ファジィランダム多目的線形計画問題に対する
満足水準最適化モデルと
M-\mbox{\boldmath $\alpha$}-
パレート最適性に
基づく対話型ファジィ満足化手法
広島大学大学院・工学研究科
片桐英樹
(Hideki KATAGIRI)
坂和正敏
(Masatoshi SAKAWA)
Graduate School
of
Engineering
Hiroshima
University
1
はじめに
従来,
不確実性やあいまい性が存在する状況下ての意思決定に対しては
,
主に確率計画
的アプローチ
[1, 2,
3, 4,
5]
と多目的ファジイ計画法
[6,
7,
8] や様相性最適化モデル [9]
な
とのファジイ計画的アプローチの
2
つが考えられてきた
.
これらのモデルにおいては, 問
題に含まれるパラメータがそれそれ確率変数やファジイ数として与えられてきたが
,
専門
家が「ある確率てだいたいいくらぐらい」
という形で情報をもっている場合もある.
例え
ば,
農産物の価格は需要量や生産量に依存し
, さらに需要量や生産量も経済状況や気候
,
降水量など確率的に変動する要因の影響を受ける.
一方て,
豊作や不作などの予測や需要
量がある確率て定められたとしても,
それぞれの事象が生起したときの価格をはつきりと
定めることは難しい場合も多く,
問題の定式化に携わった専門家の人間としての判断をよ
り適切に表現するためには
,
ファジイ性とランダム性を同時に含む数学的概念が必要にな
る.
このような確率的不確実性とあいまい性を表すのに有用な概念としてファジイランダ
ム変数
$[10, 11]$
が考えられ
,
近年,
線形計画問題や多目的問題など数理計画問題への応用
がなされている
[12, 13,
14, 15,
16, 17].
例えば,
作付面積を決定する作付計画問題 [18]
において
,
農産物の単位作付面積あたりの利益や労働時間がファジイランダム変数て表さ
れる場合,
利益最大化と同時に労働時間を最小化する
2 目的計画問題はファジイランダム
多目的計画問題として定式化できる
.
ファジイランダム変数はあいまい性と確率的不確実性を同時に含む概念てあるため,
従
来考えられてきたファジイ計画法や確率計画法における解概念をそのまま適用することは
てきない
.
したがって, 本論文ては,
ファジイ計画モデルと確率計画モデルを融合した新
たなモデルを提案し
.
多目的ファジイ計画法において坂和ら
$[7, 8]$
が提案した
M-\mbox{\boldmath $\alpha$}-
パレー
ト最適解を拡張した解概念を提案する
.
また
,
意思決定者が定義された解集合の中から満
足解を対話を通して導出するという対話型アルゴリズムの適用を試みる
.
次節てはファジイランダム変数係数を含む多目的線形計画問題を定式化する
.
3 節ては,
全ての係数が
$\alpha-$レベル集合に含まれているという制約の T で,
目的関数を最適化すると
いう問題を考え,
確率計画法における満足水準最適化に基づく新たなモデルを提案する.
また,
多目的ファジイ計画法における
M-\mbox{\boldmath $\alpha$}-
パレート最適性を拡張した解概念を定義する
.
4
節では,
定式化された問題を等価な多目的問題へと変形する過程を示す、
5
節では,
提
案されたパレート最適解集合の中から意思決定者が自己の満足解を対話を通して導出す
る対話型アルゴリズムを構築する
.
6
節では簡単な数値例を示し
, 最後の
7
節でまとめと
今後の課題について述べる
.
2
ファジイランダム多目的線形計画問題
次の多目的線形計画問題を考える。
$i=1,$
. .
$1$,
$k$
subject
to
$A_{l}oe\simeq\leq B_{l}\simeq$,
而
nimize
$x\geq 0C_{i}oe\simeq$,
$l=1,$
$\ldots,$
$m\}$
(1)
ここて,
$x$
は
$n$
次元決定変数列ベクトル
,
$C\dot{.}=\simeq$(
$C_{i1},$
$\ldots,$
$C\simeq$
\simeq in),
$i=1,$
. .
$\tau$
,
$k$
は次のメ
ンバシップ関数により特性つけられるファジイランダム変数を要素にもつ係数ベクトルて
ある.
$\mu_{C_{j}}\simeq\dot{.}(\tau)=\{$ $L( \dot{.}\frac{\overline{d}_{j}^{\mathrm{c}}-\tau}{\sqrt{}^{\mathrm{c}}\mathrm{j}}\dot{.})$(
$\tau\leq$匈)
$R( \frac{\tau-\overline{d}_{j}^{\mathrm{c}}}{\delta_{j}^{\mathrm{c}}}\dot{.}\dot{.})(\tau\geq\overline{d}_{j}^{\mathrm{c}}\dot{.})$簡便性のために, このようなファジイランダム変数を
$C\simeq\text{。}=(\overline{d}_{j}^{\mathrm{c}}\dot{.}, \beta_{j}^{\mathrm{c}}\dot{.}, \delta_{j}^{\mathrm{c}}\dot{.})_{LR}$と表すもの
とする
.
また,
$A_{l}=\simeq$
(
$A_{l1},$
$\ldots,$
$A\simeq$
\simeq ln),
$B_{l}\simeq,$$l$
=1,
.
. .
,
$m$
は
$A_{lj}=\simeq(\overline{d_{lj}}^{a}, \sqrt{}^{a}lj’\delta_{lj}^{a})_{LR},$$B_{l}=\simeq$
(
々
,
$\sqrt{}^{b}l’\delta$P)LR
とする
.
ここて
,
$L$
(t)
は
$L$
(t):
$[0, \infty)arrow[0,1]$
を満たす単調非増加関数
,
$R$
に
ついても同様の条件を満たすものとする
.
$\overline{I}.\cdot,\overline{d}_{l}^{a},$ $i$=1,
.
.
.
$k,$
$l=1,$
$\ldots m$
はそれぞれ平均
値
$m^{\mathrm{c}}\dot{.},$ $m_{l}^{a}$,
分散共分散行列
$V^{\mathrm{c}}\dot{.},$$V$
la
てある多次元正規分布に従う
n 次元確率変数ベクトル,
$\overline{d}_{l}^{b}$は平均値
$m_{l}^{b}$,
分散
$v_{l}^{b}$てある正規分布に従う確率変数とし,
$\beta^{\mathrm{c}}.\cdot,$$\delta$
7,
$\beta_{l}^{a},$ $\delta_{l}^{a},$ $\sqrt{}^{b}l’\delta_{l}^{b},$ $i$
=
1,
$\ldots,$
$k,$
$l=1,$
$\ldots,$
$m$
はそれぞれ左右の広がりを表すパラメータてあり正数とする.
このとき,
係数
$C_{j}\simeq.\cdot,$ $i$=1,
. .
嘉はメンバシップ関数の中心が確率変数となっている
L-R
ファジイ数とみなすことができるため
,
拡張原理に基つく
L-R
ファジイ数の演算を用い
ると
,
$C\dot{.}x=\simeq(\overline{d}^{\mathrm{c}}\dot{.}x, \beta^{\mathrm{c}}\dot{.}x, \delta^{\mathrm{c}}\dot{.}x)_{LR}$となり
,
目的関数もファジイランダム変数となる
.
3
ファジイランダム計画モデルとパレート最適解
問題
(1)
に対して,
目的関数や制約式の係数ベクトルおよひ制約式の右辺の値に対応す
で
,
各目的関数を最適化するという次の問題を考える
.
minimize
$\overline{c}_{i}x$,
$i=1,$
$\ldots,$
$k$
subject
to
$\overline{a}_{l}\in A_{l\alpha},l=1,\ldots,mx_{i}\geq 0\overline{a_{l}}lx\leq\overline{b}_{l},l=1,\ldots,m\overline{\frac{b}{\mathrm{c}}}\in B_{l\alpha},l=1,\ldots,m\in C_{\alpha},i=1,\ldots,k\simeq\simeq\simeq\dot{.}\}$
(2)
ここて,
$A_{l\alpha},$$B_{l\alpha}\simeq\simeq,$ $C_{i\alpha}\simeq$はそれぞれ
$\overline{\tilde{A}}_{l}$
,
$\overline{\tilde{B}}_{l}$,
$C_{i}\simeq$の
$\alpha- \text{レ}$ベル集合を表す
, 問題
(2)
において
は
,
$\overline{a}_{l},$$\overline{b}_{l},$$c$
-i
はそれぞれ
$\tilde{A}_{l}$a’
$\tilde{B}_{l}$\mbox{\boldmath$\alpha$}’
$C_{\alpha}\simeq\dot{.}$から任意に選ぶことがてきるため
,
,$x$
だけてなくべ,
$\overline{a}_{l},\overline{b}\iota$も決定変数になっていることに注意すべきてある.
ここて
,
$l$番目の制約式が満たされる確率が
$\eta_{l}$以上であればよいとする機会制約条件を
導入すれば,
次のように定式化される
.
minimize
$\overline{\mathrm{q}}$.x,
$i=$
l, .
..
,
$k$
$\overline{a}_{l}\in A_{l\alpha}\simeq,$
$l=1,$
$..\iota$,
$m$
subject to
$\mathrm{P}\mathrm{r}[\overline{a}_{l}xx\geq 0\leq\overline{b}_{l}]$ $\geq\eta$l,
$l=1,$
$\ldots,m\}$
(3)
$\overline{b}_{1}\in B_{l\alpha}\simeq,$$l=1,$
$\ldots,m$
$\overline{\mathrm{q}}$.
$\in C_{i\alpha}\simeq,$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
問題
(3) の各目的関数に対する人間としての意思決定者の判断の曖昧性を考慮して
,
「だい
た
$\mathrm{A}$$\mathrm{a}y.!$以下」
というファジイ目標を設定し
,
次の線形メンバシツプ関数
$\mu:(y)$
て表すもの
とする.
$\mu$
i
$(y)=\{$
1
$(y_{}^{1}\geq y)$
$\dot{.}\frac{y^{0}-y}{y_{i}^{0}-y!}$
.
$(y.!<y<y_{*}^{0}.)$
0
$(y_{1}^{0}$.
$\leq y)$
ただし,
$y_{i}^{0}$およひ
$y_{i}^{1}$は
$y_{i}^{0}>y_{i}^{1}$を満たす定数てあり
,
意思決定者は
$i$番目の個別の最大化
問題と最小化問題の最適値を参考にして,
$y_{i}^{0}$およひ
$y_{i}^{1}$の値を決定するものとする
.
maximize
$m_{i}^{\mathrm{c}}x$subject to
$m_{l}^{a}x\leq m_{l}^{b},$
$l=1,$
$\ldots,m$
$oe\geq 0$
minimize
$m_{i}^{\mathrm{c}}x$subject
to
$m_{l}^{a}x\leq m_{l}^{b},$
$l=1$
,
...
,
$m$
$x\geq 0$
このとき
2
問題
(3) は次の多目的計画問題に書き表される.
maximize
$\mu$i
$(\overline{c}_{i}x),$$i=1,$
. .
,
,
$k$
$\overline{a}_{l}\in A_{l\alpha}\simeq,$
$l=1,$
$\ldots,$
$\prime m$subject
to
$x\geq 0\mathrm{P}\mathrm{r}[\overline{a}_{l}x\leq\overline{b}_{l}]\geq\eta$
l,
l—1,
$\ldots,$
$m\}$
(4)
$\overline{b}_{l}\in\overline{\overline{B}}_{l\alpha},$$l=1,$
. .
$1$,
$m$
$\overline{\mathrm{c}}_{\dot{*}}\in C_{\alpha}\simeq.\cdot,$$i=1,$
. .
$1$,
$k$
問題
(4)
の目的関数は
$\overline{c}.\cdot$に依存して確率的に変動するため
, 確率計画法に基ついたアプ
ローチを試みる
.
代表的な確率計画モデルとしては
,
期待値最適化モデル
, 分散最小化モ
デル,
確率最大化モデル
.
溝足水準最適化モデルなどが挙げられるが,
本研究ては
, 満足
水準最適化モデルに基づいて次の問題を考える
.
maximize
$h_{i},$$i=1,$
$\ldots$
,
$k$
$\mathrm{P}\mathrm{r}[\overline{a}_{l}x\leq\overline{b}_{l}]$ $\geq\eta$
l,
$l=1,$
$\ldots$,
$m$
subject to
$x\geq 0\mathrm{P}\mathrm{r}[\mu_{i}(\overline{\mathrm{q}}.x)\geq h_{:}]\geq\theta_{i}$
,
$i=1,$
$.$.,
,
$k\}$
(5)
$\overline{a}_{l}\in A_{l\alpha}\simeq,$$l=1,$
$\ldots,$
$m$
$\overline{b}_{l}\in B_{la}\simeq,$$l=1,$
$..1$
,
$m$
$\overline{\mathrm{q}}$.
$\in C_{\alpha}\simeq\dot{.},$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
この問題は,
各目的関数の満足度が水準値
$h_{i}$以上てある確率が充足水準
$\theta\dot{.}$以上,
制約
を満たす確率が
$\eta$:
以上てあるという機会制約の下て, 水準値
$h.\cdot$を最大化する多目的計画
問題となっている.
問題
(5)
には複数個の目的関数が存在するため, 通常の単一目的の場合の最適解と同様
に議論することはてきない. ファジイパラメータを含む数理計画問題に対しては,
坂和ら
$[7, 8]$
が
$\mathrm{M}-\alpha$-
パレート最適解を定義している
,
本研究では
, M-\mbox{\boldmath $\alpha$}-
パレート最適解を拡張
して新たな解概念を定義する
.
定義
1(
$\alpha-$レベル集合を用いた満足水準最適化モデルにおけるパレート最適解)
問題
(5)
に対して,
$h\dot{.}\geq h^{*}.\cdot,$ $i$=1,
. . .
,
$k$
てしかも
,
ある
$j$
につ
$\psi\mathrm{a}$て,
$h_{j}>h_{j}^{*}$
となる
ような
$(x, h:)\in X$
(
$\overline{a}_{l},$ $\overline{b}_{l}$,
.)
$=\triangle${(x,
$h_{i}$)
$\in R^{n+1}|$
Pr[\mu :( .x)
$\geq h_{:}$
]
$\geq\theta.\cdot,$ $\mathrm{P}\mathrm{r}[\overline{a}_{l}x\leq\overline{b}_{l}]\geq$$\eta_{l}$
;
$x\geq 0$
,
a-l\in Al
。
’
$\overline{b}_{l}\in B_{l\alpha}\simeq$
,
c-i\in Ci。’
$i=1,$
$\ldots,$
$k$
,
$l=1,$
$\ldots,$
$m$
}
が存在しな
$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$とき,
$(x^{*}, h^{*}.\cdot)\in X(\overline{a}_{l}^{*}, \overline{b}_{l}^{*},\overline{c}_{i}^{*})$を
$\alpha-$レベル集合を用いた満足水準最適化モデルにおけるパ
レート最適解
,
$\overline{a}_{l}^{*}\in A_{l\alpha}\simeq,$ $\overline{b}_{l}^{*}\in B_{l\alpha}\simeq$,
c-7\in C:
。を対応する
$\alpha-$レベル最適係数とよぶ
.
以下ては
,
上で定義したパレート最適解集合の中から
,
意思決定者の満足解を導出する
ための対話型アルゴリズムを考える
.
4
等価確定問題への変換
本節ては, 対話型アルゴリズムを与えるための前段階として
,
問題
(5)
を等価な確定
能領域は
,
$\alpha-$レベル集合の左右の端点を用いて,
閉区間
$[\overline{a}_{l\alpha}^{L}(\omega|)\overline{a}_{l\alpha}^{R}(\omega)],$ $[\overline{b}_{l\alpha}^{L}(\omega), \overline{b}_{l\alpha}^{R}(\omega)]$,
$[\overline{c}_{i\alpha}^{L}(\omega),\overline{c}_{i\alpha}^{R}(\omega)]$と表せるため
,
問題
(5)
は
maximize
$h_{i},$$i=1,$
$\ldots$,
$k$
subject to
$x \geq \mathrm{o}^{\alpha l\alpha}\mathrm{P}\mathrm{r}(_{l}^{\frac{c_{i}\overline}{a}L}x\leq)\geq\eta_{l},l\mathrm{P}\mathrm{r}[Lx\leq\alpha\frac{\mu}{b}i\mathrm{a}_{R}(h_{i})]\geq\theta_{i},=1,$
$\ldots,$
$mi=1,$
$\ldots$,
$k\}$
(6)
となる.
ただし
,
$L^{*},$
$R$
4,
$\mu_{i}^{*}(\cdot)$はそれぞれ
$L,$
$R,$
$\mu$:
の擬逆関数てある
.
ここて
.
$\overline{a}$p
$=f(^{\overline{f}_{l}}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}),$$l=1,$
$\ldots,$
$\prime m$ $\overline{a}_{l}a=f(^{\overline{f}_{1}}+R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{a}),$$l=1,$
$\ldots,m$
b-lL\mbox{\boldmath$\alpha$}=(
々
$-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{b}$
),
$l=1,$
$\ldots,$
$m$
=(
々十
$R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}$),
$l=1,$
$\ldots,$
$m$
$\overline{c}_{i\alpha}^{L}=(\overline{d}_{-}^{c}-L^{*}(\alpha)\beta_{i}^{\mathrm{c}}),$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
$\overline{c}_{\alpha}^{R}.\cdot=(\overline{I}_{-}+R^{*}(\alpha)\delta_{i}^{\mathrm{c}}),$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
となることに注意すると
,
$\mathrm{P}\mathrm{r}[\overline{c}_{\alpha}^{L}.\cdot x\leq\mu_{i}^{*}(h:)]\geq\theta\dot{.},$ $i$=1,
.
.
.
,
$k$
は
$\mathrm{P}\mathrm{r}$
[
$\{\overline{I}\dot{.}-L^{*}(\alpha)\mathcal{B}^{c}.\cdot\}x\leq\mu$;(h
$:)$
]
$\geq\theta_{i}$,
$i=1,$
$\ldots,$
$k$
となるため
,
$\mathrm{P}\mathrm{r}(\dot{.}f\frac{fx-m^{\mathrm{c}}x}{\sqrt{x^{T}V^{\mathrm{c}}x}}\dot{.}\dot{.}\leq.\frac{\mu_{i}^{*}(h.)-\{m_{i}^{\mathrm{c}}-L^{*}(\alpha)\beta^{\mathrm{c}}\}x}{o\sqrt{e^{T}V_{i}^{\mathrm{c}}oe}}\dot{.})\geq\theta\dot{.},$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
と等価に変形できる
.
ここて,
左辺は標準正規分布に従う確率変数となっていることに注
意する
.
また,
同様にして
,
$\mathrm{P}\mathrm{r}(\overline{a}_{l\alpha}^{L}x\leq\overline{b}_{l\alpha}^{R})\geq\eta_{l},$ $l$=1,
.
.
.
,
$m$
は
$\mathrm{P}\mathrm{r}$
(
$\{f\overline{f}_{l}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}oe\leq$
々十
$R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}$)
$\geq\eta_{l},$ $l$=1,
.
.
.
,
$m$
となり
$\mathrm{P}\mathrm{r}(\frac{(ff_{l}x-\overline{d}_{l}^{b})-(m_{l}^{a}x-m_{l}^{b})}{\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}^{b}}}\leq\frac{-\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}x+m_{l}^{b}+R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}}{\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}^{b}}})\geq\eta_{1},$
$l=1,$
となる
.
よって
を標準正規分布の分布関数とすると
,
問題
(6)
は次の等価確定問題に
帰着される
.
maximize
$h_{i_{7}}i=1,$
$\ldots,$
$k$
subject to
$\Phi(\frac{\mu_{i}^{*}(h_{i})-\{m_{i}^{\mathrm{c}}-L^{*}(\alpha)\beta_{i}^{\mathrm{c}}\}x}{\sqrt{x^{T}V^{\mathrm{c}}x}}\dot{.})\geq\theta_{i},$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
$\Phi(\frac{-\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}oe+m_{l}^{b}+R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}}{\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}}})\geq\eta_{l},$
$l=1,$
$\ldots,m$
$x\geq 0$
さらに,
$\Phi(\cdot)$は強意単調増加連続関数てあるため
, その逆関数を
$\Phi^{-1}($
.
$)$とすると
maximiae
$h_{\dot{\iota}}$,
$i=1,$
.
.
,
,
$k$
subject
to
$. \cdot.\frac{\mu^{*}(h.)-\{m^{\mathrm{c}}-L^{*}(\alpha)\beta^{\mathrm{c}}\}oe}{\sqrt{x^{T}V^{\mathrm{c}}oe}}\dot{.}.\cdot\dot{.}\geq\Phi^{-1}(\theta:),$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
$\frac{-\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}oe+m_{l}^{b}+R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}}{\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}}}\geq\Phi^{-1}(\eta_{l}),$$l=1,$
$\ldots,$
$m$
$oe\geq 0$
となり
maximiae
$h_{:},$$i=1,$
$\ldots,$
$k$
subject
to
$h_{:}\leq\mu$
i
$(\{m^{\mathrm{c}}\dot{.}-L^{\mathrm{r}}(\alpha)\beta_{i}^{\mathrm{c}}\}x+\Phi^{-1}(\theta:)\sqrt{x^{T}V_{i}^{\mathrm{c}}oe})$,
$i=1,$
$.$
..
,
$k$
$\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}x-m_{l}^{b}-R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}+\Phi^{-1}(\eta_{l})\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}}\leq 0,$
$l=1,$
$\ldots,m$
$x\geq 0$
となる
. よって次の問題と等価となる
.
maximize
$\mu$i
$(\{m_{i}^{c}-L^{*}(\alpha)\beta_{i}^{\mathrm{c}}\}x+\Phi^{-1}(\theta\dot{.})o\sqrt{e^{T}V^{\mathrm{c}}x}.\cdot)$
,
$i=1,$
$\ldots,$
$k$
subject
to
$x\geq 0\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}x-m_{l}^{b}-R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}+\Phi^{-1}(\eta_{l})\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}}\leq 0,$
$l=1,$
$\ldots$,
$m\}$
(7)
5
対話型アルゴリズム
問題
(7)
に対して,
意思決定者の満足解を対話を通じて導出するために対話型ファジイ
思決定者の志望氷準を反映する基準メンバシップ値
$\overline{\mu}_{i}.(0\leq\overline{\mu}_{i}\leq 1),$ $i$=1,
.
. .
,
$k$
を導入
した次の問題を考える
.
minimize
$. \max_{i=1,\ldots,k}[\overline{\mu}_{i}-\mu_{i}(\{m_{i}^{c}-L^{*}(\alpha)\beta_{i}^{\mathrm{c}}\}x+\Phi^{-1}(\theta_{i})\sqrt{x^{T}V_{i}^{\mathrm{c}}x})]$subject
to
$x\geq 0\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}x-m_{l}^{b}-R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}+\Phi^{-1}(\eta_{l})\sqrt{x^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}^{b}}\leq 0,$
$l=1,$
. .
$1$,
$m\}$
(8)
あるいは等価的に
minimize
$v$
subject
to
$\overline{\mu}i-\mu$i
$(\{m^{\mathrm{c}}\dot{.}-L^{*}(\alpha)\beta^{c}\dot{.}\}x+\Phi^{-1}(\theta_{i})\sqrt{x^{T}V^{\mathrm{c}}x}\dot{.})\leq v$
,
$i=1,$
$\ldots,$
$k$
$\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}x-m_{l}^{b}-R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b}+\Phi^{-1}(\eta_{l})\sqrt{x^{T}V_{1}^{a}x+v_{l}^{b}}\leq 0,$
$l=1$
,
.. .
,
$m$
$x\geq 0$
さらに
,
$\mu$
.
の単調性によって
minimize
$v$
subject to
$x\geq.\cdot 0\{m^{\mathrm{c}}-L^{*}(\alpha)\beta^{\mathrm{c}}.\cdot\}x+\Phi^{-1}(\theta.)\sqrt{x^{T}V_{i}^{\mathrm{c}}x}\leq y_{i}^{0}-\{m_{l}^{a}-L^{*}(\alpha)\beta_{l}^{a}\}x+\Phi^{-1}(\eta_{l})o\sqrt{e^{T}V_{l}^{a}x+v_{l}^{b}}\leq(y_{}^{0}-y_{i}^{1})(\overline{\mu}\dot{.}-v),i=1,$
$\ldots,$
$km_{l}^{b}+R^{*}(\alpha)\delta_{l}^{b},l=1,$
$\ldots,m\}$
(9)
と変形できる
.
ここて,
$\theta_{i},\eta_{l}>1/2$
とすれば
$\Phi^{-1}(\theta\dot{.}),$$\Phi^{-1}(\eta_{l})>0$
が戒り立ち
,
また
$\mu^{*}\dot{.}(\cdot)$が線形関数であることから, 問題
(9)
は凸計画問題になるため逐次
2
次計画法などの手法
て解くことがてきる
.
設定された
$\alpha$および
$\overline{\mu}_{i}$に対する解に満足てきないときは, 意思決
定者
$\circ$は
$\overline{\mu}\dot{.}$や
$\alpha$の値を繰り返し更新し,
最終的に自己の満足解を求める.
以上から,
意思
決定者の満足解を求めるためのアルゴリズムは次のようになる.
対話型ファジイ満足化手法のアルゴリズム
手順
1 与えられた制約領域における各目的関数の個別の最大値と最小値を求める
.
手順
2
手順
1
て得られた個別の最小値と最大値に基ついて
,
ファジイ目標を特性付ける
メンバシップ関数
$\mu_{i}($.
$)$を決定する
.
手順
3
$\theta_{:}(1/2<\theta_{1}$
.
$\leq 1)$
,
$\eta_{l}(1/2<\eta_{l}\leq 1)$
,
およひ初期の
$\alpha(0\leq\alpha\leq 1)$
を設定し,
初期基
準メンパシップ値を
1
に設定する.
手順
4
設定された基準メンバシップ値
$\overline{\mu}_{i},$ $\alpha$に対して,
対応するミニマツクス問題
(8)
を
解
$\text{く}$.
手順
5
現在の解に満足なら終
$\mathrm{T}$そうてなければ,
基準メンバシツプ値
$\mathrm{A}$あるいは
$\alpha$の
問題
(8)
を解いて得られた最適解と定義
1
のパレート最適解との間には次の関係が示さ
れる
.
定理
1
$(x^{*},\overline{a}_{l}^{*}, \overline{b}_{l}^{*},\overline{c}_{i}^{*})$がある基準メンバシップ値に対する問題 (8)
の一意的な最適解であれば,
$(x^{*}, h_{i}^{*})($
の
$\alpha-$レ
^
ただし
,
$h_{i}^{*}=\triangle\mu_{i}.(\{m_{i}^{\mathrm{c}}-L^{*}(\alpha)\beta_{i}^{c}\}x^{*}+\Phi^{-1}(\theta_{i})\sqrt{x^{*T}V_{i}^{c}x^{*}})$
とする
)
は
Po7
題
(5)
“
ル集合を用いた満足水準最適化モデルにおけるパレート最適解で
,
$\overline{a}_{l}^{*},$ $\overline{b}_{l}^{*},\overline{c}^{*}.\cdot$は
$\alpha-$レベル最適係数である
.
定理
2
$(oe^{*}, h_{i}^{*})$
(
ただ
$\text{し},$ $h^{*}\dot{.}=\mu\triangle\dot{.}(\{m^{\underline{\mathrm{c}}}-L^{*}(\alpha)\beta^{c}.\cdot\}x^{*}+\Phi^{-1}(\theta:)\sqrt{X^{*T}V^{\mathrm{c}}x^{*}}\dot{.})$と
j6)75\sim
題
(5)
の
$\alpha$-
レベル集合を用いた満足水準最適化モデルにおけるパレート最適解て
1
$\overline{a}_{l}^{*},$ $\mathit{1}$,
$\overline{c}_{i}^{*}$が
$\alpha-$
レベル最適係数てあれば
,
$(x^{*},\overline{a}_{l}^{*}, \overline{b}_{l}^{*},\overline{c}_{i}^{*})$はある基準メンバシップ値に対する問題
(8)
の
最適解てある
.
6
数値例
数値例として,
次のようなファジイランダム多目的線形計画問題を考える
.
minimize
$\overline{\overline{C}}_{11}x_{1}+C_{12}\simeq$x
$2+\overline{\overline{C}}_{13}$x3
minimize
$C_{21}x_{1}\simeq+C_{22}\simeq$
x
$2+C_{23}\simeq$
x3
subject
to
$A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2}+A_{23}x_{3}\leq B_{2}\overline{\overline{A}}_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}+\overline{\overline{A}}_{13}x_{3}\leq\overline{\overline{B}}_{1}\simeq\simeq\simeq\simeq\simeq\}$(10)
$7x_{1}+6x2+4x3\leq 100$
$x_{1},$ $x_{2},$
$x_{3}\geq 0$
各パラメータの値は以下のような値とする.
$m^{\mathrm{c}}\dot{.}=\{\begin{array}{lll}-5.0 -3.0 -6.040 20 70\end{array}\}$
$m_{}^{a}=\{\begin{array}{lll}4.0 6.0 3.05.0 3.0 2.0\end{array}\}$ $m_{l}^{b}=\{\begin{array}{l}140135\end{array}\}$$V_{1}^{\mathrm{c}}=[0.90.21.4$ $0.40.21.3$ $001^{\cdot}.$
.4]
$V_{2}^{\mathrm{c}}=\{\begin{array}{lll}\mathrm{l}.3 0.2 -0.90.2 1.5 -0.4-0.9 -0.4 1.4\end{array}\}$$V_{1}^{a}=[-0.90.21.4$
$-001$
..
$452$ $-0-01.\cdot$.1]
$V_{2}^{a}=[-001$
..
$3570.40.31.3$
-o
$.\cdot.427$]
$v_{l}^{b}=\{\begin{array}{l}810\end{array}\}$$\delta_{i}^{c}=\{\begin{array}{lll}1.0 1.5 1.01.5 1.0 1.5\end{array}\}$
$\beta_{l}^{a}=\{\begin{array}{lll}1.5 1.0 1.510 15 10\end{array}\}$ $\delta_{l}^{a}=\{\begin{array}{lll}1.5 1.0 1.510 15 10\end{array}\}$ $\beta_{l}^{b}=\{\begin{array}{l}1215\end{array}\}$ $\delta_{l}^{b}=\{\begin{array}{l}1215\end{array}\}$
$\theta_{:}=\{\begin{array}{l}0.70.7\end{array}\}\eta_{l}=\{\begin{array}{l}0.70.7\end{array}\}\alpha=0.7$
問題
(10)
に対して,
基準メンバシップ値を対話的に更新しながら意思決定者の満足解
を導出する対話の様子を表
1
に示す
c
最初に
$z_{i}$(x) の個別の最小値
z:,\pi u.
。を求めると
,
$z_{1,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=}-150.000,$
$z_{2,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=0.000}$とな
る.
これらの値に基ついて,
意思決定者はファジイ目標を特性付けるメンバシツプ関数を
決定し
,
$h_{1}^{0}=0.000$
,
$h_{1}^{1}=-15\mathrm{Q}.\mathrm{Q}\mathrm{Q}\mathrm{Q},$$h_{2}^{0}=175.000$
,
$h_{2}^{1}=0.000$
と定めた
.
そして
,
仮想的な意思決定者によって,
初期基準メンバシツプ値
$(\overline{\mu}_{1}, \mu- 2)$が理想値
(1.00,
1.00)
に設定されたとする
.
この基準メンバシップ値に対して, 問題
(8)
を解き
, 目的関数のメ
ンバシップ値と解
$x$
を得た
(表
1
の第
2
列
).
意思決定者は,
$\mu_{2}$の値を犠牲にしても
$\mu_{1}$の値
を上げたいとして
, 基準メンバシップ値を更新した
(
表
1
の第
3
列
).
この基準メンバシツ
プ値に対して問題
(8)
を解いて得られた目的関数のメンバシップ値と解が表
1
の第
3
列に
示されている. 意思決定者はこの解に満足できす,
$\mu_{1}$の値を犠牲にしてても
$\mu_{2}$の値を上
げたいと考え
, 基準メンバシップ値を更新した
.
表
1
の第
4
列に示されているのがこのと
きの目的関数のメンバシップ値と解てある
.
意思決定者はこの解に満足てきす
,
現実性の
度合いを犠牲にしてでも他の値を上げたいと考え
, 現実性の度合いを
0.7
から
0.6
へと更
新した.
この現実性の度合いに対して問題
(8)
を解いて得られた目的関数のメンバシツプ
値と解が表
1
の第
5
列に示されている
. 意思決定者はこの解に溝足し
,
対話は終了した
.
表
1:
対話の様子
1
回目
2
回目
3
回目
4
回目
$\overline{\mu}$11.00—
1.00
0.95
0.95
$\overline{\mu}_{2}$1.00
0.90
0.90
0.90
$\alpha$0.70
0.70
0.70
0.60
$\mu$10.544
0.628
$\mu$20.544
0.428
0.586
0.600
0.486
0.500
$x_{1}$6.662
6.037
$x_{2}$4.895
3.162
6.324
6.271
4.053
4.094
$x_{3}$5.999
9.692
7.853
7.884
7
おわりに
本論文では,
ファジイランダム変数係数にもつ多目的線形計画問題に対して
,
意思決定
者の要求する問題の現実性の度合いを考慮に入れるために,
係数のレベル集合に焦点をあ
て
,
満足水準最適化モデルに基づく意思決定モデルを提案した
.
また
, M-\mbox{\boldmath $\alpha$}-
パレート最
適解を拡張した新たな解概念を提案し
,
さらにその解集合の中から意思決定者が対話を通
じて自己の満足解導出するための対話型ファジイ満足化手法の提案を行った
.
本論文で提
案したモデルは, 各目的関数に対して設定されたファジイ目標に関して, その満足度があ
る水準以上で達戒されている信頼度を重視する意思決定者にとって特に有用になると考え
られる
.
また,
対話過程において繰り返し解かれる問題が凸計画問題となるため, 大域的
最適解を得ることができることも利点の一つである
.
他のモデルとしては,
期待値最適化モデルや分散最小化モデルに基つくものも考えられ
るが
, 対話において繰り返し解くべき問題が非凸になることが予想され
,
本論文で提案し
たモデルの場合のように最適解を求めることは一般に困難となる
.
したがって,
遺伝的ア
ルゴリズムなとの近似解法に基つく求解手法を考える必要がある.
また
, 対話アルゴリズ
ムにおける対話の回数を減らすために
. 各メンバシップ関数値や許容レベルを
1
単位改悪
した場合に
, 他の値がどれぐらい改善されるかというトレードオフ情報を意思決定者に与
える手順を組み込んだアルゴリズムを構築することも今後の課題である
.
参考文献
[1]
$\mathrm{G}.\mathrm{B}$.
Dantzig,
Linear
programming
under
uncertainty,
Management
Science,
Vol.
1,
$\mathrm{p}\mathrm{p}$
