Fermat s Last Theorem Hajime Mashima November 9, 2019 Abstract About 380 years ago, Pierre de Fermat wrote the following idea to Diophantus s Arithmet

Fermat’s Last Theorem

Hajime Mashima November 9, 2019

Abstract

About 380 years ago, Pierre de Fermat wrote the following idea to Diophantus’s ”Arithmetica”.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadra- toquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potes- tatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Later, this proposition(Fermat’s Last Theorem) has continued to be a presence, such as the One Ring that appeared in J·R·R·Tolkien’s ”Lord of the Rings”. Finally in 1994, it has been proven by Sir Andrew Wiles.

However, interesting Fermat’s proof is still unknown. Perhaps this is as- sumed to algebra category.

Contents

1 introduction 1

1.1 Fermat’s Last Theorem . . . 2

1.2 Case 1 (p⊥xyz) . . . . 2

1.2.1 p= 3 . . . 6

1.2.2 p≧5 . . . 7

1.3 Case 2 (p|xyz) . . . 11

1.3.1 p|x . . . 13

1.3.2 p|z . . . 19

1.3.3 Supplement . . . 23

1 introduction

 最後に残ったFermatの命題が現代数学の総力を結集し 定理 と認められて 以降も、微かな火が未だ燻り続けている。それはFermatの証明が知りたいとい う探求心そのものである。

1.1 Fermat’s Last Theorem

Theorem 1 (Fermat’s Last Theorem)

自然数nの冪について,以下の等式を満たすx, y, zの自然数解は存在しない。

xⁿ+yⁿ̸=zⁿ (0< x < y < z , n≧3) これは以下と同値である。

x^p+y^p̸=z^p (pは3以上の素数でx , y , zは互いに素)

1.2 Case 1 (p ⊥ xyz)

Theorem 2 (Fermat’s little theorem) Aを自然数、pが素数でp⊥Aのとき

A^p−1≡1 (modp) (1)

x^p+y^p−z^p≡0 modp x^p−1x+y^p−1y−z^p−1z≡0 modp (1)より x+y−z≡0 modp Proposition 3 R≡1 modp

• x^p+y^p= (x+y)·γ^p

• z^p−y^p= (z−y)·α^p

• z^p−x^p= (z−x)·β^p

L={(x+y),(z−y),(z−x)} , R={γ^p, α^p, β^p} Proof 4 p= 5を例とする。

(y+ (z−y))⁵=y⁵+ 5y⁴(z−y) + 10y³(z−y)²+ 10y²(z−y)³+ 5y(z−y)⁴+ (z−y)⁵ z⁵=y⁵+ 5y⁴(z−y) + 10y³(z−y)²+ 10y²(z−y)³+ 5y(z−y)⁴+ (z−y)⁵ z⁵−y⁵= (z−y)(5y⁴+ 10y³(z−y) + 10y²(z−y)²+ 5y(z−y)³+ (z−y)⁴) (2) (−y+ (x+y))⁵=−y⁵+ 5y⁴(x+y)−10y³(x+y)²+ 10y²(x+y)³−5y(x+y)⁴+ (x+y)⁵

x⁵=−y⁵+ 5y⁴(x+y)−10y³(x+y)²+ 10y²(x+y)³−5y(x+y)⁴+ (x+y)⁵ x⁵+y⁵= (x+y)(5y⁴−10y³(x+y) + 10y²(x+y)²−5y(x+y)³+ (x+y)⁴)

R=py⁴−2py³(x+y) + 2py²(x+y)²−py(x+y)³+ (x+y)^p−1 他の素数についても同様なので一般的に

Proposition 5

L⊥R (3)

Proof 6 x^p+y^p=L·Rにおいて、c^′|(x+y)と置くと L≡0 modc^′

R≡py^p−1 modc^′ c^′ ⊥pyなので

L⊥R≡py^p−1 modc^′

z^p−x^p、z^p−y^pについても同様である。 2

Proposition 7 q|Rのとき (qはpでない素数)

q≡1 modp (q̸=p) (4)

Proof 8 q̸≡1 modp (q̸=p)と仮定する。

q|x^pのとき、qを法とするy, zの余りg, h(< q)を置く。

y≡g modq z≡h modq z−y≡h−g modq (3)より

g̸≡h modq (5)

y^p= (qN1+g)^p z^p= (qN2+h)^p z^p−y^p=x^pだから

(qN1+g)^p≡(qN2+h)^p modq (6) q⊥zyなのでFermat’s little theoremより

(qN1+g)^q−1≡(qN2+h)^q−1 modq (7)

q̸≡1 modpなので

q−1 =pN+k (0< k < p) (q−1)k^p−2=pN·k^p−2+k^p−1 p⊥kであるからFermat’s little theoremより

(q−1)k^p−2≡1 modp (7)より

(qN1+g)^{(q−1)kp−2} ≡(qN2+h)^{(q−1)kp−2} modq (q−1)k^p−2=pm+ 1と置けるので

(qN1+g)^pm+1≡(qN2+h)^pm+1 modq (8) (6)より

(qN1+g)^pm≡(qN2+h)^pm modq (9) (8) , (9)より

(qN1+g)≡(qN2+h) modq g≡h modq

これは(5)に反する。

2

※以降kは適当な整数とする。

Proposition 9 x^p+y^p=z^p ⇒ p²|(x+y−z) Proof 10

(3)より

R=q^p₁·q^p₂·q^p₃· · · (4)より

q_n^p= (pk+ 1)^p

q_n^p= (pk)^p+p²(. . .) + 1 q_n^p≡1 modp²

よって

R≡1 modp² (10)

x^p+y^p−z^p≡0 modp² x^p≡z^p−y^p modp² y^p≡z^p−x^p modp² z^p≡x^p+y^p modp² (10)より

x^p≡(z−y)·1 modp² y^p≡(z−x)·1 modp² z^p≡(x+y)·1 modp²

x^p+y^p−z^p≡(z−y) + (z−x)−(x+y) modp² 0≡2z−(x+y)−(x+y) modp² 0≡2z−2(x+y) modp²

0≡ −2(x+y−z) modp² 0≡x+y−z modp²

2

1.2.1 p= 3

Proposition 11 x³+y³=z³⇒3|xyz Proof 12

(x+ (y−z))³=x³+ 3x²(y−z) + 3x(y−z)²+ (y−z)³

(x+y−z)³=x³+ 3x²y−3x²z+ 3x(y²−2yz+z²) +y³−3y²z+ 3yz²−z³

=x³+ 3x²y−3x²z+ 3xy²−6xyz+ 3xz²+y³−3y²z+ 3yz²−z³

=x³+ 3x²y+ 3xy²+ 3xz²+y³+ 3yz²−3x²z−6xyz−3y²z−z³ x³+y³−z³= 0なので

= 3x²y+ 3xy²+ 3xz²+ 3yz²−3x²z−6xyz−3y²z

= 3(

x²y+xy²+xz²+yz²−x²z−2xyz−y²z)

= 3(

xy(x+y) +z²(x+y)−z(

x²+ 2xy+y²))

= 3 (

xy(x+y) +z²(x+y)−z(x+y)² )

= 3(x+y)(

xy+z²−z(x+y)) (x+y−z)³= 3(x+y)(z−x)(z−y) 3³ⁿ|(x+y−z)³なので

3|(x+y)(z−x)(z−y) x+y−z≡0 mod 3であるから

x+y≡z mod 3 z−x≡y mod 3 z−y≡x mod 3 よって

3|xyz

2

1.2.2 p≧5

Proposition 13 x^p+y^p̸=z^p Proof 14

Definition 15 • θ⊥2xyz

θ⊥xyzならば、その逆元が存在するので以下のように表すことができる。

sz^p−1+tx^p−1≡uy^p−1 modθ sz^p−1·tx^p−1 ≡x^py^p modθ

stz^p−1 ≡xy^p modθ (11) tx^p−1·uy^p−1 ≡y^pz^p modθ

tux^p−1 ≡yz^p modθ (12) sz^p−1·uy^p−1 ≡x^pz^p modθ

suy^p−1 ≡x^pz modθ (13) sz^p−1·tx^p−1·uy^p−1 ≡x^py^pz^p modθ

stu ≡xyz modθ tu·sz^p−1+t²ux^p−1≡tu²y^p−1 modθ

xyz^p+t²ux^p−1≡tu²y^p−1 modθ xy(x^p+y^p) +t²ux^p−1≡tu²y^p−1 modθ x^p+1y+xy^p+1+t²ux^p−1≡tu²y^p−1 modθ

x^p+1y+t²ux^p−1≡tu²y^p−1−xy^p+1 modθ x^p+1y+t²ux^p−1≡y^p−1(tu²−xy²) modθ

tx^p−1(x^p+1y+t·tux^p−1)≡y^p−1(t²u²x^p−1−xy²·tx^p−1) modθ (12)より

tx^p−1(x^p+1y+tyz^p)≡y^p−1(tu·yz^p−tx^py²) modθ tx^p−1(x^p+1y+tyz^p)≡y^p(tuz^p−tx^py) modθ

x^p+1y+tyz^p≡tuz^p−tx^py modθ x^p+1y+tx^py≡tuz^p−tyz^p modθ

x^p(xy+ty)≡z^p−1(tuz−tyz) modθ x^p(sxy+sty)≡sz^p−1(tuz−tyz) modθ

sy(x+t)≡tz(u−y) modθ x+t≡0 modθ , u−y≡0 modθと置く

u≡y modθ

t≡ −x modθ (14)

同様に

s²tz^p−1+st²x^p−1≡st·uy^p−1 modθ s²tz^p−1+st²x^p−1≡xzy^p modθ s²tz^p−1+st²x^p−1≡xz(z^p−x^p) modθ s²tz^p−1+st²x^p−1≡xz^p+1−x^p+1z modθ

x^p+1z+st²x^p−1≡xz^p+1−s²tz^p−1 modθ x^p−1(x²z+st²)≡xz^p+1−s²tz^p−1 modθ

x^p−1(sx²z^p+s²t²z^p−1)≡sz^p−1(xz^p+1−s·stz^p−1) modθ (11)より

x^p−1(sx²z^p+st·xy^p)≡sz^p−1(xz^p+1−sxy^p) modθ x^p(sxz^p+sty^p)≡sz^p−1(xz^p+1−sxy^p) modθ

sxz^p+sty^p≡xz^p+1−sxy^p modθ sty^p+sxy^p≡xz^p+1−sxz^p modθ y^p−1(sty+sxy)≡z^p(xz−sx) modθ uy^p−1(sty+sxy)≡z^p(uxz−sux) modθ

sy(t+x)≡ux(z−s) modθ t+x≡0 modθ , z−s≡0 modθと置く

t≡ −x modθ

s≡z modθ (15)

同様に

s²uz^p−1+su·tx^p−1≡su²y^p−1 modθ s²uz^p−1+yzx^p≡su²y^p−1 modθ s²uz^p−1+yz(z^p−y^p)≡su²y^p−1 modθ s²uz^p−1+yz^p+1−y^p+1z≡su²y^p−1 modθ

s²uz^p−1+yz^p+1≡su²y^p−1+y^p+1z modθ z^p−1(s²u+yz²)≡su²y^p−1+y^p+1z modθ

z^p−1(s²u²y^p−1+uy^pz²)≡uy^p−1(u·suy^p−1+y^p+1z) modθ (13)より

z^p−1(sux^pz+uy^pz²)≡uy^p−1(ux^pz+y^p+1z) modθ z^p(sux^p+uy^pz)≡uy^p−1(ux^pz+y^p+1z) modθ

sux^p+uy^pz≡ux^pz+y^p+1z modθ sux^p−ux^pz≡y^p+1z−uy^pz modθ x^p−1(sux−uxz)≡y^p(yz−uz) modθ tx^p−1(sux−uxz)≡y^p(tyz−tuz) modθ

ux(s−z)≡tz(y−u) modθ s−z≡0 mod θ , y−u≡0 modθと置く

s≡z modθ

u≡y modθ (16)

(12)(14)より

−yx^p ≡yz^p modθ

−x^p ≡z^p modθ

z^p+x^p ≡0 modθ (17)

(11)(15)より

−xz^p ≡xy^p modθ

−z^p ≡y^p modθ

z^p+y^p ≡0 modθ (18)

(13)(16)より

zy^p ≡x^pz modθ y^p ≡x^p modθ

x^p−y^p ≡0 modθ (19)

θ=pならばFermat’s little theoremより z+x≡0 modp z+y≡0 modp x−y≡0 modp

(20)

(20)より

(x+y−z) + (x−y) + (z+x)≡0 modp (x+y−z) + (2x−y+z)≡0 modp 3x≡0 modp (x+y−z) + (y−x) + (z+y)≡0 modp (x+y−z) + (−x+ 2y+z)≡0 modp 3y≡0 modp

−(x+y−z) + (z+x) + (z+y)≡0 modp

−(x+y−z) + (x+y+ 2z)≡0 modp 3z≡0 modp

これはp⊥xyz (p≧5)の前提に反する。 2

1.3 Case 2 (p | xyz)

Proposition 16

p|x , p⊥yz ⇒ pⁿ |x (n≧2) , p^pn−1|L Proof 17

x^p+y^p−z^p= 0⇒p|(x+y−z)^p

よって p|(z−y)と置ける。(2)から一般的に x^p= (z−y)

(

py^p−1+ p!

(p−2)!2!y^p−2(z−y) +· · ·+ p!

1!(p−1)!y(z−y)^p−2+ (z−y)^p−1 )

R=py^p−1+ p!

(p−2)!2!y^p−2(z−y) +· · ·+ p!

1!(p−1)!y(z−y)^p−2+ (z−y)^p−1 p²|Rならばp|y^p−1となってしまうため

p¹|R

※pを除き、

L⊥R Definition 18 p⊥abc

• z−y=a^pp^p−1

• z−x=b^p

• x+y=c^p

(z−x)−(x+y) =b^p−c^p

(z−y)−2x=b^p−c^p≡0 modp p|L⇔p|Rなので、少なくともp²|b^p−c^p

a^pp^p−1−2x=b^p−c^p≡0 modp²

p²|x (21)

(x−(z−y))^p=x^p− p!

(p−1)!1!x^p−1(z−y) + p!

(p−2)!2!x^p−2(z−y)²− p!

(p−3)!3!x^p−3(z−y)³+

· · ·+ p!

1!(p−1)!x(z−y)^p−1−(z−y)^p x^p= (z−y)·pα^pと置き、上式に代入する。

(x+y−z)^p= (z−y) (

pα^p− p!

(p−1)!1!x^p−1+· · ·+ p!

1!(p−1)!x(z−y)^p−2−(z−y)^p−1 )

K=pα^p− p!

(p−1)!1!x^p−1+· · ·+ p!

1!(p−1)!x(z−y)^p−2−(z−y)^p−1 (22) (21)よりx=ap²αと置けるので

(x−(z−y))^p= (z−y)·K (ap²α−a^pp^p−1)^p=a^pp^p−1K a^pp^2p(α−a^p−1p^p−3)^p=a^pp^p−1K

p^p+1(α−a^p−1p^p−3)^p=K p^p+1|K (22) , p⊥α^pより

p¹|Kでなければならない。

よって

p²|x ⇒ p^2p−1|(z−y) 一般的に

pⁿ|x (n≧2)⇒p^pn|x^p ⇒ p^pn−1|L

2 また

x+y−z=x−(z−y) x+y−z=pⁿaα−p^pn−1a^p x+y−z=pⁿ(aα−p^n(p−1)−1a^p)

pⁿ|x+y−z

1.3.1 p|x

x=pⁿaα z−y=p^pn−1a^p

y=bβ z−x=b^p

z=cγ x+y=c^p

p⊥aαyzS 2⊥δ

Proposition 19 x+z−y=pⁿaS , δ|S ⇒ δ⊥xyz Proof 20

x+z−y=pⁿaα+p^pn−1a^p

=pⁿa(α+p^(p−1)n−1a^p−1) pα^p=R=py^p−1+ (z−y)(. . .)

R≡py^p−1 moda py^p−1⊥a

α⊥a δ|S , δ|aならば矛盾する。よって

δ⊥x

2x= (x+y−z) + (x+z−y) bc|x+y−z

x⊥bc

δ|bcならばδ|2xでなければならず矛盾する。よって δ⊥bc

δ|βならばδ|x+z

x≡ −z modδ x^p≡ −z^p modδ x^p+z^p≡0 modδ z^p−x^p=y^p≡0 modδなので

x^p+z^p−(z^p−x^p)≡0 modδ 2x^p̸≡0 modδ

よって δ⊥β

δ|γ , δ|x−yならば同様に

x^p−y^p+ (x^p+y^p)≡0 modδ 2x^p̸≡0 modδ

よって δ⊥γ 2

Proposition 21 2p|x , 2p⊥yzのときx^p+y^p̸=z^p Proof 22

δ⊥xyzなので

y^p̸≡z^p modδ,(x^p̸≡z^p modδ) , x^p̸≡ −y^p modδ

(17)(18)(19)より、θ=δならば

(x^p+y^p−z^p) + (x^p−y^p) + (z^p+x^p)≡0 modδ (x^p+y^p−z^p) + (2x^p−y^p+z^p)≡0 modδ 3x^p≡0 modδ (x^p+y^p−z^p) + (y^p−x^p) + (z^p+y^p)≡0 modδ (x^p+y^p−z^p) + (−x^p+ 2y^p+z^p)≡0 modδ 3y^p≡0 modδ

−(x^p+y^p−z^p) + (z^p+x^p) + (z^p+y^p)≡0 modδ

−(x^p+y^p−z^p) + (x^p+y^p+ 2z^p)≡0 modδ 3z^p≡0 modδ これはδ⊥xyzの前提に反する。よってS= 2^k

x+z−y=pⁿa2^k

・2|x , 2⊥yzのとき

x^p=z^p−y^p= (z−y)(py^p−1+ (z−y)(. . .)) 2|L=p^pn−1a^p

2|a

2⊥R=pα^p 2⊥α

x+z−y=pⁿa(α+p^(p−1)n−1a^p−1) 2^k=α+p^(p−1)n−1a^p−1

x=pⁿaα z−y=p^pn−1a^p

y=bβ z−x=b^p

z=cγ x+y=c^p

p⊥aαyzU 2⊥δ^′′

Proposition 23 z−x+y=bU , δ^′′|U ⇒ δ^′′⊥xyz Proof 24

z−x+y=b^p+bβ

=b(b^p−1+β) β ⊥b

δ^′′|U , δ^′′|bならば矛盾する。よって δ^′′⊥y

2y= (z−x+y) + (x+y−z) ac|x+y−z

y⊥ac

δ^′′|acならばδ^′′|2yでなければならず矛盾する。よって δ^′′⊥ac

δ^′′|αならばδ^′′|z+y

y≡ −z modδ^′′

y^p≡ −z^p modδ^′′

y^p+z^p≡0 modδ^′′

z^p−y^p=x^p≡0 modδ^′′なので

y^p+z^p−(z^p−y^p)≡0 modδ^′′

2y^p̸≡0 modδ^′′

よって δ^′′⊥α

δ^′′|γ , δ^′′|y−xならば同様に

y^p−x^p+ (x^p+y^p)≡0 modδ^′′

2y^p̸≡0 modδ^′′

よって δ^′′⊥γ 2

Proposition 25 p|x , p⊥yz , 2|y , 2⊥xzのときx^p+y^p̸=z^p δ^′′⊥xyzなので

y^p̸≡z^p modδ^′′,(x^p̸≡z^p modδ^′′) , x^p̸≡ −y^p modδ^′′

(17)(18)(19)より、θ=δ^′′ならば

(x^p+y^p−z^p) + (x^p−y^p) + (z^p+x^p)≡0 modδ^′′

(x^p+y^p−z^p) + (2x^p−y^p+z^p)≡0 modδ^′′

3x^p≡0 modδ^′′

(x^p+y^p−z^p) + (y^p−x^p) + (z^p+y^p)≡0 modδ^′′

(x^p+y^p−z^p) + (−x^p+ 2y^p+z^p)≡0 modδ^′′

3y^p≡0 modδ^′′

−(x^p+y^p−z^p) + (z^p+x^p) + (z^p+y^p)≡0 modδ^′′

−(x^p+y^p−z^p) + (x^p+y^p+ 2z^p)≡0 modδ^′′

3z^p≡0 modδ^′′

これはδ^′′⊥xyzの前提に反する。よってU = 2^k z−x+y=b2^k

・2|y , 2⊥xzのとき

y^p=z^p−x^p= (z−x)(px^p−1+ (z−x)(. . .)) 2|L=b^p

2|b 2⊥R=β^p 2⊥β

z−x+y=b(b^p−1+β) 2^k =b^p−1+β 2^k = 1

x=pⁿaα z−y=p^pn−1a^p

y=bβ z−x=b^p

z=cγ x+y=c^p

p⊥aαyzT 2⊥ϵ

Proposition 26 x+y+z=cT , ϵ|T ⇒ ϵ⊥xyz Proof 27

x+y+z=c^p+cγ

=c(c^p−1+γ) γ⊥c

ϵ|T , ϵ|cならば矛盾する。よって ϵ⊥z

2z= (x+y+z)−(x+y−z) ab|x+y−z

z⊥ab

ϵ|abならばϵ|2zでなければならず矛盾する。よって ϵ⊥ab

ϵ|βならばϵ|x+z

x≡ −z modϵ x^p≡ −z^p modϵ x^p+z^p≡0 modϵ z^p−x^p=y^p≡0 modϵなので

x^p+z^p+ (z^p−x^p)≡0 modϵ 2z^p̸≡0 modϵ

よって ϵ⊥β

ϵ|α , ϵ|y+zならば同様に

y^p+z^p+ (z^p−y^p)≡0 modϵ 2z^p̸≡0 modϵ

よって ϵ⊥α 2

Proposition 28 p|x , p⊥yz , 2|z , 2⊥xyのときx^p+y^p̸=z^p ϵ⊥xyzなので

y^p̸≡z^p modϵ,(x^p̸≡z^p modϵ) , x^p̸≡ −y^p modϵ

(17)(18)(19)より、θ=ϵならば

(x^p+y^p−z^p) + (x^p−y^p) + (z^p+x^p)≡0 modϵ (x^p+y^p−z^p) + (2x^p−y^p+z^p)≡0 modϵ 3x^p≡0 modϵ (x^p+y^p−z^p) + (y^p−x^p) + (z^p+y^p)≡0 modϵ (x^p+y^p−z^p) + (−x^p+ 2y^p+z^p)≡0 modϵ 3y^p≡0 modϵ

−(x^p+y^p−z^p) + (z^p+x^p) + (z^p+y^p)≡0 modϵ

−(x^p+y^p−z^p) + (x^p+y^p+ 2z^p)≡0 modϵ 3z^p≡0 modϵ これはϵ⊥xyzの前提に反する。よってT = 2^k

x+y+z=c2^k

・2|z , 2⊥xyのとき

z^p=x^p+y^p= (x+y)(py^p−1+ (x+y)(. . .)) 2|L=c^p

2|c 2⊥R=γ^p 2⊥γ

x+y+z=c(c^p−1+γ) 2^k=c^p−1+γ 2^k= 1

1.3.2 p|z

x=aα z−y=a^p

y=bβ z−x=b^p

z=pⁿcγ x+y=p^pn−1c^p

p⊥xycγS 2⊥δ^′

Proposition 29 z+x+y=pⁿcS , δ^′|S ⇒ δ^′ ⊥xyz Proof 30

z+x+y=pⁿcγ+p^pn−1c^p

=pⁿc(γ+p^(p−1)n−1c^p−1) pγ^p=R=py^p−1+ (x+y)(. . .)

R≡py^p−1 modc py^p−1⊥c

γ⊥c δ^′|S , δ^′ |cならば矛盾する。よって

δ^′ ⊥z

2z=−(x+y−z) + (z+x+y) ab|x+y−z

z⊥ab

δ^′|abならばδ^′ |2zでなければならず矛盾する。よって δ^′⊥ab

δ^′|βならばδ^′ |z+x

z≡ −x modδ^′ z^p≡ −x^p modδ^′ z^p+x^p≡0 modδ^′ z^p−x^p=y^p≡0 modδ^′なので

z^p+x^p+ (z^p−x^p)≡0 modδ^′ 2z^p̸≡0 modδ^′

よって δ^′⊥β

δ^′|α , δ^′|z+yならば同様に

z^p+y^p+ (z^p−y^p)≡0 modδ^′ 2z^p̸≡0 modδ^′

よって δ^′⊥α 2

Proposition 31 2p|z , 2p⊥xyのときx^p+y^p̸=z^p Proof 32

δ^′⊥xyzなので

y^p̸≡z^p modδ^′,(x^p̸≡z^p modδ^′) , x^p̸≡ −y^p modδ^′

(17)(18)(19)より、θ=δ^′ならば

(x^p+y^p−z^p) + (x^p−y^p) + (z^p+x^p)≡0 modδ^′ (x^p+y^p−z^p) + (2x^p−y^p+z^p)≡0 modδ^′ 3x^p≡0 modδ^′ (x^p+y^p−z^p) + (y^p−x^p) + (z^p+y^p)≡0 modδ^′ (x^p+y^p−z^p) + (−x^p+ 2y^p+z^p)≡0 modδ^′ 3y^p≡0 modδ^′

−(x^p+y^p−z^p) + (z^p+x^p) + (z^p+y^p)≡0 modδ^′

−(x^p+y^p−z^p) + (x^p+y^p+ 2z^p)≡0 modδ^′ 3z^p≡0 modδ^′ これはδ^′⊥xyzの前提に反する。よってS= 2^k

z+x+y=pⁿc2^k

・2|z , 2⊥xyのとき

z^p=x^p+y^p= (x+y)(py^p−1+ (x+y)(. . .)) 2|L=p^pn−1c^p

2|c

2⊥R=pγ^p 2⊥γ

z+x+y=pⁿc(γ+p^(p−1)n−1c^p−1) 2^k=γ+p^(p−1)n−1c^p−1

x=aα z−y=a^p

y=bβ z−x=b^p

z=pⁿcγ x+y=p^pn−1c^p

p⊥xycγT 2⊥ϵ^′

Proposition 33 z−y+x=aT , ϵ^′|T ⇒ ϵ^′ ⊥xyz Proof 34

z−y+x=a^p+aα

=a(a^p−1+α) α⊥a

ϵ^′|T , ϵ^′|aならば矛盾する。よって ϵ^′⊥x

2x= (z−y+x) + (x+y−z) bc|x+y−z

a⊥bc

ϵ^′|bcならばϵ^′|2xでなければならず矛盾する。よって ϵ^′⊥bc

ϵ^′|βならばϵ^′|z+x

z≡ −x modϵ^′ z^p≡ −x^p modϵ^′ z^p+x^p≡0 modϵ^′ z^p−x^p=y^p≡0 modϵ^′なので

z^p+x^p−(z^p−x^p)≡0 modϵ^′ 2x^p̸≡0 modϵ^′

よって ϵ^′⊥β

ϵ^′|γ , ϵ^′|x−yならば同様に

x^p−y^p+ (x^p+y^p)≡0 modϵ^′ 2x^p̸≡0 modϵ^′

よって ϵ^′⊥γ 2