集団情報処理教育における処理待ちの問題
（入力過程のない帰還ループのある待ち行列の場合）
（昭和49年10月31日 原梧受理）
精報処理数育センター 深 川 幸 紀 〃 中 山 泰 雄 〃 矢 鳴 虎 夫 〃 吉 田 将
On the Waiting Line Problem for Group Education of Information Processing
−On a Feedback Queue without Input Process一
by Yukinori FUKAGAWA Yasuo NAKAYAMA Torao YANARU Sho YOSHIDA
、Ve are planning， at our Educational Center for Information Processing， to study the system for丘nding out reasonable size of a clnss， processing speed， proc｛3島sing method臼11d inHuences of a waiting line to students in a group edu￠ation of information processing．
In this paper， we llave considered on the length o［ waita5g Iヨne in the group edロcation of information processing when th巴system has feed−back queue without input process・
Though the system haΨing feed−baok queue witl1皿t input process doesロot presents a gene−
ral model of the group education， it gives a good model of the system when a lumped input arrives 1⑪the system in the limited time period and then input arrival rate becomesΨery sma11・
oエ when the system operatioll is limited 亡o a class．
Elnny feed−back queue nnalyses have been rnade on the statistically steady state cases・but
†hey c自nnot as applied to the time dependentロse like our system．
や，ある定まった人数（クラス）単位の教育において．
1・ま え が き 特に入力呼をしめ出して処理を行う方式等を考えると，
情報処理数育では，集団情報処理教育における処理待 よりモデルであると考えられる。
ちが学生の敦育に及ぼす淫響，合理的なクラス人数，処 また情報処理数育においてばかりではなく・上言己のよ 理速度，処理方式（運用方式）を諸制約の中で如何に見 うな呼の到着をするまち行列の解析においても本稿の結 出すかその方式（資料）を検討することを計画してい 果は有用である。
る。 帰還ループのある待ち行列は種々解析がなされている ここでは，集団情報処理教育における処理待ちを，入 が，これらはほとんど統計的平衡状態のもとでなされて 力過程のない帰遼ループのある待ち行列で近臓して，主 おり，上に述べたような動作すなわち，待ち行列の（主 として処理待ち人数について考察した。 として）系人数（系内呼数）に関する過渡的動作（時間 入力過程のない帰還ループのある待ち行列は，一般的 依存動作）については適用出来ない・
漂難麟魏㍍㌫㌶鉱：㌶2待ち行列の説明
たわ事康）が到荘し，モれ以後入力呼が非常に少なくな 2・1待ち行列に関する予備的考察
る場合（休み時間や放課後等に集中して到着する場合） 本稿でとりあつかう待ち行列（以後簡単のため系と呼
退去q となり，これを変形すれば
ρ±＋1（の一（1十虚ノ牌）P1（の＝＝0
となる。これは1階差分方程式で峠（の＝1／（3十μのを 図一1 入力過程のない帰蝦待ち行列 考慮にいれると
：1：1遼力慧當㌶誓1㌶ll遮 ・青（の一鵠芸。・ （4）
1一望で待ち行列にもどる。この系は入力過程がないた となる。陶式が時刻rでの系内呼数の確率のラプラス めに，処理開姶から時間が無限大になると系の呼数が0 変換である。この逆変換は（5）式であらわされる。
蕊麗跳㌶）㌶蒜：漂璽 ＾ω一浩÷・一 （5）
る確率が0になることが解の妥当性を判断する一つの目 また，ρ、（「）は確率の正規化条件すなわち，
安となる。本稿では時刻 での系内呼数の確率を，処理 押
時間分布が指数分布とアーラン分布の場合について解析 ρ・（の十恩ρ・（口＝1 した。 より算出でき，
2．2記号の定義
拓ω，指数処縣における酬 での系内呼数が… ω一・一撮譜1；酬 （6）
である確率
となる。
席（の：ρn（白のラプラス変換で
1ノμ ：指数処理系では処理の平均時間を・アーラン で讃わされる。
処理系では1相の平均処理時間 以上の結果について，数値計算を行ない，これを図一
∫・アーラ拠縣の位相数 2，図＿3．図＿4および図一5に示す。
ρM（白：アーラン処理系において，時刻∫でn個の呼
が存在し，かつr相で処理が行なわれている 4．アーラン処理系の解祈 確率
4．1系の状態方程式とその解
ρ㌫（の：轟，．（白のラプラス変換
正（∫）：時刻rでの平均系内呼数 系の状態方程式は（7工（8）・（9）式で表わされる。
a指齪麟の解析 雪閂一一 ・み・ω＋1恥・ （・）
系の状態方程式1ま（1）式と（2）式で表わされる。 （1≦r≦ 一ユ・1≦n≦め
響）一ω一⑦＋（1迦ω p苦一』の＋μ（1一伽（°（8）
ρ・（0）ニ0 ±・旦L＿』，（f）＋∫。σρ。．Ll（・）
（1） 4r
十∫μ（1一のρ，8．1（の （1≦n≦jv・−1）
（1≦η≦1V−1） （9）
欝： ＋ の｝間ら巖三1灘：：一・一式が得
（2）式より ρκ」（0）＝1，ρn．「（0）ニ0，♪N．r（0）＝＝0 ♪κ（r）＝召．。。∫ （3） とする。
（1）式をラプラス変換すれば， 3ρ㌫（の＝−1〃㍍（5）十1μ♪嘉＋1（め （10）
、P言．1（の＝μσρ1（の一μ卯：（の 3P5．，（の＝1− μ抑工．」（」）＋rμ（1−9）ρ壽，1（・）（11）
系 呼1 数 の 確 率
o．2
0．1
系1
1 ㌶㌶間；分 覧1：l
l 塁゜・
1 九、，ll，。o．5 ・2
1 P襲（t）、q＝o．5 ／1亀h、
1 ／ ・、／『 。？o；
1 ∫ 、／ 0．06
曇、もし愈＿ ：：：：
平均処理時朋2分 初期系呼数 50
102°104P 50 60
／／⌒ 一凹、加3°／／6°
」 図一2 系呼数の確率（指敵処理系） 図一3 系呼数の確率（指数処理系）
、 ノ
、 ／ ／時間｛分）
平
均50系 呼 数 40
30
20
10
平 ・≡・コ 禦50 q≡io2 呼 q−0・3 数 』04 40 q＝0．6
平均処理時間2分 30
子刀」明系n乎数 50
20
10
平均処理時間1分 初期系呼数 50
q＝0．l q＝0．2 qニ0．3 q＝0．4
時冊｛分｝
・10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60
図一4 平均系呼数（指数処理系） 図一5 平均系呼数（措敵処理系）
顕託（の＝−1μρξ．r（の十 岬P工1．1（の （11）式より．
＋∫μ（1一穿）P51（∫） （12） （8＋ μ）ρ書，（∫）嵩1＋ μ（1一の蜻．1（」）
（10）式より1V＝nのとき，次の各式が成り立つ。
となるが（10 ）式を考慮にいれて（13）式を得る。
、ρ荒2（のニ（1十5／1μ）ρカ．1（め 疏3（3）＝（1十5／∫μアρ爵．1（5）
ρ芹．，（5）＝1十ぷ／1μ） −1ρ荒ユ（の
（10 ）
ρ臣・（の一 o（5＋∫、、〜三圭き｝…と＿可）］ （・3）
また，（ユ2）式に（10 ）を代入して臼2 ）式を得る。
よ パ
・舗一 o（ （rμ）匂T十1μ加一一（∬μ） （1一穿）｝・乱1・・ω 刻・での平均系呼数1ま顯1 1ρ細で与えら麺 （，2 ） なお・酬゜と顯大塒のF欄ま・
これより．題次1・下式が得られる・ 溺、凡・ω一禦嬢（・）一・
：二：ll：：蕊㌫ 1蕊恥（・）一』㍗・塾ω一・（・一め
i ＝0 （nキ」V）
である。
・昆1ω＝κ『意1ω こ甑再び（、6）鵡継なおして時間臓示に
ついての二，三の考察を行なおう。
＿謬蒜蕊一ω輌）〕である． 勲一嵩字轟劣一
ところカ㍉疏1ω一疏，ω／（・＋・／ω −1で，かつ ㈹
ρ乱（のは（13）式で与えられている。ゆえに，ρ㌔（の ここで， 5≡5十1μ・α≡（（∫メ1）切＋nとおいている。
は次式で与えられる。 （16 ）式を直接時間表示に変換するのは困難なので，特
・記ω一
ｽ扁鵠謬の声・（・4） 1こ∫：竺㌫芸：㌘●
一方，（10）式より順次に（15）式が得られる。 十cosh 2μ〆百rと
ρ5H（5）＝ρ壽．，（5）／（1＋3ル）
ρ箒一2（の：＝P‡」（5）／（1十5ノ互μア
臨（の＝ρ±．、（の／（1十5ノ∫μ）け
P言。（の＝ρ工．κめノ（1十工／」μンー1
五（「）＝（1／2μ〆丁＝万）sinh 2μ〆丁：万fを考える。
五ωと五（r）のラプラス変換は，モれそれ
（3十2μ）／（∫2−（2μ）2／盲）と1／（52−（2μ）：
（15） （1一σ））である。さて（16 ）式において、∫＝2とすれ ば，次式を得る。
評（の一〔、一（2…賠15｝・−n・1（・7）
ここで，Pま」（のは（13）式で与えられている。 ここで・順に n＝凡」V−1・N−2い ・1 と時間領域に 以上で系人数に関する記述が得られた。後はラプラス 変換することを考える。
表示から時間表示への変換をすればよい。 π＝Nの時
42綱存解への変換 @ ． 乙一1貞照・）一孟一1晶緩豊≒丁
本簡では特に系人数について若目し，これのププラス
表示と時磁示につい情慮し、酬ではこの結果を用 ＝妬（f）
いて，一定処蝿間の剰・ついて考察する。 にN一ユの時
系呼数はアーラン処理系では，各位相処理段の確率 乙．1会蜻．レ（の ρ㌫（のの和をとることにより算出できる。（15）式より 1
醐暑られる・ −L−1し鵠鑑）｝｛可イ2。；，（両｝
主臨ω＝｛ ユ1十 （1十工μμ）＋誌万 ＝頑紐
＋一＋（、お嗣繭 ら篇‡；よ灘罐㌶㌶巖
一÷（㈱・一｛（ （」十ω一（∫μ）1」十∫μ）L（1μ） （1一ロ）〕＿1る1−Nの時の時嚇形式1主
（、6）式力酬での酬の臓与える鴎時自一ω一｛〆≒一〆ロ・
＋…h2・西1｝ 系
1呼1 となる。一方，（16）式において，∫＝ユすなわち指数処 数 醗の場合を考えるとこれは，（4）式と一致する・ 霊 ゆヒ 4．3 一定処理時間の場合の解析 丁一 系の処理装置の処理時間が一定の場合の系呼数につい
て考察する。この場合はアーラン処理系の位相数を無限 0・2 大にすればよい。系呼数の確率を砲（「），このラプラス
0．1
変麸惣1㈹式
1：ll恒・（）一，一悼署ρ…（） o．04
轍÷｛α・w一面亮弍錺譜）｝一 。．。2
ゴー ユ
1＼
1＼ ㌶1謝分
1＼
い P・ω 1＼
＝悟・醗γ一（已）｝一 ゜・°11 ＼
、q−：〔L▲Lｮ：＝0・2 q−0 1
コ ト
1 ㌧
、 ＼
1 ㌧ 時間（分）
1
1 10 20 30 40 50 60
呼〔（1＋3ノωLユ） ＼
ここで，lim（1十αぴ主＝ピであることに注意すれば 1
エー的 図一6 系呼数の確率（一定処理時間）
∫
ばξ（：」） ＝ 1imΣ：］ 」P工．r（3）
」一川 系
一告工竺嵩一 li：1
（17） 互号1 0．4 （17）式が一定処理時間の場合の系呼数を与える（た
だし，ラプラス変換の形で与えられている）。（17）式に 0・2 対する時間表示関数は区間で定義の異なる関数である。
（・7）式で㌍酬一・IN−2塒塒間表示形（ラブ 。96；
ラス逆変換）を与えておく。 0．06
鶯巖㌫一＿＿｝：1：：
（18） 0．001
…［｝ Lエ Q＝・・l
L 工工
一L
哩工 一一一 一L1 処理時11U 5分 一
P聞ω 一
L −L−。．2
］1 1工
Q＝0．4
ここで［1は整数部をとる関数である。 ＿経過時問 系平均呼数については・ 図＿7 系呼数の確率一定処理時間）
10 20 30 40 50 ｛iO ，
蓋・㈱一嘉学誌鞭弍1≒1戸亡もわかった．例えば図一4に示してあるように．初縣
となるが．ここではば．（・）｛・相し℃数値目柳を行 呼数を50とし塒・系の処麟間が1分と5分である なった。これは図一6，図一7に示してある。 時経過時間が60分までは・欄剛f変化しても・系 平均呼数は時間に対して直線的に変化している。
5・あ と が き これらは，集団惜報処理教育システムを考えるうえで 本簡の結果によれば，指数処理系の時，平均系呼数や 一つの検討資料となろう。
処鵬ち職の締は，蝿率の擁が大きい・とがわ しかLアーラ拠理系や一定処蜘間の埋部計算 かった．嘔状況について実状を検討のうえ，さらに考 が酬枇めにぷ値計算が行なわ櫨かっ蹴今後
察をくわえる必要があると思われる。また平均系呼数が これらについてさらに検討を行なうとともに，実際の資 ある時刻までは時間に対してlil［線的に変化していること 料をもとにして考察をかさねる計画である。
学論，Vo1．53−C， No． p（1970）、
参考文献 5）T．L． S。。ty，−Ti睡D・p醐・nt S・1。ti。。。f 1）本間、侍ち行列醜論．理工鞠． ∴ the Many三sreエP°ir Queug・0旦．（1969］・
；罐；＝二；麟耀吉店．
@−6）F⊇蒜鑑rlelS『「マefQ｛th
4）中柏会話形興理モデルのトラフ・・ク的解折僧
