名前 ( ）
円の方程式 (1)
x y
O
例題
r
円の方程式 ① 次のような円の方程式を求めなさい。
x y
O
解
ab
r
中心が原点，半径が
4のとき，円の方程式は 円の中心 …… (
a , b )円の半径 ……
r中心が(
1 , 3)，半径が
4中心が( −
5 , 4)，半径が
2 3円の中心 …… 原点 ( ， ) 円の半径 ……
r0 0
のとき，円の方程式は
(x − a)
2+ (y − b)
2= r
2x
2+ y
2= r
2(1) (2) (3)
， のとき, は
a = 0 b = 0 (x
−a)
2+ (y
−b)
2= r
2(x
−0)
2+ ( y
−0)
2= r
2x
2+ y
2= r
2a = 0 ，b = 0
確認
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
円の方程式 (2)
例題
次の円の方程式について，中心の座標と半径を求 めなさい。
(1) (2)
解
(3)x
2+ y
2= 25
(x − 2)
2+ (y − 4)
2= 49 (x + 3)
2+ (y − 2)
2= 18
x y
O
r
円の方程式 ①
x y
O a b
r
のとき，円の方程式は
円の中心 …… (
a , b )円の半径 ……
r円の中心 …… 原点 ( ， ) 円の半径 ……
r0 0
のとき，円の方程式は
(x − a)
2+ (y − b)
2= r
2x
2+ y
2= r
2， のとき, は
a = 0 b = 0 (x
−a)
2+ (y
−b)
2= r
2(x
−0)
2+ ( y
−0)
2= r
2x
2+ y
2= r
2a = 0 ，b = 0
確認
名前 ( ）
直径の座標と円
直径の座標と円
直径の両端(２点 ， ) の座標が分かっているときの 円の方程式の求め方
A B
例題
２点 ， を直径の両端とする円について，
中心の座標と半径を求めなさい。また，円の方程式を求めな さい。
A(2, 1) B(4, −3)
解
Step１． 線分
の中点 ( = )
の座標を求める。
AB C
Step２．点 と 点 の距離 ( ＝ )
を求める。
A C
x y
O
A(xa, ya)
B(xb, yb)
C(xc, yc) =
２点間の距離の公式
Step３．円の中心の座標と半径を ( )
に代入して完成！
(xc, yc) =
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
円の方程式の変形 (1)
例題
次の方程式から円の方程式を選びなさい。
(1)
解
円の方程式になる特徴
(x + 3)2 + (y − 2)2 = 5
(3) (2)
円の方程式は 定数 ， ， を用いて l m n
x2 + 6x + 9 + y2 −4y + 4 = 5
x2 + 6x + 9 + y2 −4y + 4 −5 = 0
x2+y2 + 6x − 4y + 8 = 0
x
2+ y
2+ lx + my + n = 0
の形にも表すことができる！
特徴１． x
2と y
2の係数が等しい。
特徴２． xy の項が存在しない。
また，この形の円の方程式には，次の特徴がある。
← (x −a)2+ (y −b)2 = r2
← x2 +y2+ lx + my +n = 0
(4)
x2 +y2−4x + 3y + 11 = 0
2x2+ 2y2−4y = 0
5x2+ 5y2 −20x −10 = 0
x2+ 3y2+ 2xy −4y + 9 = 0
証明
例題
(1) (2)
解
平方完成のやり方（ x
2の係数が１）
x
2+ 4x + 1
平方完成
(x
−p)
2+ q 次の 次式を平方完成させなさい。 2
y
2 −3y + 1 x
2+ bx + c
①
②
x
の係数の半分を準備
③
① を( ) の中に入れる
2 (x + )2
b 2 b 2
半分
−(b 2)
2
x 2 + bx + c
+c
(x + b 2)
2+ 4c −b2 4
を引いて定数項 ( )と計算する
(b2)
2
c
名前 ( ）
復習！
２乗して引く
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
例題
次の円の方程式について，円の中心座標と半径を求め なさい。
(1)
解
x
2+ y
2+ lx + my + n = 0 の変形
(2)
例
x2 −4x +y2 + 6y −3 = 0
の中心，半径を求める。
x2+y2−4x + 6y −3 = 0
Step１．x2+lx +y2+my +n = 0 に並べる
Step２．x2+lx y ， 2+my をそれぞれ（ ）する
Step３．実数の項を整理して完成！
乗して引く
2 2 乗して引く
(x−2)2+ (y + 3)2= 16
を変形して にすることで，
円の中心，半径がわかる！
x
2+ y
2+ lx + my + n = 0 (x
−a)
2+ ( y
−b)
2= r
2中心 ( ， ) 半径 の円
2
−3 4
(x−2)2+ (y+ 3)2−16 = 0
x
2+ 6x + y
2−8y = 0
x
2+ y
2−4x + 10y
−7 = 0
円の方程式の変形 (2)
x
2 −4x + y
2+ 6y
−3 = 0(x
−2)
2 −(− 2)
2+ (y + 3)
2−3
2−3 = 0
半分 半分
例題
解
3つの連立方程式の解き方
３つの連立方程式
次の連立方程式を解きなさい。
名前 ( ）
復習！
Step１．消しやすい ( ) を見定め，その文字を消す。
Step２．通常の連立方程式にして，計算する。
… ①
… ②
… ③
−2l+ 2m+n+ 8 = 0 l + 3m +n + 10 = 0
−l−m+n+ 2 = 0
{
係数がそろっている文字を消すと楽だよ！
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
３点を通る円の方程式
例題
通る３点から円の方程式を導く
解
Step１．( ) を x2+y2+lx +my +n = 0 に代入
Step２． Step１で求めた式を ( ) として解き，
， ， を求める。l m n
Step３． ， ， を ( ) に
代入して完成
l m n
３点 ( , ) ， ( , ) , ( , ) を通る 円の方程式を求める。
A −2 2 B 1 3 C −1 −1
