ではモーメントは直線変化 力の作用線と平行だから モーメントは変わらない これだけでモーメント図の概形が描けてしまう 反力モーメントが作用 P 14Q図の性質（M図との関係）
モーメント図の傾きが せん断力を示している ことから・・・ ここはゼロ 節点に荷重がなければ 柱のせん断力は梁の軸力、 柱の軸力は梁のせん断力 とつりあうことから （条件：方向が直角のとき） Qの概形が描ける Nの概形が描ける QとNの関係より・・・ ここは一定 N図 Q図 M図 15応力の求め方（3）
a a 2a P 2P P 1.5P 1.5P ①反力を求める P 2P D A B C E D A B C E 0 2 2 2 0 0 2 Pa a P a V V V P P H E E A A P V P V P H A E A 5 . 1 5 . 1 A H A V VE 16応力の求め方（3）
a a 2a P 1.5P 1.5P P 2P D A B C E ②応力を求める AB間 A Q M N x M Px P Q P N 1.5 BC間 1.5P 1.5P A B P Q M N 0 ) ( 0 0 5 . 1 M a x P Px Q P P P N 0 0 0 5 . 1 M Px Q P P N Pa Px M P Q P N 2 2 5 . 1 P P AC間は外力が作用するB点で 応力が変わるので、それぞれの 応力を求める x17
応力の求め方（3）
a a 2a P 1.5P 1.5P P 2P D A B C E ②応力を求める（続き） CD間 A x DE間 1.5P 1.5P E P M Q N P 2P C N M Q x 0 0 0 5 . 1 M Q P N 0 0 5 . 1 M Q P N 0 5 . 1 2 0 5 . 1 0 2 M Px Pa a P Q P P P P N Pa Px M P Q N 3 5 . 1 5 . 1 0 DE間はE側から検 討した方が簡単 （CD間も） 18 （－） （＋） （圧縮） （引張） -P -2P 1.5P 1.5P 1.5P Pa 3Pa M図 Q図 N図 以上を図示すれば Px M Pa Px M1.5 3 Pa Px M2 モーメントの向きは仮定と 逆方向．正しい向きにする と始点はラーメンの外側に なる⇒引張も外側 Qの矢印の方向は 全て時計回りに仮 定していたので計 算結果の符号がそ のまま使える 19性質を利用したM図の概形の描き方
モーメントゼロ 片持梁と同じ（直線） 集中荷重で折れる 勾配が増えた直線 同じ値 主要な点でのMの値を計算する D A B C E B点 a a A点：ピン支点、M荷重なし、 梁の接続なし、∴M=0 C点 D点：E点に水平反力なしで DE材はモーメントゼロ ∴M=0 E点：ローラー支点、M荷重なし、 梁の接続なし、∴M=0 （柱は左側を梁の上側と考える） Pa M Pa a P a P M 2 3 20応力の求め方（4）
P P 反力数は４だが、３つの力のつりあ い式の他に，B点（ピン）のモーメント がゼロという条件を加えて４つの式 が成り立つ（一義的に決定できる） A B C D E VA HA VD HD ①反力 0 2 Pa H a MB A D A A D H P H V P V 2 , 2 a a 2a ３ヒンジラーメン 0 2 0 a V Pa M V V H H P D A D A D A21 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 Pa M 0 M MP a 0 M 0 M M図 (+) (-) (+) (-) Q図 引張 圧縮 圧縮 N図 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 22
