§ 3.5 合成関数の微分法
微分可能な関数
f(x)と
g(x)とについて，
f(x)の値域が
g(x)の定義域に含まれ るとします．
f(x)と
g(x)との合成関数
g f(x)ができます． 変数
tを
t=f(x)とおき，変数
yを
y=g(t)とおきます．
y=g(t) =g f(x)．
xの増分 ∆x に
対する
tの増分を ∆t とおき
y の増分を ∆y とおきます． ∆x が
0 に近い値で
とおきます． ∆x が
0 に近い値で
∆
x6= 0のとき ∆t6= 0 とします
10)．
f(x) は微分可能なので，定理
2.7.1より，
∆
x→0のとき
f(x+∆
x)→f(x)なので ∆t=f(x+∆
x)−f(x)→0 ．
dy
dt = lim
∆t→0
∆
y∆
t = lim∆x→0∆
y∆
t , dxdt = lim∆x→0∆
t∆
x .これらのことより，
dy dt · dt
dx = lim
∆x→0
∆
y∆
t ·∆limx→0∆
t∆
x = lim∆x→0∆
y∆
t ·∆
t∆
x= lim∆x→0∆
y∆
x = dydx ,つまり
dy dx = dy
dt · dt dx . y=g(t)
なので，
dydx = d
dxg(t)
，
dy dt = ddtg(t)
，よって
ddxg(t) = d
dtg(t)· dt dx .
定理3.5
微分可能な関数
fと
gとについて，
fの値域が
gの定義域に含まれると き，変数
x , tを
t=f(x)とおくと，
d
dxg(t) = d
dtg(t)· dt dx .
例解 実数全体を定義域とする関数
fを
f(x) = sin(3x+ 2)と定めます．
fの導 関数
f′を求めます． 変数
tを
t= 3x+ 2とおきます．
f(x) = sin(3x+ 2) = sintを微分します． 微分公式
ddxsinx= cosx
を適用できるのは，
ddx
の横線の下側の変 数
xが
sinの中身と一致するときです．
一致
dd xsinx= cosx ,
一致
dd tsint = cost .
ですから，変数
xの関数
f(x) = sintの導関数
f′(x) = d
dxf(x) = d dxsint
を計算するには，このままでは微分公式
ddxsinx= cosx
を適用できません． そこ で，定理
3.5の公式
ddxg(t) = d
dtg(t)· dt
dx
において
g(t) = sintとおきます：
d
dxsint = d
dtsint· dt
dx = cost· dt dx . t= 3x+ 2
なので，
cost= cos(3x+ 2)，
dtdx = d
dx(3x+ 2) = 3
，よって，
cost· dt
dx = cos(3x+ 2)·3 = 3 cos(3x+ 2) .
故に
f′(x) = d
dxsint= cost· dt
dx = 3 cos(3x+ 2) . 終
例題 変数
xの関数
y= cos4x+ 53
の導関数
dydx
を求める．
〔解説〕
変数
tを
t= 4x+ 53
とおく．
y= cos4x+ 53 = cost
なので
dydx = d dxcost .
定理
3.5の公式
ddxg(t) = d
dtg(t)· dt
dx
において
g(t) = costとおくと
ddxcost = d
dtcost· dt
dx = −sint· dt dx . t= 4x+ 5
3
なので，
sint= sin4x+ 5 3，
dtdx = d dx
4x+ 5 3 = 4
3
，よって，
−sint· dt
dx = −sin4x+ 5 3 ·4
3 =−4
3sin4x+ 5
3 .
故に
dy dx = d
dxcost=−sint· dt dx = 4
3sin4x+ 5
3 . 終
問題
3.5.1 7x−53
が
π2
の奇数倍でない実数
xの全体を定義域とする関数
fを
f(x) = tan7x−53
と定めます．
fの導関数
f′を求めなさい．
例題 実数全体を定義域とする関数
gを
g(x) = ln(x2−5x+ 7)と定める
11)． 関 数
gの導関数
g′を求める．
〔解説〕
変数
tを
t=x2−5x+ 7とおく．
g(x) = ln(x2−5x+ 7) = lntなので
g′(x) = ddxg(x) = d dxlnt .
定理
3.5の公式
ddxg(t) = d
dtg(t)· dt
dx
において
g(t) = lntとおくと
ddxlnt = d
dtlnt· dt dx = 1
t ·dt dx . t=x2−5x+ 7
なので，
1t = 1
x2−5x+ 7
，
dt dx = ddx(x2−5x+ 7) = 2x−5
，よって
1t · dt
dx = 1
x2−5x+ 7·(2x−5) = 2x−5 x2−5x+ 7 .
故に
g′(x) = d
dxlnt=1 t ·dt
dx = 2x−5
x2−5x+ 7 . 終
問題
3.5.2変数
xの関数
y= ln(3x2−7x+ 5)の導関数
dydx
を求めなさい．
例題 変数
xの関数
y= cos4xの導関数
dydx
を求める．
〔解説〕
変数
tを
t= cosxとおく．
y= (cosx)4=t4なので，
dy dx = d
dxt4 .
定理
3.5の公式
ddxg(t) = d
dtg(t)· dt
dx
において
g(t) =x4とおくと
ddxt4 = d dtt4· dt
dx = 4t3· dt dx . t= cosx
なので，
t3= (cosx)3= cos3x，
dtdx = d
dxcosx=−sinx
，よって
4t3· dtdy = 4 cos3x·(−sinx) = −4 sinxcos3x .
故に
dy dx = d
dxt4= 4t3· dt
dx =−4 sinxcos3x . 終
問題
3.5.3実数全体を定義域とする関数
ψを
ψ(x) = sin3xと定めます． 関数
ψの導関数
ψ′を求めなさい．
関数
fの定義域の要素
aにおける
fの微分係数は，
fの導関数
f′の
aに対す る値
f′(a)でした．
例題 実数全体を定義域とする関数
ψを
ψ(x) = cos5x+ 8π3
と定める．
πにおけ る
ψの微分係数を求める．
変数
tを
t= 5x+ 8π3
とおく．
ψ(x) = cos5x+ 8π3 = cost
なので，ψ の導関数
ψ′
は
ψ′(x) = d
dxψ(x) = d
dxcost= d
dtcost· dt dx
=−sint· d dx
5x+ 8π
3 =−sin5x+ 8π 3 ·5
3
=−5
3sin5x+ 8π
3 .
π
における
ψの微分係数は
ψ′(π) =−53sin5π+ 8π 3 =−5
3sin13π 3
=−5 3sin
13π
3 −4π
=−5 3sinπ
3 =−5 3·
√3 2
=−5√ 3
6 . 終
問題
3.5.4実数全体を定義域とする関数
ϕを
ϕ(x) = sin7x+ 8π3
と定めます．
π 2における
ϕの微分係数を求めなさい．
10)
独 立 変 数
xの 増 分 ∆x の 値 は 私 達 が 自 由 に 決 め る こ と が で き る の で ， 勝 手 に
∆
x6= 0とすることができます． しかし， ∆t=f(x+∆
x)−f(x) なので，従属変数
t
の増分 ∆t の値は
x と ∆x の値から自動的に決まってしまいます； あるいは ∆t= 0
の値は
xと ∆x の値から自動的に決まってしまいます； あるいは ∆t= 0
となるかもしれません． もしそうなれば， ∆t を分母とする分数 ∆y
∆
tには値がありま
せん． ですから，本当は ∆t= 0 になり得る場合を別に証明しなければなりません が，繁雑なので省略します．
11)
各 実 数
xに つ い て ，
x2−5x+ 7 = x−52 2
+3 4 ≥ 3
4 >0
