円の方程式 (1)

名前 (       ）

円の方程式 (1)

x y

O

例題

r

円の方程式 ① 次のような円の方程式を求めなさい。

x y

O

解

b

r

中心が原点，半径が 

のとき，円の方程式は 円の中心 …… (

円の半径 ……     

中心が( 

 ^{)，半径が} 

中心が( −

 ^{)，半径が} 

円の中心 …… 原点 (   ，  )  円の半径 ……   

0 0

のとき，円の方程式は

(x

a)

+ (y

b)

= r

x

+ y

= r

x

+ y

= 4

x² +y² = 16

(x

1)

+ (y

3)

= 4

{x − (−5)}²+ (y− 4)² = (2 3)²

(x + 5)²+ (y −4)² = 12

(1) (2) (3)

(1)

(2)

(3)

 ，  のとき,   は

a = 0 b = 0 (x − a)² + (y − b)² = r² (x −0)² + (y − 0)² = r²

x²+ y² = r²

a = 0 ，b = 0

確認

日付(        月         日        曜日   )   名前 (       ）

円の方程式 (2)

例題

次の円の方程式について，中心の座標と半径を求 めなさい。

(1) (2)

解

x

+ y

= 5

x

+ y

= 25

(x

2)

+ (y

4)

= 7

(x

2)

+ (y

4)

= 49

{x− (−3)}²+ (y− 2)² = (3 2)²

(x + 3)

+ (y

2)

= 18 x

+ y

= 25

(x

2)

+ (y

4)

= 49 (x + 3)

+ (y

2)

= 18

(1)

(2)

(3)

中心が原点，半径が 

中心が( 

4  )，半径が 

中心が( 

 ^{)，半径が} 

x y

O

r

円の方程式 ①

x y

O a b

r

のとき，円の方程式は

円の中心 …… (

円の半径 ……     

円の中心 …… 原点 (   ，  )  円の半径 ……   

0 0

のとき，円の方程式は

(x

a)

+ (y

b)

= r

x

+ y

= r

 ，  のとき,   は

a = 0 b = 0 (x − a)² + (y − b)² = r² (x −0)² + (y − 0)² = r²

x²+ y² = r²

a = 0 ，b = 0

確認

名前 (       ）

直径の座標と円

直径の座標と円

直径の両端(２点   ，  ) の座標が分かっているときの 円の方程式の求め方

A B

例題

２点   ，  を直径の両端とする円について，

中心の座標と半径を求めなさい。また，円の方程式を求めな さい。

A(2, 1) B(4, −3)

解

Step１． 線分 

 の中点   ( =          ) 

     の座標を求める。

AB C

^円の中心

Step２．点   と 点   の距離 ( ＝        ) 

    を求める。

A C

^円の半径

x y

O

A(x_a, y_a)

B(x_b, y_b)

C(x_c, y_c) =

(x_a +x_b

2 , y_a+y_b 2 )

２点間の距離の公式

求める円の中心を     とする。 

C

 は線分   の中点 で，中心の座標は

C AB

また，半径は

すなわち (3, −1) (2 + 4

2 , 1−3 2 )

AC = (2 −3)² + {1−(−1)}^{2 ＝}  5

よって，この円の方程式は

(x − 3)² + {y − (−1)}² = ( 5)² (x − 3)² + (y + 1)² = 5

Step３．円の中心の座標と半径を (         ) 

    に代入して完成！

円の方程式

2 , y_a+ y_b 2 )

(x_c, y_c) =

AC = (x_a− x_c)² + (y_a− y_c)²

x y

A(2, 1)

B(4, − 3) O

C(3, − 1)

5

日付(        月         日        曜日   )   名前 (       ）

円の方程式の変形 (1)

例題

次の方程式から円の方程式を選びなさい。

(1)

解

円の方程式になる特徴

(x + 3)² + (y − 2)² = 5 

(3) (2)

円の方程式は 定数   ，  ，  を用いて l m n

x² + 6x + 9 + y² −4y + 4 = 5 

x² + 6x + 9 + y² −4y + 4 −5 = 0 

x²+y² + 6x − 4y + 8 = 0 

x

+ y

+ lx + my + n = 0

の形にも表すことができる！

特徴１． x

 と  y

  の係数が等しい。

特徴２． xy  の項が存在しない。

また，この形の円の方程式には，次の特徴がある。

← (x −a)²+ (y −b)² = r² 

← x² +y²+ lx + my +n = 0

(4)

(1)

(3) (2)

(4)

x² +y²−4x + 3y + 11 = 0 

2x²+ 2y²−4y = 0 

5x²+ 5y² −20x −10 = 0 

x²+ 3y²+ 2xy −4y + 9 = 0 

円の方程式

証明

（特徴１，２を満たす）

円の方程式

円の方程式ではない 円の方程式

（特徴１，２を満たさない）

（特徴１，２を満たす）

（特徴１，２を満たす）

例題

(1) (2)

解

(1)

平方完成のやり方（  x

の係数が１）

x² + 4x + 1

平方完成

(x − p)² + q

次の   次式を平方完成させなさい。 2

y² − 3y + 1 x² + bx + c

x²+ 4x + 1

(x+ )2 ² −2²

(x + 2)² − 3

①

②

x

 の係数の半分を準備

③

① を(    )  の中に入れる

2

b 2 b 2

半分

−(b 2)

2

x

+ bx + c

+c

(x + b 2)

2+ 4c −b² 4

を引いて定数項 (   )と計算する

2)

2

c

2

+1

半分

(2)

名前 (       ）

y²− 3y + 1 (y − )

3 2

2 −(− 3 2)

2

(y − 3 2)

2− 5 4

+1

−9 4 + 11

=− 9 4 + 4

4

=− 5 4

     復習！

−4 + 1

=−3 ２乗して引く

２乗して引く

日付(        月         日        曜日   )   名前 (       ）

例題

次の円の方程式について，円の中心座標と半径を求め  なさい。

(1)

解

x

+ y

+ lx + my + n = 0  の変形

(2)

例

x² −4x +y² + 6y −3 = 0

 の中心，半径を求める。

x²+y²−4x + 6y −3 = 0

Step１．x²+lx +y²+my +n = 0 に並べる

Step２．x²+lx y ， ²+my をそれぞれ（      ）する

Step３．実数の項を整理して完成！

 乗して引く

2 2 ^{乗して引く}

(x−2)²+ (y + 3)²= 16

 を変形して   にすることで，

円の中心，半径がわかる！

x² + y² + lx + my + n = 0 (x − a)² + (y − b)² = r²

中心 (   ，  )   半径   の円

2 −3 4

(x−2)²+ (y+ 3)²−16 = 0

中心( 

 ，  )，半径 

x²+ y²− 4x + 10y −7 = 0

x²+ 6x + y²− 8y = 0

(x + 3)² − 3²+ (y − 4)² −(−4)² = 0 (x + 3)² + (y − 4)² = 25

(x + 3)²+ (y − 4)² − 25 = 0

(1)

(2) x²− 4x +y²+ 10y − 7 = 0

(x − 2)² − (−2)²+ (y + 5)²− 5²− 7 = 0 (x − 2)² + (y + 5)²− 36 = 0

(x − 2)²+ (y + 5)² = 36

中心(   ，

 )，半径 

円の方程式の変形 (2)

平方完成

x² − 4x +y² + 6y −3 = 0 (x −2)² − (−2)² + (y + 3)²− 3²− 3 = 0

半分 半分

Step１．

Step２．

Step３．

Step１．

Step２．

Step３．

例題

解

3つの連立方程式の解き方

３つの連立方程式

次の連立方程式を解きなさい。

名前 (       ）

     復習！

Step１．消しやすい (      ) を見定め，その文字を消す。

Step２．通常の連立方程式にして，計算する。

… ①

… ②

… ③

−2l+ 2m+n+ 8 = 0 l + 3m +n + 10 = 0

−l−m+n+ 2 = 0

{

① ー ③ より

② ー ③ より

④ ×2 + ⑤ より

−l+ 3m+ 6 = 0 2l+ 4m + 8 = 0

… ④

… ⑤

 を ④ に代入 して

m = −2 l = 0

 ，  を ③ に代入して

l = 0 m = −2 n = −4 l = 0 m = −2 n = −4

よって

m = −2 2m+ 4 = 0

① ，③ から   を消去n

② ，③ から   を消去n

−2l+ 6m + 12 = 0 2l+ 4m + 8 = 0 2m + 4 = 0

−) １文字

係数がそろっている文字を消すと楽だよ！

日付(        月         日        曜日   )   名前 (       ）

３点を通る円の方程式

例題

通る３点から円の方程式を導く

解

Step１．(         ) を x²+y²+lx +my +n = 0 に代入

Step２． Step１で求めた式を (      ) として解き， 

      ，  ，  を求める。l m n

Step３．  ，  ，  を (      ) に 

    代入して完成

l m n

３点の座標

連立方程式

 x²+y²+lx +my +n = 0

３点   (   ,   ) ，   (   ,   ) ,    (   ,   ) を通る 円の方程式を求める。

A −2 2 B 1 3 C −1 −1

点   を通るためA (−2)²+ 2²+l⋅(−2) +m⋅2 +n = 0

−2l+ 2m+n+ 8 = 0 ^… ①

点   を通るためB 1²+ 3²+l⋅1 +m⋅3 +n = 0

l+ 3m+n+ 10 = 0 ^… ②

点   を通るためC (−1)²+ 1²+l⋅(−1) +m⋅1 +n = 0

−l−m +n + 2 = 0 ^… ③

式 ① ，② ，③ を解くと l = 0 m = −2 n = −4

よって，３点   ，  ，  を通る円の方程式はA B C x²+y²−2y−4 = 0