二変数関数の Taylor 展開 α. β が小さいとき，
€
y ~y0+ ∂y
∂α
0
α+ ∂y
∂β
0
β+1 2
∂2y
∂α2
0
α2+ ∂2y
∂α∂β
0
αβ+1 2
∂2y
∂β2
0
β2 と近似できます。ここで
€
α =β=0 のときの
€
y,
€
∂y
∂α,
€
∂y
∂β,
€
∂2y
∂α2,
€
∂2y
∂α∂β,
€
∂2y
∂β2 の値をそれぞ れ
€
y0,
€
∂y
∂α
0
,
€
∂y
∂β
0
,
€
∂2y
∂α2
0
,
€
∂2y
∂α∂β
0
,
€
∂2y
∂β2
0
とします。 このことは，以下のように導 くことができます。まず，
€
y=( )y α=0+ ∂y
∂α
α=0
α+ ∂2y
∂α2
α=0
α2
2 + ∂3y
∂α3
α=0
α3 3! +L
€
= ∂(n)y
∂α(n)
α=0
αn
n=0 n!
∞
∑
と書けますが，
€
( )y α=0 =( )y α=β=0+ ∂y
∂β
α=β=0
β+ ∂2y
∂β2
α=β=0
β2
2 + ∂3y
∂β3
α=β=0
β3 3! +L
€
= ∂(n)y
∂β(n)
α=β=0
βn
n=0 n!
∞
∑
€
∂y
∂α
α=0
= ∂y
∂α
α=β=0
+ ∂2y
∂α∂β
α=β=0
β+ ∂3y
∂α∂β2
α=β=0
β2
2 + ∂4y
∂α∂β3
α=β=0
β3 3! +L
€
= ∂(n+1)y
∂α∂β(n)
α=β=0
βn
n=0 n!
∞
∑
€
∂2y
∂α2
α=0
= ∂2y
∂α2
α=β=0
+ ∂3y
∂α2∂β
α=β=0
β+ ∂4y
∂α2∂β2
α=β=0
β2
2 + ∂5y
∂α2∂β3
α=β=0
β3 3! +L
€
= ∂(n+2)y
∂α2∂β(n)
α=β=0
βn
n=0 n!
∞
∑
などの関係から，
€
y=( )y α=0+ ∂y
∂α
α=0
α+ ∂2y
∂α2
α=0
α2
2 + ∂3y
∂α3
α=0
α3 3! +L
€
=( )y α=β=0+ ∂y
∂β
α=β=0
β+ ∂2y
∂β2
α=β=0
β2
2 + ∂3y
∂β3
α=β=0
β3 3! +L
€
+ ∂y
∂α
α=β=0
α+ ∂2y
∂α∂β
α=β=0
αβ+ ∂3y
∂α∂β2
α=β=0
αβ2 2 +L
€
+ ∂2y
∂α2
α=β=0
α2
2 + ∂3y
∂α2∂β
α=β=0
α2β
2 + ∂4y
∂α2∂β2
α=β=0
α2β2 2⋅2 +L
€
= ∂(m+n)y
∂α(m)∂(n)β
α=β=0
αmβn
n=0 m!n!
∞
∑
m=0
∞
∑
となります。これを並べ替えれば
€
y=( )y α=β=0
€
+ ∂y
∂α
α=β=0
α+ ∂y
∂β
α=β=0
β
€
+ ∂2y
∂α2
α=β=0
α2
2 + ∂2y
∂α∂β
α=β=0
αβ+ ∂2y
∂β2
α=β=0
β2 2
€
+ ∂3y
∂α3
α=β=0
α2
3! + ∂3y
∂α2∂β
α=β=0
α2β
2 + ∂3y
∂α∂β2
α=β=0
αβ2
2 + ∂3y
∂β3
α=β=0
β2 3!
€
+L
€
= ∂(l)y
∂α(l−n)∂(n)β
α=β=0
αl−nβn l−n
( )!n!
n=0 l
∑
l=0
∞
∑
と書けるわけです。
