Cox=Huang Methodについてのノート

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(1)ト. /. 究研. ト. ノの. 用性の高い理論的成果も得られている．具体的な例を例えば異なるリスク. 許容度の投資家が参加する heterogeneous な動学的経済 (Wane [1996]) や，運用資産時価総額にポートフォリオインシュアランスをかけて最適消費投資計画をたてる投資家の存在する経済 (Basak [1995]) 等がその例である．いずれの研究においても投資家の計画問題を動的計画問題を利用して解くのは困難である. 例えば Basak [1995] では，ある時点の運用資産額が確率 1 で一定額を下回らないという制約条件下の効用最大化問題がたてられるが，. 羊@@@@@@. そしてこの結果，実際の証券市場に即した，従って実由. Ⅰ 寸 Ⅴ ヤ. 理論展開がなされている. 網羅りに挙げるつもりはないが・. クし. 田. 森. 今日の資産価格形成理論では，単純な代表的投資家の存在を前提とする同質白9 経済から一歩踏み出て，よ白. 解を得ることが可能となり，最近成功を納めた研究がかなりの数で出てきている．この意味で彼らの研究結果はファイナンス理論においては大きなブレークスり. はじめに. り一般りな経済を対象とした. 廿 @. d O. th. e M. g. Huan. 一一. X C O L. このような問題を動的計. 画問題により解くことは極めて困難である．. ル一であったといっても過言ではなかろう．. このように， Cox=Huane method は大変利便，性の理解を容易にす高い手法であるが，その，性質，特徴のることを目的とした，あるいはそのような目的でなくとも理解が容易な文献は今のところ見受けられない．このような事情を鑑みると，最も単純な最適消費投資計画問題を 1 つの exercise としてとりあげ，この例の上で彼らの手法の特徴を明らかにしていくことも，. それほど意義のなじものではなかろう．本研究ノートでは，危険資産の価格が幾何ブラウン運動，短期金利が deter 而 nistic なプロセスに従う経済における投資家の最適消費投資計画問題をとりあげ， CoX,Huang method の特徴を明らかにすることを目的としたものである．とりあげる例がアップトゥデートな計画問題でないのは，手法の特徴をできる限り単純なモデル上. このような複雑な最適消費投資計画問題を解くことを可能にしたのが Cox,Huang [1989J "である・彼ら. で示すため，また数学的な規則性の条件にこだわらず. は動的計画法にかわる解法として，通称，Cox=Hu. ルを採用するためであることを最初に断っておこう・. nemelhod,. 、-. に済み，従ってこの研究ノートの目的に合致するモデ. あるいは martingaletechnique と呼ばれ. 構成は以下のとおりである．まず上述の投資家の最. るものを提示した．周知のとおり，連続時間の動的計. 適消費投資計画問題を定義し動的計画問題による解を記す・次に Cox=Huang [1989] の提示した計画問. "画問題を解こうとする場合、最終的には非線形偏微分. 方程式問題を解くことを迫られる．特に状態変数が複数となると偏微分方程式は複雑な形となり，変数変換. 題を説明しその計画問題が経済的にいかなる意味の. により既存の偏微分方程式問題に変換できない限り，. 法を利用して解を求める．この手法では動的計画法とは別の状態変数を利用するため解の関数形が異なり，解の一致はそれほど明白ではない．そこで得た解が動的計画法での解と完全に一致することを次に示す・最. 解くことがかなり困難となる． n9. これに対し CoX,Hua-. [1989] が提示した解法においては・. 数学的には. 条件付期待値を求めるという作業がメインであるため，. 比較的容易な双曲線型の線形偏微分方程式問題が解くべき問題となる．このため，仝まで動的計画法では対処しきれなかった問題も， Cox=Huang method によ. 最適化問題であるかを説明する．続いて実際にこの手. 後にこの手法の特徴について，まとめる．. とりあげた例に即して.

(2) 70 (372). 横浜経営研究. 第Ⅷ巻. 3. 動的計画法の下での最適消宙投資計画. 2. 最適消費投資計画問題投資家の取引時点の集合を. [0， Ⅱ とする・この時. 間の集合に対して定義される 1 次元の標準ウィーナ. 一. @z{f} : 色 [0， Ⅱ } で表す・確率空間を (Q, だ Q) とする．但し o 一 fheldはウィーナ一過程の全体の経路から生成されるものとして定義する．各時点に. 過程. 動的計画法を利用して最適消費投資計画を解く方法は，今日となってはあまりにもポピュラ一なものとなった，その計画問題は次のように定式化される．. 田甜街。. おいてそれまでのウィ一々一過程の経路から生成されるヴ一 f6eIdを瓦 (t こ [0，司 ) で表す・. (1997). 第4 号. もちろんあ. れ． dW. ㈲. 二. Ⅳ。Xpト pdc 睦一㌢ " ]. ゅ皿あ. [[ 汗 w( めは一 Ⅲ. W ㈲一色川曲. (P-l). 十 W( め oW ㈲ゐ㈲. F である．. 二. に. 投資家に対して開かれている投資機会は，連続的に. W ㈲二 W. 取引可能な 1 種類の危険資産と 1 種類の安全資産であ. 価格の確率過程，ぼ㈲り巨 [0，Ⅱt, 安全資産の価格の確率過程， lB ㈲こ [0，Ⅱt はる・危険資産の. この問題を解くプロセスを簡単に記してみよう，. メ z. 亡十ゴ㏄. み P(り P(. (1). イサナ. C. ︵・ d z. ) ナ @. り Ⅹ一. り. ]. な. 5. w. 局所的にも大城的にも収益率にリスクが全く存在しな. ⅡⅠ. p. ex. E,. @. 十・. ︵めⅥ ︵磁Ⅰハリ. [. 資産にはまったく金利リスクがなく，従って時間軸上. 十㎡ ) モ Ⅰ@ :f ァ [. 危険資産の価格は幾何ブラウン運動に従う．また安全. ㏄且樵， Ⅲ ， 7れ，Ⅱ ，. @):fe. 但しの， ", y はいずれも正の実数である・従って，. レ. り︵ C] y. [. ， Ⅵ，ミ. (2). まず. valuefunction を定義する．ノ. ガ Ⅰ. イ B (B め( のり. 各々次のような方程式で記述されているとしょう，. 但し W ㈲は運用資産時価総額， w ㈲は危険資産のる・後に説明する CoX,Hu 、ng method との村上ヒを明確にするために，動的計画法で. 組み入れ比率であ. Ⅰ. 投資家の各時点の消費に対し定義される効用関数は，次の CRRA. 関数方程式が次のべルマン方程式である，. 6. w. ) Ⅰ, Ⅰ. ト ⅠⅡ. w. t+. て. この効用関数を次のように時間軸上で積分した func. tionalの期待値が投資家の目的関数である．. Ef. 1 (3). ｜d ・. ，. Ⅱ yく. り︵ C. だ. 行1Ⅰ1f屯. ソ. M几 @. ヂ", [0，. (C㈲ ))=eXp[ 一PdC. 最適性の原理より成立する value function に関しての. "(. ひ. 型効用関数とする．. 右辺の極限部分は， v"luefunction のドリフトを表すので，伊藤の補題を適用することによ. り. ，次の形に表. 現をかえることが可能である．. YみⅠ. 但し E, は践一町測な条件付期待値，いいかえると時点Ⅰまでに人手された情報の下での条件付期待値の期待値オペレータ一である．以上のような，連続時間モデルとしては最も簡単な例の上で最適消費投資計画問題を解くことにしよう．. ご︵ @ @. り. Ⅰ MC け. ，卸. ヌ. 0. 与. 二瓦 [j exP [一PdC. (4). 丁 + J@ww(w( tW( め，め W(. め. め. 7が十Ⅰ八 W( め，め. 但し J Ⅵ JIV 肋 J 、は関数 J の偏微係数である右辺の最大化問題の 1 階の条件は，. (7).

(3) Cox Huane Method についてのノート (森田. 洋). 二. 切 (Ⅰ ). 二一. ノ w(w(t), り ( ぴ一め Jww(W(t} ， t)W{t)a2. c( め "一 1-7w(w(. 8. Ⅰ. 4 . Cox. Huang. M ethod. Ⅰ. 4.1 growthoptimal. (9). めカ. 臣. (373) 71. strategy. 上述の動的計画法に対して， C0X,Huang. Method. は解くべき計画問題は同じではあっても，全く異なるであり，この2 つき (7) 式に代入することで，次の. 方法で解を得ようとする，彼らの解法のキーとなるの. 偏微分方程式問題が得られる. が，仮想上のべンチマークポートフォリオ. growthoptimalstrategy である・但しこの投資戦略は，飽くまでも 2 節で定義した投資家の最適消費投資計画. w(w㌍，め，一 "' w(w( w(め，，圭ふじ紡: ( ? ' 千ム (w ㈲，f). O一. めカ. 十ノ. ノ. ⅠⅡ. J(W(T),T). ダ㍑. とは全く別の計画問題の解で，投資家の最適計画を得るためのツールに過ぎないことに注意したい．. 山一めヮ. これは. 次の計画問題の解としての投資戦略である．. (P-2). ll 。 (l).@e[0.71l M Eo[l Ⅹ T)/Ⅹ 0)]] ・. 二0. 後はこの問題を解くという作業に入ればよい，ここで. 注意しておきたりのは，偏微分方程式が非線形のクラスに入る点であ. 戦略，. ㏄・. メx. ヱ. Ⅰ. ㈲Ⅰ レ千切，㈲は一円 x ㈹ぬ士 Wg ㈲ ox ㈹ゐ㈲. Ⅹ @) 二 x. ここでの問題は，運よく簡単に解. る・. 九億. (P-3). ける問題であるが，一般に非線形の偏微分方程式は解くことが困難なケースが多いことを指摘しておこう. (P-2) の解は次のようになる. 偏微分方程式問題. 但し x ㈲はこの架空の投資計画における運用額， wg. ㈲は危険資産の組み入れよ率である・表記が先ヒ. の問題と異なるのは，求めるべき真の計画問題におけノ. る運用資産額や組み入れ比率と混同しないようにするためである・この問題 (P-3) は，目的関数が最終時点の，運用資産額の連続時間複利表現での累積期待成長率となっていること，運用の途中期間で消費等のキ. (肝ペパ，わ. loo-r)%%2 r-. 一 Pl y " 一 Yl y " 一. 一. 一y Ⅰ. 一. 「. l 一 Ⅰ 1". y. 一丁. ア. 計画法で定式化した計画問題と異っている．もちろん. /"" )". (び一. ャッシュの引出しが全くないことにおいて，先の動的. ㏄・. (1 )2CT2". 一 Ⅰ二ア「一. l一 y. O". w. ㈹'. (10). (P-3) は，最終時点の運用資産額に対し対数型の効用関数で実績を評価する投資家の計画問題と解釈することもできる．. (8) (9) 式に・代人して最適. この解の偏微係数を. 消費計画，最適投資計画が次のとおり得られる. て・. 注意深い読者ならば，. この (P-3) が動的計画問題. として定式化されており，解くことに骨が折れるのではないか，. と. 考えるかもしれない．だが，対数型効用. 関数の場合，運用期間中の各期とも，単純な静学的最. (1 Ⅰ. 一 l y 一一Ⅰ ] 一ア. y 一. Ⅱ. 一. y)2. 適投資計画を繰り返し実行する戦略が最適となること. (よ一り2. 202. growth optimal strategy は次のような単純な投資戦略となる．が明らかとなっている・. ク. ll-Y)2 ( y-. I 一 exp. つまり. 一. xw(t)@. (11). の︶. r.. 1. ア一一y. c て'. く. 12). 磁メめ. 二号二 VfE. 山. ， T]. (13). 危険資産のリスクプレミアムをヴォラティリティで割ったもの，つまりリスクプライスをで. タ. 表すことにす. ると， growthopt ㎞ aIstrategy の運用資産 X ㈲の確.

(4) 72 (374). 横浜経営研究. 率過程は次の確率微分方程式により. 記述される. メ. 第肌巻. ては以下で計画問題を解く際に明らかになる．. さてこの関数が求められると，次の式により最適投資比率が得られる．. Ⅹ (z)二 Ⅱ ひメD( ㏄一ヵ十 Ⅱ x( め ] メニ千切メ z)DX( カリz(D. =[i-( 一ヵ十円 X( ア. 二 x(. め. り. め. 第 4 号 (1997). ox ㈲ゐ (. ¥ 仇千万. め. Ⅱ02 十円ぬ十 6 んを (り ]. (14). W( め二. 巧 (め刈. と. こ. る. カ. え. な. 現表. 、つ. の. よ. 次. ま. れとを. 分積. 率る確き. たで. まも. f). (17). 以上が彼等の手法の概略であるが，一言書き添えておきたいことは，上記の問題を実際に解く際に直面す. = X (0)exp ⅡⅡ. Ⅹ㈲. 二. ] ゐ十. る偏微分方程式問題はすべて線形偏微分方程式問題で. 7%ゐ (d. X (0)exp. (15). ある点である．偏微分方程式を解く必要に迫られるのは， (P-4) の制約条件の左辺の期待値，およびやは 0 条件付期待値である関数 F(X ㈲，t)を求めるときである・拡散過程を前提としたときの条件付期待値は，. 4.2 Cox,Huang Method Cox=HuangMethod の計画問題は， growthopt ㎞・ aIstrategyを利用して定義される・この手法において. 程或問題は解くことが. 顕著な特徴は，最適消費計画問題をまず解いてしまい，. 上記の CoX,Huang. コロモゴロフ方程式といわれる線形の双曲線型偏微分. 方程式に従. ．このため，この手法における偏微分方. う. 上ヒ. 較的容易である．. Method. は g,owth. opt ㎞ al. その次に最適投資計画問題を解く，という 2 段構えで. st,ategy を巧みに利用した解法であるが，計画問題. の解法となっている点である．先に触れた動的計画問. (P-4) がいかなる経済学的最適化問題を. 題が，. 最適消費，最適投資いずれの計画も. か，あるいは関数がいかなる意味をもっかはそれほ. function を求めるという形で同時に解くのとは対照的である・解法の経済的意味は後回しにすることにして，. まずこの解法のプロセスを簡単に説明しよう・まず，次の最適消費計画問題をラバランジュ未定乗数法によって解く．. 0. Ⅹ. み1 Ⅱ. 4 P. ﹁ "メ﹂. ヲ. Eo. 十一 Ⅰ 資ルま又適最. はるにれ. きさ. か︵疋. っ義. 田. め. ィⅠ. (16). 待値がとられている点も疑問祝される点であろう．経済的には各基本事象ごとに予算制約が効かなくてはいけないはずであり，期待値上で予算制約が効いているという (P-4) の制約条件はこれよりはるかに弱い条考える人もいるかもしれない．次の節で. と. は，このような疑問点はついて答えを出すことにしよ、つ. (P-4) の制約条件を書き. メ Ⅰ. 」「. Ⅱ. げ. 佐. exp. @0. p ，め. メ老. ex. Ⅱ. C(. Eo. r@@. (16) 式の左辺は well-defhnedである．この点につい. E. り成立する．この研究ノートで採用したモデル上でも. の計画間顎の経済学的意味. 換えると，次のようになる． @. 資産の確率過程がマルコフタイプの拡散過程である限. method. (15)式を使って計画問題. Ⅱ ろ. 学友者数の数と関うる読る家的付. X対mb Ⅰ㎎. 看的辺がが. :T :,xC( Ⅴの X(. 。. 経済的には不明瞭である．また制約条件式において期. 件である，. あが. 60. め次求が，め. 計る費め消求通る. /. と. 明白ではない．というのは，予算制約式とがほしき制約条件式において各時点の消費額の割り引き率が growthopt ㎞ alstrategy の累積リターンである理由は，. 4,3 Cox=Huang F{X{t) ， t)=E ，. 解いている.

(5) Cox=Huane Method についてのノート foEo. エク. (375) 73. Ⅱ」. ゴ. T,一2l 0. あ Ⅰ. パ. 洋). デブリューマーケットは存在しない・だが，経済のリ. C(t)exp - r sle Ⅰイ. (森田. スクを決めるウィーナ一過程が 1 次元である場合， 2. Ⅰ. 証券での投資機会の下では市場は動学的には完備であ. @. り，適当な動学的投資戦略を組むことで，アローデブ. E. 0 @s 戸せ. =Eo@. -Ⅰ. =Eo 0,[[@. exp@. リューマーケットが存在するケースと同一の消費計画を実行することが可能である． (P-4 。 ) はこの動学的. Jrrdslexp T02l0 姦 @ 一. @. T0一2l. 。. @. な. E ㌃ [@ctdexp Ⅰ -/イ. Ⅰ しム. メ. の. メ. ゴ. 完備市場における最適消費計画問題を，. l. Ⅲ」. ューマーケットが存在する場合の最適消費計画問題の表現を借りて表わしたものとなっているのである．. @. 一方， (16) 式で定義された関数 F は，危険中立化. (18. t. Ⅰ. @. @. は. みぴ一Ⅰ 自. 測度を用いて次のように表現をかえることができる．. F(Ⅹ㈲，め二E Fe ㈹ exp可シ㈹ゐ月. 但し， E* は，関数，. exp[/ Ⅰ一子D2( ). アローデブリ. ア. 0( ) ㏄. イこ. (19). (ぴ ). て. 20). つまり関数 F は t 時点以降の消費の現在価値であり，. 非飽和の仮定が暗黙裡に存在する効用関数の下では，をラドン. 二. ニコデイム導関数とし実際の確率測度. equivalent な確率測度の下での期待値オペレータ一である・以上より Cox,Huangmethod の計画問. Q. F は現在の運用資産総額と数字の上で一致する．従ってこの結果より， F のヴォラティリティと動的. と. 題 (P-4) は次の計画問題に表現をかえることができ. き十. 画法において登場した運用資産額 W のヴオラティ. リティとは一致するはずである，すなわち，. る． F Ⅰ x( (P-4 。 ). exp. (一@. equivalentmartingale 度となる・そして，. measure,. 珂，㈲。 =W. ㈲. その確率測度は. (21). 磁㈲。. 左辺は F のヴォラティリティ，右辺は運用資産額 W. 注意して整理すると. 周知のとおり，ラドンコニコデイム導関数がリスクプ，. ， t)X ㈹. のヴォラティリティである． F. =『(o). ライスにより定義されているとき. め. Cox=Huane. ，. と. W が等しいことに. (17) 式が得られる．. method は実はこの理論的事実を. 利用し. て最適投資計画を解いているのである．. 別名，危険中立化測. (P-4 。 ) における制約武左辺は，. 形式的にはアローデブリューマーケットにおける. 4.4 節 Cox=Huang. 支出. 額総額を表わす・すなわち，アローデブリュープライ. う. method. の下での最適消費計画. では，この解法によって最適消費計画を求めてみよ・計画問題 (P-4) の必要条件は，ラグランジュ未. ス，いいかえると特定の時点かつ特定の基本事象における消費額 1 単位に対する状態請求権の価格を消費額. 定乗数法により次のように記すことができる．. に乗じて，基本事象ごと，時点ごとに集計した金額を. c (なしい "- ' 一人exp レ Ⅰ. 意味している．つまりアローデブリューマーケットが仮に存在するならば，この制約条件式は．将来の消費. VW. モ. 1. Ⅹ㏄卸 / Ⅹ (0). ⑨，VfE. 山，Ⅱ. 一O，. (22). 計画を約束する状態請求権への支出総額が現在の保有資産額を上回ることが許されない，. というマイクロエ. コノミクスにおいて極めて馴染み深い予算制約を意味しているのである．もちろん，このモデルにおいては，投資機会は 1 種類の危険資産と 1 種類の安全資産のみであり，アロー. 但し几は制約条件式に対するラグランジュ乗数であ. る. 注意しておきたいことは，この1 階の条件が各時点，各基本事象ごとに成立している点である・もちろん，乗数床は時点，基本事象に依存しない定数である．一般に経済学的分析，特に応用マイクロ経済分析に.

(6) 74 (376). 横浜経営研究. おいては，ラグランジュ乗数を消去して経済主体の主性質を探るというアプローチがとられるが，ここではそのプロセスは踏まな. 体白9 均衡，あるいは市場均衡の. い・逆にこの乗数の値を求めることが行うべき作業で. (22)式を利用すると， (P-4) における制約条. ある・. 件式は次のように表現をかえることができる. EoX(c)/X (0)] ゴ 1 ℡. =Eo[exp 号ラ尹 ( 2-2+ 号 [2(2(0)] Y-]] exp[ Ⅰ三-rt ボアユう井Ⅰ十手 [女]2 半井Ⅰ れ十. Ⅰ. xW0 Ⅴx ㈹ ] --,プ。」 X(t)/X(0) ，. l.-yEo /T 0loexp '"y 一二A"l-yE00exp ，レ目 '"y[X( / Ⅹ(0)]' 一ヨ寸あ刀. レフ. め. 。 -yE0[Ⅹ(f ⅤⅩ (0)], m寸イ. (23). Ⅰ. 最後の等式はフビニの定理によるものである．厳密にはこの定理のための十分条件が成立するか否かをチェックする必要があるが，ここでは特に立ち入らないことにする・. 舌第票;d. (26). ;ア上. -% TOexp[ [ポァ. 二人. y 一Ⅰ 舌戸グー. 一. Ⅰ. 吉井. Ⅰ丁目ヲ戸ユ号. ビニの定理が成立することが容易に確認できることを一言述べておこう．. (23) 式を利用して，ラグランジュ乗数を求めるた. 「. アウー. (27). l一 y. ( 一 r)2 一 Y " 一y " 一一 (l y)2 2u12 Ⅰ℡ 0) 、 [ [" " "。。'Ⅱ 几. p. の. 一. Ⅰ. ex. め，この方法により答えを求めることにしょう． (25). 一戸 i-y. p. 一l Y. X. することにしよう． (23) 式の右辺の期待値は，対数正規分布に従う確. X ]( X の0 (). を求める偏微分方程式問題は最後の節で明記して説明. Ⅱ﹂. Rぺ 0). 費貢士. 二. 消適最. に関する公式を利用して簡単に求めることができるた. p. 確率変数. @ よ. p. 日レ. ex. ( X几 0め ) X (. う. とこる. 得て. しと. の関数. られる代人す一．ア l. ︶. 2 2. 式に. (28). 定義してそれを解くという方. 法であろう・だが，ここでは正規分布に従. 率変数の期待値であり，. Y. l. を式. C. Ⅱり Ⅱ ︵. (25). 「. l 8 ︶. のすカ. こ画. 方め求. 般. の値. 期待. のこ. るあ. 値，. 十時ば期れ付わか条件. がは. 分で. (24). E,[x(T)@] 刈 )'"y " 一 , 「司らⅡ を，偏微分方程式問題を. これを変形して次を得る．. ぺ. [X(f),-y "， ", コ. メ正. 一. l. めには，あとは期待値，. ]d. ， I-eXp[[ポ ;,-舌，「- 能筋井丁 ]d l y ( ば一りz [p_ _Y__ Y y ア一 (@ ]. 一一九. だが厳密性を要求する読者には確率変数. は (t)/X(0) Ⅱキが対数正規分布に従うことからフ. E 。 Ⅹ㈲. Ⅰ. め. 円。xp. 1. 一. め. W(0}. レロ一一一. Ⅰ. 二. となる．以上より (26) 式は次の等式に帰着する. オ. 一九一. Ⅰ. 携. 十. Ⅰヰァ. 010. 二人. Ⅰ. =exp[丑 Ⅰ. Ⅵ 0). 一. 第 4 号 (1997). 第Ⅷ巻. (29).

(7) Cox,Huane. 4.5 Cox=Huangmethod. Method についてのノート (森田. py. y. " (l一yY)2 ( び一め 2o・. 一 Ⅰ二アⅠ 一. (30). = exp[ 一三号 1 十. 一7 y. 1. Ⅰ. 1Ⅰ一. ヵ. 千ね (& 一% '2. =exp[ l y P( 一. 一 Ⅰ一の. 十 Ⅰ了三ヲ. (1一yy)2正一めく. -(. Ⅰ一ヵ. ' (1 一y)Z ( /) Ⅰ 1 y. としよう・この表記の下では関数 F は，. Ⅰ. (377) 75. の下での最適投資計画. 前節で得られた最適消費計画より最適投資計画を求めよう・ 4.2 節で定義した関数 F の定義太 (16) 式に (29) を代人しょう・但し表記を簡潔にするために，且一ミ l一. {羊). (㏄ヵ一り 2. 十. 一. 正一. F(X( め，カ. @. ;E,X C( )/x( ウ. 侮. ニ@ ;w(0) l 一. め. (32) であるから，これを代人して，. ぬ ". ---. exp[u 同 @,--@ X(0) X(f) ' y X(t) "-"" x ㈹. 一. 一. i. F(X(t),め. 一. X (O). =w(o). @. .W(0)1。，PT 一. 一比. 一げ. X(0)@. ,-,. l一. exp[T X(t) exp一一 l y. 1一. exp[ UⅡ (X. 一が. 『. '-y. Ⅱ 旦 [丁石Ⅰ] X (0). 一. ・. 二 w@). ,- ,. め. 二@ ;w(0). ナ. Xexp[ 一三チ 1. カ. 二. W(0)1 Ⅰ ;p[1 亡. ごこ上. [lexp[H,(T ]] 一. 一. 一め. ]. 元り. (33). 二 w@). を得る・これより，. Xexp一ゴカ I. (31) F Ⅹ (Ⅹ. となる．ところで. (ri, l@ モアⅩ x@. め，"", バ. F(X(t) ， t) X(t)@'-'， 1. X. 1 一y 二. E,eXp ( Ⅰ. 了. (一勿しヒ. 2%'( 一 ) 「. Ⅰ. (t)一. (34). l. となり，最適投資計画は次のように与えられる. 一カ十. l一 y W. 二. E,トXpト Ⅰ曲け一ヵ. (. Ⅰ「. 二. FXX F(X (X(t),f) の攻伍 (t) Ⅹ( 億八. 十. (ぢ. ㌘. 2. r. l Ⅰ (了一め. =l%yXd. リー. %. 十三. 二丁ヰア. [z(T) 一 z(t)]. め. ラア X( 化--. 1. Ⅰ. め. ㏄一 Ⅰ. (1一y )0 2. く. 35).

(8) 第 4 号 (1997). 第 ℡巻. 4.6 2 つの手法の下での最適消会計画の一致 4.4 及び 4.5 で Cox,Huangmethod によって最適消. 費計画，最適投資計画が求められた．最適投資計画に. ( び一めz. 1. Ww( W(0)eiCp¥ 1%yび一 ( 2-fo z0 め. 一一7.%. 二. れ十. ". ついては動的計画法の下で求められた最適投資計画と. 2. 一致していることが即座にわかるが，最適消費計画に. 一y ". " の一 24十 l (l一y)2 (の. "". 横浜経営研究. 76 (378). ク-- Ⅰ. Ⅰ. ¥2( ) 一 2(0)] Ⅰ. 上. -(1一y)Z 一男姉井 ] 。ト，， ]. 関しては必ずしもそうではない．というのは，動的計画法の下での最適消費計画は，各時点の消費が投資家. 、. の保有資産時価総額の関数として表現されているのに対し Cox=Huane method の場合，各時点の消費が growthopt ㎞ alstarategy の累積リターンの関数とし. [. [" ". て表現されているからである．解くべき最適消費投資. "。。'] Ⅱ. 02 一 (1y )2 2<72. ]１. くび一. 「. (37). 計画問題が同一である限り，この 2 つの手法の下で得. られた最適消費計画は，関数形こそ異なれ数字の上でまた growth opt 血 al strategy の累積リターンを示. は一致するはずである・ここでは，やや繁雑な計算によってではあるが， 2 つの手法の下で得られた最適消. す (15) 式，. 費計画の一致を確認しておこう．. (11) を，問題 (P-1) における推移方程式，つまり運用資産の確率. X( め二 X(O)exp. 微分方程式に代入すると，. に注意して整理すると. 動的計画法で得られた最適消費計画. み仏ぺヵ二. [hr% %;- %]w(t)c*( 十 Ⅰ二. 二三秀二. 二. 一. め. w. (ぢ丁ク. ',+ 正テ [2 ㈲ 2(0)] 二. 一. ，. W(t). V. イ接 Ⅰ. 干せア号二 W(机た㈲二. れ十. Ⅰ. 芋丑芋. 1w(0)exp I%yJ 2%2,一十 (ly)z( 2 ，，れ十. め. 与ア町 [2(2) 2(0)]. ㈲ x. 十Ⅰ. p. 1--y 一. 一 l y. [ [P. l Ⅰ. 、. [. y. 二. y. ㏄一 ( %-](T 一め. 卜。 Ⅱ. [" ". yア一め (1一yy)Z ( 2o・. Xexp. 一. y. Ⅰ. ⅠⅠ. 1 一y. --. 1. ( ク一 % 2 2%ア 2. l 一y. 一. '. 2]１. Ⅰ. 2. 1. y. T. Ⅰり. イ Ⅰ. Ⅱ. ㏄一ア. 1. l 一y. 0. Ⅰ. たくめ. 一こ Ⅰ. (0. ココ. l一 y. 2. Ⅱ. l アⅠ. 一. 1 y 一. ぷz. ぽ Ⅰ一. 1. 十. y(ly)z 2o2 比一 ( r)2 2 6 3. 青アち三井て ] 。ト，， ]. る. で. き. カと. 4%. こる. を. の. 式等. 次. @. なと. ，一exP[一一 [一 l "---" 。y 一一一 l"" yⅠ一一一一一一 (ly)2Ⅰ。 202 'Ⅱ 一. 一.

(9) Cox=Huang. y. Method についてのノート. これに対し Cox=Huane method の場合には，解くべき数学的問題が線形偏微分方程式問題となる．仝回とりあげた例の場合では， (23) 式， (31) 式における条件付期待値が関係する．これは (25) 式の条件付期待値，. ｜Ⅰ. (X(0) め. l・. =W(0). l一. exp[[手. ァ一Ⅰヰ戸Ⅰ 一. 一 Ⅰ. を. 値. 条件付期待. のこ. 0= x(X( )X (f) (㏄一め'. 一". ノ. x( X(0)@ の. つ. Ⅱ. @ ま. 爺携芋 ]. 一モ. 石題あ問で式分程十方ば分れ微め偏. ア一Ⅰ 舌ァ y. 一. 「. 一め. 永の. exp[ [ポ. E,[X(r)-yy] Ⅹ ( リー，一， TE け乃. Ⅰ丁目， Yりアュ号三% ヒ](r. を衣. l一. (379) 77. 洋). である．. 2(72 %,]. ( ク一. Ⅹ. (森田. めれ. 一ア. ( ㏄一め '. (38) 二")ア'". x. で解き，得れれた関数を時間軸上で積分することが，この手法での数学的にメインの問題となる，マルコフ. 5. おわりにこの研究ノートでは，. x. (11) 式の W(t) に代入すると， CoX,Huangmethod の下での最適消費関数 (29) 式が得られる．. J. となる，この等式を動的計画法での最適消費計画. 十ノ， (X (め，め. 型の拡散過程モデルにおいては，条件付期待値はコロ. Cox=Huane. method. を利用. モゴロフ方程式といわれる双曲線型線形偏微分方程式. して最も単純な最適消費投資計画問題を解いてみた．ここでは動的計画法による解法は簡単な概略のみを記. 外方程式が線形である場合・一般に非線形のタイプに. したこともあって， Cox=Huane. が必ずしも. 上ヒべて解くことが容易である．このため，条件付期待. 簡単な方法ではないという印象を受けた読者もおられしかし，実際に計算が繁雑か否かと. 値を求めることが数学的にメインの作業となる CoX, Huangmethod は，動的計画法では解くことが不可能. いうことと，計算が可能であるか否かということは全. であった最適消費投資計画問題の解の導出を可能とす. たかもしれない．く別の問題であ. る・. method. このノートでは，簡単な例をとり. あげたため，いずれの手法によっても最適消費計画，. 最適投資計画が得られた・. しかし計画問題がより複. 雑なものとなると，場合によっては動的計画法によっ. ては解を得にくいことがある．その大きな理由は 1 節でも触れたように，動的計画法の下では解くべき数学. 的問題が非線形の偏微分方程式問題である点である．このノートにおける例の上では， (P-2), 0一ノ. wWw ，め， r", w(w w 一 lJW(W ㈹，t)2( o2 2 十ム (w ㈲カ㍗. 十ノ. 比一. 十. J(W(T),T). ㈲力. 二0. つ. ㈲. に従う．上記の偏微分方程式もその一例である．偏微. るのである．もちろん，本ノートでの例の場合， 9,owthoptimal. strategy の下での連続時間複利累積リターンが正規分布に従うため，特に偏微分方程式を持ち出さずとも解を得ることができてしまった．この事実自体， CoX: Huangmethod が動的計画法より数学的には容易なプロセスを要求していることのあらわれなのである．. 参考文献 Basak, S., 1995, "A General Equ Ⅲ brium ModeI of PortfoIio Insurance," R のわW oⅠ HM た劫 Ⅰ⑧材 ie5, 8, 1059 一1090. ・. "Optimum Consumption and PortfolioPoliciesWhen AssetPrices. CoX,. J. C. and C. Huang, 1989,. Follow. a. T 梶。ひ. ， 49, 33 一83.. D 田 usion Process,". よ0 ぴ. 爪刀。ダ及ono. 笏 i。.

(10) 横浜経営研究. 78 (380). 第Ⅷ巻. He ， H ， and@ N D ， Pearson ， 1991 ， "Consumption@ and Portfolio@ Policies@ with@ Incomplete@ Markets@ and n8 Short-S6e@ Constrai ts:@ The@ InfiRte@ Dmensi ・. Case ， "@ Journal@of@Economic@Theory. ， 54 ， 259-304. 第 4 号 (1997) Wang, J.,1996, "Term Struc 血 eofInterestRatesin Pure EXchange Economy with Heterogeneous Investors," よ0 ぱ m 尻。/ 且旭れ ci尻 Eco れ。笏 ic$, 41,. a. 75 円Ⅰ 0. ・. ( もりた. ひろし. 横浜国立大学経営学部助教巳妃.

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