２．１ 光学定数

２．１ 光学定数

屈折率や光吸収係数は光学定数と呼ばれる。屈折率としてこれからは複素屈折率を導入 する。一方、誘電率や導電率は電気定数と呼ばれる。誘電率として複素誘電率を導入する。

光学定数と電気定数の間には密接な関係がある。複素屈折率の実部ｎは媒質中を伝搬する 光の速度√ｃ／ｎ（ｃは真空中の光速）を決める。これは電磁波が伝搬する媒質のインピ ーダンスがε／μ）であることと密接に関係する。複素屈折率の虚部κは消衰係数と呼ば れ、媒質（あるいは物質）を伝搬する光の減衰を表す。消衰係数は光の吸収を表す光吸収 係数αと比例関係にある。光の減衰は媒質中での光エネルギーの損失とみなすことができ る。これば電磁波の媒質中での伝搬損失が、複素誘電率の虚部ε_２で表されることと等価で ある。これはまた、固体（ここでは誘電体）に交流電界を印加したときにエネルギー損失

tanδを表しており、固体の導電率σによるジュール損失をあらわす。従って、消衰係数κ、

複素誘電率の虚部ε_２および導電率σは、同じ現象を異なる視点から観て定義される定数で ある。

光学定数と電気定数の関係が次に示すマックスウエルの方程式により求めることができ る。

（１）

（１－１式）では、媒質中に電荷が存在しないために電束密度の発散はゼロになる。（１－

２式）は磁束密度の発散はゼロであることを示す。（１－３）式は電磁誘導を表し、磁束密 度の時間変化による起電力を示す。（１－４）は電流Ｊにより右ねじの法則により磁界

rot H

オームの法則Ｊ＝σＥより導電率σが導入される。

マックスウエルの方程式（１－４）式の両辺を時間で微分すると（２）式が得られる。

（２）

これに（１－３）式の∂H/∂t代入して磁界Ｈを消去すると（３）式が得られる。

ベクトル解析の公式

において、

A = ∇

B = ∇

Ｅ

が得られる（３）式の左辺は電界の位置に関する２階の微分∇²

E

（４）

（４）式は電界

E

光の電界を、時間を含む次式の平面波（５式）で表す。

ここでωは光の角周波数であり

ｋ

（４）式に代入することにより、電界

E

このとき電界の距離および時間微分をあらかじめ求めておく（６式）。

これらを（４）式に代入することにより（７）式が得られる。

（７）式は代数方程式である。両辺にかかる

Ｅ

ｋ

（８）

（８）式の右辺の平方根中の物理定数は複素数であることがわかる。これは誘電率に対応 するものであり、これを複素誘電率ε^＊として定義する。

ε

= ε

– i ε

（８）式と（９）式との対応よりε_１＝ε、ε_２＝σ／ωであることが明らかである。すな わち複素誘電率ε^＊は次式で表される。

（１０）

電磁波あるいは光が平面波として媒質中を伝搬するときの位相速度

ｖ

k

（１１）

と表される。

ここ誘電率とで屈折率の関係を考察する。

（i）損失が無い場合、導電率はゼロである（σ＝０）。

したがって屈折率は、

（１３）

と表される。ここで

ｃ

ε_ｒは比誘電率、μ_ｒは比透磁率、である。

（ii）損失がある場合、導電率はゼロでない（σ≠０）。同様にして

（１４）

の関係式が得られる。

複素誘電率に対応する屈折率として、複素屈折率を定義する。

（１５）

ここで、ｎは屈折率、κは、消衰係数である。（１０）式より次の関係式が得られる。

（１６）

（１６）式の角辺を２乗して、

（１７）

が得られる。（１７）式の実部および虚部を比較して、

（１８）

の関係式が得られる。また、屈折率と誘電率の関係は次のように表される。ただし、常磁 性体を考えるためにμ_r

=1

（１９）－（２１）

（１８）式より複素比誘電率の虚部ε_２ｒと導電率には比例関係があり、これは次式で表さ れる。

（２２）

ε_２ｒは誘電体における導電性を示すものであることがわかり、誘電体に電界を印加すれば 電流が流れることによりエネルギーの損失（ジュール損）が生じることが示された。以上 より、屈折率と消衰係数は、比誘電率の実部と虚部および導電率を用いて次のように表さ れる。

（２３）

この式は、光学定数である複素屈折率（屈折率および消衰係数）と電気定数である誘電率 および導電率を結びつける重要な式である。

ここで光吸収係数について考察する。

２．２ 光の吸収

物質中での光の吸収について考察を行う。良く知られているように、物質あるいは媒質 への入射光は、界面で反射と透過をする。透過光強度は物質中で光の進行と共に指数関数 的に減衰する。この減衰の程度を示すために光吸収係数αが用いられる。

図２．２．１に示すように、位置

ｘ

ｘ

ｘ

ｘ

Ｉ

Ｉ

ｄＩ

ｄＩ

ｄＩ

Ｉ

ｄｘ

ｄＩ

Ｉｄｘ

ｄＩ

Ｉｄｘ

ｄＩ

Ｉｄｘ

変数分離の為、（２４）式の両辺を

I

ｄＩ

Ｉ

ｄｘ

（２５）式を積分すれば、

ｌｎＩ

ｘ

constant

となる。従って、

ｘ

Ｉ

Ｉ

Ｉ

Ｉ

ｘ

と表される。この関係を図２．２．２に示す。また、光強度が１／ｅ倍に減少する表面か らの距離１／αは光の侵入長（侵入深さ）と呼ばれる。これは、高周波電流が導体の表面

近くに流れやすい表皮効果と同じ減少であり、表皮深さ（skin depth）に対応する。光吸収 係数αは距離の逆数の次元（ｍ^－１）を持つが、常用的にｃｍ^－１（日本では“カイザー”と 呼ばれることがある）が用いられている。正確には、

inverse centimeter

nm）である。バンドギャップが１．４３ｅＶのＧａＡｓに波長が５１４．５ｎｍ（ｈν＝

２．４１ｅＶ）のアルゴンイオンレーザ光を照射した場合がこれに対応する。従ってレー ザ光は殆どがＧａＡｓの０．１μｍの表面領域で吸収されることになる。光励起を用いる 実験では光の侵入長がおよそ深さ方向の評価領域になることに注意したい。光吸収係数α は物質の固有の物理量であり、光波長すなわちフォトンエネルギーの関数である。半導体 では、通常バンドギャップ以上のフォトンエネルギーに対して吸収係数αは増加する。バ ンドギャップ以下のフォトンエネルギーではαの値は小さい。

次に光学定数としての光吸収係数αを異なる方法で導く。これは光を電磁波として取り 扱い、光吸収係数αと消衰係数κおよび導電率σの関係を導き、２．１節で示したように 光学定数と電気定数の関係としての説明を行う。

まず、光を波と見なした場合、光強度

Ｉ

Ｅ

Ｅ

ｋ

（２８）

ここで波数

ｋ

ｋ

（２９）

この式は光の電界が媒質中で指数関数的に減衰することを示している。減衰項には消衰係 数κが含まれていることに注意する。よってこれを光強度で以下のように表せる。

（３０）

一方で、光吸収係数の定義より（３１）式を導いた。

Ｉ

Ｉ

ｘ

両式は、同じ形をしていることから、指数を比較すれば消衰係数κは光吸収係数αに比例 していることがわかる。これらより以下の関係式が導かれる。

a

光では角周波数ωより波長λを用いることが一般的である為、光吸収係数αと消衰係数κ の関係を次式で表す。

（３２b）

また、（１８）式より消衰係数κと導電率σの関係が以下のように表されている。

複素比誘電率の虚部と消衰係数の関係は（２２）式より以下のように表されている。

これらの関係より、光学定数としての光吸収係数αと消衰係数κ、電気定数である導電率 σと複素比誘電率の虚部ε_２ｒの間の関係が示されたことになる。これらの定数はいずれも 波としての光のエネルギーの損失を表していることを再度確認されたい。

光の吸収を表す定数が他にも多くあり、これらが光学や分光学の実験結果を表すために 用いられているが似た名称で呼ばれている為に読者は整理してこれらを用いることが必要 とされる。

透過率 transmissivity

T

吸収度 absorbance A

光学密度（吸光度）optical density (OD値) αlog10

e

（３４）

光学密度

(OD

)

半導体の光物性では通常は光吸収係数αを波長あるいは光子エネルギーに対して測定す る。αの測定法には、光の透過率と反射率の測定の解析や、偏光解析法（エリプソメトリ ー）から求める方法がある。また後で述べるが、反射率スペクトルの測定のクラマスクロ ーニッヒ解析により誘電関数を求め、ε_ｒ２より算出する方法がありこれは

1960

多重反射を考慮した光の透過率

光の透過率と反射率の測定から光吸収係数αを求める方法について説明する。図２－１ には空気中で厚さ

ｄ

Ｉ

Ｒ

Ｉ

ＲＩ

Ｒ

Ｉ

ｘ

Ｒ

Ｉ

ｄ

Ｒ

Ｒ

Ｒ

Ｉ

ｄ

ｘ

Ｒ

（１－

Ｒ

Ｉ

ｄ

d I_o

IoR

1-R 1-R 1-R 1-R R

R R

R R R R

(1-R)²exp(-αd)I₀ (1-R) ²R²exp(-3αd)I₀ (1-R)²R⁴exp(-5αd)I0

(1-R)²R⁶exp(-7αd)I₀ 1-R

R 1-R 1-R 1-R

d I_o

IoR

1-R 1-R 1-R 1-R R

R R

R R R R

(1-R)²exp(-αd)I₀ (1-R) ²R²exp(-3αd)I₀ (1-R)²R⁴exp(-5αd)I0

(1-R)²R⁶exp(-7αd)I₀ 1-R

R 1-R 1-R 1-R

図１ 多重反射を考慮した光の反 射、吸収と透過

（以下の式で、公比の－α

ｄ

ｄ

従って透過光強度は（初項）／（１－公比）より

（３６）

が得られる。 従って透過率Ｔは、

で表される。光吸収係数は透過率Ｔと反射率Ｒの測定より求められる。試料の厚さ

ｄ

（３８）

である

また、上式で表される透過率

Ｔ

ｄ

Ｔ

（３９）

この式では、光吸収係数αは透過率の低下による第一項と、反射率の補正を行った第２ 項の和で表される。従って、光吸収係数αを求める為には光透過率

T

R

h

最近では、分光偏光解析法 (spectroscopic ellipsometry: 分光エリプソメトリー) により

n

式により光吸収係数αを求めることができる。偏光解析法ではαが小さい場合 には大きな誤差が生じることに注意する必要がある。また、試料の表面処理および解析モ デルには細心の注意が必要である。

光の反射

複素屈折率を用いて垂直入射における光の（電界の）反射係数γは次式で表される。

ここでθは、反射位相と呼ばれる。

光の反射率

Ｒ

Ｒ

複素誘電率に関するクラマースクローニッヒ

(Kramers-Kronig)

誘電関数の実部

ε

ε

Caucy

「Kramers-Kronig（K-K）変換」と呼ばれることが多い。

（４２）

この関係により誘電関数の実部

ε

ε

ε

ε

K-K

ε

ε

ε

n

を用いて、反射率Ｒと反射位相θを計算することができる。

複素屈折率に関するクラマースクローニッヒの関係

誘電関数と同様に、屈折率

n

（４４）

光反射率スペクトルのクラマースクローニッヒ解析

反射率

Ｒ

Ｒ

任意の入射角に関しては多くの書籍があるのでこれらを読んで勉強してほしい。

光反射率

Ｒ

ｎ

ε

ε

誘電率の起源 （ローレンツモデル）

誘電率を決めるものは、物質に電界をかけることにより物質中に誘起される分極である。

ここでχを感受率という。分極には（１）電子分極、（２）イオン分極、（３）配向分極が ある。これらの分極は、それぞれ、紫外領域、遠赤外領域およびマイクロ波領域で分散を 示す。配向分極は液体や気体で、極性分子が電界を受けて方向を変えることにより生じる。

固体では配向分極が起こることは無いので、これを無視することができ、主にエネルギー 帯構造に関係する電子分極と格子振動に関係するイオン分極を扱うことになる。

物質はいろいろな固有振動数を持つ電気双極子の集合体である。ローレンツモデルでは、

電気双極子を １．バネで束縛された電荷２．速度に比例する摩擦力を受けながら振動す る調和振動子として取り扱う。図２にローレンツのモデルを図的に示している。以下の運 動方程式を考える。ｍを質量、ｑを電荷、ω_０固有周波数とする。運動方程式は次式で表さ れる。右辺は光による時間的に正弦波で振動する電界による外力を示している。左辺では、

第一項は加速度、第二項は摩擦、第三項はバネによる復元力を示している。

正弦波電界で系を励振しているため、線形である２階の微分方程式の解は正弦波である。

従って解を次に示す正弦波と仮定し、これを上の運動方程式に代入する。

その結果、時間変化の項が消去され次の式が得られる。

（４７）

これから最大振幅Ｘ_０を求め、次式を得る。

（４８）

質量m 電荷q

摩擦：

Γ ₀

電界：E=E₀

e

平衡位置

Ｘ

＋ ー

- ω

X f=qE

- Γ

(dX/dt )

m(d

X/dt

)

ω

=k/m k

固有角周波数：ω₀

質量m 電荷q

摩擦：

Γ ₀

電界：E=E₀

e

平衡位置

Ｘ

＋ ー

- ω

X f=qE

- Γ

(dX/dt )

m(d

X/dt

)

ω

=k/m k

固有角周波数：ω₀

図２ ローレンツのモデル

これより変位Ｘは時間変化を含めて、次式で表される。

このような振動子が、体積Ｖ中にＮ_ｏ個あるとする。分極は、

（５０）

であるから、誘電率は分極を用いて計算できる。

（５１）

誘電率の実部と虚部は次のように表すことができる。これらは誘電関数と呼ばれる。

誘電関数の実部ε1と虚部ε_２は、それぞれ

であり、Soは定数である。複素誘電率の周波数依存性は次の図のように表される。

ε_２誘電関数の虚部ε_２は共振周波数でピークを持ち、損失が共振数波数で最大になること を示している。このε_２（ω）のスペクトルの形状をローレンツ関数という。Γはブロード ニングを表しスペクトルの線幅に対応する。これに対してε_１（ω）のスペクトルは、共振 周波数付近で大きく変化し、共振周波数以下では正であるが共振周囲波数以上では負に変 化する。ε_１（ω）はＴＯフォノン周波数以上で再び正に戻るが、その誘電率の値は低い周 波数での値より低下する。これは振動子（双極子）が高い周波数に追随できなくなり、分 極の誘電率への寄与が無くなったことを示している。図４には複数の共振周波数の異なる 振動子が誘電率に寄与している場合の誘電関数の一例を示している。遠赤外領域では格子 振動によるイオン分極が、また可視から紫外域にかけて電子分極がみられる。全ての分極 が追随できない紫外以上の非常に高い周波数では誘電率ε_１は真空の誘電率ε_０に漸近する。

格子振動によるイオン分極は

Born

Huang

は、先に述べたクラマースクローニッヒの関係を用いてε_２（ω）からε1（ω）への変換を 行うことにより求めることができる。一般的な半導体では、擬ポテンシャル法によるバン ド計算から、誘電関数を計算することが多い。

図４ 複素誘電率の角周波数依存性

ε_２（ω）のスペクトルがローレンツ関数であるため、光学吸収における光吸収係数αの スペクトルはローレンツ関数であらわされる。実際、多くの光学スペクトルがローレンツ 関数であらわされるが、これはブロードニングが真性のライフタイムブロードニングによ るもの（自然幅）であり、吸収が物質内で均質におこっていることを示している（均一広 がり）。これと良く似たガウス関数で光学スペクトルがあらわされることがある。この場合、

振動子の共振周波数（遷移エネルギー）にばらつきがあるとき全体のスペクトルに統計的 な広がりが生じる（不均一広がり）が、このガウス関数における周波数の広がり（半値全 幅）を不均一広がりとよびローレンツ関数の自然幅と区別する。これは、歪みなどで振動 子が不均質にゆらいでいる（歪み広がり）ことでも生じる。吸収スペクトルを実験で求め た場合、それがローレンツ関数かローレンツ関数か判別することが、この吸収の起源の同 定の第一歩である。共振周波数から離れるにつれてガウス関数では指数関数的に吸収が急 激に低下するが、ローレンツ関数では吸収が低下の度合いが低い。従ってローレンツ関数 では、吸収の裾で非常に高い吸収（発熱）が生じることを記憶してほしい。レーザなどの 強力な光を扱うときの光学フィルターにおいて光の周波数付近にローレンツ関数的な吸収 の裾が無いことを確認することが重要である。

図５ 複素屈折率の実数部ｎと虚数部κの角周波数依存性

光学定数の分散

セルマイヤーの分散公式

Γは一般には小さいからω＝ω0の近傍を除くと、ω0Γは無視でき、ε/ε0はほぼ

n

n

-1 = C + D/ ( ω

- ω

) = C + D’ λ

/ ( λ

- λ

)

λは真空中の波長、C, D, D’ は物質で決まる定数である。

dn/dω>0

dn/dω<0

格子振動による誘電関数と光学定数の変化

イオン性を持つ結晶では、格子振動により分極が生じる。光は横波(transverse wave)で あり、電界が周波数νで振動している。従って分極を生じる格子振動の横波の周波数と光 の周波数が一致するとき、光と格子振動は相互作用をおこし、光が共鳴的に結晶で吸収さ れる。格子振動を量子化した粒子をフォノン（音子）とよび、光と相互作用をおこす横波 を

TO（Transverse Optical）フォノンとよぶ。このフォノンに対応する格子振動がその振

LO（Longitudinal Optical）フ

LO

TO

LO

図６ いくつかの物質の屈折率の正常分散の例

の運動量と同じ大きさの波数を持つ。フォノンの波数はｑ＝２π／λであり、格子振動周 波数に対応する波長は遠赤外（１０μｍ＝10⁵

Å以上）にある。光と相互作用するフォノン

q≈0

フォノンには分極が生じない光学振動、一つの元素からなる結晶（例えば

Si）の光学格

Transverse Acoustic, LO:Longitudinal Acoustic）などがあるがこれらは光と相互作用をしない。

光学フォノンと光の相互作用は、前述のローレンツモデルで良く記述されることがわか っている。従って誘電関数の実部ε1（ω）は周波数の増加に対して正から負へ変化し、虚 部ε2（ω）はローレンツ関数で表されフォノンの周波数で吸収ピークを生じる。これらよ り光の吸収スペクトルのピーク波長より

TO

より求められ、反射率スペクトルの解析より

TO

LO

CdS

R

TO

TO

CdS

ｎ

R

TO

LO

R（ω）を求め、

Kramers-Kronig

（ω）とε2（ω）のスペクトルを 求める。光学定数(n,κ)は先に述べ た方法で誘電関数より求められる。

ε2（ω）の最大点より

TO

LO

TO

240cm

LO

300cm

図７CdSの赤外反射スペクトル

また、直流の誘電率ε0と光学誘電率ε∞には

Lyddane-Sachs-Teller-黒沢の式と呼ばれる重

LO

（ωLO／ωTO）²

=ε

/ε

光学誘電率ε∞はフォノンの分極が追随できない高い周波数の誘電率であり、通常は近赤外 から可視光の周波数での誘電率（但しバンドギャプ以下）で代用される。従って、半導体 ではバンドギャップ以下の周波数での光の透過領域（光吸収が無い領域）での屈折率ｎを 測定すれば、ε∞

= n

Lyddane-Sachs-Teller-黒沢の式の代入することにより直流の誘電率を得る

図

8 CdS

,

)、の遠赤外での光の周波数依存性。

周波数は波数

cm

=1/λで記述している（極性フォノンによるイオン分極）