非圧縮 MHD 方程式の解について

非圧縮 MHD 方程式の解について

菊地 慶祐

On the solutions of incompressible MHD equations

KIKUCHI Keisuke

Abstract:

It is shown here that the general solutions of 1-dim ideal MHD equations for incompressible perfect fluid, the traveling wave solutions of 2-dim ideal MHD equations for incompressible perfect fluid, and the traveling wave solutions of ideal MHD equations for incompressible viscous fluid.

KEY WORDS: incompressible MHD equations, general solutions, traveling wave solutions 要旨 完全流体についての 1 次元非圧縮 MHD 方程式の 一般解，2 次元非圧縮 MHD 方程式の進行波解，および，粘性流体に ついての非圧縮 MHD 方程式の進行波解が示されている． キーワード：非圧縮磁気流体方程式，一般解，進行波解

１．はじめに

非圧縮磁気流体（incompressible Magnetohydrodynamics ［MHD］）の運動は，方程式系 (1-a) v

  

v v B



B B2 2v 2 1 _{ }       _        





t (1-b) Bt

  

vBB



v



2B (1-c)  v 0,  B 0 で記述される．ここで，Bは磁場ベクトル，vは流速ベクトル，



は圧力を表し，



は流体の粘性係数，



は 磁気拡散率である．

本研究の目的は，粘性，非粘性のBurgers 方程式の一般解に対応した，MHD 方程式の一般解を求めること である．ただし，本稿で示される結果は，完全流体についての非圧縮理想磁気流体（







0）の，空間1 次 元の一般解，空間2 次元の進行波解，および，粘性流体（



0）についての進行波解に限られ，当初の目標と 比べて不十分な結果であり，言わば，「未完成品」と言ってよい内容であることは十分承知の上で，研究の最初 の一歩としてご了承願いたい． なお，本稿の定理の結果の記述においては，関数の連続性，微分可能性等については省略する．

２．完全流体についての非圧縮 MHD 方程式の解

0  





のとき, uvB, pvB,



 2



2 1 B * _{とおくことで (1) は} (2-a) u_t



p



u



* (2-b) p_t

 

up



* (2-c)  u 0,  p 0 に書き換えられる． とくに，空間1 次元の場合については，(2-a), (2-b)から準線形 1 階双曲型偏微分方程式 (3-a) u_tpu_x0 (3-b) p_tup_x0 が導かれる． 定理１ 連立微分方程式 (3-a), (3-b) の解

 

u,p は，陰関数 (4) x



uf

 

udu



tf

 

u



, p



tf

 

u



で求められる．ただし, f

 

 , 

 

 は任意関数である． 証明 まず，(3-a), (3-b) に対して, tt

 

u,p , xx

 

u,p で変換［ホドグラフ変換］を適用しよう．このとき _                     1 0 0 1 x t x t p u p u p p u u x x t t であるから，Dtuxptpxu0 のとき

_                         u u p p p u p u x t x t t x t x D x x t t p p u u 1 1 が成り立つ． よって，(3-a), (3-b) は，u,pを変数，t,xを未知関数とする1 階線形双曲型偏微分方程式 (5-a) xpptp0 (5-b) x_uut_u0 に書き換えられる．さらに，(5-a), (5-b)をそれぞれu, pで偏微分して 0   _pu pu pt x , x_uput_up0 従って upのとき，tup0 が導かれ，未知関数tは (6) t f

   

ug p で求められる． ここで, f , gは任意関数である． また， dxxuduxpdputuduptpdpuf

 

udupg

 

pdp より (7) x



uf

 

udu



pg

 

pdp が得られる． 注 (6), (7) から Dt_ux_pt_px_u



up

    

fugp が得られ, u のとき,p 任意の非定数関数f

 

 , g

 

 に対して, ホドグラフ変換の条件D0をみたすことがわかる． 次に，解の陰関数表示 (6), (7) を少しだけ使い易い形に書き換えよう． (6) からpは ph



tf

 

u



, ただし，hは g の逆関数 で表され，これを (3-b) に代入して p_tup_xh



tf

 

u





1f

 

u u_tuu_x





0

が得られる．よって，(6), (3-b) をみたす u は，1 階の偏微分方程式 (8) f

 

uu_tuf

 

uu_x1 で求められることがわかる．(8)の Lagrange 系は

 

 

1 du u f u dx u f dt _    であり，それぞれ

 

1 du u fdt  ⇔ dtf

 

udu より t uf

 

（は任意定数）

 

1 du u f udx  ⇔ dxuf

 du

u より x



uf

 

udu（は任意定数） が得られるから，(8)の一般解 (9) 



tf

 

u,x



uf

 

udu



0（ ,

 

 は任意の関数） が求められる．このとき，とくに (10) x



uf

 

udu



tf

 

u







g

 

p



で表される． これより，(7)と比較して 両者が成り立つ条件 (11)



pg

 

pdp





g

 

p



が導かれる． この両辺をpについて微分して 



g

 

p

  

gp pg

 

p ⇒ p



g

 

p



よって，

 

 は g の逆関数hに等しいこと，すなわち，

   

 h であることがわかり(4)が導かれる． 逆に，(4)が(3-a), (3-b) の解であることは直接の計算で確かめられる． 注 とくに，u のとき，(3-a), (3-b)はともに非粘性の Burgers 方程式となり，よく知られているように，一般解は p 陰関数表示で与えられる．さらに，この解は直ちに空間多次元の場合の解に拡張される． 空間1 次元 utuux0の一般解：uf



xtu



（ f

 

 は任意関数） ⇒ 空間多次元 u_t

 

uu0の一般解：uf



xtu



（ f

 

 は任意のベクトル値関数）

一方，(4)は直ちに空間多次元の場合の解に拡張することはできない． 空間2 次元の進行波解について，次の定理が成り立つ． 定理２ 0  

_

* _{をみたす (2-a), (2-b), (2-c)の進行波解：uu}



_xat



_{, p p}



_xat



_（a

 

_{a,b は定ベクトル）は} (12-a) u



f



yx



ab



t



a,f



yx



ab



t



b



(12-b) p



g



yx



ab



t



a,g



yx



ab



t



b



ただし, f , gは任意関数，は任意定数 に限られる． 注 (2-c)をみたさない・ ・ ・ ・ ・ (2-a), (2-b)の進行波解：u



U



xat



a,V



xa



b



, p



P



xat



a,Q



xa



b



は陰関数 (13) ybt



h

   

UUdU



xat

 

U



, VUh

 

U , k

 

P 



xat

 

U



, QPk

 

P で与えられる．ここで, h , k , ,  は任意関数である． 証明

   



U,,V,



  a u , p a



P

   

,,Q,



, ただし,

  

,  xat,ybt



とおくとき，(2-a), (2-b)（

_

*0_{）はそれぞれ} (14-a) _                   0 0 Q P V V U U     (14-b) _                   0 0 V U Q Q P P     に書き換えられる． このとき，(13-a) および _             0 0 Q P をみたす条件は 0     V V U U であり，UとVは関数関係があるから V

 

U で表される． 同様に，(14-b) および _             0 0 V U から Q

 

P が導かれ，(14-a), (14-b)は，U , を未知関数とする準線形P 1 階双曲型偏微分方程式 (15-a) PU

 

PU0

(15-b) UP

 

U P0 に書き換えられる． さらに，(2-c)から，それぞれ uUV0 ⇔ U





 

UU0 pPQ0 ⇔ P





 

PP0 が得られ，(15-a), (15-b)と比較して 

 

P P

 

U , 

 

U U

 

P が成り立つことがわかる． これより (16) 

 

U U, 

 

P P（は任意定数） が導かれる． これらを (15-a), (15-b)に代入して, それぞれU, Pについての1 階線形波動方程式 (17) UU0, PP0 が得られ，一般解 U ,

  

  f



, P

  

,  g



ただし, f

 

 , g

 

 は任意関数 が求められる． 以上から, 定理の主張は示された． 注 とくに，u pのとき，(12-a) は Euler 方程式

 

p tuu u ,  u 0 の進行波解である (13)の証明の概略 ホドグラフ変換： 



U ,P



,  



U ,P



を利用して(15-a), (15-b)の解を求めてみよう．このとき _                     1 0 0 1         P P U U P U P U _{⇒   0} U P P U D    のとき， _                 U U P P D P P U U         1 が成り立ち，(15-a), (15-b)は,



を未知関数とする1 階線形偏微分方程式 (18) P_P

 

P_P0, UU

 

UU0 に書き換えられる．さらに，左・右の等式をそれぞれU, Pで偏微分した後に, U, Pおよび

 

U , 

 

P を乗じ辺々 加えて



P

 

U U

 

P



PU0,



P

 

U U

 

P



PU0 が得られる． ここで，P

 

U U

 

P 0のとき,



,



は(16)式をみたし，さらに，(18) からD0 が導かれるから，ホドグラフ変 換の条件をみたさない．よって， _PU0, _PU0 が得られる． 従って,  , はそれぞれ f₁

 

U f₂

 

P , g₁

 

U g₂

 

P の形で表される． このとき， _Uf1

 

U , Pf2

 

P , Ug1

 

U , Pg2

 

P を(18)に代入して， Pg₂

     

P  Pf₂P 0, Ug₁

     

U U f₁U 0 従って，(15-a), (15-b)の解は陰関数 (19) f₁

 

U f₂

 

P , 



   

 



   

fPdP P P dU U f U U 2 1    で与えられることがわかる． さらに,

   

hU UU   ,

   

kP PP   , f₁

   

U U とおき，(6), (7) から (10)を導いた議論を繰り返して 



h

   

UUdU





 

U



, k

 

P 





 

U



すなわち，(13)の関係式が求められる． 注 



*0をみたす 空間 3 次元の (2-a), (2-b), (2-c)の進行波解：uu



xat



, pp



xat



（a



a,b,c



は定ベクトル として u



f







a,g







b,f







g







c



p



h







a,k







b,h







k







c



ただし,



,,

 

xat,ybt,zct



, f, g , h , k は任意の関数,  , は任意定数 が存在する．

３．粘性流体についての非圧縮 MHD 方程式の進行波解についての考察

ここでは，粘性流体についての非圧縮MHD 方程式：(1-a), (1-c) および (1-b) において磁気拡散率0と した式 (1-b)´ B_t

  

vB B



v0 の進行波解を考えよう． 定理３ (1-a), (1-b)´から導かれる空間 1 次元の連立偏微分方程式 (20-a) vtvvxBBxvxx (20-b) BtvBxBvx0 の進行波解は求積法で求められる． 実際, vV



xat



a, BW



xat



（aは定数）とおくとき，(20-a), (20-b)はそれぞれ (21-a) VVWWV (21-b) VWWV0 で表される． このとき，(21-a), (21-b)を積分して V W c12V 2 2 _{, W cV} 2  （c1, c は任意定数）1 さらに，Wを消去して

 

2 2 ₁ 2 1 2V c V c が得られるから, とくに, 2 1 2  c のとき  2 1 2 2 c k V V _    , ただし, ₂ 2 1 1 c c k   で表される．よって，積分により a) k0のとき

 

_          3 2 2 2 1 tan k c c k V    b) k0のとき

 

3 2 2 2 1 1 c c V        c) k0のとき，_k2_{（0）とおいて}

 

 

            3 2 2 2 1 c c tanh V      が求められる（ただし, c3は任意定数）． このとき, (20-a), (20-b)の進行波解は



x at



a V v   , Bc2V



xat



で表される． 空間 2 次元の進行波解

 

 



U , a,V , b



   v , B



H

   

,,K,



,



*

_

P

 



,



_{, xat , ,ybt とおくとき, (1-a),} (1-b)´, (1-c)はそれぞれ (22-a) _                                                               _ V V U U P P K H K K H H V U V V U U (22-b) _                                    0 0 K H V V U U V U K K H H         (22-c) UV0, HK0 で表される． さらに，(22-c)を(22-b)に代入して, (22-b)は (22-b)´

_



_



_                                                    0 0           VH UK VH UK K H U V U V V U H K H K に書き換えられる． すなわち，(22-b)´は 



UKVH



0 で表され UKVHconst. が成り立つことがわかる． 従って，とくに，UKVH0のとき



H,K

  

U,V さらに，が定数（_2_1_）のとき

 

_                                             _  V V U U P P V U V V U U 2 1 UV0 従って, _u

 

_1



2



U

   



,



,V



,





_{, p}

 

_12_P

 

_{, とおくとき}

 

u_u_{p}

_

_2u_{,  u 0} で表され,

 

1_2



U ,V



_{, p}

 

_12_{Pは粘性係数の2 次元 Navier-Stokes 方程式の定常解であることがわか} る; 2 次元定常 Navier-Stokes 方程式の厳密解については，多くの結果が知られており，例えば，参考文献［2］， ［3］を参照してほしい． 参考文献

［1］W. F. Ames, Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering, Academic Press (1965)

［2］P. Drazin and N. Riley, The Navier-Stokes equations: a classification of flows and exact solutions, Cambridge University Press (2006)