2002年度基礎数学ワークブック

(1)

著者井上昌昭

雑誌名高知工科大学基礎数学ワークブック

巻 2002年度版

発行年 2002

URL http://hdl.handle.net/10173/248

(2)

基礎数学ワークブック

(2002

年度版

)

(3)

< 1

ページ

.

スカラーとベクトル

>

問

1

の解答

① 北東の風

3m/s

② 南東の風

6m/s

問

2

の解答

(1)

スカラー

(2)

スカラー

(3)

スカラー

(4)

スカラー

(5)

ベクトル

(6)

ベクトル

(4)

< 2

ページ

.

速度の合成

>

問の解答

sin θ = 3

5

(5)

< 3

ページ

.

ベクトルの表記

>

問の解答

−→ BO = −→ AF = −→ CD = −→ OE

(6)

< 4

ページ

.

力の合成

>

問

1

の解答

問

2

の解答

(7)

< 5

ページ

.

平面のベクトル

1 >

問の解答

(8)

< 6

ページ

.

2 >

問の解答

(9)

< 7

ページ

.

3 >

問の解答

(10)

< 8

ページ

.

平面ベクトルの成分

1 >

問の解答

a =

µ 1 1

¶

, b =

µ − 1

− 2

¶

, c =

µ 2

− 3

¶

(11)

< 9

ページ

.

2 >

問の解答

(1) −→ AB =

µ 1 4

¶

, | −→ AB | = √

17 , (2) −→ AB = µ − 3

4 ¶

, | −→ AB | = 5 ,

(3) −→ AB =

µ b

1

− a

1

b

2

− a

2

¶

, | −→ AB | = p

(b

1

− a

1

)

²

+ (b

2

− a

2

)

²

(12)

< 10

ページ

.

3 >

問

1

の解答

(1) a + b =

µ a

1

+ b

1

a

2

+ b

2

¶

, (2) a − b =

µ a

1

− b

1

a

2

− b

2

¶

, (3) ka = µ ka

1

ka

2

¶

問

2

の解答

(1) 1

2 a = µ 1

4 ¶

, (2) − b =

µ 3 12

¶ ,

(3) a − b = µ 5

20 ¶

, (4) a + 2

3 b = µ 0

0 ¶

(13)

< 11

ページ

.

平面ベクトルの内積

1 >

問の解答

a · b = 4 × 3 × cos 60

^◦

= 6 , c · d = 9 × 4 × cos 150

^◦

= − 18 √

3

(14)

< 12

ページ

.

平面ベクトルの内積

2 >

問の解答

(1) −→ AB · −→ AC = 2 , (2) −→ AM · −→ AC = 3 , (3) −→ BA · −→ BC = 2

(4) −→ BC · −→ MA = 0 , (5) −→ MB · −→ MC = − 1

(15)

< 13

ページ

.

平面ベクトルの内積の成分表示

1 >

問

1

の解答

1

2 © OA

²

+ OB

²

− AB

²

ª

= 1 2

© (a

12

+ a

22

) + (b

12

+ b

22

) − (b

1

− a

1

)

²

− (b

2

− a

2

)

²

ª

= 1 2

© a

12

+ a

22

+ b

12

+ b

22

− (b

12

− 2b

1

a

1

+ a

12

) − (b

22

− 2b

2

a

2

+ a

22

) ª

= 1

2 { 2a

1

b

1

+ 2a

2

b

2

} = a

1

b

1

+ a

2

b

2

問

2

の解答

a · b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

(16)

< 14

ページ

.

平面ベクトルの内積の成分表示

2 >

問

1

の解答

(1) a · b = 23 , (2) a · b = 0 ⇒ a ⊥ b , (3) a · b = 0 ⇒ a ⊥ b

問

2

の解答

b =

µ 1 1

¶

, c =

µ − 1

− 1

¶

など

(17)

< 15

ページ

.

平面ベクトルのなす角

>

問

1

の解答

cos θ = a · b

| a || b | = a

1

b

1

+ a

2

b

2

√ a

12

+ a

22

p

b

12

+ b

22

問

2

の解答

(1) cos θ =

√ 3

2 (

答

) θ = 30

^◦

= π 6 (2) cos θ = 1

√ 2 (

答

) θ = 45

^◦

= π

4 (3) cos θ = 0 (

答

) θ = 90

^◦

= π

2

(18)

< 16

ページ

.

平面ベクトルの位置関係

>

問の解答

(1) a

1

= | a | cos α , a

2

= | a | sin α (2) b

₁

= | b | cos β , b

₂

= | b | sin β

(3) | a | × | b | × sin (β − α) = | a || b | (sin β cos α − cos β sin α)

= | a | cos α × | b | sin β − | a | sin α × | b | cos β = a

1

b

2

− a

2

b

1

(19)

< 17

ページ

.

平面ベクトルの位置関係

2 >

問の解答

a

と

b

は平行

問

1

の解答

右図の斜線部分

ただし境界は含まない。

(20)

< 18

ページ

.

平面ベクトルと平行四辺形の面積

>

問

1

の解答

(1) h = | b | sin (β − α)

(2) S = | a | × h = | a || b | sin (β − α) = a

1

b

2

− a

2

b

1

問

2

の解答

S = b

1

a

2

− b2a

1

³

= − (a

1

b

2

− a

2

b

1

) ´

(21)

< 19

ページ

.2

次の行列式

>

問

1

の解答

(1)

¯ ¯

¯¯ ¯ 5 4 2 3

¯ ¯

¯¯ ¯ = 5 × 3 − 2 × 4 = 7 , (2)

¯ ¯

¯¯ ¯

3 − 5

− 1 4

¯ ¯

¯¯ ¯ = 3 × 4 − ( − 1) × ( − 5) = 7

問

2

の解答

b

1

a

1

= k

より

b

1

= ka

1

· · ·

^①

一方

a

1

b

2

− a

2

b

1

= 0

の両辺を

a

1で割ると

b

2

− a

2

b

1

a

1

= 0 ⇔ b

2

= b

1

a

1

a

2

⇔ b

2

= ka

2

· · ·

^②

①

,

②より

b =

µ b

1

b

₂

¶

= µ ka

1

ka

₂

¶

= k µ a

1

a

₂

¶

= ka (

答

) b =k a

(22)

< 20

ページ

.

空間座標

>

問

1

の解答

AC= c , CD= √

a

²

+ b

²

, AD= p

(AC)

²

+ (CD)

²

= √

c

²

+ a

²

+ b

²

³

= √

a

²

+ b

²

+ c

²

´

問

2

の解答

PA= x

2

− x

1

, AB= y

2

− y

1

, BQ= z

2

− z

1

PB= p

(PA)

²

+ (AB)

²

= p

(x

2

− x

1

)

²

+ (y

2

− y

1

)

²

PQ= p

(PB)

²

+ (BQ)

²

= p

(x

2

− x

1

)

²

+ (y

2

− y

1

)

²

+ (z

2

− z

1

)

²

問

3

の解答

AC=z

2

− z

1

AD= p

(x

2

− x

1

)

²

+ (y

2

− y

1

)

²

CD= p

(x

2

− x

1

)

²

+ (y

2

− y

1

)

²

+ (z

2

− z

1

)

²

(23)

< 21

ページ

.

空間座標と距離

>

問

1

の解答

BE= p

(x

₂

− x

₁

)

²

+ (y

₂

− y

₁

)

²

+ (z

₂

− z

₁

)

²

AF= p

(x

2

− x

1

)

²

+ (y

2

− y

1

)

²

+ (z

2

− z

1

)

²

問

2

の解答

(1) OA= p

(a

1

)

²

+ (a

2

)

²

+ (a

3

)

²

, OB= p

(b

1

)

²

+ (b

2

)

²

+ (b

3

)

²

AB= p

(b

1

− a

1

)

²

+ (b

2

− a

2

)

²

+ (b

3

− a

3

)

²

(2) OA

²

+ OB

²

− AB

²

= a

12

+ a

22

+ a

32

+ b

12

+ b

22

+ b

32

− { (b

1

− a

1

)

²

+ (b

2

− a

2

)

²

+ (b

3

− a

3

)

²

}

= 2a

1

b

1

+ 2a

2

b

2

+ 2a

3

b

3

(24)

< 22

ページ

.

空間のベクトル

1 >

問

1

の解答

(1) −→ OB = −→ AD = −→ CE = −→ GF , (2) −→ OC = −→ AG = −→ BE = −→ DF

問

2

の解答

(1) −→ OG = a + c , (2) −→ OD = a + b , (3) −→ OF = a + b + c

(4) −→ CF = −→ OD = a + b , (5) −→ FA = −→ EO = − b − c , (6) −→ EA = −→ EO + −→ OA

= − b − c + a

(25)

< 23

ページ

.

2 >

問

1

の解答

−−→ OA

1

=



 a

1

0 0



 , −−→ OA

2

=



 0 a

2

0 

 , −−→ OA

3

=



 0 0 a

3





問

2

の解答

(1) | a | = √

3

²

+ 2

²

+ 6

²

= √

49 = 7 , (2) | a | = √

a

12

+ a

22

+ a

32

(26)

< 24

ページ

.

3 >

問の解答

(1) −→ AB =



 − 1

− 1



 , (2) −→ AB =



 b

1

− a

1

b

2

− a

2

b

3

− a

3





(27)

< 25

ページ

.

4 >

問の解答

(1) −→ OA + −→ OB =



 9 3 5



 (2) −→ OA + −→ OB =



 a

1

+ b

1

a

2

+ b

2

a

3

+ b

3





−→ OB − −→ OA =



 − 1

− 1



 −→ OB − −→ OA =



 b

1

− a

1

b

2

− a

2

b

3

− a

3





2 −→ OB =



 8 2 4



 3 −→ OA =



 3a

1

3a

2

3a

3





(28)

< 26

ページ

.

5 >

問

1

の解答

(1) a + b =



 a

1

+ b

1

a

2

+ b

2

a

3

+ b

3



 , (2) a − b =



 a

1

− b

1

a

2

− b

2

a

3

− b

3



 , (3) ka =



 ka

1

ka

2

ka

3





問

2

の解答

(1) a + b =



 4 0 3



 (2) a − b =



 2 2 1





| a + b | = 5 | a − b | = 3

(3) 3a =



 9 3 6



 (4) a − 2b =



 1 3 0





| 3a | = 3 √

14 | a − 2b | = √

10

(29)

< 27

ページ

.

空間ベクトルの内積

1 >

問の解答

(1) −→ AD · −→ AF = 0 , (2) −→ DB · −→ DE = 1 , (3) −→ AF · −→ AG = 1

(4) −→ CO · −→ BG = − 1 , (5) −→ OB · −→ CE = 1 , (6) −→ DF · −→ DE = 1

(30)

< 28

ページ

.

2 >

問

1

の解答

OA

²

= a

12

+ a

22

+ a

²₃

, OB

²

= b

12

+ b

22

+ b

²₃

AB

²

= (b

1

− a

1

)

²

+ (b

2

− a

2

)

²

+ (b

3

− a

3

)

² 問

2

の解答

1 2

© OA

²

+ OB

²

− AB

²

ª

= 1 2

© a

12

+ a

22

+ a

32

+ b

12

+ b

22

+ b

32

− (b

1

− a

1

)

²

− (b

2

− a

2

)

²

− (b

3

− a

3

)

²

ª

= 1 2

© a

12

+ a

22

+ a

32

+ b

12

+ b

22

+ b

32

− (b

12

− 2b

1

a

1

+ a

²₁

)

− (b

22

− 2b

2

a

2

+ a

22

) − (b

32

− 2b

3

a

3

+ a

32

) ª

= 1 2

© a

12

+ a

22

+ a

32

+ b

12

+ b

22

+ b

32

− b

12

+ 2b

1

a

1

− a

²₁

− b

22

+ 2b

2

a

2

− a

22

− b

32

+ 2b

3

a

3

− a

32

ª

= 1

2 { 2a

1

b

1

+ 2a

2

b

2

+ 2a

3

b

3

} = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

問

3

の解答

a · b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

(31)

< 29

ページ

.

3 >

問の解答

(1) cos θ = 4 + 2 + 15

√ 1 + 4 + 9 √

16 + 1 + 25 =

√ 3

2

^より

(

答

) θ = 30

^◦

= π 6 (2) cos θ = − 4 + 0

√ 4 + 4 √ 4 = −

√ 2

2

^より

(

答

) θ = 135

^◦

= 3π 4 (3) cos θ = − 1 − 1 − 1

√ 1 + 1 + 1 √

1 + 1 + 1 = − 1

より

(

答

) θ = 180

^◦

= π

(32)

< 30

ページ

.

平面の方程式

1 >

問の解答

(1) 3(x − 2) + 2(y + 1) + z − 3 = 0 (

答

) 3x + 2y + z − 7 = 0

(2) a(x − q

1

) + b(y − q

2

) + c(z − q

3

) = 0 (

答

) ax + by + cz − aq

1

− bq

2

− cq

3

= 0

(33)

< 31

ページ

.

平面の方程式

2 >

問の解答

(1)

原点

(0, 0, 0)

を通り

n =



 1

− 2 3





_{に垂直な平面}

(2)

点

(0, 1, 0)

を通り

n =



 2 1 3





に垂直な平面

(3)

点

(2, 0, 0) µ

または

¡

0, 0, 10 7

¢

等

¶

を通り

n =



 5 3 7





_{に垂直な平面}

(34)

< 32

ページ

.

空間の平行四辺形

1 >

問の解答

(1) S

²

= | a |

²

× | b |

²

− (a · b)

²

= (1 + 4 + 9) × (4 + 9 + 16) − (2 + 6 + 12)

²

= 14 × 29 − 20

²

= 406 − 400 = 6 (

答

) S = √

6 (2) S

²

= | a |

²

× | b |

²

− (a · b)

²

= (a

12

+ a

22

+ a

32

) × (1 + 1) − (a

1

− a

2

)

²

= 2a

12

+ 2a

22

+ 2a

32

− (a

12

− 2a

1

a

2

+ a

22

)

= a

12

+ a

22

+ 2a

32

+ 2a

1

a

2

(

答

) S = √

a

12

+ a

22

+ 2a

32

+ 2a

1

a

2

(35)

< 33

ページ

.

空間の平行四辺形

2 >

問

1

の解答

S

²

= { a

1

b

2

− a

2

b

1

}

²

+ { a

2

b

3

− a

3

b

2

}

²

+ { a

3

b

1

− a

1

b

3

}

²

問

2

の解答

S² = (¯¯¯¯¯

a₁ b₁ a₂ b₂

¯¯

¯ )2

+ (¯¯¯¯¯

a₂ b₂ a₃ b₃

¯¯

¯ )2

+ (¯¯¯¯¯

a₃ b₃ a₁ b₁

¯¯

¯ )2

問

3

の解答

S = vu utÃ¯¯¯¯¯

a1 b1

a2 b2

¯¯

¯

!2

+ Ã¯¯¯¯¯

a2 b2

a3 b3

¯¯

¯

!2

+ Ã¯¯¯¯¯

a3 b3

a1 b1

¯¯

¯

!2

(36)

< 34

ページ

.

外積

1 >

問の解答

(1) a × b =



 

 

¯¯

¯¯ 2 3 3 4

¯¯

¯¯ 3 4 1 2

¯¯

¯¯¯

¯ 1 2

2 3

¯¯¯

¯



 

 

=



 

− 1 2

− 1



 

a · b = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 = 20

(2) a × b =



 

 

¯¯

¯¯ 3 −1

5 0

¯¯

¯¯¯

¯ 5 0

1 1

¯¯¯

¯

¯¯

¯¯ 1 1

3 −1

¯¯



 

 

=



 

5 5

− 4



 

a · b = 1 × 1+3 × ( − 1) +5 × 0 = − 2

(37)

< 35

ページ

.

外積

2 >

問

1

の解答

(1) a × b =



 

 

¯¯

¯¯ 2 3 3 5

¯¯

¯¯ 3 5 1 1

¯¯

¯¯¯

¯ 1 1

2 3

¯¯¯

¯



 

 

= µ

₁

−2 1

¶

より

(a×b)·a= 1×1 + (−2)×2 + 1×3 = 0 (a×b)·b= 1×1 + (−2)×3 + 1×5 = 0

(2) a × b =



 

 

¯¯

¯¯ 2 0 1 −1

¯¯

¯¯ 1 −1 3 1

¯¯

¯¯¯

¯ 3 1

2 0

¯¯¯

¯



 

 

= µ

₋₂

4

−2

¶

より

(a×b)·a=−2×3 + 4×2 + (−2)×1 = 0 (a×b)·b=−2×1+4×0+(−2)×(−1) = 0

問

2

の解答

(a × b) · b =



 a

2

b

3

− a

3

b

2

a

3

b

1

− a

1

b

3

a

₁

b

₂

− a

₂

b

₁



 ·



 b

1

b

2

b

₃





= (a

2

b

3

− a

3

b

2

)b

1

+ (a

3

b

1

− a

1

b

3

)b

2

+ (a

1

b

2

− a

2

b

1

)b

3

= a

2

b

1

b

3

− a

3

b

1

b

2

+ a

3

b

1

b

2

− a

1

b

2

b

3

+ a

1

b

2

b

3

− a

2

b

1

b

3

= 0

(38)

< 36

ページ

.

外積

3 >

問の解答

a × b =



 

 

¯¯

¯¯ 0 0 2 1

¯¯

¯¯ 2 1 1 2

¯¯

¯¯¯

¯ 1 2

0 0

¯¯¯

¯



 

 

=



 

0 3 0



 

b × a =



 

 

¯¯

¯¯ 0 0 1 2

¯¯

¯¯¯

¯ 1 2

2 1

¯¯¯

¯

¯¯

¯¯ 2 1 0 0

¯¯



 

 

=



 

0 − 3 0



 

(39)

< 37

ページ

.

外積

4 >

問の解答

(1) a × b =



 − 2

− 11 5



 , (2) b × a =



 2 11

− 5





(3) (ka) × b =





− 2k

− 11k 5k



 , (4) a × 3a =



 0 0 0



 = 0

(40)

< 38

ページ

.

平行六面体の体積

>

問の解答

(1) (a × b) · c =



 6

− 1

− 7



 ·



 3 5

− 2



 = 27

(2) (a × b) · c =



 − 3 6

− 3



 ·



 1 2 3



 = 0

(41)

< 39

ページ

.3

次の行列式

>

問の解答

¯ ¯

¯

1 −2 10 2 −1 10 3 0 10

¯ ¯

¯ =

1×(−1)×10 + 2×0×10 + 3×(−2)×10−1×0×10−2×(−2)×10−3×(−1)×10 = 0

(42)

< 40

ページ

.

サラスの方法

>

問の解答

(1)

¯ ¯

¯¯ 4 5 6 7

¯ ¯

¯¯ = − 2 , (2)

¯ ¯

¯¯ 3 2

− 1 − 3

¯ ¯

¯¯ = − 7 (3)

¯ ¯

2 0 4

1 1 − 1 0 − 2 3

¯ ¯

¯ ¯ = − 6 , (4)

¯ ¯

2 4 3 1 − 1 0 3 2 1

¯ ¯

¯ ¯ = − 21

2002年度 基礎数学ワークブック

基礎数学ワークブック

(2002

)

< 1

.

>

1

3m/s

6m/s

2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

< 2

.

>

sin θ = 3

5

< 3

.

>

−→ BO = −→ AF = −→ CD = −→ OE

< 4

.

>

1

2

< 5

.

1 >

< 6

.

2 >

< 7

.

3 >

< 8

.

1 >

a =

µ 1 1

¶

, b =

µ − 1

− 2

¶

, c =

µ 2

− 3

¶

< 9

.

2 >

(1) −→ AB =

µ 1 4

¶

, | −→ AB | = √

17 , (2) −→ AB = µ − 3

4

¶

, | −→ AB | = 5 ,

(3) −→ AB =

µ b

− a

b

− a

¶

, | −→ AB | = p

(b

− a

)

+ (b

− a

)

< 10

.

2002年度基礎数学ワークブック