■ 不定積分

数学

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氏名

■ 不定積分

微分すると6x^{になる式のことを} Z

6x dx^{と書きます。}(3x²)⁰ = 6x ^なので Z

6x dx = 3x^{2が分かり} ます。

しかし(3x²+ 2)⁰ = 6x^だし(3x²+ 9)⁰= 6xです。つまり定数項は微分すると無くなってしまうので積 分の式は一つだけに決まりません。そこで

Z

6x dx= 3x²+C （Cは積分定数）と書くことにします。

例題1 ^⑴ Z

15x⁴dx= 3x⁵+C ^⑵ Z

8x dx= 4x²+C ^⑶ Z

7dx= 7x+C 次の積分を求めなさい。

⑴ Z

1dx ^⑵

Z 2x dx

⑶ Z

9x²dx ^⑷

Z x³dx

例題2 ^⑴ (x)⁰= 1^なので

Z

1dx=x+C

⑵ 1

2x² ₀

=xなので

Z

x dx= 1

2x²+C

⑶ 1

3x³ ₀

=x^2なので

Z

x²dx= 1

3x³+C

⑷ 1

4x⁴ ₀

=x^3なので

Z

x³dx= 1

4x⁴+C 公式にすると

Z

x^▲ dx = 1

▲

^（

^{は積分定数）}

例題3 ^⑴ Z

8x dx= 8× 1

2x²+C= 4x²+C

⑵ Z

(2x+ 7)dx= 2× 1

2x²+ 7×x+C=x²+ 7x+C

⑶ Z

(3x−4)dx= 3× 1

2x²−4×x+C= 3

2x²−4x+C 改訂版プリント

#52

⑴

⑵ 8

⑶ 266

⑷ 18 325

⑸ 3

⑹ 17

⑺ 56 21

⑻ 2 155

⑼ 6 47

⑽ 6 9

⑾ 2 53

⑿ 6 76 3

⑷ Z

(5x²−3x+ 8)dx= 5× 1

3x³−3× 1

2x²+ 8×x+C

= 5

3x³− 3

2x²+ 8x+C

⑸ Z

(−3x⁴−4x³+ 12)dx=−3× 1

5x⁵−4× 1

4x⁴+ 12×x+C

=−3

5x⁵−x⁴+ 12x+C 次の積分を求めなさい。

⑴ Z

(10x+ 1)dx ^⑵

Z

(2x−3)dx

⑶ Z

(x+ 5)dx ^⑷

Z

(−7x−6)dx

⑸ Z

(3x²+ 4x−9)dx ^⑹

Z

(2x²+ 4x−6)dx

⑺ Z

(4x³−6x)dx ^⑻

Z

(10x²−x)dx

⑼ Z

(4x³−6x²+ 7)dx ^⑽

Z 6

5x²− 4 7x

dx

数学

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■ 定積分

1

(6x+ 7)dx=

微分すると6x+ 7^に なる式にx= 3^を代入

−

微分すると6x+ 7^に なる式にx= 1^を代入

=

3x²+ 7x+C^に x= 3^を代入

−

3x²+ 7x+C^に x= 1^を代入

=

3×3²+ 7×3 +C

−

3×1²+ 7×1 +C

=

48 +C

−

10 +C

=

38

定積分すると積分定数Cは消えてしまうので、上の式をもっと簡単に Z 3

1

(6x+ 7)dx= h

3x²+ 7x i3

1

= (3×3²+ 7×3)−(3×1²+ 7×1)

= 48−10

= 38

と書くことにします。このとき定積分の上端は3^、下端は1^{といいます。}

例題1

Z 2

−1

(12x²+ 6x)dx= h

4x³+ 3x² i2

−1

= 4×2³+ 3×2²

− 4×(−1)³+ 3×(−1)²

= (32 + 12)−(−4 + 3)

= 45 例題2

Z 5 3

(x²−4x+ 2)dx= 1

3x³−2x²+ 2x 5

3

= 1

3 ×5³−2×5²+ 2×5

− 1

3 ×3³−2×3²+ 2×3

= 125

3 −50 + 10

− 27

3 −18 + 6

= 125

3 −40− 27 3 + 12

= 125−27 3 −28

= 98 3 − 84

3 = 14

3

#51

⑴ x +

⑵ C

2 x +

⑶ C

3 3x +

⑷ C 1 x 4

+ 4

⑴ C

2 5x + x +

⑵ C

2 x

− 3x +

⑶ C 1 x 2

+5 2

x +

⑷ C

7 −

x 2

− 2

6x +

⑸ C

3 x +2

2 x

− 9x +

⑹ C 2 x 3

+2 3

2 x

− 6x +

⑺ C

4 x

−

2 3x +

⑻ C 10 x 3

− 3

1 x 2

+ 2

⑼ C

4 x

−

3 2x +7 x +

⑽ C 2 x 5

− 3

2 x 7

+ 2

C

次の定積分を求めなさい。

⑴ Z 3

1

2x dx ^⑵

Z 5

−2

6x²dx

⑶ Z 4

−2

3x dx ^⑷

Z 4

−1

5x²dx

⑸ Z 2

1

(8x+ 5)dx ^⑹

Z 3

−1

(9x²−7)dx

⑺ Z 4

1

(x+ 1)dx ^⑻

Z 3

−2

(2x²+x)dx

⑼ Z 2

1

(x²+ 3x+ 1)dx ^⑽

Z 1

−2

(5x²−x−4)dx

⑾ Z 2

1

(x+ 1)(x+ 2)dx

展開して計算する

⑿ Z 3

−1

(2x−1)²dx

展開して計算する