I 数理情報学科・１年次配当・前期 学科固有科目・必修・３単位 飯田 晋司

微積分及び演習 I

数理情報学科・１年次配当・前期 学科固有科目・必修・３単位 飯田 晋司 [email protected]

ティーチング・アシスタント (TA)

中邨 光太 さん

^a

津川 未希 さん 柳原 暁人 さん

^a

柴田 和也 さん

^b

森田 直樹 さん

^a

森本 晃平 さん

^c

他の科目の

TA a:

計算機基礎実習

I

，

b:

数理情報基礎演習

A

，

c:

線形代数及び演習

I

☆ 教科書は『微分積分入門』桑村雅隆 著，裳華房 です。各自で購入しておいてください。

後期の「微積分・演習 II」でも使います。

プリント中の

¨

§

¥

桑村 ¦

はテキスト，“桑村『微分積分入門』(裳華房) ”を示します。

¨

§

¥

川薩四 ¦

はテキスト，“川野，薩摩，四ツ谷『微分積分＋微分方程式』(裳華房) ”を示します。

オフィスアワー： 水曜 3 講時 (1-513)，金曜 3 講時 (1-542)

url: http://www.math.ryukoku.ac.jp/ iida/lecture/lecture.html

(1) Placement Test(数学) 補習課題 1,2,3 (

http://maple.st.ryukoku.ac.jp/

) を提出し，

(2) 演習課題を 9 回以上提出したうえで，予定されている 2 回の小テストの両方に 60 点以上 をとるか，あるいは定期試験に 60 点以上をとることで合格とします。どちらの基準でも 合格の場合，最終成績は小テストの平均点と定期試験の点数の高い方とします。

☆ 演習課題の提出について

• 解答は配布する演習解答用紙に書いてください（丁寧な字で，明らかに暗算で答がわか る場合以外は解答の手順もしっかり書いてください）。

• 解けた問題はＴＡか担当教員に見せてチェックを受けてください。問題がすべて解ければ，

解答用紙を提出し，ＴＡが持っている記録シートに印を記入してもらってください（確か に自分の欄に印が記入されたか必ず確認すること）。

• チェックは演習の時間内に受けてください。木 5 の演習時間内に完成できなかった場合は，

飯田のオフィスアワー時間 (同じ週の水３あるいは金３) にもチェックが受けれます。

• チェックを受ける時間がとれなかった場合，解答用紙を翌週の月曜日 13:30 までに 1-513 飯田または 1-533 数理情報学科事務室の佐藤さんまで提出することができます。この場合，

解答に誤りが多いときは 1 回未満 (0.5 回など) の提出回数と数えます。

• ＴＡの人数と演習の時間が限られているので，効率良くチェックを受けられるように各自 で工夫してください。昨年までの経験によると，できた問題からどんどんチェックを受け るのがいいでしょう。一気に大量のチェックを受けようとすると効率が悪くなります。

• チェックを受ける問題の順番は自由です。難しい問題は後回しにして，解ける問題から始 めるとよいでしょう。

☆ もし「講義が難しくてついていけない」とか「演習問題がどうしても解けない」というとき には，講義や演習中にＴＡや担当教員に質問する以外に以下の方法を試してみてください（他 の講義についても同じ）。

• チューター制度を利用：主に大学院生が毎週決まった時間に質問を受け付けてくれます。

具体的な時間と場所は掲示されます。

• オフィスアワーを利用：各教員は質問を受け付ける時間を設定しています。これも掲示を 参照してください。ちなみに，飯田のオフィスアワーは水曜日と金曜日の３講時です（会 議のため中止の週もあります）。

• 数理情報基礎演習に参加：金曜日３講時に開講されています。登録をしていない人の参加 も OK です。

• 友達を作る：一人で解決しようとして迷路にはまり込んで出られなくなってしまう人が結

構います。上級生や教員に質問するのはちょっと，という人はとりあえず同級生の間で教

え合う関係を築くことをお勧めします。

微積 I.1

1 関数と微分

¶ ³

微積分の主役は「関数」です。関数を「極限の計算」を使って調べます。

µ ´

1.1 _関数とは

例題 1.1 半径 r の球の体積 V を r の式で表しなさい

解説 答えは V = V (r) = 4πr

³

/3 です。V (r) という書き方は，半径 r の値に体積の値が対 応していることを表します。つまり，体積を半径の関数と考えているということです。この場 合の r を独立変数，V を従属変数，独立変数の範囲を定義域，従属変数の範囲を値域と言いま す。

例題 1.2 底面が 1 辺の長さ d の正方形で，高さが h であるような四角柱の表面積 S を d と h の式で表しなさい。

解説 S = S(d, h) = 2d

²

+ 4dh です。これは，二つの独立変数 d と h に従属変数 S が対応す る 2 変数関数の例です。同様に，独立変数の数に応じて 3 変数関数，4 変数関数…が考えられ ます。2 変数以上の場合を多変数関数と呼びます。

注意 ! 数学では，y = f (x) のように，独立変数は x，従属変数は y とすることが多いです。

2 変数関数の場合は z = f (x, y) のように独立変数には x, y が，従属変数には z がよく使われ ます。しかし，例題のように，x, y, z 以外の文字が使われる場合もあるので，記号に惑わされ ないように注意しましょう。

例題 1.3 関数 f (x) = x

²

− 2x − 3 のグラフを描きなさい。

解説 放物線 y = x

²

を x 方向に 1，y 方向に − 4 平行移動した図 1.1 の曲線になります。関 数のグラフが描ければ，関数の感じがよくわかります。

注意 !

^¨_§桑村p.6^¥_¦

定理 1.1 より y = x

²

を x 方向に 1，y 方向に − 4 平行移動したグラフを表す 関数は

y = (x − 1)

²

− 4 = x

²

− 2x + 1 − 4 = x

²

− 2x − 3 (1.1) となります。

0 x

y

−3

−1 3

図 1.1 y = x

²

− 2x − 3

例題 1.4 f(x, y) = √

x

²

+ y

²

は xy 平面上の点 (x, y) に原点からの距離を対応させる 2 変数 関数です。z = f (x, y) はどのような曲面を表すか，概形を描きなさい。また，xy 平面に「等 高線」を描きなさい。

解説 関数の意味から図 1.2 をイメージしてみましょう。

0 x

y z

図 1.2 z = √

x

²

+ y

²

のグラフと「等高線」

1.2 おなじみ（ ? ）の関数（その１）〜指数関数と対数関数〜

例題 1.5 指数関数について復習しなさい（→

^¨_§桑村§1.8^¥_¦

，

^¨_§川薩四§5.1^¥_¦

）。

解説 指数関数とは，a を正の数（ a 6 = 1 で，底と呼びます）として，f(x) = a

^x

の形の関数 で，f(1) = a

¹

= a です。指数関数の基礎をまとめておきましょう。

(1) 底が a > 1 なら単調増加関数で， lim

x→∞

a

^x

= ∞ , lim

x→−∞

a

^x

= 0 となります。

(2) 0 < a < 1 なら単調減少関数で， lim

x→∞

a

^x

= 0, lim

x→−∞

a

^x

= ∞ となります。

(3) 指数法則

a

^x+y

= a

^x

a

^y

, a

^xy

= (a

^x

)

^y

, a

^−x

= 1

a

^x

, a

⁰

= 1 (2.1) が成り立ちます。

(4) 微積分での指数関数の代表が f (x) = e

^x

です（ e は自然対数の底と呼ばれる無理数で，

e = 2.718281828459045 · · · です）。なぜ代表なのかはまたいずれ。

注意 ! e

^x

を exp(x) と書く場合があります。

指数関数は数学以外にもいろんな所に登場します。例を探してみましょう。

例題 1.6 対数関数について復習しなさい（→

^¨_§桑村§1.9^¥_¦

，

^¨_§川薩四§5.2^¥_¦

）。

対数関数とは，a を正の数（ a 6 = 1 で，やはり底と呼びます）として，独立変数 x に x = a

^y

となる y を対応させる関数で log

_a

x と書きます。つまり，指数関数の逆関数（後出）です。指

数関数の値が必ず正であることに対応して，対数関数の定義域は x > 0 です。対数関数の基礎

をまとめておきましょう。

微積 I.3 (1) a > 1 なら単調増加関数で， lim

x→∞

log

_a

x = ∞ , lim

x→+0

log

_a

x = −∞ となります。

(2) 0 < a < 1 なら単調減少関数で， lim

x→∞

log

_a

x = −∞ , lim

x→+0

log

_a

x = ∞ となります。

(3) 指数法則に対応して，

log

_a

xy = log

_a

x + log

_a

y , log

_a

x

^y

= y log

_a

x , log

_a

a = 1 , log

_a

1 = 0 (3.1) が成り立ちます。

(4) 底が e の対数を自然対数と呼び，単に log x と書きます（ ln x と書くこともあります）。

対数関数もいろんな所に登場します。例を探してみましょう。

1.3 おなじみ（ ? ）の関数（その２）〜三角関数〜

例題 1.7 三角関数について復習しなさい（→

^¨_§桑村§1.7^¥_¦

，

^¨_§川薩四§5.3^¥_¦

）。

解説 三角関数 cos x, sin x は単位円上の点について，点 (1, 0) から反時計回りに測った弧長

（逆回りは負の値とする）にその点の座標を対応させる関数です。なお，単位円の弧長という のは弧度法での角度のことです（単位はラジアン，微積分での角度は弧度法で表すのが標準で す)。三角関数について基礎の基礎をまとめておきましょう。

注意 ! cos x , sin x は cos(x) sin(x) のことです。誤解の余地のない場合は括弧を省略してもか まいません。cos xy のように cos(xy) か cos(x)y のどちらか迷う可能性のある場合は括弧を使っ た方がよいでしょう。

(1) 三角関数 cos x と sin x は以下の関係で結ばれています。

cos

²

x + sin

²

x = 1 (3.2)

注意 ! cos

²

x は (

cos(x) )

2

のことです。

(2) 三角関数 cos x, sin x は周期が 2π の周期関数です。

(3) 加法定理と呼ばれる関係が成り立ちます（指数関数についての指数法則と関係あるので すが，それはまた別の話）。

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y , (3.3) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y . (3.4) 特に，x = y とすると，２倍角の公式が得られます：

cos(2x) = cos

²

x − sin

²

x = 2 cos

²

x − 1 = 1 − 2 sin

²

x , (3.5)

sin(2x) = 2 sin x cos x , (3.6)

(4) 三角関数は他にもありますが，すべて cos x と sin x から作られます。

tan x = sin x

cos x , cot x = cos x

sin x , sec x = 1

cos x , cosec x = 1

sin x (3.7)

1.4 合成関数と逆関数

¨

§

¥ 桑村§1.4¦

・合成関数

^¨_§桑村§1.4.1^¥_¦

{ y = f (u)，u = g(x) } あるいは y = f ( g(x) )

で定義される関数。

例えば f (u) = e

^−u

， g(x) = x

²

の場合，y = f(g(x)) は y = e

^−x2

= exp( − x

²

) のことを意味 します。

y

=

e^−x2

-4 -2 2 4 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 y

u

=

x²

-4 -2 2 4 x

-2 2 4 6 8 10

u y

=

e^−u

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y -2

2 4 6 8 10 u

・逆関数

^¨_§桑村§1.4.2^¥_¦

任意の x について g(f (x)) = x である場合，g(x) を f (x) の逆関数と呼び，f

⁻¹

(x) と書き ます。

注意 ! f

⁻¹

(x) 6 = 1 f (x)

y

=

e^x とy

= log

x

-4 -2 2 4 x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y

例えば a

^x

と log

_a

(x) は互いに逆関数。

y = f (x) のグラフと y = f

⁻¹

(x) のグラフは直

線 y = x に対して線対称となります。

微積 I.4.1

・ 関数 y = x

²

− 1 と逆関数 y = ± √

x + 1 の図

x y

交点の座標は ( − 1, 0)，(0, − 1)，

( 1 − √ 5

2 , 1 − √ 5 2

)

，

( 1 + √ 5

2 , 1 + √ 5 2

)

。

1.5 連続関数

¶ ³

例えば √

x, x

³

といった関数は連続関数です。連続性のおかげで， √

4.001 はほぼ 2 に等 しい，(1.999)

³

はほぼ 8 に等しい，といった近似計算が可能になります。

µ ´

関数の極限値

^¨_§桑村§3.2^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四§1.2¦

実数 x が限りなく a に近づくとき，f(x) がある実数 α に限りなく近づくならば x → a のとき f (x) の 極限値 は α である

あるいは

x → a のとき f(x) は α に 収束 する とかいい，

x

lim

→a

f (x) = α (5.1)

と表します。

(参考) 上の 限りなく近づく とは

任意の (どんな小さな) 正の数 ε に対しても，適当な正の数 δ をとると

0 < | x − a | < δ のすべての x に対して | f (x) − α | < ε となる ということを意味します。

なお，x を左から (x < a ) a に近づけた場合の極限を左側極限と呼び

x→

lim

a−0

f (x) (5.2)

と表します。また，x を右から (x > a ) a に近づけた場合の極限を右側極限と呼び

x→

lim

a+0

f (x) (5.3)

と表します。

^¨_§桑村p.52^¥_¦

¨

§

¥

川薩四§1.4¦

x → a のとき f (x) の 極限 が存在する場合は

x→

lim

a−0

f (x) = lim

x→a+0

f (x) = lim

x→a

f (x) (5.4)

となっています。

関数の連続

^¨_§桑村§3.3^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四§1.5¦

関数 f(x) が x = a で連続であるとは, x → a のとき f (x) の極限が存在し，その値が f(a) に等しいことを意味します：

関数 f (x) が x = a で連続 ⇔ lim

x→a

f (x) = f (a) . (5.5)

微積 I.6 これは，x を a にどんどん近くすると関数の値の方も f (a) にいくらでも近くできる，とい う「近似の可能性」を表したものです。

(例) f (x) = 1

x

²

は x = 0 で連続ではありません。

x

lim

→−0

f (x) = ∞ , lim

x→+0

f (x) = ∞ (6.1)

となり，左極限も右極限も発散し，極限が存在しません。

(例) f (x) = x

| x | は x = 0 で連続ではありません。

^¨_§桑村 例題3.5^¥_¦

x

lim

→−0

f (x) = lim

x→−0

x

− x = − 1 , lim

x→+0

f (x) = lim

x→+0

x

x = 1 (6.2)

となり，左極限および右極限はそれぞ存在しますが，一致しません。

例題 1.8 次のように定義された関数 f (x) が x = 1 で連続となるように定数 c の値を定めな さい。

f (x) =

 



c (x = 1 のとき) x

³

− 1

x − 1 (x 6 = 1 のとき) 解説

x

lim

→1

f(x) = lim

x→1

x

³

− 1

x − 1 = lim

x→1

(x

²

+ x + 1) = 3 なので，c = 3 であれば x = 1 で連続になることがわかります。

例題 1.9 次のように定義された関数 f (x) が x = 0 で連続となるように定数 c の値を定めな さい。

f (x) =

 



c (x = 0 のとき) sin(2x)

x (x 6 = 0 のとき) 解説

x

lim

→0

sin(2x)

x を求めるために，教科書

^¨_§桑村p.70^¥_¦

の例題 3.19

x

lim

→0

sin x

x = 1

^¨_§川薩四(5.9)^¥_¦

(6.3)

を用います:

x

lim

→0

f (x) = 2 lim

x→0

sin(2x)

2x = 2 (6.4)

より c = 2 とすれば f (x) は x = 0 で連続となります。

(参考) 次のように定義された関数 f(x) が x = 0 で連続となるように定数 c の値を定めな さい。

f(x) =

 



c (x = 0 のとき) x sin

( 1 x

)

(x 6 = 0 のとき)

解説 ¯¯

¯¯ sin ( 1

x

)¯¯ ¯¯ ≤ 1 なので

x

lim

→0

¯¯ ¯¯ x sin ( 1

x

)¯¯ ¯¯ ≤ lim

x→0

| x | = 0 . (7.1)

従って， c = 0 とすれば f(x) は x = 0 で連続となります。

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x y

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05

x y

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

-0.005 0 0.005 0.01

x y

x sin ( 1

x )

の x = 0 付近でのグラフ

多変数関数の場合も同様です。例えば，ある 2 変数関数 f (x, y) が (x, y) = (a, b) で連続か不 連続かどうかは，

lim

(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f (a, b) (7.2)

となっているかを確認すればわかります（→

^¨_§桑村p.167^¥_¦

）。ただし，(x, y) → (a, b) というのは，

点 (x, y) を点 (a, b) にどんどん近づけるということを意味します。(7.2) は (x, y) をどんな方向 から (a, b) に近づけても，f (x, y) が f(a, b) に近づくことを意味します。

1.6 中間値の定理

¨

§

¥ 桑村p.56¦

¨

§

¥ 川薩四p.15¦

例題 1.10 方程式 x

²

− 2 = 0 は 1 ≤ x ≤ 2 の範囲に少なくともひとつ実数解をもつことを示 しなさい。

解説 f (x) = x

²

− 2 とおくと f (x) は連続関数です。f(1) = − 1 < 0, f(2) = 2 > 0 なので，中 間値の定理より方程式 f(x) = 0 は x = 1 と x = 2 の間に少なくとも一つの解を持つことがわか ります。グラフをイメージすれば直感的に区間 (1, 2) の内部に実数解が存在することがわかる と思います（数学的にちゃんとした解説は→ 教科書）。実数解が具体的な式で求められない場 合でも，中間値の定理を使えば，実数解があるかどうかは確認できるのです。

(参考) 解の存在する区間， (1, 2)，の中点 x = 3/2 での関数の値 f (3/2) = 1/9 > 0 を調べるこ とにより，解の存在する範囲を更に狭めることができます。この例の場合， f(1) < 0 , f (3/2) > 0 なので，区間 (1, 3/2) 内に少なくとも一つの解が存在することがわかります。この手順を繰り 返すことで，方程式 f (x) = 0 の数値解を好みの精度で求めることができます。(→ 2 年の科目

「数値計算法」2 分法)

微積 I.8 例題 1.11 方程式 2 cos x − x = 0 は 0 ≤ x ≤ π/2 の範囲に少なくともひとつ実数解をもつこ とを示しなさい。

解説 f (x) = 2 cos x − x とおくと f(0) = 2 > 0, f (π/2) = − π/2 < 0 なので，方程式 f (x) = 0 は x = 0 と x = π/2 の間に少なくとも一つの解を持つことがわかります。

1.7 微分係数，導関数

¶ ³

次のやりとりを数学的に解説できますか ? 微分の概念の理解の第一歩です。

ある日の京滋バイパス瀬田付近，白バイ警官の「その乗用車，止まりなさい ! 」の声，

ブレーキを踏むドライバー：

警官「90 キロ出てましたよ。速度超過違反 30 キロで免許停止です。」

ドラ「90 キロって時速 90 キロ，つまり 1 時間で 90 キロですか ? 」 警官「そうですが，何か ? 」

ドラ「1 時間って，運転してまだ 5 分なので 90 キロも走ってません。」

警官「いえ，このままいけば 1 時間で90 キロ走る，ということです。」

ドラ「あと 10 分で自宅に着くのでそんなに走りません。」

µ ´

微分係数

^¨_§桑村p.45^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四p.20¦

lim

h→0

f(a + h) − f(a)

h (8.1)

この値が定まるとき，関数 y = f (x) は x = a で微分可能であるといいます。また，この極限 値を関数 y = f (x) の x = a における微分係数とよび

f

⁰

(a), y

⁰

|

x=a

とか df(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

, dy dx

¯¯ ¯¯

x=a

(8.2) と表します。関数によっては極限が定まらないこともあり，その場合は微分不可能であると言 います。

導関数

^¨_§桑村p.59^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四p.21¦

関数 y = f (x) を考えます。各 x の値にこの x における微分係数を対応させる関数を y = f(x) の 導関数とよび

f

⁰

(x), y

⁰

とか df (x) dx , dy

dx (8.3)

と表します。すなわち

f

⁰

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h (8.4)

です。

注意 ! 微分係数を示す記号 (8.2) に現れた |

x=a

は x に a を代入するという操作を意味しま

す。つまり，微分係数 f

⁰

(a) は導関数 f

⁰

(x) の x = a における値。

式 (8.1) でいきなり h = 0 を代入すると分子と分母がともに 0 になるため，h → 0 の極限を とる必要があります。定義 (8.1) に従って，微分係数を数値計算した例を示します：

(例) f(x) = x

²

，a = 1，f

⁰

(1) = 2

h 0.5 0.1 0.01 0.001

f (a + h) − f (a) 1.25 0.21 0.0201 0.002001 (f(a + h) − f(a))/h 2.5 2.1 2.01 2.001 (例) f(x) = sin(x)，a = 0，f

⁰

(0) = 1

h 0.5 0.3 0.1 0.01

f(a + h) − f(a) 0.479 0.296 0.0998 0.001 (f (a + h) − f (a))/h 0.959 0.985 0.998 1.0 (微分可能でない例) f (x) = x sin

( 1 x

)

，a = 0

h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

f (a + h) − f (a) 0.455 -0.0544 -0.00506 0.000827 -0.0000306 (f (a + h) − f (a))/h 0.909 -0.544 -0.506 0.827 -0.306

例題 1.12 微分の定義 (8.4) にしたがって，関数 x

²

と √

x (x > 0) の導関数をそれぞれ求め なさい。

解説

lim

h→0

(x + h)

²

− x

²

h = lim

h→0

2xh + h

²

h = 2x . (9.1)

また，

h

lim

→0

√ x + h − √ x

h = lim

h→0

( √

x + h − √ x)( √

x + h + √ x) h( √

x + h + √ x)

= lim

h→0

h h( √

x + h + √

x) = 1 2 √

x (9.2)

なので，いずれも微分可能で，導関数はそれぞれ 2x, 1 2 √

x となります。

例題 1.13 例題 1.12 と同じ計算を他の関数に変えて，極限の計算を練習しなさい。

解説 例えば，x

³

や 1/x は比較的簡単に計算できます。とりあえず自力でトライしてみましょ

う。答えはそれぞれ 3x

²

, − 1/x

²

です。

微積 I.10 接線；微分係数の図形的意味

x = a で微分可能な関数 f (x) で表される曲線 y = f(x) は x = a の近くでは直線で近似でき ます。その直線を曲線 y = f (x) の点 (a, f (a)) での接線と呼び，接線の傾きが x = a での微分 係数 f

⁰

(a) となります。

・f(x) = x

²

，a = 1，接線 y = 2x − 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x y

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0 0.5 1 1.5 2

0.9 0.95 1 1.05 1.1

0.8 0.9 1 1.1 1.2

・f(x) = sin(x)，a = 0，接線 y = x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

x y

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

x y

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x y

・(微分可能でない例) f(x) = x sin ( 1

x )

は x = 0 で微分可能ではない。

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x y

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05

x y

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

-0.005 0 0.005 0.01

x y

注意 ! x = 0 以外では微分可能。例えば x = 0.01 の充分近くでは直線で近似できます。

x y

x y

x y

「曲線 y = f (x) が x = a の近くでは直線で近似できる」という文の意味を，関数

f(x) = x

³

+ x

²

+ x + 1 (11.1)

について，a = 1 の場合に考えてみます。x = 1 の近くの領域のみを考えるということは，

x = 1 + h として，| h | が小さい場合を考えるということです。f(x) を h のべきでまとめると f (x) = f (1 + h) = (1 + h)

³

+ (1 + h)

²

+ (1 + h) + 1 = 4 + 6h + 4h

²

+ h

³

(11.2) となります。(11.2) の最初の 2 項，

4 + 6h = 4 + 6(x − 1) = − 2 + 6x , (11.3) が曲線 y = f (x) を近似する直線で，残りの 2 項，4h

²

+ h

³

，は直線で近似しきれない誤差を表 しています。曲線を近似する直線と元の曲線との差が h より小さい h

²

のオーダーの量である ことが重要です。もし，直線の傾きが 6 ではなく，例えば 5 なら式 (11.2) は

f (1 + h) = 4 + 5h + h + 4h

²

+ h

³

(11.4) となり，元の曲線との差が h

¹

のオーダーの量になります。つまり，直線 − 2 + 6x は，元の曲線 y = f (x) との差が x = 1 の近くで最も小さくなるように傾きを選んだ直線になります。

( ) y=f x

x

a

a h+

( ) O h

( )2

O h

一般に，曲線 y = f(x) 上の点 (x = a , y = f (a)) を通る傾き A の直線は次の式

y = f(a) + A (x − a) (11.5)

で表されます。傾き A をうまく選んで，曲線 y = f (x) との差が x = a の近くで h

²

のオーダー の量になる場合，直線 (11.5) を曲線 y = f (x) の点 (a, f (a)) での接線と呼びます：

f (a + h) = f(a) + A h + O(h

²

) . (11.6) ここで O(h

²

) は大きさが h

²

のオーダーの量を表します。

注意 ! ランダウ (Landau) の記号

^¨_§桑村 付録E^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四p.114¦

h

lim

→0

g(h)

h

ⁿ

= 有限の値 (11.7)

微積 I.12 であるとき，g(h) を h

ⁿ

で抑えられる無限小 といい

g(h) = O(h

ⁿ

) (12.1)

と書きます。O がランダウの記号で O(h

ⁿ

) と表される部分が，h → 0 のとき h

ⁿ

と少なくとも 同程度に小さい量 であることを示しています。O(h

ⁿ

) = (何らかの係数) × h

ⁿ

と思ってよいで しょう。O は「程度」を表す “order” の頭文字です。ランダウの記号は，具体的に h のどんな 式かはわからなくても，極限や収束を考えるとき「どのくらい小さいか」の程度を表せる便利 な記号です。

微分係数の定義の式 (8.1) に式 (11.6) を代入すると f

⁰

(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h = lim

h→0

A h + O (h

²

)

h = lim

h→0

(A + O (h)) = A (12.2) となり， x = a での微分係数 f

⁰

(a) が 点 (x = a, y = f(a)) を通る接線の傾きを与えることが わかります。

接線の式

^¨_§桑村p.79^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四 p.21¦ '

&

$

%

h が小さいとき

f (a + h) = f (a) + f

⁰

(a) h + O(h

²

) (12.3) となります。(12.3) 右辺の最初の 2 項は x = a，y = f (a) を通る，曲線 y = f (x) の接線を表 す式となります:

y = f (a) + f

⁰

(a) (x − a) . (12.4) 注意 ! h ＝ x − a → 0 のとき，点 (x = a, y = f(a)) を通るどんな直線でも曲線 y = f(x) と

の差は 0 に近づくが，直線の傾きが f

⁰

(a) でなければその差は O(h) となる。この意 味で，接線は x = a の近くで曲線を一番良く近似する直線といえる。

注意 ! 式 (12.3) より，さらに近似を進めるとどうなるかについては，後のテイラー (Taylor)

展開のところで説明します。

曲線と接線の差 ∆(h) = f(a + h) − f (a) − f

⁰

(a) h の計算例 (例) f(x) = x

²

，a = 1，f

⁰

(1) = 2

h 1 × 10

⁻¹

1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻⁴

∆(h) 1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻⁴

1 × 10

⁻⁶

1 × 10

⁻⁸

∆(h)/∆(10h) 1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻²

(例) f(x) = sin(x)，a = 0，f

⁰

(0) = 1

h 1 × 10

⁻¹

1 × 10

⁻²

1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻⁴

∆(h) − 1.67 × 10

⁻⁴

− 1.67 × 10

⁻⁷

− 1.67 × 10

⁻¹⁰

− 1.67 × 10

⁻¹³

∆(h)/∆(10h) 1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻³

(例) f (x) = x sin ( 1

x )

，a = 0.01，f

⁰

(0.01) = − 86.7 · · ·

h 1 × 10

⁻³

1 × 10

⁻⁴

1 × 10

⁻⁵

1 × 10

⁻⁶

∆(h) 9.40 × 10

⁻²

3.65 × 10

⁻³

2.67 × 10

⁻⁵

2.55 × 10

⁻⁷

∆(h)/∆(10h) 3.88 × 10

⁻²

7.32 × 10

⁻³

9.53 × 10

⁻³

1.8 _{微分の基本的公式}

'

&

$

%

(1) 関数の和，差や定数との積の微分

^¨_§桑村p.62^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四(p.22)¦

d

dx (a f(x) + b g(x)) = a df (x)

dx + b dg(x)

dx , a, b は定数 , (13.1) あるいは (

a f (x) + b g(x) )

₀

= a f

⁰

(x) + b g

⁰

(x) , a, b は定数 . (13.2) (2) 関数の積の微分

^¨_§桑村p.62^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四(p.22)¦

d

dx (f (x) g(x)) = df (x)

dx g(x) + f(x) g dg(x)

dx , (13.3)

あるいは (

f(x) g(x) )

₀

= f

⁰

(x) g(x) + f (x) g

⁰

(x) . (13.4) (3) 合成関数 y = f (g(x)) の微分

^¨_§桑村p.66^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四(p.25)¦

df(g(x))

dx = df(u) du

¯¯ ¯¯

u=g(x)

dg(x)

dx , あるいは

(

f (g(x)) )

₀

= f

⁰

(g(x)) g

⁰

(x) . (13.5)

・(2) の解説 x = a の近くで

f (a + h) = f (a) + f

⁰

(a) h + O(h

²

) , (13.6) g(a + h) = g(a) + g

⁰

(a) h + O(h

²

) (13.7) となります。これより

f (a + h) g(a + h) = f (a) g(a) + (

f

⁰

(a) g(a) + f(a) g

⁰

(a) )

h + O(h

²

) (13.8) が得られます。一方 F (x) = f (x) g(x) とすると，

F (a + h) = F (a) + F

⁰

(a) h + O(h

²

) (13.9) となります。ただし，F (a) = f (a) g(a)。式 (13.8) と式 (13.9) の h の 1 次の係数を比べて

F

⁰

(a) = f

⁰

(a) g(a) + f(a) g

⁰

(a) (13.10)

となることがわかります。

微積 I.14

.

ε[epsilon]イプシロン

・(3) の解説

y = f (u)，u = g(x) とします。x = a の近くでは関数 u = g(x) は次の直線 (1 次関数) u = g(a) + dg(x)

dx

¯¯ ¯¯

x=a

(x − a) (14.1)

とほぼ等しくなります。また， b = g(a) とすると，u = b の近くでは関数 y = f (u) は直線 y = f(b) + df(u)

du

¯¯ ¯¯

u=b

(u − b) (14.2)

とほぼ等しくなります。1 次関数と 1 次関数の合成は 1 次関数となります。実際，式 (14.1) と式 (14.2) より合成関数は

y = f (b) + df (u) du

¯¯ ¯¯

u=b

([

g (a) + dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

(x − a) ]

− b )

(14.3)

b=g(a)

= f (b) + df (u) du

¯¯ ¯¯

u=g(a)

dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

(x − a) (14.4)

となります。この直線の傾き， df (u) du

¯¯ ¯¯

u=g(a)

dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

， が合成関数 y = f(g(x)) の x = a で の微分係数を表します。

注意 ! 関数 f や g と，それらの接線の差まで考慮すると以下のような導出となります；

g(a + h) = g(a) + dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

h + O(h

²

) , (14.5) f(b + ε) = f(b) + df(u)

du

¯¯ ¯¯

u=b

ε + O(ε

²

) (14.6)

より，ε = dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

h + O(h

²

) と考えて

f (g(a + h)) = f (

g(a) + dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

h + O(h

²

) )

(14.7)

= f(g(a)) + df (u) du

¯¯ ¯¯

u=b

( dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

h + O(h

²

) )

+ O(ε

²

) (14.8)

= f(g(a)) + df (u) du

¯¯ ¯¯

u=g(a)

dg(x) dx

¯¯ ¯¯

x=a

h + O(h

²

) (14.9)

が得られます。上の式 (14.9) の h の一次の係数から合成関数 y = f (g(x)) の x = a

での微分係数がわかります。

2 微分の計算

.

2.1 基本的な関数の導関数

'

&

$

%

・ x のべき

^¨_§桑村p.78^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四p.76¦

dx

^α

dx = α x

^α−1

, α は実数 . (15.1)

ただし x > 0 (α が整数の場合は x 6 = 0)。

・ 三角関数

^¨_§桑村p.73^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四p.72¦

d sin(x)

dx = cos(x) , d cos(x)

dx = − sin(x) . (15.2)

・ 指数関数

^¨_§桑村p.76^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四p.66¦

de

^x

dx = e

^x

. (15.3)

・ 対数関数

^¨_§桑村p.76^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四 p.68¦

d log( | x | )

dx = 1

x . (15.4)

例題 2.1 指数関数と対数関数が互いに逆関数ということから成り立つ恒等式

f(x) = e

^logf(x)

(15.5)

を用いると，

x

^α

= exp (

α log(x) )

(15.6) となります。これを用いて x

^α

の導関数を求めなさい。ただし α は実数で，x > 0 とします。

解説 f (u) = e

^u

，g(x) = α log(x) とすると exp (

α log(x) )

= f(g(x)) となります。合成関数

の微分の式 (13.5) より d exp

(

α log(x) )

dx = de

^u

du

¯¯ ¯¯

u=αlog(x)

d(α log(x))

dx = e

^u

|

_u=αlog(x)

α d log(x) dx

= e

^αlog(x)

α 1

x = x

^α

α 1

x = α x

^α−1

(15.7)

となります。これより任意の実数 α について (15.1) が成り立つことがわかります。

微積 I.16 例題 2.2

a

^x

= e

^xloga

(16.1)

の導関数を求めなさい。ただし a > 0 とします。

解説

d exp (

x log a )

dx = de

^u

du

¯¯ ¯¯

u=xloga

dx log a

dx = e

^u

|

_u=xloga

log a

= e

^xloga

log a = a

^x

log a (16.2) となります。これより，一般の底 a の指数関数の微分

d

dx a

^x

= a

^x

log a

^¨_§桑村p.78^¥_¦

¨

§

¥

川薩四p.77¦

(16.3)

が得られます。

例題 2.3 次の関数を微分しなさい。また， x = 1 での接線を表す式を書きなさい。

y = sin ( √

x

²

+ 1 )

解説

d sin (√

x

²

+ 1 )

dx = d sin u du

¯¯ ¯¯

u=√ x²+1

du

dx = cos u |

_u=^√_x²₊₁

d(x

²

+ 1)

^1/2

dx

= cos ( √

x

²

+ 1

) dv

^1/2

dv

¯¯ ¯¯

v=x²+1

dv dx = cos

( √ x

²

+ 1

) 1 2 v

^−1/2

¯¯

¯¯

v=x²+1

d(x

²

+ 1) dx

= cos ( √

x

²

+ 1

) (x

²

+ 1)

^−1/2

2 2x = x

√ x

²

+ 1 cos ( √

x

²

+ 1 )

(16.4) となります。従って，x = 1 での微分係数は 1

√ 2 cos( √

2) となることがわかります。また，x = 1 でのこの関数の値は sin

( √ 2

)

なので，接線をは以下の式となります；

y = sin( √

2) + cos( √

√ 2)

2 (x − 1) (16.5)

-4 -2 0 2 4 6 8 10

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

x y

・3

.

角関数の微分の補足

(6.3) と加法定理から導きます：

h

lim

→0

sin(x + h) − sin(x)

h = lim

h→0

sin (

x +

^h₂

+

^h₂

) − sin (

x +

^h₂

−

^h₂

) h

= lim

h→0

2 cos

( x +

^h₂

) sin

(

h 2

)

h = lim

h→0

cos (

x + h 2

)

h

lim

→0

sin (

h

2

)

h 2

= cos(x) (17.1)

lim

h→0

cos(x + h) − cos(x)

h = lim

h→0

cos (

x +

^h₂

+

^h₂

) − cos (

x +

^h₂

−

^h₂

)

h ,

= lim

h→0

− 2 sin (

x +

^h₂

)

sin (

h

2

)

h = − lim

h→0

sin (

x + h 2 )

h

lim

→0

sin (

h

2

)

h 2

= − sin(x) .(17.2)

・指数関数の微分の補足 de

^x

dx = lim

h→0

e

^x+h

− e

^x

h = e

^x

lim

h→0

e

^h

− 1

h = e

^x

lim

h→0

e

^h

− e

⁰

h (17.3)

であるが，上式右辺の lim

h→0

(

e

^h

− e

⁰

)

/h は関数 y = e

^x

の x = 0 での微分係数，すなわち x = 0 での接線の傾きを表します。e(ネイピア数) はこの接線の傾きが 1 であるように定義されてい ます。

y = 2

^x

，y = e

^x

，y = 4

^x

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

e = lim

t→0

(1 + t)

^1t

= 2.7182 · · ·

^¨_§^桑村p.75¥_¦

注 意 ! e

^x

を exp(x) と 書 く 場 合 が あ り ま す。

exponential

y

= 2

^x と

(x, y) = (0, 1)

での接線

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

y

=

e^x と

(x, y) = (0, 1)

での接線

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y

y

= 4

^x と

(x, y) = (0, 1)

での接線

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5 1 1.5 2 y