雑誌名同志社商学

(1)

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性

著者北岡孝義

雑誌名同志社商学

巻 70

号 6

ページ 727‑746

発行年 2019‑03‑15

権利同志社大学商学会

URL http://doi.org/10.14988/pa.2019.0000000044

(2)

レベル VAR モデルとインパルス応答の小標本特性

北岡孝

＊

義

Ⅰ 序

Ⅱ VARモデルとインパルス応答関数

Ⅲ モンテカルロ・シミュレーション

Ⅳ 分析結果

Ⅴ 結語

Ⅰ 序

本稿の目的は，レベルVARモデルによるインパルス応答関数の小標本特性をモンテカルロ・シミュレーションによって明らかにすることにある。近年，VARモデルを構成する時系列変数が単位根を有し共和分関係にあることが疑われる場

合でも，VECM1

（Vector Error Correction Model）ではなくレベルVARモデルでインパルス応答分析を行うのが一般的となっている。特に，近年のVARモデルによる金融政策の効果分析の多くは，レベルVARモデルでインパルス応答分析を行っている（例えば，本多・黒木・

立花（2010））。

Park and Phillips（1988），Sims, Stock and Watson（1990）が明らかにしたように，単位根を持つ時系列変数で構成されるレベルVARモデルのOLS 推定量は，一致性と漸近的正規性を有す

2

る。こうしたOLS推定量の一致性と漸近的正規性の性質が，レベル VARモデルによってインパルス応答分析を行うことの根拠となっているものと推測される。

しかし，レベルVARモデルのOLS推定量が一致性，漸近的正規性を有するとしても，レベルVARモデルに基づくインパルス応答が一致性を持つことは自明ではない。

Phillips（1998）は，レベルVARモデルのOLS 推定量による長期のtime horizonのインパルス応答は一致性を持たないことを証明してい

3

る。

また，一致性や漸近的正規性は大標本の性質である。小標本（small sample）で，レ

────────────

*〒101-8301東京都千代田区神田駿河台1-1明治大学商学部

１単位根検定，共和分検定によって単位根や共和分関係が認められる場合。

２ Hamilton（1998, Ch.18）はレベルVARモデルのOLS推定量の一致性と漸近的正規性をわかりやすく

解説している。

３標本数を#，インパルス応答のtime horizonを!とすると，!#"#!#!"!"", #! "のケースにおいて，インパルス応答は一致性を持たない。

（727）１２１

(3)

ベルVARモデルのOLS 推定量がどのような特性を持つかは明らかになっていない。

しかし，いくつかの先行研究は存在する。例えば，Abadir, Hadri and Tzavalis（1999）

は，モンテカルロ・シミュレーションの方法によって，単位根を有するVARモデル

（定数項・トレンド項なし，ラグ次数1）のOLS推定量のmean biasを標本数と変数の数に応じて明らかにした。Lawford and Stamatogiannis（2009）は，Abadir, Hadri and Tzavalis（1999）のVARモデルを定数項とトレンド項を含んだVARモデルに拡張した。彼らは，モンテカルロ・シミュレーションによって小標本でのレベルVARモデルのOLS推定量のmean biasを測定するとともにbiasの改善方法を提案した。これらの研究は，レベルVARモデルの小標本でのOLS推定量には無視できないbiasが存在することを明らかにしている。では実際にどの程度の標本があればバイアスのない推定が可能か。辻（2010）は，モンテカルロ・シミュレーションによって，最低限200以上の標本数が必要であると主張している。

以上のことから，単位根を持つ変数からなるレベルVARモデルのOLS推定量は，

サンプル数200未満程度の小標本のもとではbiasが存在し，確かなインパルス応答分析は期待できない。また，VARモデルを構成する変数が共和分関係にあるならば，

VECMと異なりレベルVARモデルはそうした関係をモデルに組み込んでいない。

Mitchell（2009）は，変数間に共和分関係が存在する複数の VARモデル（変数の数が異なる）を真のモデルと想定しデータを生成させ，そのデータを用いてレベルVARモデルのOLS推定を行った。そして，レベルVARモデルのOLS推定量を使ってインパルス応答分析を行った。その結果，長期は言うに及ばず短期のインパルス応答に関しても大きな誤差の生ずる結果を示した。森川（2018）は，2変数ラグ1，定数項なしの簡単なVARモデルであるが，共和分関係を考慮しないレベル VARモデルは共和分関係を考慮に入れたVECMと比べて大きな誤差の発生することをモンテカルロ・シミュレーションで明らかにした。

さらに，インパルス応答分析では，変数の独立ショックを識別するために，誤差項に関してコレスキー分解を行うことが一般的に行われる。コレスキー分解は，VARモデルの残差系列を使うので，ここでも新たな誤差の生ずる可能性がある。

本稿では，小標本のもとでのレベルVARモデル，時系列変数が単位根を持ち共和分関係にあるレベルVARモデルによるインパルス応答のbiasの問題を取り上げる。上記の議論から，想定されるインパルス応答のbiasの原因として，3つのbiasが指摘できる。すなわち，小標本のもとでのレベルVARモデルのOLS推定量の誤差から生ず

るbias，コレスキー分解にVARモデルの残差系列を用いること生ずるbias，レベル

VARモデルが共和分関係を取り入れていないことから生ずるbiasである。本稿は，これらのbiasをモンテカルロ・シミュレーションによって明らかにする。なお，本稿で

１２２（728）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(4)

は，レベルVARモデルとのbiasの比較のために，VECM, Bayesian VARモデル（以下，BVARモデルと略す）に関しても同様にモンテカルロ・シミュレーションを行う。

なお，BVARモデルのPriorは，標準的なNormal-Wishart Priorである。本稿でのVAR モデルのパラメータのPriorは単位根（正確には，priorの分布の平均値が単位根，川崎

（1991））と想定する。

本稿でのレベルVARモデルは3変数，ラグ次数2，定数項なし，トレンド項なしのモデルである。VECM, BVARモデルも同じである。以下，2節では本稿で取り上げる VARモデルを解説し，3節ではモンテカルロ・シミュレーションの方法を説明する。4 節では，モンテカルロ・シミュレーションの分析結果について議論する。5節では，本稿で得られた結果と今後の課題について言及する。

Ⅱ VAR モデルとインパルス応答関数

Ⅱ. 1 VARモデル

ベクトル時系列変数-+（)#$列ベクトル）に関して，ラグ次数*，定数項ありの構造VARモデル（structural-form VAR model）を想定する。すなわち，（1）式のとおりである。

!#-+&&%!

(&$

*!(-+!(%!^$$%"+ （1）

ここで，&は定数項)#$列ベクトル，!(!(&##$#%#"""#*"は)#)係数行列（!#: non -singular），!は)#)対角行列で対角要素は!₍^%!(&$#%#"""#)#!(%#", "+は)#$列ベクトル，#!"+"&##!"+"₊^$"&$)である。!^$$%"+は-+固有の独立ショックである。

（1）式の構造VARモデルから（2）式の誘導形VARモデル（reduced-form VAR model）が導出される。

-+&'%!

(&$

* "(-+!(%,+ （2）

ここで，'&!_#^!$&,"(&!_#^!$!(!(&$#%#"""#*",,+&!_#^!$!^$$%"+, #!,+,₊^$"&!_#^!$!!_#^$^!$である。Lag Operator %を使えば，（2）式は（3）式のように書き直すことができる。

-+&'%"!%"-+!$%,+ （3）

ここで，"!%"&!

(&$

* "(%^(!$である。（3）式から以下の（4）式を導出できる。

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（729）１２３

(5)

!.+&%%#.+!$%$!$"!.+!$%,+ （4）

ここで，

#&"$%"%%"""%"#!#( （5）

$!$"&!

&&$

)!$$&$^&!$ $&&! !

'&&%$

) "' （6）

!は階差オペレータである。#&#あるいは"$%"%%"""%")&#(であれば，（7）式の階差!.+でのVARモデルが成立する。

!.+&%%$!$"!.+!$%,+ （7）

.+に*個の共和分関係!#&*&("が存在する場合は，.+を構成する変数の線形結合は定常となる。すなわち，

"^$.+&-+ （8）

ここで，"は(#*行列，-+は*#$ベクトルである。"^$.+は*#$ベクトルの定常

（stationary）ベクトル-+となる。Grangerの表現定理（Granger Representation Theorem, Engle and Granger（1987））より，（4）式の右辺の#は（9）式のように表すことができる。

#&!"^$ （9）

!は(#*行列である。行列!%"の階数は*である。

Ⅱ. 2 インパルス応答関数とコレスキー分解

インパルス応答分析は，各変数の独立ショックの1単位ないし1標準偏差の増加が各変数に時間を通じてどのような影響を与えるかを分析するものである。その影響は時間の関数であり，インパルス応答関数と呼ばれる。

インパルス応答関数を求めるには，各変数の独立ショックが識別されなければならない。実証研究においてもっとも一般的に仮定される識別方法はコレスキー分解（Chole- sky Decomposition）である。すなわち，（1）式の!#を（10）式の下三角行列に限定する。

１２４（730）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(6)

!#$

"$%$

"&$

"""

"#$

#$

"&%

"""

"#%

"""

#$

"""

# """

"##!$

##

#

$

!

%%

%#

"

&

$ （10）

（10）式の!#のもとでは，（1）式の変数間の依存関係が再帰性（recursive）を持つことを意味する。!#の逆行列!_#^!$を

!_#^!$$

"$^%$

"^&$

"""

"^#$

#$

"^&%

"""

"^#%

"""

#$

"""

# """

"^##!$

##

#

$

!

%%

#

"

&

$ （11）

と表すと，（2）式の%$!$!_#^!$!"$"は，

%$$

%%$

"""

%#$

!

%%

#

"

&

$$

!$"$$

"^%$!$"$$#!%"%$

"""

"^#$!$"$$#"^#%!%"%$#"""#"^##!#"#$

!

%%

#

"

&

$ （12）

となる。以上のように，!#を下三角形の行列に限定し変数間の依存関係に再帰性を持たせると，誤差項%$は独立ショック"$に分解される。

!#の下三角行列を仮定したコレスキー分解は，次のような経済的意味を持つ。すなわち，

&$$の独立ショック"$$の$期での変化は，同じ$期に!&$$#&%$#"""#&#!$$#&#$"に影響を及ぼす。

&%$の独立ショック"%$の$期での変化は，同じ$期に!&%$#&&$#"""#&#!$$#&#$"に影響を及ぼす。

・・・・・・・・・・・・・・・

&#!$$の独立ショック"#!$$の$期での変化は，同じ$期に!&#!$$#&#$"のみに影響を及ぼす。

&#$の独立ショック"#$の$期での変化は，同じ$期に&#$以外のどの変数にも影響を及ぼさない。

こうした独立ショックの関係は，変数の順序（ordering）'&$$#&%$#"""#&#$(として言及される。

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（731）１２５

(7)

独立ショック!(-の1単位の変化の-%*期の変数/)-%*へのインパルス応答関数

$&#()!*"は，（13）式で与えられる。

$&#()&!*"&$/)-%*

$!(- （13）

（2）式のVARモデルをcompanion formで表すと，

'-&!'-!$%$- （14）

ここで，

'_-^$&&/_-^$"/_-!$^$"""""/_-!,%$^$ '!&

!$"

$+"

#"

"""

#"

!%"

#"

$+"

#"

""""

!,!$"

#"

$+"

!,

##

#

!

%%

%#

"

&

$$_-^$&!._-^$"#"""""#"（15）

'-は!+,#$"列ベクトル，"は!+,#+,"行列，$-は!+,#$"列ベクトルである。

（15）式は'-に関してラグ次数1のVARモデルである。（15）式より，

'-&!$+!!"^!$$-&'

(&$

-!$!⁽$-!( （16）

あるいは，

/-&'

(&$

-!$%^$!⁽%.-!(&'

(&$

-!$"(.-!(&'

(&$

-!$"(#^$#%!-!( （17）

ここで，%^$&&$+"#"""""#'"(&%^$!⁽%!(&$"%""""",!$"である。（17）式は VARモデルのMA表現であり，（17）式よりインパルス応答関数を求めることができる。

Ⅲ モンテカルロ・シミュレーション

Ⅲ. 1 真のモデルの設定

以下では，モンテカルロ・シミュレーションを行うために，データ生成のための真の VARモデルを設定する。真のVARモデルのパラメータ設定に関しては，2001年3月から2006年2月までの量的緩和政策実施時期のマネタリーベース，消費者物価指数，

鉱工業生産指数からなるVARモデルのOLS推定値をベースにしている。真のVAR

１２６（732）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(8)

モデルは，VARモデルを構成する変数が単位根を持ち，共和分関係にあるモデルを設定する。

真のVARモデルは，3変数!%%&"でラグ次数%!&%%"，定数項なし!#%#"，トレンド項なしのモデルである。真のVARモデルは以下の（18-1〜3）式のとおりである。

)$'%#$$)$'!$$#$%)$'!%$#$&)%'!$$#$')%'!%$#$()&'!$$#$))&'!%$($' （18-1）

)%'%#%$)$'!$$#%%)$'!%$#%&)%'!$$#%')%'!%$#%()&'!$$#%))&'!%$(%' （18-2）

)&'%#&$)$'!$$#&%)$'!%$#&&)%'!$$#&')%'!%$#&()&'!$$#&))&'!%$(&' （18-3）

VARモデルの誤差項のコレスキー分解に関しては，（12）式と同じで，（19-1〜3）のとおりである。

($'%!$"$' （19-1）

(%'%"^%$!$"$'$!%"%' （19-2）

(&'%"^&$!$"$'$"^&%!%"%'$!&"&' （19-3）

ここで"$'%!$%$$%$&"は平均0，分散1の正規分布に従うものと仮定する。"$'が)$'

固有の独立ショックである。コレスキー分解の変数の順序Orderingは-)$'$)%'$)&'.の順である。($'!$%$$%$&"も平均0，分散1の正規分布に従うようにパラメータを設定する。VARモデルのパラメータの設定は以下のとおりである。

!$%$ !%% ### +

!&% ### )

"^%$% ### %

"^&$% ### $

"^&%% ### &

VARモデルを行列表示すると，

)'%!$)'!$$!%)'!%$(' （20）

ここで，)'%-)$'$)%'$)&'.^"('%-($'$(%'$(&'.^"である。表1より，

!$% ##)##

!###'(

##(##

!##%*#

##*##

##'(#

###(#

###$(

##*(#

!

#

"

$ !%% ##%##

!####(

!##$##

###$#

##%&(

##*##

###&#

####(

###,#

!

#

"

$ （21）

表1 真のモデルのパラメータの設定

#$$%##)##

#%$%!##%*#

#&$%###(#

#$%%!###'(

#%%%##*##

#&%%###$(

#$&%##(##

#%&%##'(#

#&&%##*(#

#$'%##%##

#%'%###$#

#&'%###&#

#$(%!####(

#%(%##%&(

#&(%####(

#$)%!##$##

#%)%###*#

#&)%###,#

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（733）１２７

(9)

である。

3変数が共和分関係にあるためには，#&!$%!%!"の階数rankが3より小さくなければならない。（21）式のパラメータの設定のもとでは，

rank#&$ （22）

である。したがって，共和分の数は1個!'&$"である。（22）式の#&!$%!%!"の共和分ベクトルへの分解は（23）式のとおりである。

#&!$%!%!"&!"^$

!&(!#%%&#%'&#%')^$

"&($&!%%'&!#%#'')^$ （23）

!は&"$調整速度ベクトル，"は&"$共和分ベクトルである。

Ⅲ. 2 モンテカルロ・シミュレーション

以下では，VARモデルの（18-1〜3）式，誤差項のコレスキー分解の（19-1〜3）式，

表1で与えられる真のモデルのパラメータの設定に基づきモンテカルロ・シミュレーションを行う。分析手順は以下の①〜⑤のとおりである。

【分析手順】

① 真のモデルより$$)!$&$&%&&"の正規乱数を#個発生させ，真のVARモデルに基づき変数!+$)&+%)&+&)"!$#)##"のデータを#個生成する。その際，初期値

!+$)&+%)&+&)"!)&!$&#"は0とする。

② 3変数!+$)&+%)&+&)"の#個のデータセットでVARモデルをOLS 推定する。

③ OLS推定から得られたVARモデルのパラメータ推定値に基づいて，インパルス応答関数を求める。!+$)&+%)&+&)"の独立ショックは!$$)&$%)&$&)"であり，誤差項

!*$)&*%)&*&)"に関するコレスキー分解より独立ショックの変化を与える。独立ショックの変化は1標準偏

4

差の増加である。変数の順序は!+$)&+%)&+&)"である。

④ インパルス応答関数に関しては$期先まで追跡する。効果は独立ショック

$%)!%&$&%&&"の各期の変数!+$)%(&+%)%(&+&)%("!##(#$"に与える効果である。

⑤ ①〜④の手順を&回繰り返し，&個のインパルス反応関数の各期の平均を求め，

真の値と比較する。

────────────

４真のモデルでは，1標準偏差は1単位である。

１２８（734）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(10)

以下では，#＝50, &＝10, 50のケースについてモンテカルロ・シミュレーション分析を行う。なお，繰り返しの回数はいずれのケースも10,000回（(＝10,000）とする。

Ⅲ. 3 3つのVARモデル

レベルVARモデルとインパルス応答関数を比較するために，VECM（Vector Error Correction Model）とBVAR（Bayesian VAR Model）を取り上げる。

推定式は，レベルVARモデルは（18-1〜3）式である。VECMの推定式は，（24-1〜

3）式のとおりである。

!+$)&!$!"$+$)!$%"%+%)!$%"&+&)!$"%%$$!+$)!$%%$%!+%)!$%%$&!+&)!$%*$)（24-1）

!+%)&!%!"$+$)!$%"%+%)!$%"&+&)!$"%%%$!+$)!$%%%%!+%)!$%%%&!+&)!$%*%)（24-2）

!+&)&!&!"$+$)!$%"%+%)!$%"&+&)!$"%%&$!+$)!$%%&%!+%)!$%%&&!+&)!$%*&)（24-3）

（24-1〜3）式の右辺の第1項は，誤差修正の調整速度!&!&&$&%&&"と変数!+$)&+%)&+&)"

間の共和分式"$+$)!$%"%+%)!$%"&+&)!$である。

BVARはパラメータに関するPriorの設定が必要だが，以下ではNormal Wishart Prior を設定する。よく用いられるPriorとして，Minnesota Prior（あるいは，Litterman＝

Minnesota Prior）がある。Minnesota Priorは誤差項の分散共分散行列は既知で，OLS推定量の残差系列から得られる分散共分散行列を用いる。本稿では，残差系列を用いることから生ずる誤差を避けるために，誤差項の分散共分散行列に関してもPriorを設定する。

（18-1〜3）式のVARモデルの係数パラメータ%&'&!&&$&%&&&'&$&%&&&'&(&)"に関して，

#&*%$$&%$%&%$&&%$'&%$(&%$)&%%$&%%%&%%&&%%'&%%(&%%)&%&$&%&%&%&&&%&'&%&(&%&)+^$ （25）

と置く。#（18×1ベクトル）は多変量正規分布に従うと仮定する。すなわち，

##"!##&""$#" （26）

ここで，

##&*$&#&#&#&#&#&#&#&$&#&#&#&#&#&#&#&$&#+

$#&$!)

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（735）１２９

(11)

!^!$#$!&$!&" （27）

と特定化する。!#の設定から!($'$(%'$(&'"が平均的に単位根を持つことをPriorとしている。"はoverall tightness のhyper parameterで，!($'$(%'$(&'"が平均的に単位根を持つことの確かさを表している。"$ #の場合，変数!($'$(%'$(&'"は単位根になる。以下では，標準的な設定として"$'##%とする。!は誤差項の分散共分散行列であり，その逆行列が自由度3のWishart分布$!&$!&"に従う。

Normal-Wishart PriorはConjugate Priorなので，PosteriorもNormal-Wishart分布になる。!のPosteriorの多変量正規分布の平均!は，

!'#(#_#^!$!#&%^%%!*) （28）

#'(#_#^!$&%^%%)^!$

である。ここで，!*はVARモデルのOLS 推定量である。また，

%' (#$$

($$$

("$!$$$

(!$$$

(#$$

"""

("$!%$$

(#$%

($$%

("$!$$%

(!$$%

(#$%

("$!%$%

(#$&

($$&

("$!$$&

(!$$&

(#$&

("$!%$&

!

%%

#

"

&

$ （29）

である。

Ⅳ 分析結果

以下では，VARモデルの（18-1〜3）式，誤差項のコレスキー分解の（19-1〜3）式，

そして表1のVARモデルの係数パラメータ設定から構築される真のモデルに基づいてデータを生成する。次に，生成したデータを使ってレベルVARモデル，VECMは OLS推定量，BVARモデルはPosterior分布の平均値を用いて，インパルス応答分析を行う。生成するデータの数"は小標本を想定しているので，"''#とす

5

る。また，インパルス応答の追跡期間を&'$#, &''#とする。最初に&'$#すなわち10期先までのインパルス応答，次いで&''#すなわち50期先までのインパルス応答の結果を記す。モンテカルロ・シミュレーションの繰り返しの回数は10,000回とする。したがって，以下のインパルス応答関数の図は，レベルVARモデル，VECM, BVARモデルによるインパルス応答の10,000回の結果の平均値である。

────────────

５ "'$##についてもインパルス応答分析を行ったが，結果は"''#の結果と大きく変わらなかった。

１３０（736）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(12)

Ⅳ.1 10期（"!$#）までのインパルス応答

図1は，サンプル数!!'#で推定した各VARモデルに基づく10期先（"!$#）までのインパルス応答分析の結果である。各独立ショックの1標準偏差（＝1単位）の変化の10期先までの効果を表している。

図1からVECMは真のVARモデルと乖離はあるもののインパルス応答関数の形状はよく似ている。3期目以降，両者の乖離の程度はほぼ一定である。乖離の幅は，!$$

の独立ショックのケースが最も大きく，次いで!%$の独立ショック，!&$の独立ショックのケースは乖離の幅が最も小さい。

レベルVARモデルとBVARモデルのインパルス応答関数の形状はよく似ている。

また，期が増えるにしたがって，両者はより接近する傾向にある。

図1 各VARモデルに基づくImpulse Response（!!'#,"!$#）

注）Response of%"$to!#$!""#!$"%"&"は，%#$の独立ショック!#$の1標準偏差（1単位）のショックに対する

%"$の10期先までのインパルス応答を意味する。また，図の曲線の実線，破線等の違いは推定のVAR

モデルの違いである。

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（737）１３１

(13)

Ⅳ.2 50期（"!'#）までのインパルス応答

図2は，サンプル数!!'#で推定した各VARモデルに基づく50期先（"!'#）までのインパルス応答分析の結果である。各独立ショックの1標準偏差（＝1単位）の変化の50期先までの効果を表している。

図2から，50期までのインパルス応答の結果は，10期までのインパルス応答と同様に，VECMと真のVARモデルの間に乖離はあるもののインパルス応答関数の形状はよく似ている。乖離の幅は，!$の独立ショックのケースが最も大きく，次いで!%の独立ショック，!&の独立ショックのケースは乖離の幅が最も小さい。この点も10期までのインパルス応答の結果と同様である。

レベルVARモデルとBVARモデルのインパルス応答関数の形状はよく似ている。

図2 各VARモデルに基づくImpulse Response（!!'#,"!'#）

注）Response of%"$to!#$!""#!$"%"&"は，%#$の独立ショック!#$の1標準偏差（1単位）のショックに対する

１３２（738）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(14)

両者の乖離も小さい。レベルVARモデルとBVARモデルはほぼ同じ結果と言える。

なお，期が増えるにつれて0に収束しないのはVARモデルが単位根を有しているからである。

Ⅳ.3 インパルス応答関数の推定結果に関する議論

図1と図2のインパルス応答分析の結果から，次の2点が指摘できる。

1点は誤差項のコレスキー分解の問題である。レベルVARモデルやBVARモデルに基づくインパルス応答の結果は，10期，50期のいずれのケースにおいても真のVAR モデルとインパルス応答関数の形状が異なる。この点に関しては後に議論する。問題は VECMである。VECM のインパルス応答の結果は，真のモデルのインパルス応答関数との乖離が見られるもののインパルス応答関数の形状はよく似ている。

VECMのインパルス応答の真のモデルのインパルス応答との乖離に関しては，独立ショック!#!の変数!##!"#$!"#%!"への効果に関して最も大きく，次いで独立ショック!$!

の変数!##!"#$!"#%!"への効果である。独立ショック!%!の!##!"#$!"#%!"への効果に関しては，真のVARモデルの独立ショック!%!の!##!"#$!"#%!"への効果とほぼ同じである。

VECMと真のモデルのインパルス応答が独立ショックによって異なる理由は，誤差項のコレスキー分解にある。誤差項のコレスキー分解の想定により，独立ショック!#!

は誤差項"$!""%!に影響を与える。その影響はVECMの推定残差から計算される。

VECMの推定残差を用いることから生ずる誤差が，独立ショック!#!のインパルス応答の累積的な誤差をもたらしている。

独立ショック!$!も誤差項"%!に影響を与える。その影響もVECMの推定残差から計算されるが，誤差項"$!, "%!に影響を与える独立ショック!#!のケースより真のモデルによるインパルス応答との乖離は小さい。独立ショック!%!の効果は独立ショック!%!

が他の誤差項に影響を及ぼさないことから，独立ショック!#!, !$!のような誤差は生じない。

以上の議論から，コレスキー分解において残差系列を用いることから生ずる誤差が，

独立ショック!#!のインパルス応答が真のVARモデルのインパルス応答との乖離が最も大きく，次いで独立ショック!$!，独立ショック!%!が最も乖離が小さい理由であると推測される。

2点は共和分関係の問題である。VECMは変数の単位根，共和分の関係をモデルに組み入れているが，BVARモデルやレベルVARモデルはそうした関係が十分に考慮されていない。厳密に言えば，BVARモデルは，単位根に関しては Priorの正規分布の平均が単位根となるように設定されている。しかし，確定的にモデルの中に単位根を組み入れているわけではない。共和分の関係に関しては，レベルVARモデルは言うに及ばず

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（739）１３３

(15)

BVARモデルも組み入れていない。単位根を十分に取り入れていないことが真の VAR モデルのインパルス応答との乖離の原因であれば，本稿のBVARモデルのPriorがun- informative priorであることを意味す

6

る。

確率分布の形にせよ，BVARモデルは単位根をモデルに取り込んでいるので，まったく考慮していないレベルVARモデルとインパルス応答の違いが表れて当然だと思われる。しかし，インパルス応答分析の結果は，BVARモデルとレベルVARモデルとそう大きくは変わらない。したがって，原因は単位根よりも共和分関係にあるのではないかと推測する。

以下では，上記のコレスキー分解の問題と共和分関係の問題をより詳しく分析する。

Ⅳ.3.1 コレスキー分解

真のVARモデルでは，（19-1〜3）のコレスキー分解の想定から#$"! $$"%$%"%$&"

#%"! $%"%$&" #&"! $&"を想定している。#$"の$$"%$%"%$&"の誤差項#$"%#%"%#&"への影響，

#%"の$%"%$&"の誤差項#%"%#&"への影響，#&"の$&"の誤差項#&"への影響は（30-1〜3）

で捉える。

#'$"#"'$#$" （30-1）

#'%"#!'^%$"'$#$"""'%#%" （30-2）

#'&"#!'^&$"'$#$""!'^&%"'%#%"""'&#&" （30-3）

ここで!!'^%$%!'^&$%!'^&%", !"'$%"'%%"'&"は，残差系列から求めた真の値!!^%$%!^&$%!^&%",

!"$%"%%"&"の推定値である。したがって，真の値!!^%$%!^&$%!^&%", !"$%"%%"&"ではなく推定値!!'^%$%!'^&$%!'^&%",!"'$%"'%%"'&"を使うことから誤差が生ずる。

独立ショック#$"の変化の#$"%#%"%#&"への影響は!'^%$%!'^&$, "'$，独立ショック#%"の変化の#%"%#&"への影響は!'^&%, "'%，独立ショック#&"の変化の#&"への影響は"'&のみが関係している。このことから，誤差の影響が最も大きいのは独立ショック#$"のケースである。次いで独立ショック#%"のケース，独立ショック#&"のケースが誤差の影響が最も小さい。これらの誤差は，VARモデルを構成する変数が定常時系列であれば誤差の影響は時間を通じて縮小・消失するが，単位根を有する変数であれば，誤差は時間を通じても消えずに持ち越される。

こうしたコレスキー分解の影響を確認するために，以下では誤差項にコレスキー分解を想定せずに，

────────────

６ BVARモデルでは，確かさのhyperparameterの!##$%と想定したが，より確かさを高めた

!##$$の場合でも結果は大きく変わらなかった。

１３４（740）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

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'$&!!$&!$!$"%"&" （31）

と仮定する。これは，（1）式で!#!!!"&を意味する。真のVARモデルの誤差項の分散は1で誤差項間の相関はないと仮定する。この仮定のもとで，それぞれのVARモデルのインパルス応答関数を求める。サンプル数は#!'#である。各変数の1単位の変化の10期のインパルス応答を求める。結果は図3のとおりである。

図3より，VECMによるインパルス応答は，〈Response of (&&to !%&〉のケースを除き，どのケースも真のモデルによるインパルス応答に近く誤差は小さい。

一方，レベルVARモデル，BVARモデルのインパルス応答は，依然として真のモデ

図3 誤差項間の相関のない場合のインパルス応答（#!'#,$!$#）

注）Response of($&to!%&!$"%!$"%"&"は，(%&の独立ショック!%&の1標準偏差（1単位）のショックに対する

($&の10期先までのインパルス応答を意味する。また，図の曲線の実線，破線等の違いは推定のVAR

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（741）１３５

(17)

ルのインパルス応答との乖離が大きい。レベルVARモデル，BVARモデルの乖離の原因は，コレスキー分解だけではないと言える。

以上の分析から，独立ショック""$$"#$のインパルス応答に関して，VECM のインパルス応答と真のVARモデルのインパルス応答との乖離はコレスキー分解の問題から生じているものと言える。しかし，コレスキー分解を想定していても，独立ショック"$

のみは乖離が小さい。したがって，実証分析では，変数のorderingの最後の変数の独立ショック（上の例では，"$$）が信頼できるインパルス応答関数であると言うことができる。

Ⅳ.3.2 共和分関係

コレスキー分解の問題を考慮しても，レベルVARモデルやBVARモデルのインパルス応答は真のVARモデルに基づくインパルス応答と大きく乖離している。その原因として，レベルVARモデルやBVARモデルが共和分の関係を考慮していない点を挙げることができる。そこで，以下では，モンテカルロ・シミュレーションによって，単位根を有するが共和分関係のない真のVARモデルを設定し，レベルVARモデルや BVARモデルによるインパルス応答と，真のVARモデルによるインパルス応答との乖離を調べる。

VARモデルの変数が単位根を有するが共和分関係にない場合は，（5）式から，

!#!あるいは!""!##"$ （32）

が成立する。（32）式の条件をもとに，VARモデルの係数パラメータを設定する。パラメータの設定は表2のとおりである。

VARモデルの係数行列!"$!#は（33）式のとおりである。

!"# "#'

!#%

!!##

!#$

"#&

!#$

!!##

!#$

"#%

!

#

"

$ !## !!#'

!!#%

!##

!!#$

!!#&

!!#$

!##

!!#$

!!#%

!

#

"

$ （33）

（33）式の!"$!#のもとで（32）式が成立する。なお，誤差項に関してはコレスキー分解を想定せず，（31）式と同じ仮定を置く。

表2 真のモデルのパラメータの設定

#""#"#'

##"#!#$

#$"#!!##

#"##!!#'

####!!#$

#$##!##

#"$#!#%

##$#"#&

#$$#!#$

#"%#!!#%

##%#!!#&

#$%#!!#$

#"&#!!##

##&#!#$

#$&#"#%

#"'#!##

##'#!!#$

#$'#!!#% １３６（742）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

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上の設定でデータを!"'#個生成し，レベルVARモデルとBVARモデルのOLS 推定を行う。そして，それらOLS推定値を用いてインパルス応答分析を行う。追跡期間は10期とする。モンテカルロ・シミュレーションの繰り返しの回数は10,000回である。以下の図4で与えられるインパルス応答は，10000回の平均値である。

図4の結果から，レベルVARモデル，BVARモデルのいずれも真のモデルのインパルス応答と大きく乖離していることがわかる。レベルVARモデルは，!$$"!%$"!&$! %&$

のケース（図4の3列）を除いて，真のVARモデルのインパルス応答関数と形状はよく似ているものの乖離は大きい。他方，BVARモデルは，Priorとして確率分布の平均として単位根を設定しているがインパルス応答関数にはそれが反映されず，独立ショッ

ク!&$の効果を除いてレベルVARモデルよりも真のVARモデルのインパルス応答と

図4 単位根を持つが共和分関係のない場合のインパルス応答（!"'#,""$#）

注）Response of%"$to!#$!""#"$"%"&"は，%#$の独立ショック!#$の1標準偏差（1単位）のショックに対する

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性（北岡）（743）１３７

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乖離している。BVARモデルはレベルVARモデルにPriorを反映させたものなので，

これはPriorの設定（Normal-Wishart Prior）が問題だと推測される。BVARモデルは，

Priorの設定にインパルス応答関数が影響を受けると考えられる。

レベルVARモデルのOLS推定量は大標本の性質をもつが，小標本のもとでのインパルス応答関数は信頼できない。パラメータの推定誤差が累積し，期を追うにつれて真のモデルのインパルス応答関数と乖離する。

Ⅴ 結語

本稿は，モンテカルロ・シミュレーションの方法によって，レベルVARモデルによるインパルス応答関数の小標本特性を分析した。比較のために，VECM, Bayesian VAR モデル（以下，BVARモデルと略す。）を取り上げた。真のモデルは単位根を有し共和分関係にある変数からなるVARモデルである。変数の数は3，ラグ次数は2，定数項なし，トレンド項なしのVARモデルである。正規乱数を使って真のVARモデルからデータを50個生成し，レベルVARモデル，VECM, Bayesian VARモデルによるインパルス応答関数を推定した。Bayesian VARモデルのPriorはNormal-Wishart Priorである。本稿では小標本を50に限定した。繰り返しの回数は10,000回である。

モンテカルロ・シミュレーションの分析によって，以下の点が明らかになった。小標本のもとでのインパルス応答関数はいずれのVARモデルも，真のVARモデルによるインパルス応答関数との乖離が認められた。その意味で，VARモデルのインパルス応答は小標本biasがある。その原因として，本稿では特に誤差項のコレスキー分解の問題と共和分関係の問題に焦点を当てた。コレスキー分解のもとでの誤差項の相関は，

VARモデルの推定残差の系列から推定される。その推定誤差から生ずるbiasが指摘できる。コレスキー分解の変数のorderingを!"#!""$!""%!"とすると，"#!の独立ショック

!#!の効果のbiasが大きく，"%!の独立ショック!%!の効果のbiasがもっとも小さい。

上記の3つのVARモデルの中で，VECM は"%!の独立ショック!%!の効果が真の VAR モデルの効果とほぼ同じであった。そこで，コレスキー分解を仮定せず誤差項の相関のない真のVARモデルで，モンテカルロ・シミュレーションを行ったところ，VECMのインパルス応答は真のモデルとほぼ同じ結果を得た。VECMはコレスキー分解の問題がなければ，もっとも信頼できるVARモデルと言える。しかし，レベルVARモデル，BVARモデルは，コレスキー分解の問題がなくてもインパルス応答は依然として真のモデルのインパルス応答と大きく乖離している。その原因はレベルVARモデルと BVARモデルが共和分関係をモデルの中に取り込んでいないことにあるのではないかと考え，単位根を有するが共和分関係のない真のVARモデルでモンテカルロ・シミュ

１３８（744）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

(20)

レーションを行った。しかし，その場合も，レベルVARモデルやBVARモデルのインパルス応答は，真のモデルのインパルス応答との乖離が解消しなかった。やはり，小標本のもとではレベルVARモデルやBVARモデルの推定誤差から生ずるインパルス応答のbiasが大きいと言える。注目すべき点は，BVARモデルによるインパルス応答は，レベルVARモデルのそれよりも結果が悪かった。これはBVARモデルのPriorの設定がうまくいかなかったからであると考える。BVARモデルの場合，どのような

Priorを設定するかも，インパルス応答に影響を与えるものと推測される。

以上の分析結果から，単位根や共和分の関係の可能性がある小標本時系列データを用いたVARモデルのインパルス応答分析は，レベルVARモデルだけに頼らず，VECM によるインパルス応答関数の推定も試みるべきである。その場合，インパルス応答分析でコレスキー分解を仮定する場合には，orderingが最後の変数の独立ショックの効果が最も信頼性があることを明記しておく必要がある。この点で，金融政策の効果分析の場合は，金融政策の政策変数（無担保コールレート翌日物金利やマネタリーベース）は

orderingが最後なので好都合である。VECMによる政策変数のインパルス応答は信頼で

きるといえよう。

本稿でのモンテカルロ・シミュレーション分析の拡張として，より変数が多い場合，

よりラグ次数が多いケースの分析が考えられる。多くのケースでの分析を重ねて，結果のロバストネスを確認する必要がある。また，BVARモデルに関しては，逆にどのよ

うなPriorを与えれば真のVARモデルのインパルス応答関数との乖離を小さくするか

を分析することも興味深い。さらに，本稿では真のVARモデルに単位根と共和分関係を前提としたが，near unit rootのケースではどのような結果になるかを確認しておくことも重要である。これらの分析は今後の課題としたい。

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１４０（746）同志社商学第７０巻第６号（２０１９年３月）

雑誌名 同志社商学

レベルVARモデルとインパルス応答の小標本特性

著者 北岡 孝義