導写像による言語間の関連について
著者
藤野 精一, 富樫 昭
雑誌名
鹿児島大学理学部紀要. 数学・物理学・化学
巻
9
ページ
15-17
別言語のタイトル
On Relation between Languages by
Derivative-Mapping
導写像による言語間の関連について
著者
藤野 精一, 富樫 昭
雑誌名
鹿児島大学理学部紀要. 数学・物理学・化学
巻
9
ページ
15-17
別言語のタイトル
On Relation between Languages by
Derivative-Mapping
鹿児島大学理学部紀要(数学･物理･化学) No. 9, p. 15-17, 1976.
導写像に よ る言語間の関連について
藤野 精一*･富樫 昭**
(1976年9月28日受理)
On Relation between Languages by Derivative-Mapping ●
Seiiti Huzino and Akira Togasi
Abstract
In this paper we shall give a necessary and su鮎ient condition for satisfying the
● relation ∂uLl-L2 for some wej*.著者の一人は[1]で言語のカテゴy Lan畠を構成する際,対象Llから対象L2 (アルファ
ベヅT X (固定)上の言語である) -の射のグラスLan皇(LltL2)として
Lan皇(A,!<*) ≡ (∂uIあるu∈X*に対して∂5L-t -L2]
を与えた.ここに∂uは[2]で定義した導写像で,各L⊂X*に対して
∂〝L≡ {w¥uw∈L)で定義される｡この射のグラスが意味のあるものであることをたしかめるため,.ここではエ1
とL2とがどのような関係のとき∂[L-,-L2となるかを調べておこう.
まず,次の定義を与える｡
定義 各〟∈Ⅹ*に対して導写像∂"の核
Kert∂u)とは
Kerl∂〟) ≡ (可W∈X*かつ∂uw-封
で定義される集合をいう｡
例 X-{a,b]のとき,
Ker(∂a) -A+&-X*
Ker(dab) - ¥+ (b+aa) -X*
注.任意の導写像∂u(u幸入)に対して,一般に,核Kerf∂u)は無限集合である｡
定理 Li,L2をアルファべッT Xの上の言語とする｡このとき, ∂uLi-iv2であるための
必要十分条件は Ll-uL2+Cとなる言語CがKer(∂〟)の中にとれることである.
証明(i)十分なること:これは,明らかである｡すなわち
∂〟Ll - ∂〟(uL｡+C)*)九州大学理学部数学教室(Department of Mathematics, Kyushu University). **)鹿児島大学理学部数学教室(Department of Mathematics, Kagoshima University).
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藤 野 精 一･富 榛 昭
-L｡-¥-∂〟C
-u (Cの仮定より ∂〟c-(ii)必要なること: u-人のときはC-串と,とればよい. u幸人とL u-ala2 -am
(ai∈a;i-l,2, m¥m≧1)とする. このとき, エi- 8(エ1) +∑α∂αエ1 a^X
がなりたつ｡ここに8(エ1)は
8 (エ1)i
(A) (A(エ1のとき), ￠ (入官エ1のとき)と定義される集合である｡したがって,
Ll- al∂IIIl+ (3(Il)+∑a∂｣l)
flGX aア*a¥である｡このとき,
∂α,(ォ(エ1) +∑α∂αエ1) - ￠ a∈X aア*a¥であるから8(｣,)+∑a∂aLlはKer(∂al)に入る Kerl∂al)⊂Ker(∂〟)であるから,
a∈X , α≒α13(Ii)+∑a∂aLlはKerl∂u)に入る.
α∈X aア*a¥きて,ふたたび,
∂｡1エi - 3(∂｡1エ1) +∑α∂α(∂｡1エ1) cejであるから
∂ォ1Ll - a望∂a2 (a,lJi) + (S(∂axLx) +∑a∂a(∂axLx))
flGjf α≒α2 -a2∂ォ,ォ2｣i+(8(∂ aex∂axaLx) aア?a2
である｡これを前式に代入して
Ll - al(a^.-. Ll+ (8(∂M ｣盈∂axaA))
a*?at + (8(エ1) +∑α∂｡エ1) a∈X α≒α1 -ォiォ2dォ,.i-｣i+fli(8(∂ aex∂aidXi) a**ai + (8(Il) +2ォdォLl) a∈X a**a¥これをつづけて,
導写像による言語間の関連について 17 Ll-axa<*aaxa2-a桝Ll m-1 +∑a^a l^2ォ*(a(∂<*l<*2--*k^i) ｣-0 +2>aai*t-*k+｣1) a*ak+i を得るOここにk-0のとき∂al吋 ォ*1-1≡Llとする｡ 各言語8(∂ォ1ォ2'-*kLj)+∑a∂ata%-'ak<iAはKer(∂ak+lJに入る.したがって, a^X a^ak+¥ cl-^2ォ*(8(∂ォ1ォ<T-ォ&Lj)+∑a∂ォ,ォ ォ｣ォLx) a∈X aア*ak+¥ はKer(∂aia2'-akak+,)に入る.この核Ker(aala2--ak+i'は∂〝)に入るから｣-0,1,2, w-1までの各集合の和 m¥ニiJ ∑axa2-ォ*(8(∂iia2'-ah-A)+∑a∂ォ!ォォ -aha-A) ｣-0c6I aア?ak+i は∬βγ(∂〟)に入る言語である｡よって,この集合をCとすると Lx-axa^-am∂alaa'-a桝u+c -u∂〟u+c となる｡ところが∂〟L1-L2であるから, Li-uL包+C である｡(証終) 核の定義の注により各L2に対してLan皇(Li,Lt)が空でないようなLlのとり方は無限に あることがわかる｡ 参考文献 [1]藤野精一:言語のカテゴリと構造図について,昭和51年度日本数学会秋季総合分科会,応用数学講演 予稿集,172-177. [2]藤野精一,富榛昭:言語の構造図の一応用について,鹿児島大学理学部紀要No.8(1975),1-16.
