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相対論的運動量と運動方程式相対論的運動量と運動方程式

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Academic year: 2021

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全文

(1)

相対論的運動量と

運動方程式

(2)

問題(矛盾点)

運動量の保存が成り立たない?

p ! 1 i + !

p i 2 ! !

p 1 f + !

p 2 f " ?

p ! 1 i

p ! i 2

p ! 1 f

p ! 2 f

(3)

簡単な説明

p !

1i

+ !

p

i2

= !

p

1f

+ !

p

2f

成分

m

1

dy

i1

dt

i1

+ m

2

dy

i2

dt

i2

= m

1

dy

f1

dt

f1

+ m

2

dy

f 2

dt

f 2

(1)

時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意

(4)

ローレンツ変換

!

t = t " (u / c 2 ) x

1 " # 2

!

x = " ut + x

1 " # 2

!

y = y, z ! = z

(5)

簡単な説明

p !

1i

+ !

p

i2

= !

p

1f

+ !

p

2f

成分

m

1

dy

i1

dt

i1

+ m

2

dy

i2

dt

i2

= m

1

dy

f1

dt

f1

+ m

2

dy

f 2

dt

f 2

別の座標系では

m

1

d y

1

!

i

d t

1

!

i

+ m

2

d y !

2i

d t !

2i

= m

1

d y

1

!

f

d t

1

!

f

+ m

2

d y

2

!

f

d t !

2f

yはLorentz変換のもとで不変だが、t は変換される このため、Lorentz変換で(1)と(2)は相容れない

(1)

(2)

時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意

(6)

相対論的運動量

p ! = m d ! x d ! =

m ! v

1 " #

2

!

は固有時間

(7)

相対論的運動量

p ! = m d ! x d ! =

m ! v

1 " #

2

!

は固有時間

相対論的運動方程式

F ! = d ! p

dt = d

dt m d ! x d !

"

#$ %

&'

(8)

例:一定の力を受けて加速する粒子

力と運動の方向は同じとする

F = d

dt m dx d !

"

#$ %

&' = m d

dt

dx

1 ( )

2

dt

"

# $$ %

&

'' = m

1 ( v

2

c

2

"

#$

%

&'

3/2

dv dt

! = v

c

(9)

例:一定の力を受けて加速する粒子

力と運動の方向は同じとする

F = d

dt m dx d !

"

#$ %

&' = m d

dt

dx

1 ( )

2

dt

"

# $$ %

&

'' = m

1 ( v

2

c

2

"

#$

%

&'

3/2

dv dt

! = v c

この式を解くと

v = at

1 + a

2

t

2

, a = F

m

(10)

速度の時間変化

v

t

相対論 Newton

無限大へ

光速度へ 1

0.5

0

(11)

エネルギー

K = d !

s ! !

" F = " d s ! ! d dt p ! , p ! = 1 m # v ! $

2

運動エネルギー

K =

0

!

x dxF = 0

!

t dx dtd mv

1" v2 / c2

= 0

!

v vd mv

1" v2 / c2

#

$%

&

'(

計算:力と移動の向きを同じに取る

K = mc

2

1 ! v

2

/ c

2

! mc

2

" E = mc

2

1 ! v

2

/ c

2

静止エネルギーとして

E = mc

2

(12)

四元運動量

( E, !

p) = mc

2

1 ! "

2

,

m ! v

1 ! "

2

#

$ %% &

' ((

d ! = dt 1 " #

2 なので

( E, !

p ) = m c

2

dt d ! ,

d ! x d !

"

#$ %

&' ( c (( = 1 ) m d

d ! (t ,

x ! )

τ mはローレンツ変換の元で不変なので

( E , !

p) (t , ! x )

は と同じように変換する

(13)

四元運動量(四元ベクトル)

ベクトル

(1)成分をもった量(物理量=観測される量)

(2)座標変換の元で一定の規則に従って移り変わる量

( E, !

p )

のように、ローレンツ(座標)変換の元で

(t , !

x )

と同じように変換する量を、四元ベクトルという

スカラー

座標変換の元で変換しない、一定(固有)の量

一般にはテンソル

T

ijk!

(14)

問題:化学反応の前後における質量保存の法則は厳密には成り立 たない。どの程度の破れが生じるか。

問題:100 V/mの電場で電子、陽子を1秒間加速したときのそれぞ れの速さと獲得するエネルギーを求めよ。

問題:阪大核物理研究センターの加速器は陽子の運動エネルギー

を400 MeVまで加速する。そのときの陽子の速さを光速度の比で求

めよ。

問題:Spring-8のシンクロトロンでは電子が8GeVのエネルギーで運 動している。この電子の速さを光速度の比で求めよ。

問題:50光年離れた場所まで、1年で着いて1年滞在し1年で戻って きたいと思う(合計3年)。往復の際は一定の速さで飛行するとして、

その速さを求めよ。また、エネルギー効率を100%として、動力は原 子力を使うとしてそのために必要な核燃料の量を推定してみよ。

参照

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