コーシーの運動方程式（

コーシーの運動方程式（

Cauchy’s equation of motion

）の導出（x方向のみから）

ここで

① 検査体積における

x

方向の単位時間当たりの運動量変化

② 検査体積に出入りする単位時間当たりの

x

方向の運動量

x

軸に垂直な面（単位面積

dydz）からの v

xによる出入り¥

y

軸に垂直な面（単位面積

dxdz）からの v

yによる出入り

z

軸に垂直な面（単位面積

dxdy）からの v

zによる出入り

結果として

③

x

方向の外力（体積力）

④

x

方向の内力（応力）

x

軸に垂直な面

y

軸に垂直な面

⇢ DV

Dt = ⇢F r p + r · ⌧ = 0

V = 2 4vx

v_y v_z

3 5, F =

2 4Fx

F_y F_z

3 5

@

@t (⇢v

_x

dxdydz)

h

⇢v

x

v

x

@

@x (⇢v

x

v

x

) dx 2

i

dydz h

⇢v

x

v

x

+ @

@ x (⇢v

x

v

x

) dx 2

i dydz

h⇢vxvy

@

@y(⇢vxvy)dy 2

idxdz h

⇢vxvy+ @

@y(⇢vxvy)dy 2

idxdz

h

⇢v

x

v

z

@

@z (⇢v

x

v

z

) dz 2

i

dxdy h

⇢v

x

v

z

+ @

@z (⇢v

x

v

z

) dz 2

i dxdy

h @

@x(⇢vxvx) + @

@y(⇢vxvy) + @

@z(⇢vxvz)i

dxdydz

⇢F

_x

dxdydz

h

( p + ⌧

xx

) @

@x ( p + ⌧

xx

) dx 2

i

dydz + h

( p + ⌧

xx

) + @

@x ( p + ⌧

xx

) dx 2

i dydz

h⌧yx

@⌧yx

@y dy

2

idxdz+h

⌧yx+ @⌧yx

@y dy

2

idxdz

z

軸に垂直な面

結果として

これらをまとめて(①=②+③+④)，dxdydzで割ると

y

方向，z方向も同様に考えるとテキストの式（8.22）を得る．

ここで非圧縮性流体を考えれば

Ú

は一定のため以下のようになり

さらに，連続の式より

のため以下の式を得る．

h ⌧

_zx

@⌧

_zx

@z dz

2

i dxdy + h

⌧

_zx

+ @⌧

_zx

@z dz

2

i dxdy

h @p

@x + @⌧_xx

@x + @⌧_yx

@y + @⌧_zx

@z

idxdydz

@⇢vx

@t +h @

@x(⇢vxvx) + @

@y(⇢vxvy) + @

@z(⇢vxvz)i

=⇢Fx

@p

@x + @⌧xx

@x +@⌧yx

@y +@⌧zx

@z

@⇢v

_x

@t = ⇢ @ v

_x

@t

@

@y(⇢v_xv_y) =⇢h v_x@v_y

@y +v_y@v_x

@y i

v_xh@v_x

@x + @v_y

@y + @v_z

@z i= 0

⇢h@v_x

@t +v_x@v_x

@x +v_y@v_x

@y +v_z@v_x

@z

i=⇢F_x @p

@x +h@⌧_xx

@x + @⌧_yx

@y + @⌧_zx

@z i