相対論的運動量と
運動方程式
問題(矛盾点)
運動量の保存が成り立たない?
p ! 1 i + !
p i 2 ! !
p 1 f + !
p 2 f " ?
p ! 1 i
p ! i 2
p ! 1 f
p ! 2 f
簡単な説明
p !
1i+ !
p
i2= !
p
1f+ !
p
2f のy
成分m
1dy
i1dt
i1+ m
2dy
i2dt
i2= m
1dy
f1dt
f1+ m
2dy
f 2dt
f 2(1)
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
ローレンツ変換
!
t = t " (u / c 2 ) x
1 " # 2
!
x = " ut + x
1 " # 2
!
y = y, z ! = z
簡単な説明
p !
1i+ !
p
i2= !
p
1f+ !
p
2f のy
成分m
1dy
i1dt
i1+ m
2dy
i2dt
i2= m
1dy
f1dt
f1+ m
2dy
f 2dt
f 2別の座標系では
m
1d y
1!
id t
1!
i+ m
2d y !
2id t !
2i= m
1d y
1!
fd t
1!
f+ m
2d y
2!
fd t !
2fyはLorentz変換のもとで不変だが、t は変換される このため、Lorentz変換で(1)と(2)は相容れない
(1)
(2)
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
相対論的運動量
p ! = m d ! x d ! =
m ! v
1 " #
2!
は固有時間相対論的運動量
p ! = m d ! x d ! =
m ! v
1 " #
2!
は固有時間相対論的運動方程式
F ! = d ! p
dt = d
dt m d ! x d !
"
#$ %
&'
例:一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
F = d
dt m dx d !
"
#$ %
&' = m d
dt
dx
1 ( )
2dt
"
# $$ %
&
'' = m
1 ( v
2c
2"
#$
%
&'
3/2
dv dt
! = v
c
例:一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
F = d
dt m dx d !
"
#$ %
&' = m d
dt
dx
1 ( )
2dt
"
# $$ %
&
'' = m
1 ( v
2c
2"
#$
%
&'
3/2
dv dt
! = v c
この式を解くと
v = at
1 + a
2t
2, a = F
m
速度の時間変化
v
t
相対論 Newton
無限大へ
光速度へ 1
0.5
0
エネルギー
K = d !
s ! !
" F = " d s ! ! d dt p ! , p ! = 1 m # v ! $
2運動エネルギー
K =
0
!
x dxF = 0!
t dx dtd mv1" v2 / c2
= 0
!
v vd mv1" v2 / c2
#
$%
&
'(
計算:力と移動の向きを同じに取る
K = mc
21 ! v
2/ c
2! mc
2" E = mc
21 ! v
2/ c
2静止エネルギーとして
E = mc
2四元運動量
( E, !
p) = mc
21 ! "
2,
m ! v
1 ! "
2#
$ %% &
' ((
d ! = dt 1 " #
2 なので( E, !
p ) = m c
2dt d ! ,
d ! x d !
"
#$ %
&' ( c (( = 1 ) m d
d ! (t ,
x ! )
τ とmはローレンツ変換の元で不変なので
( E , !
p) (t , ! x )
は と同じように変換する
四元運動量(四元ベクトル)
ベクトル
(1)成分をもった量(物理量=観測される量)
(2)座標変換の元で一定の規則に従って移り変わる量
( E, !
p )
のように、ローレンツ(座標)変換の元で(t , !
x )
と同じように変換する量を、四元ベクトルというスカラー
座標変換の元で変換しない、一定(固有)の量
一般にはテンソル
T
ijk!問題:化学反応の前後における質量保存の法則は厳密には成り立 たない。どの程度の破れが生じるか。
問題:100 V/mの電場で電子、陽子を1秒間加速したときのそれぞ れの速さと獲得するエネルギーを求めよ。
問題:阪大核物理研究センターの加速器は陽子の運動エネルギー
を400 MeVまで加速する。そのときの陽子の速さを光速度の比で求
めよ。
問題:Spring-8のシンクロトロンでは電子が8GeVのエネルギーで運 動している。この電子の速さを光速度の比で求めよ。
問題:50光年離れた場所まで、1年で着いて1年滞在し1年で戻って きたいと思う(合計3年)。往復の際は一定の速さで飛行するとして、
その速さを求めよ。また、エネルギー効率を100%として、動力は原 子力を使うとしてそのために必要な核燃料の量を推定してみよ。