曲線形立体トラス橋の応力解析
近
藤
繁
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Stress Analysis of Curved Space Frame Bridge
ShigetoKondo
Synopsis
In order to run in full speed on the curved traffic lane， we must sometimes construct a curved beam bridge or a curved space frame bridge on the river and the valley． The former has been studied by many investigators， but the latter has not jet been investigated except by Gottfeldt． At first I describe here on the stress analysis of the curved space frame bridge by using the difference equations when it is loaded with vertical loads， tangential loads， and centri− fugal loads． Next， I expand this method．to the curved truss bridge with n−2 panels in the outside truss and n panels in the inside truss． We can use those results in the cases when the curved bridge is applied with wind load or seismic load． ま え が き 高速車線の曲線部分に、曲線形のけた橋、または曲 線形のトラス橋を設置する場合には、立体構造物とし て応力解析を行なわなければならない。このうち、前 者については、これまでに数多くの研究1）が行なわ れ、また実際に施工2）もされているが、後者について は、ゴットフエノレトの研究3）があるほかには、あまり その例がない。もちろん立体トラスについての研究 は、これまでも、多くの人々によって行なわれている が、すべてドーム型をした建築構造物4）に限られてい た。 筆者はこの点に着目して、4格間の曲線形立体トラ ス橋をとりあげ、これに鉛直荷重、接線荷重、あるい は遠心荷重が作用したときの支点反力、および部材応 力の影響線の求め方について研究し、その一部はすで に発表5）した。ここでは、階差方程式を駆使すること により、n格間を持った曲線形立体トラス橋の支点反 力、および部材応力の影響線を簡単に求めることがで きることを指摘し、さらに両岸平行な河川の上などに 架設される曲線橋として、内側トラスの格間数と、外 側トラスの格間数と異なる立体トラス橋をとりあげ、 これにいろいろな荷重が作用したときの支点反力など の影響線の求め方について研究した。 R。図一1−a
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曲線形立体トラス橋の応力解析
べ’図一1−c
￠ 1 ㌣、 図一1−−d ！WVi ＆2 上げん部応力に関する階差方程式
図一1に示すような曲線形立体トラスを例にとれば これは静定構造である5）。この格点Li， Bi， G， Dz に、響融㌶荒隠㌦㌦擁用した
遠心荷重臨，、VBi， SVCi， W。、∫ときの 外側トラスの上げん材の応力を Ui° 牛 図一一2 斜材の応力を Dz° 下げん材の応力を Li° 内側トラスの上げん材の応力を Ui 斜材の応力を Di 下げん材の応力を Li などで表わすこととし、またそれぞれの部材の長さを Ui°C di°， lz°， Ui，硫， lz，などで表わすことにす る。いま、ゴ番目の外側および内側の上げん格点につ いて接線荷重9の方向の外力および内力の総和を0 とおけば次の式が得られる。（図一2参照） 一α゜ ﾌ＋σ゜i・・念、＋D・i・・4捻、 ＋ΩD、se・⊥＝O 上式を変形して加えると、次のようになる。 σ゜・・1＋σ用＋ρ゜・＋1＋Di・・＿坐＿Ui U°i＋1 er i＋1 d°i＋1 di＋1 uOi Ui ＋（2垣＋．9堕 λo 入）・ec÷一・……・・………・（2） 次に、面Ai，民， Cz， Dzの両側でトラスを切断して 中の部分を取り出し、これに作用しているすべての外 力および内力の鉛直方向の力の総和を0とおけば、次 の式が得られる。 （卑＋Uiui ori）（ん⊇一・）一（呈：i三1＋隠） （h…一り＋（；li…i＋｛｝iit−1．ll）hi −（旦゜e＋ρLd°zdz）h・−1＋Pl−・………（3） ただし、Pi＝島けP8汁1）oz十Pヱ）i………（4） なお・力・sec÷（＿2a，＋＿9竺L λo λ）を変形すると 乏レー隠ヂ・；！，1：lilll，g？±’e’） 、釜，一（2Di⊥Ωo乞 グー寸6 プ）−9・……・・………・…（5） となり、（2）を（3）に代入して、Dを消去し、 み・C鍔＋嘉）一ぴ・・一・・………（6） とおけば、次の式が得られる。 ti＋1−2 rCi一ト．Vi＿1r＝1㍉一9i十9i＿1 ・・・… 一・… 一・ （7） これが図一1のような曲線形立体トラスの左半分の上 げん材の応力に関する階差方程式を示すもので、 Xo＝0， x1＝Po−90−Ao−Bo のときのzriの一一般解を求めると、次のようになる。、Xl ＝PO−90−／10−Bo x2−2x1 ＝P1−91＋tlo x3−2x2＋Xl＝P2−92＋9・ ai−2 ncz−1十．Ci＿2＝Pi＿1−9i−1十qz−2 i−1 ∴Vi− Vi＿ロΣ．Pi−gz＿1−（・4rFBo） O i 1i−1 i−1 rz＝ΣΣPi一Σ9i−i（Ao＋」Bo） 0 0 0 i−ユ i−1 ＝Σ（i−一元）1）プーΣ9ゴーi（ノ10＋Bo）……（8） ’＝0 プ＝0
3 左右両側の支点反力の関係
図一1のように、格点kの左右において、トラスの 斜材の傾きが変っているものとする。kは必ずしも中 央格点とは限らない。この格点ゐに対し、式（2）に 相当するものを作れば、斜材Dがふくまれないため、 次のようになる。 （図一3参照） P，・δひ．潜・
α・，・。・ Pe・ 戎 β4’jl鰺∧‘
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い・、パ y｛。夕癬弓
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図 一 3 Vk「一・XiC←9瓦＝0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ’・・・・・・・・・・・・・… （9） ここでXiCは左支点からfe番目の格間の部材応力に関 する項で、z；ktは左支点からえ一ト1番目、右支点から ゐ’番目の格間の部材応力に関する項であり、kとkt の和、およびiとi「の和は、いずれもnに等しく、 しかも左からi番Hの君，9iは、それぞれ右から〆番目のP〆、および4〆になるので、式（8）より
次の式が得られる。 k−1 k 1 Xk＝Σ（k−i） P，一Σqi−k（・40＋Bo） i＝O Z＝O kノ ユ kノ ユ ーVict＝Σ（k，−it）P〆＋Σ9〆一え’（An＋Bn） i／nO 乞’＝O k十1 k＋1 ＝Σ（i−k）Pi＋Σgz−（7z−k）（An十Bn） itan τ＝？↓ これを式（9）に代入ずれば、次のようになる。 k（Ao十Bo）一（n−k）（An十Bn） れ n ＝Σ（k−i）Pz一Σqz………・…・・（10） iニO i．aO （iがkに等しいときはi−kは0になるから。） なお、鉛直方向の力の総和が0であることから次の式 が成り立つ。 Ao十Bo十An十Bn・＝ΣPz………（11） Z嵩0 上式を式（10）に代入すれば次の式が得られる。／ An＋Bn一ゑ÷恥謡一一…・……（12）
（A・＋⊇争一te．。÷……・…一（・3）
上の2式は、kの値に無関係である。すなわち図一1 において、斜材の傾きがどこで変っても、反力の大き さには関係がないことになる。4 支 点 反 力
図一1のような曲線形立体トラスに、P，9， W
が作用したとき、直線An．Bn、および直SC Ao Boを 軸としてモーメントの総和が0になるという式を作る と、次のようになる。 ｛Ao（r＋ろ）LBo r｝sin n e ＝rΣ（PBi＋PODsin（n−i） e O 十（r十のΣ（PAi十PDi）sin（n−i）θ 0 り； 一Σ（90i十91）i）h乞COS（n−−i）θ0
カ 十Σ（▽Vσi十Wz）i）hi sin（n−i）θ…………（14）0
｛An（r⊥b）十Bn r｝sin 7Zθ ＝rΣ（PBi＋Pci）sin i e O ＋（r＋b）Σ（PAi＋PDi）sin iθ 0 ＋Σ（2Ci＋9Di）hi COS i e O 十 Σ（肪z十Wヱ），）hz sin iθ・・・・・・・・・・・・・・・… （15）0
以上の式（12）∼（15）を連立方程式として鉛直反力を 決定すれば、次のようになる。Ao＿ 士1
Bo− a@sin nθ （r十σ）Σ（P4汁1）DのsinピーのθO
n ＋プΣ（P五汁Pのsin（η一のθ 0 れ一Σ々90乞＋9DのC・S（n−．z）θ0
十Σhi（防汁WDのsin（η一のθ 0曲線形立体トラス橋の応力解析
＋÷｛0−b十プ｝》（・づ（PAi＋P・・＋P・i＋PD・） −h−6。≒i。，｛0−b十「｝》奴Ω・汁煮69・のAn 士1
Bn−
a@sinnθ （r十b）Σ（P且汁P刀∂siniθ O 十プΣ（PBi 十 Pei）sin iθ 0 ＋Σ々Ω・汁Ω刀i）C・Sゴθ O n 十Σん（砺汁「防）∂sin‘θ 0 Σi（P垣十PBZ十Pei十Pm） O oE｝孝頑Ωα＋毒9・の
o（r十6 1 °xH・＝，i…苔 ’
（QBi＋Qei）ピ禁一…（・一‘）・｝ ＋（9・・＋2・ni）｛・・S・n・一…（・一一の・｝ 十（IJVA i十VVBi十Wei十「WPi）sin（η一ゴ）θ Hn一ζi。1Bθ》 ＋☆｛1’￥ r｝ ＋．。ik、。，｛b＋ ………・…・・………以上4式（16） また、水平反力は次の連立方程式から決定される。灘鱈 テ゜
T。一封⊥一（2・、＋2ei）＋・2・・…＋・2Di｝ （9・・＋2Ci）（一毒＋…i・） ＋（9AZ＋9刀∂（c・s・ie−1） ＋（恥Z＋IVBi＋既汁防のsin・ie …………・・……・………ﾈ．ヒ3式（17） ん一（5fs元‘θ一㌃
Bn−一（ろ氏Finsl；τθ＋（bi’dif）’To＝Ho＝Hπ＝0
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・・……・……・…・・…………・・……・……… i18） 人l i： ・
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図一4−a （2）鉛直荷重P＝1が左からi番目の、内側の上げ ん、または下げん格点に作用した場合、（図一4− b） Pi ＝t H。／
4 ＼こ・＼1イ・：／’5 支点反力の影響線
図一1、または図二4のような、格間数μ個の曲 線形立体トラス橋の格点iに、P＝1，9＝ユ，または W＝1だけが作用したときの支点反力は、式（16）お よび式（17）より、次の式で表わされ、iを0∼nの 間で変化させると、反力の影響線が得られる。 （1）鉛直荷重P＝1が左からゴ番目の外側の上げん 格点または下げん格点に作用した場合、（図一4− a） A・一（b十プ@ b）A1霊一’）θ一 「（〃一‘’ B・一一（ゐ＋妺B一のθ＋
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A。＿・・in （・“一 i）θ さ図一4−b
r（n−i） 6sin nθ bnB・＝コ
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bsinnθ ゐ〃 B。＿＿・・i・ゴθ＋せ±・）‘ bsinnθ bnTo＝Ho＝Hが＝0
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8w・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ■■・・・・・・・・・・・・・・・・… （19） （3）接線荷重9＝1が、左からi番目の外側の上げ ん格点に作用した場合、（図一4−−c） Ql∠1
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nb rsinθ bsin nθ ＿hi（r十b） hiCOS ieH
T・一 アCOS nθ ゜一ir＋b）・inne COS（n−i）θ H・＝ nt i。＋の、i。 n・＋、・。“、 Sln nθ cosiθ ………… i21）ミ§ぱミ蕊 、
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A・＝諱B＋ろ）、i。、 ゐ，i。。， B・一一煤B、＋樂i警；Dθ
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Sln ne COSiθ一1 Slnηe （4）接線荷重Ω＝1が、左から‘番目の外側の下げ ん格点に作用した場合、 ∠40＝Bo＝∠4n ＝＝ Bn＝O To， Ho， Hnは、式（20）と同じである。 〈5）接線荷一aj 9・一・1が、左からZ番目の内側の上げ ん格点に作用した場合、 （図一4−d） A・一B6竺。，」z緩1編）θ
B・一一一a“／（（：㌶連隠識のθAn−−
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図一一4−d H“0！234560／23456
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ミ B．吉 1 H．9 、 0 ！、図一4−e
M H“ （6）接線荷重Ω＝1が、左からτ番目の内側の下げ ん格点に作用した場合、曲線形立体トラス橋の応力解析
Ao＝Bo・＝An＝Bn＝O To， Ho， Hnは、式（21）と同じである。（7）遠心荷重W＝1が、左からi番目の外側また
は内側の上けん格点に作用した場合、（図一4−e） A・一一B・一んG’i監’）θ hisinioAn＝−Bn＝
bsinne三；欝「……（22）
〈8）遠心荷重W＝1が、左からゴ番目の外側また は内側の下げん格点に作用した場合、Ao＝Bo＝An＝Bn＝O
To， Ho ． Hnは、式（22）と同じである。 （9）計算例 図一4において r＝・ 30m， b＝6m， h＝4m， n＝6， θ＝10° とするとき、いろいろな荷重に対する反力の影響線 を画けば、図一4−a∼図一4−eのようになる。6 部材応力の影響線
各格点ごとに、直交3軸方向の力の総和を0とおけ ば、各部材応力を荷重および反力の関数で表わすこと ができるので、反力の影響線を利用して、各部材応力 の影響線を画くことができる。7 直線形立体トラス橋への誘導
曲線形立体トラス橋に関する各式を、直線形立体ト ラス橋に適用するのには、これまでの各式において、 曲線半径 r→の r＋b→の中心角θ→Onθ→0
格間長2rsin⊥→re→λ
2 2（。＋b）、i・⊥→rθ→・ 2 支間長2rsin亘旦→rnθ→n入→1 2 部材長UiO＝Ui，硫0＝〈九λ0＝λ などとおけばよい。 たとえば、図一1において、r→◎つ，θ→0などとお けば、図一5のようになり、鉛直荷重P＝1が左から i番目の上げん、または下げん格点に作用した場合の 支点反力は、式（18）より、次のようになる。 H。⇒
図 一 5 B吟 A・一〔（プ十b）sin（n−i）θ プ（n−i） bsinnθ b〃〕，→。 r→CO ＿（n−i）λ＿1−a nλ 1 ・・・・・・・・・・・・・・・… （23） aAn＝＝L
lBo＝Bn＝To＝Ho＝Hn＝O
これらの値は、平面トラスとして計算した結果と同じ である。全く同様にして、式（19）∼式（21）を図一 5のような直線橋の場合に直せば、平面トラスとして 計算した結果と一致する。たとえば、図一6に対する 反力は、式（22）より、次のようになる。一
B・〒 ＼ll・〈 図 一 6尋
A・J＝−B・一σr控An−一脇一畷 1………（24）
T・一・・H・−Zデ・疏一÷
8 内、外、格間数の違う曲線形
立体トラス橋
両岸平行、または平行に近い谷や川の上に曲線形立 体トラス橋を架設するときは、図一7のように内側と 外側と格間数の異なった立体トラスにしなければなら ない。もし、図一一7のような立体トラスの格点iに、 鉛直下向荷重Pi、接線荷重2i、遠心荷重UVz、が作 用したときの反力の大きさを求めるのには、式（16）、H 図 一 7 式（17）において、 Ao＝∠1π＝To＝Ho＝Hn＝O PA 1→一∠41十PA I P且．n＿1→一∠1π＿1十P∠1．n＿1 監二㌃識、W。．n．、…−H。．i＋IV。．n．、／ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （25） とおいて7個の連立方程式を解けばよい。いま、
