2019年6月11日(火)，1時限, 21講義室+大講義室
2019
年度前期 材料力学I
中間試験問題１．《静定問題→熱応力+不静定問題》
図1に示すように， AB間，BC間の直径がそれぞれ2d，d，長さがそれぞれl，2lの丸棒からなる全長 3lの段付き棒の左端Aが剛体壁に取り付けられ，隙間を隔てて右端Cと剛体壁Dに面している。今段 付き棒のB点に右向きに4P，C点に右向きにPの荷重が負荷する。以下の問いに答えよ。ただし，AB 間，BC間は同じ材料であり，ヤング率はE，線膨張係数はとする。
(1) 剛体壁 A からの反力を RAとして，段付き棒のフリーボディダイアグラムを描け。また，反力 RA
を求めよ。
(2) 絶対値が最大の応力maxを求めよ。また，どの区間で生じるかも答えよ。
(3) 段付き棒ABCの変形量を求めよ。ただし， である。
(4) 次に，荷重を負荷したまま段付き棒のみの温度をT1上昇させたら段付き棒の右端C点が距離離 れた剛体壁に丁度接触した。この時の温度上昇T1を求めよ。
(5) さらに温度を上げ，初期状態からの温度上昇がT2となった。剛体壁 D からの仮想反力を RDとし てフリーボディダイアグラムを新たに描き，力のつり合い式を示せ。ただし，T2 > T1である。
(6) 小設問(5)で描いたフリーボディの状態で，温度上昇
T2の場合の段付き棒の伸び2を，荷重と温度変化に よる伸びの重ね合わせとして求めよ。
(7) 剛体壁からの反力RA，RDを求めよ。
(8) こ の 棒 の ヤ ン グ 率 をE206 GPa ， 線 膨 張 係 数 を
6 1
11.2 10 K
，直径d20 mm，長さl = 50 cm，
隙 間 = 1 mm， 温 度 上 昇T2 ＝ 100 oC， 荷 重 10 kN
P とする。絶対値が最大の応力maxを求めよ。
また，どの区間で生じるかも答えよ。
P
A B
C
l 2l
4P
2d d
D
図1 剛体壁に挟まれた段付き棒
２．《不静定問題→熱応力+不静定問題》
図2に示すように，支点Bで床に回転自由に支持された剛体棒ABCDが，C点，D点で長さがl，断 面積がそれぞれA，2Aの弾性棒CE，DFで支持され，A点に下向きに荷重Pが負荷されている。以下の 問いに答えよ。ただし，棒CE，DFのヤング率をE，線膨張係数をとする。
(1) 剛体板ABCDのフリーボディダイアグラムを描け。
(2) 垂直方向の力のつり合い式と B点回りのモー メントのつり合い式を示せ。
(3) A点，C点，D点の変位をそれぞれA，C，D とする。変位CとDの間の関係を求めよ。
(4) 弾性棒に生じる絶対値が最大となる応力max を求めよ。また，それは，CE，DFのどちらの 棒に生じるか。
(5) A 点に下向きに荷重 Pが負荷されている状態
で，棒CE，DFの温度をT変化させた。剛体
板が水平を保つための温度変化Tを求めよ。
(6) 小設問(5)の状態のときに，棒に生じる最大応 力を求めよ。
A B C D
E 2a
a
l a
P
l
F
A 2A
図2 弾性棒で支持された剛体板
３． 《物体力(遠心力)問題》
図3に示すように，断面積2AとA，長さが片側4a，aの棒 からなる段付き棒が角速度で回転している。この場合の物 体力としての遠心力を考える。OA間，AB間で区間を分け，
それぞれの物体力をq x dx1( ) ，q x dx2( ) で表すと， xの位置 のそれぞれの区間の内力Q x1( )，Q x2( )は次式で表されると 考えることができる。
1( ) 1(0) 0x 1( )
Q x Q q d (3.1)
2( ) 2(4 ) 4x 2( )
Q x Q a aq d (3.2)
10a 4a a 2A A
x
O A B
1, E1
2, E2
図3 段付き丸棒の回転
上記の式を元に，以下の問いに答えよ。ただし，ヤング率と密度は中心側の断面積A部がE1，1，両端の断面 積2A部はE2，2とする。
(1) 式(3.2)について，AB間のq x2( )を求め，自由端での条件を考慮して Q2(4a)を求めよ。
(2) 式(3.1)について，OA間のq x1( )を求め，x = 4aでの条件を考慮してQ1(0)を求めよ。
(3) 最大の応力maxが生じる位置とその大きさを求めよ。
(4) 全体の伸びを求めよ。
(5) 回転数N = 1000 rpm，長さa = 25cm，断面積 A500 mm2の時，全体の伸び を求めよ。段付き棒の ヤング率をE169 GPa，E2206 GPa，密度を12.71 10 kg/m 3 3，27.86 10 kg/m 3 3とする。
(6) 同じ材質，寸法で，段付き棒の材料の引張強さを中心部B1167 MPa，端部B2330 MPaとする。安 全に回転させるには，1 分間に何回転までできるか求めよ。ただし，rpm の単位を用いよ。なお，引張強さ を基準強さとし，安全係数はS12とする。
