オッズ比の高次元への拡張とその性質

オッズ比の高次元への拡張とその性質

著者 矢野 環

雑誌名 文化情報学

巻 11

号 2

ページ 103‑109

発行年 2016‑03‑31

権利 同志社大学文化情報学会

URL http://doi.org/10.14988/pa.2017.0000014727

1. 緒言

　オッズ比（Odds ratio. 以下OR）は従来から疫学・

医学・薬学などで良く利用されていた。近年では、

効果量としての価値も認められるようになり、英 語教育等でも注目されている。

　ORを高次元の行列に対して定義するには、2×2 小行列群のORの集合を考えるのが主流であり

［1, 2, 5］、その可視化の工夫もされ［6, 7, 8］、代 数幾何学的考察もある［9］。一個の量としては、

Goodman-Kruskal's γか ら 研究論文

オッズ比の高次元への拡張とその性質

矢野 環

オッズ比（OR）は、近年効果量としての意義も認められ、よく利用されている。またメタ分析の手法も確 立している。この2ｘ2で定義されているORを高次元に拡張し、そのORが望ましい不変性を持つように定 義する。これまで拡張の提案はあるが、不変性が十分でない。ORはその分散の推定を元に、通常のオッズ 比と同じくメタ分析を行うこともできる。拡張されたオッズ比が１となるのは、行（列）が線形従属な時で ある。実用上、2ｘ2の場合とほぼ同様の処理ができ、関連する検定よりも良い基準とできる。

1. 緒言

オ ッ ズ 比 （Odds ratio. 以 下 OR） は 従 来 か ら 疫 学 ・ 医 学 ・ 薬 学 な ど で 良 く 利 用 さ れ て い た 。 近 年 で は 、効 果 量 と し て の 価 値 も 認 め ら れ る よ う に な り 、 英 語 教 育 等 で も 注 目 さ れ て い る 。

ORを 高 次 元 の 行 列 に 対 し て 定 義 す る に は 、2x 2小 行 列 群 の ORの 集 合 を 考 え る の が 主 流 で あ り [1,2,5]、そ の 可 視 化 の 工 夫 も さ れ [6,7,8]、代 数 幾 何 学 的 考 察 も あ る[9]。 一 個 の 量 と し て は 、Good man-Kruskal's γ か らORG=(1+γ)/(1-γ)と す る [3,4]な ど の 提 案 が あ る 。し か し 、そ れ ら の 量 は 本 来 のORの 満 た す 性 質 の 一 部 は 持 っ て い る も の の 、 重 要 な 不 変 性 が 失 わ れ て い る な ど の 欠 点 も あ る 。こ の た め 、2×2以 外 の 複 数 の 行 列 が 与 え ら れ た 時 、 そ の 群 の 異 質 性 や 同 質 性 を 判 断 し よ う と す る と 、 解 り や す い 不 変 量 が な か っ た 。

も し ORと 同 様 な 不 変 性 を 持 つ 量 を 定 め る こ と が で き る な ら ば 、 一 群 の 行 列 が 与 え ら れ た 場 合 、 そ の 量 のMantel-Haenszel型 estimateや 、 メ タ 分 析 の 手 法 で の 推 定 値 が 、 そ の 群 の 性 質 を 表 現 す る こ と に な る で あ ろ う 。

以 下 に お い て 、 正 方 行 列 の 場 合 を 主 体 と し て 、 ORの 高 次 元 へ の 拡 張 を 提 案 し 、そ の 性 質 を 調 べ 、 実 際 の 適 用 例 を 解 説 す る 。ま た 全 般 的 理 解 の 為 に 、 交 代 群 の 不 変 式 の 一 般 論 か ら 始 め る 。

2. 交代群の不変式

Vを 体 K上 の n次 元 ベ ク ト ル 空 間 と し 、そ の 座 標 関 数 の 集 合{x1, x2, ... ,xn}を X と す る 。X に

は 、n次 対 称 群 Sn が 添 え 字 の 置 換 と し て 作 用 す る 。即 ち 、置 換 σ ∈Sn に 対 し て 、X上 の 置 換 xi |-> xσ(i) が 引 き 起 こ さ れ る 。

こ のSnのX上 へ の 作 用 は 、自 然 に 多 項 式 環 K [X]上 に 誘 導 さ れ る 。こ のSnの 作 用 で の 不 変 式 環 は 、 対 称 式 の 集 合 Sで あ る 。Snの 元 は 偶 置 換 と 奇 置 換 に わ か れ 、偶 置 換 全 体 の 集 合 Anは Snのi ndex 2の（ 正 規 ）部 分 群 を な す 。置 換 は 符 号 sig n(σ)を も ち 、 こ れ は 群 準 同 型 を 与 え る 。

sign : Sn ― ＞ {±1}

偶 置 換 は 符 号1, 奇 置 換 は 符 号 －1で あ る 。Anの 不 変 式 で あ っ て 、Snの 不 変 式 で は な い も の を 交 代 式 と よ ぶ 。Sと 交 代 式 の 全 体 は 再 び 環 を な し 、 半 不 変 式 の 環 と 呼 ば れ る 。

交 代 式 Δ が 存 在 し 、 半 不 変 式=S + ΔS と な る こ と が 知 ら れ て い る 。Kの 標 数 が2で な い 場 合 は 、 Δ と し て 基 本 差 積 を と る こ と が で き る 。

Δ=Πi<j (xi － xj)

右 辺 を 展 開 し 、係 数 が １ で あ る 単 項 式 の 和 を Δp, 係 数 が －1と な る 単 項 式 の 和 を Δnと す れ ば 、 Δ= Δp － Δn

と な る 。Kの 標 数 が 2の 場 合 は 、Δ は 対 称 式 で あ り 、 半 不 変 式=S + ΔpS = S + ΔnSと な る 。 以 下Kの 標 数 ≠2と す る 。

次 に 、n×n行 列 M=(xij) を 考 え る 。 第 二 添 え 字 に 置 換 を 含 む 単 項 式

m（ σ ）= Π_{i=1 n} xiσ(i)

は 、i行 σ(i)列 成 分 の 積 で あ り 、 各 行 各 列 か ら 一 か 所 づ つ 採 択 し て い る 。 こ の 第 二 添 え 字 をSn 全 体 に 及 ぼ し た 和 、

と する［3, 4］などの提案がある。しかし、それら の量は本来のORの満たす性質の一部は持ってい るものの、重要な不変性が失われているなどの欠 点もある。このため、2×2以外の複数の行列が 与えられた時、その群の異質性や同質性を判断し ようとすると、解りやすい不変量がなかった。

　もしORと同様な不変性を持つ量を定めること ができるならば、一群の行列が与えられた場合、

その量のMantel-Haenszel型estimateや、メタ分 析の手法での推定値が、その群の性質を表現する ことになるであろう。

　以下において、正方行列の場合を主体として、

ORの高次元への拡張を提案し、その性質を調べ、

実際の適用例を解説する。また全般的理解の為に、

交代群の不変式の一般論から始める。

2. 交代群の不変式

　Vを体K上のn次元ベクトル空間とし、その 座標関数の集合{x1, x2, ... ,xn}をXとする。Xに は、n次対称群Snが添え字の置換として作用す る。即ち、置換σ∈Snに対して、X上の置換

が引き起こされる。

　このSnのX上への作用は、自然に多項式環 K[X]上に誘導される。そのSnの作用での不変 式環は、対称式の集合Sである。Snの元は偶置 換と奇置換にわかれ、偶置換全体の集合Anは

Snのindex 2の（正規）部分群をなす。置換は符

号sign (σ)をもち、これは群準同型を与える。

　 研究論文

オッズ比の高次元への拡張とその性質

矢野 環

オッズ比（OR）は、近年効果量としての意義も認められ、よく利用されている。またメタ分析の手法も確 立している。この2ｘ2で定義されているORを高次元に拡張し、そのORが望ましい不変性を持つように定 義する。これまで拡張の提案はあるが、不変性が十分でない。ORはその分散の推定を元に、通常のオッズ 比と同じくメタ分析を行うこともできる。拡張されたオッズ比が１となるのは、行（列）が線形従属な時で ある。実用上、2ｘ2の場合とほぼ同様の処理ができ、関連する検定よりも良い基準とできる。

1. 緒言

オ ッ ズ 比 （Odds ratio. 以 下 OR） は 従 来 か ら 疫 学 ・ 医 学 ・ 薬 学 な ど で 良 く 利 用 さ れ て い た 。 近 年 で は 、効 果 量 と し て の 価 値 も 認 め ら れ る よ う に な り 、 英 語 教 育 等 で も 注 目 さ れ て い る 。

ORを 高 次 元 の 行 列 に 対 し て 定 義 す る に は 、2x 2小 行 列 群 の ORの 集 合 を 考 え る の が 主 流 で あ り [1,2,5]、そ の 可 視 化 の 工 夫 も さ れ [6,7,8]、代 数 幾 何 学 的 考 察 も あ る[9]。 一 個 の 量 と し て は 、Good man-Kruskal's γ か らORG=(1+γ)/(1-γ)と す る [3,4]な ど の 提 案 が あ る 。し か し 、そ れ ら の 量 は 本 来 の ORの 満 た す 性 質 の 一 部 は 持 っ て い る も の の 、 重 要 な 不 変 性 が 失 わ れ て い る な ど の 欠 点 も あ る 。こ の た め 、2×2以 外 の 複 数 の 行 列 が 与 え ら れ た 時 、 そ の 群 の 異 質 性 や 同 質 性 を 判 断 し よ う と す る と 、 解 り や す い 不 変 量 が な か っ た 。

も し ORと 同 様 な 不 変 性 を 持 つ 量 を 定 め る こ と が で き る な ら ば 、 一 群 の 行 列 が 与 え ら れ た 場 合 、 そ の 量 の Mantel-Haenszel型estimateや 、 メ タ 分 析 の 手 法 で の 推 定 値 が 、 そ の 群 の 性 質 を 表 現 す る こ と に な る で あ ろ う 。

以 下 に お い て 、 正 方 行 列 の 場 合 を 主 体 と し て 、 ORの 高 次 元 へ の 拡 張 を 提 案 し 、そ の 性 質 を 調 べ 、 実 際 の 適 用 例 を 解 説 す る 。ま た 全 般 的 理 解 の 為 に 、 交 代 群 の 不 変 式 の 一 般 論 か ら 始 め る 。

2. 交代群の不変式

Vを 体K上 の n次 元 ベ ク ト ル 空 間 と し 、そ の 座 標 関 数 の 集 合{x1, x2, ... ,xn}を X と す る 。X に

は 、n次 対 称 群Sn が 添 え 字 の 置 換 と し て 作 用 す る 。即 ち 、置 換 σ ∈Sn に 対 し て 、X上 の 置 換 xi |-> xσ(i) が 引 き 起 こ さ れ る 。

こ のSnのX上 へ の 作 用 は 、自 然 に 多 項 式 環 K [X]上 に 誘 導 さ れ る 。こ の Snの 作 用 で の 不 変 式 環 は 、 対 称 式 の 集 合Sで あ る 。Snの 元 は 偶 置 換 と 奇 置 換 に わ か れ 、偶 置 換 全 体 の 集 合AnはSn のi ndex 2の（ 正 規 ）部 分 群 を な す 。置 換 は 符 号sig n(σ)を も ち 、 こ れ は 群 準 同 型 を 与 え る 。

sign : Sn ― ＞ {±1}

偶 置 換 は 符 号1, 奇 置 換 は 符 号 －1で あ る 。Anの 不 変 式 で あ っ て 、Snの 不 変 式 で は な い も の を 交 代 式 と よ ぶ 。Sと 交 代 式 の 全 体 は 再 び 環 を な し 、 半 不 変 式 の 環 と 呼 ば れ る 。

交 代 式 Δ が 存 在 し 、 半 不 変 式=S + ΔS と な る こ と が 知 ら れ て い る 。Kの 標 数 が2で な い 場 合 は 、 Δ と し て 基 本 差 積 を と る こ と が で き る 。

Δ=Πi<j (xi － xj)

右 辺 を 展 開 し 、係 数 が １ で あ る 単 項 式 の 和 を Δp, 係 数 が －1と な る 単 項 式 の 和 を Δnと す れ ば 、 Δ= Δp － Δn

と な る 。Kの 標 数 が 2の 場 合 は 、Δ は 対 称 式 で あ り 、 半 不 変 式=S + ΔpS = S + ΔnSと な る 。 以 下Kの 標 数 ≠2と す る 。

次 に 、n×n行 列 M=(xij) を 考 え る 。 第 二 添 え 字 に 置 換 を 含 む 単 項 式

m（ σ ）= Π_{i=1 n} xiσ(i)

は 、i行 σ(i)列 成 分 の 積 で あ り 、 各 行 各 列 か ら 一 か 所 づ つ 採 択 し て い る 。 こ の 第 二 添 え 字 をSn全 体 に 及 ぼ し た 和 、

偶置換は符号1, 奇置換は符号－1である。Anの 不変式であって、Snの不変式ではないものを交 代式とよぶ。Sと交代式の全体は再び環をなし、

半不変式の環と呼ばれる。

　交代式Δが存在し、半不変式＝S＋ΔSとなる ことが知られている。Kの標数が2でない場合は、

Δとして基本差積をとることができる。

　 研究論文

オッズ比の高次元への拡張とその性質

矢野 環

オッズ比（OR）は、近年効果量としての意義も認められ、よく利用されている。またメタ分析の手法も確 立している。この2ｘ2で定義されているORを高次元に拡張し、そのORが望ましい不変性を持つように定 義する。これまで拡張の提案はあるが、不変性が十分でない。ORはその分散の推定を元に、通常のオッズ 比と同じくメタ分析を行うこともできる。拡張されたオッズ比が１となるのは、行（列）が線形従属な時で ある。実用上、2ｘ2の場合とほぼ同様の処理ができ、関連する検定よりも良い基準とできる。

1. 緒言

オ ッ ズ 比 （Odds ratio. 以 下OR） は 従 来 か ら 疫 学 ・ 医 学 ・ 薬 学 な ど で 良 く 利 用 さ れ て い た 。 近 年 で は 、効 果 量 と し て の 価 値 も 認 め ら れ る よ う に な り 、 英 語 教 育 等 で も 注 目 さ れ て い る 。

ORを 高 次 元 の 行 列 に 対 し て 定 義 す る に は 、2x 2小 行 列 群 の ORの 集 合 を 考 え る の が 主 流 で あ り [1,2,5]、そ の 可 視 化 の 工 夫 も さ れ [6,7,8]、代 数 幾 何 学 的 考 察 も あ る[9]。 一 個 の 量 と し て は 、Good man-Kruskal's γ か らORG=(1+γ)/(1-γ)と す る [3,4]な ど の 提 案 が あ る 。し か し 、そ れ ら の 量 は 本 来 のORの 満 た す 性 質 の 一 部 は 持 っ て い る も の の 、 重 要 な 不 変 性 が 失 わ れ て い る な ど の 欠 点 も あ る 。こ の た め 、2×2以 外 の 複 数 の 行 列 が 与 え ら れ た 時 、 そ の 群 の 異 質 性 や 同 質 性 を 判 断 し よ う と す る と 、 解 り や す い 不 変 量 が な か っ た 。

も しORと 同 様 な 不 変 性 を 持 つ 量 を 定 め る こ と が で き る な ら ば 、 一 群 の 行 列 が 与 え ら れ た 場 合 、 そ の 量 の Mantel-Haenszel型 estimateや 、 メ タ 分 析 の 手 法 で の 推 定 値 が 、 そ の 群 の 性 質 を 表 現 す る こ と に な る で あ ろ う 。

以 下 に お い て 、 正 方 行 列 の 場 合 を 主 体 と し て 、 ORの 高 次 元 へ の 拡 張 を 提 案 し 、そ の 性 質 を 調 べ 、 実 際 の 適 用 例 を 解 説 す る 。ま た 全 般 的 理 解 の 為 に 、 交 代 群 の 不 変 式 の 一 般 論 か ら 始 め る 。

2. 交代群の不変式

Vを 体K上 のn次 元 ベ ク ト ル 空 間 と し 、そ の 座 標 関 数 の 集 合{x1, x2, ... ,xn}をX と す る 。X に

は 、n次 対 称 群 Sn が 添 え 字 の 置 換 と し て 作 用 す る 。即 ち 、置 換 σ ∈Sn に 対 し て 、X上 の 置 換 xi |-> xσ(i) が 引 き 起 こ さ れ る 。

こ のSnのX上 へ の 作 用 は 、自 然 に 多 項 式 環 K [X]上 に 誘 導 さ れ る 。こ のSnの 作 用 で の 不 変 式 環 は 、 対 称 式 の 集 合 Sで あ る 。Snの 元 は 偶 置 換 と 奇 置 換 に わ か れ 、偶 置 換 全 体 の 集 合 Anは Snの i ndex 2の（ 正 規 ）部 分 群 を な す 。置 換 は 符 号 sig n(σ)を も ち 、 こ れ は 群 準 同 型 を 与 え る 。

sign : Sn ― ＞ {±1}

偶 置 換 は 符 号1, 奇 置 換 は 符 号 －1で あ る 。Anの 不 変 式 で あ っ て 、Sn の 不 変 式 で は な い も の を 交 代 式 と よ ぶ 。Sと 交 代 式 の 全 体 は 再 び 環 を な し 、 半 不 変 式 の 環 と 呼 ば れ る 。

交 代 式 Δ が 存 在 し 、 半 不 変 式=S + ΔS と な る こ と が 知 ら れ て い る 。Kの 標 数 が2で な い 場 合 は 、 Δ と し て 基 本 差 積 を と る こ と が で き る 。

Δ=Πi<j (xi － xj)

右 辺 を 展 開 し 、係 数 が １ で あ る 単 項 式 の 和 を Δp, 係 数 が －1と な る 単 項 式 の 和 を Δnと す れ ば 、 Δ= Δp － Δn

と な る 。Kの 標 数 が 2の 場 合 は 、Δ は 対 称 式 で あ り 、 半 不 変 式=S + ΔpS = S + ΔnSと な る 。 以 下Kの 標 数 ≠2と す る 。

次 に 、n×n行 列 M=(xij) を 考 え る 。 第 二 添 え 字 に 置 換 を 含 む 単 項 式

m（ σ ）= Π_{i=1 n} xiσ(i)

は 、i行 σ(i)列 成 分 の 積 で あ り 、 各 行 各 列 か ら 一 か 所 づ つ 採 択 し て い る 。 こ の 第 二 添 え 字 を Sn全 体 に 及 ぼ し た 和 、

右辺を展開し、係数が1である単項式の和をΔp, 研究ノート

オッズ比の高次元への拡張とその性質

矢野　環

　オッズ比（OR）は、近年効果量としての意義も認められ、よく利用されている。またメタ分析の手法 も確立している。この2×2で定義されているORを高次元に拡張し、そのORが望ましい不変性を持つ ように定義する。これまで拡張の提案はあるが、不変性が十分でない。ORはその分散の推定を元に、通 常のオッズ比と同じくメタ分析を行うこともできる。拡張されたオッズ比が１となるのは、行（列）が線 形従属な時である。実用上、2×2の場合とほぼ同様の処理ができ、関連する検定よりも良い基準とできる。