問題 4. ( 円周積分路での複素線積分 2)

2S ^数学演習 III ^・ IV ^解答 H011-3

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : ^理学部 A ^館 327 E-mail:[email protected]

総まとめ ( ^略解 )

作成日: July 12, 2020 Updated : July 13, 2020 Version : 1.0

問題 1. 省略 問題 2. 省略 問題 3. 省略

問題 4. ( 円周積分路での複素線積分 2)

(1) C 上の点を z = 1 + e

^iθ

(0 ≤ θ < 2π) とおくと , dz = ie

^iθ

dθ より ,

I =

∫

C

(z − 1)

ⁿ

dz =

∫

₀

2π

ie

^i(n+1)θ

idθ = −

∫

_2π

0

ie

^i(n+1)θ

dθ =

 



 

− 2πi n = − 1 [ − e

^i(n+1)θ

n + 1 ]

2π

0

= 0 n ̸ = − 1 積分路の向きが逆になったことにより積分区間が 2π から 0 になっていることに注意 . (2) (a) 2πi (b) − 4πi (H010 問題 3 とまったく同様だが積分路の向きが逆になった影

響に注意 .)

問題 5. ( グラムシュミットの直交化法 )

(1) ⃗ e

1

= 1

∥ ⃗ p

₁

∥ ⃗ p

1

= 1

√ 2



 

  1 1 0 0



 

  . ⃗ e

₂^′

:= ⃗ p

2

− ⟨ ⃗ p

2

| ⃗ e

1

⟩ ⃗ e

1

= 1 2



 

 

− 1 1 2 0



 

  , ⃗ e

2

= 1

∥ ⃗ e

₂^′

∥ ⃗ e

₂^′

=

√ 1 6



 

 

− 1 1 2 0



 

  . ⃗ e

₃^′

:= ⃗ p

₃

−⟨ ⃗ p

₃

| ⃗ e

₁

⟩ ⃗ e

₁

−⟨ ⃗ p

₃

| ⃗ e

₂

⟩ ⃗ e

₂

= 1 3



 

  1

− 1 1 3



 

  , ⃗ e

₃

= 1

∥ ⃗ e

₃^′

∥ ⃗ e

₃^′

= 1 2 √

3



 

  1

− 1 1 3



 

 

(2) w ⃗ = a

₁

⃗ e

₁

+ a

₂

⃗ e

₂

+ a

₃

⃗ e

₃

とおく . 両辺と ⃗ e

_i

(i = 1, 2, 3) との内積をとると , ⟨ w ⃗ | ⃗ e

_i

⟩ = a

_i

. よって , w ⃗ = ⟨ w ⃗ | ⃗ e

1

⟩ ⃗ e

1

+ ⟨ w ⃗ | ⃗ e

2

⟩ ⃗ e

2

+ ⟨ w ⃗ | ⃗ e

3

⟩ ⃗ e

3

= 2

√ 6 ⃗ e

2

+ 2

√ 3 ⃗ e

3

. 問題 6. ( コーシー列 )

(1) 正の数 ε を任意に与える. 仮定により絶対級数

∑

∞ n=1

| a

_n

| が収束するので部分和 t

_n

=

∑

n k=1

| a

k

| はコーシー列である . したがって , 正の数 ε に対して , ある自然数 N が存在し て , m, n ≥ N を満たすすべての自然数 m, n に対して , | t

_n

− t

_m

| < ε が成り立つ . この とき, 部分和 s

_n

:=

∑

n k=1

a

_k

について, n ≥ m ≥ N を満たすすべての自然数 m, n に対し て , | s

_n

− s

_m

| = | a

_n

+ a

_n−1

+ · · · + a

_m+1

| ≤ | a

_n

| + | a

_n−1

| + · · · + | a

_m+1

| = | t

_n

− t

_m

| < ε.

よって 数列 { s

_n

} はコーシー列であり収束する . すなわち級数

∑

∞ n=1

a

_n

は収束する .

解答 H0-2S20-11 名古屋大学・理学部

2S ^数学演習 III ^・ IV ^解答 H011-4

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : ^理学部 A ^館 327 E-mail:[email protected]

(2) 正の数 ε を任意に与える . 仮定により級数

∑

∞ n=1

a

n

が収束するので部分和 s

n

=

∑

n k=1

a

k

はコーシー列である . したがって , 正の数 ε に対して , ある自然数 N が存在して , m, n ≥ N を満たすすべての自然数 m, n に対して , | s

_m

− s

_n

| < ε が成り立つ . この とき, n ≥ N + 1 を満たす任意の自然数 n に対して, | a

_n

| = | s

_n

− s

_n−1

| < ε が成り立 つ . よって lim

n→∞

a

_n

= 0.

問題 7. ( 等比級数を利用した無限テイラー展開 ) (1) log(1 + x) + C, C は積分定数 .

(2) | x | < 1 のとき , 1

1 + x は公比 − x の無限等比級数である： 1

1 + x = 1 − x+x

²

− x

³

+ · · · . 右辺の級数は H009 問題 6(2) より項別積分可能である . 両辺を 0 から x まで積分す ると, log(1 + x) =

∑

∞ m=0

( − 1)

^m

(m + 1) x

^m+1

. (3) log 2 =

∑

∞ m=0

( − 1)

^m

(m + 1) = 1 − 1 2 + 1

3 − 1

4 + · · · .

(4) 与式の第 2 項は公比 − t の等比数列の和であるから , 1

1 + t − (1 − t + t

²

− t

³

+ · · · + ( − t)

ⁿ

) = 1

1 + t − 1 − ( − t)

ⁿ⁺¹

1 + t = ( − t)

ⁿ⁺¹

1 + t . もとの式とまとめた式を 0 から x (0 < x ≤ 1) まで積分すると ,

( 左辺 ) =

∫

x 0

( 1

1 + t − (1 − t + t

²

− t

³

+ · · · + ( − t)

ⁿ

) )

dt

= log(1 + x) − ( x − x

²

2 + x

³

3 − x

⁴

4 + · · · + ( − 1)

ⁿ

x

ⁿ⁺¹

n + 1

) , ( 右辺 ) =

∫

_x

0

( − t)

ⁿ⁺¹

1 + t dt.

よって両辺の絶対値をとると , log(1 + x) − (

x − x

²

2 + x

³

3 − x

⁴

4 + · · · + ( − 1)

ⁿ

x

ⁿ⁺¹

n + 1

)

=

∫

x 0

( − t)

ⁿ⁺¹

1 + t dt ≤

∫

x 0

( − t)

ⁿ⁺¹

1 + t

dt <

∫

x 0

( − t)

ⁿ⁺¹

1

dt =

∫

x 0

t

ⁿ⁺¹

dt = x

ⁿ⁺²

n + 2 . 両辺に x = 1 を代入して n → ∞ の極限をとると, 右辺の値は 0 となり，前問の結果 が得られる .

(5) たとえば，級数

∑

∞ n=1

( − 1)

ⁿ⁻¹

1

n は , (3),(4) より収束するが , H009 問題 1(4) より絶対収 束しない .

解答 H0-2S20-11 名古屋大学・理学部