遂次近似による補間と高階数値微分法 : LAN法の提案

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(1)Title. 遂次近似による補間と高階数値微分法 : LAN法の提案. Author(s). 中野, 嘉弘. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 22(1) : 15-26. Issue Date. 1971-09. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5942. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 第２２巻. １部Ａ）北海道教育大学紀要（第１. 第１号. 昭和４６年９月. 遂次近似による補間と高階数値微分法－－ＬＡＮ法の提案－－. 中. 野. 嘉. 弘. 北海道教育大学札幌分校物理学教室. ｌｎｔｉｏｎａｎｄＮｕｍｅｒｉｉａｔｉｏｎｆｅｒｐｏｌａｔｉｖｅｓｂｙｌｔｅｒａｔｃａＩＤ縦ｅｒｅｎｔｉｏｎｓｏｒＨｉｇｈｅｒＤｅｒｉｖａｔ－Ｐｒｏｐｏｓａｌｏｆ “ ＬＡＮ ” ｍｅｔｈｏｄ. ＹｏｓｈｉｈｉｒｏＮＡＫＡＮＯＤｅｐａｒｉｌｌｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｄｏＵｎｉｖｅｒｉｉｃｓｔｙｏｆＥｄｕｃａｅｇｅｓｔｏｎ，ＳａｐｐｏｒｏＣｏ〉Ｈｏｋｋａ，Ｓａｐｐｏｒｏ，０６０. ’ Ｌａｇｒａｎｇｅｉｏｎｆｏｒｍｕｌａｉｓｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｔｆａｍｏｕｓａｍｏｎｇｍａｎｙｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｓｔｈｅｍｏｓｉｉａｔｉｏｎｓｃａｌｄｉ任ｅｒｅｎｔａｎｄｉｓａｌｓｏａｄａｐｔａｂｌｅｔｏｎｕｍｅｒ，ｌｙ，ＡｉＲｅｃｅｎｔｉｎｇｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇｔｔｋｅｎｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｉｎｔｅｒｅｓｔｈｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｄｕｒｅ，Ｔｈｉｉｏｎｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｔｓｉｅｒａｔｅｄｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄｂｙｔｈｅａｕｔｈｏｒｔｏｉｎｃｌｕｄｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｄｉ昼ｅｒｅｉａｔｉｏｎｓｃｏｖｅｒｉｎｇｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒｓｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ，ｔ１ーｌｏｗｉｎｇｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｆｏｒｍｕｌａｉＴｈｅｆｏｌｌａｒｎｏｔａｔｉｍｉｔｅｒｓｉｏｎｓｂｙＡｉｓｇｉｖｅｎａｆｔｋｅｎ. ＩＬ式斜瀞２ｚ２－１◎＋為－☆ ！胴瞥趨－（；飽がｆ・一尤－為ｚＺｚ－一１Ｉ ←・髭ｚｚ（尤）。，．，ー２. 為－劣. “ ‘ＬＡＮ ” ｍｅｔｈｏｄｂｄｌｌＴｈｉｓｍａｙｅｃａｅｔｈｅ‘ ｓａｌｓｏｇｉｖｅｎ，Ａｃｏｍｐｕｔｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｅｘａｍｐｌｅｉｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ．. Ｘ．は. し. が．き. のある関数ｆ（変数）の関数形が未知であっても，複数ヶの劣の値－－これを柱（ちゅう））－－に対する ′（）－－が既知であればすなわち）の値－－柱値（ちゅうち）と呼ぶ１と呼ぶ１匁，））－＝１隊ぞｇ・の間に位置する任意の，２， … の対がわかっていれば，これらズに対する関，′（尤ｉ数値ｆ（尤）を．数値的に求めることができる．これを補間または内挿法（ｉｔｎｔｅｒｐｏｌａｏｎ）と呼び，ＧｌＢかのＮｅｗｔｏｎ，ａｕｓｓｓｅ以来，種々の方法が考案されている．しかし一般的に柱が不等間，ｅｓ，，隔の場合に適用できるのは，Ｒｕｎｇｅの方法かＬａｇｒａｎｇｅ公式（実はＥｕｌｅｒの案出ともいわれる）くらいのものであろう，. 近頃の，いわゆるコンピューターによる計算処理の場合にも，このＬａｇｒａｎｇｅ法による補間法および数値微分法が有用であって，普通にＳＳＬ（科学用サブルーチン・ライブラリ）として用意. ）ただしＬａｇｒａｎｇｅの数値微分法では１階微分のみであて高階微分を直接求されている２っ，，，．めることはできない．ｉ）ｔｋｅｎは遂次近似（反復法，ｌｔｔ最近，Ａｉｅｒａｏｎ）による補間法を提案した３． .

(3) . ＩＶＯ．２２．Ｉ，Ｎｏ. ｉｏｎ（ＳｅｃｉｉｉｄｏＵｎｉｔｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｏｎ口Ａ）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｏｋｋａｒｓｖｅ. Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒｌ９７１. これは，従来のＬａｇｒａｎｇｅ補間法が，与えられた柱および柱値のすべてを用いて補間計算を行なうのに対して，先ず着目点の近傍から補間を実行し，遂似範囲を拡大して，与えられた全点で適合するように近似を進める方法である．究極的にはＬａｇｒａｎｇｅ補間多項式に一致するものであるが，ｋｅｎ法は反復法であるがために，毎回の遂次近似公式は簡単で，また見通しの良いものになっＡｉｔている．さらに，従来の公式で補間を機械的に実行する際に起こりがちな発散の問題を，遂次近似ｔｋｅｎの補間法とでも的にチェックしつつ補間を進め得る長所をもっている．これはＬａｇｒａｎｇｅＡｉ. 呼ぶべきものである．. 著者は，この方法を拡張して，高階徴係数を含めて，各階の徴係数を遂次反復をくり返して，数値的に求める方法を案出したので紹介する． ⑦ 階微分）とを含む一般的な遂次近似公式を求め先ず，補間（第０階微分）と高階微係数（第 ” た．これによって，任意の階数の徴係数を，任意の近似度で求めることができる．次いで，最近の数値計算の常識に従い，コンピュータ・プログラミングと，それによる演算の実行例についても述. べる，. この方法が有用であるならば，これをＬＡＮ法とでも呼びたい．. １１．公式の導来ｉｉｌｄｉＨｅｒｅｉｔｏｎ）においては，補間公式を利用し，その補間多項ａｔｃａ一般に，数値微分法（ｎｕｍｅｒ. 式の徴係数をもって，微分の近似値とする．従来は，Ｌａｇｒａｎｇｅの補間多項式の微分が用いられて来たが，高階微分の場合にはわづらわしい式あるいは計算となり，また式に一貫性が乏しい．ｋｅｎの遂次近似補間公式を微分するこｔ本論文に述べる著者のいわゆるＬＡＮ法においては，Ａｉとにより，高階徴係数に到るまで見通しの良い公式が得られる．次に公式の導き方を説明する．Ａｉｔｋｅｎの補間公式は，第１近似において. 獅－ ★ 際ゴ・◎，ー２，．，. ）. であり，第，Ｚ近似では. 豊）＝★－危ー繋ぎｉゴ三. ただし. ー，たの. の. Ｚ；た十１，た十２，れ，．．．. であるから，微分操作によって次のような新しい公式を得る．すなわち，微分の階数を粥，柱数をＺ＋１とすれば，一般に. －）一躍≧ 乙－一１◎＋＊２撫砕だ』” ・一尤乙一Ｉｚニヱ腐．ｚ－”（尤），. り陽：賜ニゴ３）（. が成り立つ．. この際，粥＝Ｚなる場合には，行列式内の２項については. 墓饗．Ｊ４” ；馬糟－－. であることが容易にわかる．. ＝Ｏ. ４（）.

(4) . ２２巻第１号. 北海道教育大学紀要（第１１部Ａ）. ６年９月昭和４. ３）において，第２項の行列式を含む項はＡｉこの新公式（ｔｋｅｎの補間公式と同じ型であり，第，. 項は微分について特徴的なものである．従ってこの公式は，遠くはＬａｇｒａｎｇｅの近くはＡｉｔｋｅｎ，方法の自然な拡張になっている．しかも，粥＝０とおけば，Ａｉｔｋｅｎ公式そのものに一致し，ま. 与えられた柱数の制限下で許される最高階微分の場合には，その値が０に等しい行列式が第２項して附くだけであるから，補間，微分のすべての場合を通じて一貫した公式で間に合う，. これをＬＡＮ公式（Ｌａｇｒａｎｇｅｔｋｅｎ‐Ｎａｋａｎｏ）と略称しておこう． ‐Ａｉ. １１１。ＬＡＮ. 法の幾何学的意味. この遂次近似法の意味が直観的にわかるように，Ｆｉｓｇ，１と２とに，その幾何学的意味を図示し. ，近似の進み方，収束の様子が把握できよう，ｋｅｎｔ）の場合を説明すれば，第１近似（先ず，補間法（Ａｉ ”＝１）においては，. ５（）ように書き改められるから，Ｚ＝１ｉ，２，３についてこれを図示したのがＦｇ．１のｌａ，ｌｂ，ｌｃである．第２近似（”＝２）においては，. ムー１＋ぬ‐ム）細ー. ６（）. られるから，これを図示したのがＦｉｇ．１の２ａ，２ｂである．同様にして第３近似（”＝３）においては，（恥）. （却）ん. ふ. ）（ヱｃ. ん ′. ふ. ・. －－ーん２. ん. ん－－－－－－－う. （２）。ん２. 一ぐ一一一一一. ）（３ α . 「一－－－－うー. ヱ卿. . れ＝３. ｌｍｅａｎｉｎｇｏｆｉＦｉｇ，ＩＧｅｏｍｅｉｔｌｉｒｔｔｃａｔｅｒａｅｄｉｎｔｅｒｐｏａｏｎ，”＝１，２，３，．，ｉｔｍｅａｎｓｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｉｔＺｅｒａｏｎｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｂｏあ．２２３，あ．，．，ｈｅＦｉｔｅｒｓａｒｅｓｅｅｎｉｎｔ … Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｃｈａｒａｃｇｓ．ａ，，ｂ，ｃ.

(5) . ＩＶＯ．２２．Ｉ，Ｎｏ. Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒｌ９７１. ｌｏｆＨｏｋｋａｉｉＳｅｃｉＩＡ）ｉｄｏＵｎｉｖｅｒｔｔｔＪｏｕｒｎａｓｏｎ（ｏｎｌｙｏｆＥｄｕｃａ（α）. ①烏. （の . 一－－ラー. . . ②. ーぐ－－－－而－－. ん. ｍ. ，. ①. ②. ｌｄｉ丑ｅｒｅｎｔｉｉｌｍｅａｎｉｎｇｏｆｉｉＦｉｇｉｔｔｔｔｏｎｓａｒｃａｃａｅｒａｅｄｎｕｍｅｒ．２Ｇｅｏｍｅｉ（ＬＡＮ）ｔｏｎｃｏｒｒｅｓｅｒａｔ ‐ ． ”＝１，２，．．ｍｅａｎｓｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｉ ′ ′ ヱｉｎｇｔｏｓｕｃｃｅｉｖｅａｐｐｒｏｘｉｍａｉｔｓｓｏｎｓＺｐｏｎｄ。，，。賜．，．．. る賜一・）キ警２＋』－』・２の関係を. ７）（. Ｆｉｇ．１の３ａに示したこれら遂次近似の収束の様子を示したのが，．. Ｆｉｇ，１の３ｂで. ある．. 次に，数値微分について，第１階の場合について説明しよう，れ＝１の近似では，８（）. によって（平均）徴係数を決めたのがＦｉｇ，２のａであり，記号 ① の太いベクトルでヱる，が示さ２ベｂ烏れる．同様にして，Ｆｉｇの太クトルででは記号のいを示した ② ．，２．れ＝２. の近似では，. ふ卿 ‐ 誓轡｛ふ＋鍛葡. ｝．鐙. ◎. となるが，右辺第１項のム２とん，の平均微係数をＦｉｇ．２のｃの記号図のベクトルで示した．第２項の方はＦｉｇ．２のｄに，為，と易２との平均微係数として，記号図のベクトルで示されている．さらに同じ図で，国と国の矢印の和が，求める近似の微係数稲畑（尤）なのである．こ. の烏２は先の近似の烏よりも進んだ近似であることがうかがわれる．これ以上のことは同様にして理解されよう．. ＩＶ．コンピュータ・プログラミングの原理ｔｋｅｎ）のみならば，コンピュータ・プログラミングも極めて簡単であるが，数値微分補間法（Ａｉる）との２つ）とハのＬを含む場合（ＡＮ法）では，式（３）が２つの項から成り，遂次近似がヱ（伽ー１. の系統について進行するので複雑になる．また，補間と数値微分をまとめて共通の公式で行なうために，プログラミングにはさらに技巧が必要になった．以下に要点を示そう．１ｊＪ）Ｊ）））を宣言する．配列：×（Ｄ，Ｙ（，Ｚ（，Ｄ（，Ｊ，ＹＹ（Ｘ（ｊ）：与えられた座標（柱）を格納する．.

(6) . 昭和４６年９月. １部Ａ）北海道教育大学紀要（第１. ２巻第１号第２. Ｙ（ｊ）：柱値またはヱ同系統の関数値を格納．１）系統の関数値を格納するＺ（Ｊ）：ハｍ‐ ．これら３つの組合せから，ＬＡＮ公式を用いて，次の近似の関数値ＹＦ（倍精度ではＹＦＤ）が計. 算される．ｊ）に工Ｄ（）：計算された関数値ＹＦを格納し，次の階の微分演算に際しては，その内容をＺ（，Ｊ送り出す．ＪＹＹ（）は，近似の進行とともにその内容が変わるから，別に柱値のＪ）：演算のための関数値Ｙ（. 初期値を格納しておく，これは，着目点を移動させながら補間または数値微分を行なう時には必要である，. 次に手順を示そう．近似度. （第岬皆）ＹＹ. 窟. ＬＡＮ公式ｒｎ. のＪと÷ Ｙの ÷→. （第１階）ｏｏ. ② ↓. ② ↓. Ｚ（｝）. ３）Ｄ（）（＝０，Ｊ. ２）Ｄ（）（＝０，Ｊ. ）１Ｄ（）（＝０，１. Ｍ＝ｏ. Ｎ＝３. Ｎ＝２. Ｎ＝Ｉ. Ｉ. ②. Ｚ（ｊ）ｒｎ “ －－」 ” → ￥（」）. Ｚ（Ｊ）. ÷ →ＹＦ. ＹＦ」＊÷Ｙの. ÷ →．・・. Ｘ（Ｊ）. Ｘ（Ｊ）. ×（Ｊ）. １Ｄ（），Ｊ. Ｄ（２），Ｊ. Ｄ（３），Ｊ. ｚ（Ｊ）. 亘」Ｙ（Ｊ）. Ｚ（Ｊ）. Ｆ旦美ＰＦ覇ｉ）一Ｙ ←Ｙｓ ≧ ＹＦ. 国. ｚ（Ｊ）. ＹＦ. Ｙの. 国. Ｙの. Ｘ（Ｊ）. Ｘ（Ｊ）. ×（. １Ｄ（），Ｊ. Ｄ（２），１. ３Ｄ（），Ｊ. Ｍ＝２（第２階）. . ０ＯＡ. . Ｚ（Ｊ）. . ムｕノ金Ｙ（ｊ）. ＦＡ ※ ← ）一Ｙ ×（Ｊ）. Ｙ（Ｊ）. ＹＦ. Ｘ（Ｊ）. Ｄ（２），Ｊ. ↓②. ，. Ｄ（３），Ｊ. ↓②. ここに数字 ①， ②， ③ などは手順の番号を示している，すなわち，Ｍ＝１，Ｎ＝２の場合を例に. ２Ｊ）に）の内容をＺ（ｊ）に入れ， ②前の階で得られたＤ（とれば， ①先に計算したＹＦをＹ（，Ｊ２）に格納する，同様の操作を矢印に沿うて反復すれば移し， ③そのあとでＹＦを移してＤ（，ｊよし・，. ｉｌｔ）の回数は，与えられた柱数（ＬＭＡＸとをこう）をｔｏｎｅｒａさて，近似の度数すなわち反復（超えることはなく，また微分の階数Ｍが増すにつれて，１つずつ減少する．つまり近似度の番号（今はＮとしてある）は，微分の階数（今はＭとしてある）と等しい整数で始まるが，実際に. は高々（ＬＭＡＸ－Ｍ），すなわち（柱数‐微分階数）の値までである．（ヱ９）.

(7) . ｌｖｏ．２２．・，Ｎｏ. ｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉｉｊｏｕｒｎａｉＶｅｉｏｎｌｔｙｏｆＥｄばｃａ１Ａ）ｔｒｓｔｏｎ（Ｓｅｃ. ＳｅＰｔｂｅｒｌ９７．ｅ］〔エー. なお，Ｍ＝０（補間法）の場合にはＮ＝０の近似があり得る．これは補間演算を経由せずに，着目点に最も近い柱に対応する柱値を近似値として採用した場合である，もちろん，着目点が柱と合. 致している時には，補間値は逐次近似に関係なく一定値で，柱値そのものに等しい．. Ｖ．プログラムの構成メイン・プログラム. 倍精度実変数の宣言；必要な変数に対して行なう．単精度のままでは，３階以上の高階微分は正階以上の高階しく求められない場合が多い．柱と柱値の読み込み；柱数によって，実行可能な微分の最高階と近似度が決まってしまう着目点の読み込み；着目点は原理上は柱の範囲の内外を問わない．ＣＡＬＬＬＡＮ；本法による演算を希望の階数近似度まで行なう，，．結果の印刷；演算結果の全部または希望箇所を印刷する，サブルーチンＬＡＮ；本論文の方法である．. ＣＡＬＬＮＥＡＲ；柱を着目点から近い順に配列し直す. ．これは逐次近似の収束を速める，. ＣＡＬＬＦＬＡＮ；ＬＡＮ法によって演算を行なわせる，. サブルーチンＮＥＡＲ；着目点に近い順に，柱と柱値を配列し直す．倍精度で行なう時もある. （ＮＥＡＲＤ）．. サブルーチンＦＬＡＮ；ＬＡＮ公式を用い，第０階から始めて，必要な階数，近似度まで逐次近似度ま近似を反復する．関数サブプログラムＦＬＡＮ；ＬＡＮ公式そのものの定義である．倍精度で与えてある．実際に用いたプｐグラム例は附録１と２に示してある（メインプログラムは省いた）．. ＶＩ．数値計算例ＬＡＮ法の有用性のチェックのために行なった若干の計算例を示す柱数はいづれも７であり．，. ｌ第０～６階まで求めてある．ただし最高階では，近似度の実際の数（ｔｉｔｅｒａｏｎの回数）は１に過ぎ. ないから，充分の精度は保証されていない．次に試みた例とその狙いを述べる．例１．ｅｘｐ（尤）. 各微分階での値がすべて等しいはずであることに留意して，この方法の精度を. チ，エックした．例２．ｅｘｐ（－）微分の階数の一つおきに，符号は反転するが，絶対値は変わらないはずであるｉｎ（尤）例３．ｓ. ．. 微分の階数が進むにつれて，ｓｌｎ北，ｃｏｓ，一ｓｌｎ尤，一Ｃｏｓ匁，ｓｌｎ尤，ｃｏｓ尤，，，の. 性質が数値的にも交代しつつ現われるはずである，. ＬＡＮ法による計算結果は附録３～６などに与えたが結果は満足できるものといえよう，. ．. ｌ関数Ｊ例４ｓ（のｓｅ．Ｂｅｏ. ４）の中に階差法による数値微分の例として第６階まこれは故林桂一博士の名著「数値計算」，，で詳しく計算されているもので，比較するのに好都合である．０３に対してＬＡＮ匁＝２５．，. 上段が. 法による結果と林博士の結果を対照して示そう．同じ階数に対して，. ＬＡＮ法，下段が林の数値である．. ｆ（寛）. ００９９９８１１９８７０７７２３６６．０．０９９９８１１７３０５７０. （２０）.

(8) . ２巻第１号第２ ′′. ′″ ′ ′ ′′ Ｖ ′Ｉ. ′ＶＩ ′Ｖ. １部Ａ）北海道教育大学紀要（第１. 昭和４６年９月. ０１２２２５７７８９４０９３２４７，０１２２２５７８１１４．１０４８６５６４８９０２８３５５－－０，１０４８６５６２－－０，１１７８７３０４７１１３３４７８－０．１１７８７３－０，. ０１０９２２４５５９２３８１５７８．０１０９２，. ０１１２９８３３２０３８０６８００．０．１１. １１２９２３６８２１６８４６０４ー０．１－０，. ＶＩＩ．. 結. 語. 補間法と数値微分法に代わる新しい方法を考えた．任意の高階徴係数まで，任意の近似度で求め得る方法である（もちろん，与えられた柱数によって許される範囲内で），Ｌａｇｒａｎｇｅ. ｔｋｅｎの逐次近似補間法を，数値微分の場合にまで拡張したもので，一般公式を導き出原理はＡｉ. した．工ｉｔｔｅｒａｏｎ法であるから，コンピューターによる計算に適している．ただし，丸め誤差などの重. 畳を避けるために，高階微分に対しては倍精度演算が望まれる．. 科学用サブルーチン・ライブラリ向きにアレンジしたプログラムと計算の実例を与えてある．例題の結果から判断すれば有用な方法であるこれをＬＡＮ法と名付けたい. ，．本法と同様の原理で，逆補間法を行なうこと，あるいは，微係数を数値的に与えておいて原始関数を求めること（一種の数値積分）も可能で，これについては近く公刊する，. 若干の文献を貸与下さったことに対し，親愛なる同僚の猪野富秋助教授（数学教室）に感謝した. し、. 最後に，本研究は北海道大学大型計算機センターの，ＦＡＣＯＭ２３００を利用して行なわれたことを附記し，併せて同センターの関係各位に謝意を表する，文. 献. １）石田保土：補間係数表（培風館，昭和２８年）ｐ，１，２）例えば，富士通ＦＡＣＯＭＳＳＬＩ００３ラグランジュ補間／. ＬＡＧＳ（単精度），ＬＡＧＤ（倍精度）Ｃ／００１ラグランジュ微分ＤＩＦＬＡＳ（単精度），ＤＩＦＬＡＤ（倍精度）２８右，岩波６８編集）ｐ３：）日本数学会．２，数学辞典，第２版（岩波書店，１９１９５４１９６０）と増訂版（）には，該当する記述は見当たらない，邦書では最近刊の数なお，同数学辞典第１版（ｋｅｎ法の紹介が現われ始めている，ｔ値計算法関係の書籍のごく僅かのものに，Ａｉ６年）ｐ２４４６５‐２４）林桂一：数値計算（岩波書店，第１版昭和１，.

(9) . ＩＶＯ．２２．Ｉ，Ｎｏ. ｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉｖｅｒｉｉｏｎ（ＳｅｃｉエＡ）ＪｏｕｒｎａｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｔｓｏｎｌ. Ｓｅｐｔｂｅｒｌ９７１ｅ１ｍー. 附録１サブルーチンプログラムＬＡＮなどＣ１２Ｃ３４５. ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥＬＡＮＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥ（ＬＡＮＤ ×ＬＤ１ ×ＬＤＹＬＤＬＭＡＭＭＬＮＬＹＡＮＤ），，，，，，，ＤＯＵＢＬＥＰＲＥＣＩＳＩＯＮ ×ＬＤ１ ×ＬＤ（１０１０１０１０），ＹＬＤ（），ＹＹＬＤ（），ＹＡＮＤ（，１０），ＲＥＡＲＡＮＧＥＣＡＬＬＮＥＡＲＤ（×ＬＤ１ＸＬＤＹＬＤＬＭＡＭ），，，ＤＯＩＯＩ＝１］ＭＡＭ，Ｌ. ＹＹＬＤ（１１）＝ＹＬＤ（）. １ＯＣＯＮＴＩＮＵＥＣ. ＹＡＮＤ（１１）＝ＹＬＤ（），１. ＣＡＬＬＦＬＦＬＡＮ（×ＬＤ１， ×ＬＤ，ＹＬＤ，ＹＹＬＤ，ＬＭＡＭ，ＭＬＮＬＹＡＮＤ）Ｄ０３〇．下～；１，Ｍ［ＬＩＰ＝工ＩＷ ÷－ＩＷ－１Ｄ。３０Ｄ０ＯＪ下Ｗｗ；１下刃，ＮＬ十ｌＩＩ１Ｗ－１ｗ－１・ｊＰ＝Ｊ ‐ ＩＦ（Ｐ）２６１６ＩＰ－Ｊ，２８，２ ‐ ２６Ｗ６ｒＲＩＴＥ（ＷＲ．▽瑳Ｊ斬り，２７）ＩＰ，ＪＰＹＡＮＤ（ ‘ ’ ‘ ’ ２７ＦＯＲＭＡＴ（ＩＨ０１６）．，３１×，Ｍ＝，１２，５×，Ｎ＝，１２，５×，Ｄ２３ＧＯＴ０３０ ‐ ２８ＷｒＲＩＴＥ（６工▽，ＪＷＲ下面７）ＸＬＤ１），２９，ＩＰ，Ｊｐ，ＹＡＮＤ（ ‘ＡＴＸ＝’ Ｄ１５７５× ‘Ｍ＝’ １２５Ｘ ‘Ｎ ’ １２５ＸＤ２３１６）２９ＦＯＲＭＡＴ（ＩＨ０５Ｘ，．，，，，，，，，〒，，，２０３０ＣＯＮＴＩＮＵＥＲＥＴＵＲＮ２１ＥＮＤＣＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥＮＥＡＲ１ＳＵＢＲＯＵＴ工ＮＥＮＥＡＲＤ（×ＮＲ１， ×ＮＲ，ＹＮＲ，ＬＮＸ）２ＤＯＵＢＬＥＰＲＥＣ工ＳＩＯＮＸＮＲ１１０１０），ＹＮＲ（１０），ＡＢＸ（），ＰＡ，ＰＢ，ＰＡＢ， ×ＮＲ（３ＤＯＩＯＩ＝１，ＬＮＸ４ＡＢＸ（１）＝ＤＡＢＳ（×ＮＲＩ－×ＮＲＱ））５ＣＯＮＴ工ＮＵＥ６１ＯＤＯ１３Ｊ＝１，ＬＮＸ－Ｉ７ＤＯ１２Ｋ＝Ｊ＋１，ＬＮＸ８ＩＦ（ＡＢＸ（１Ｊ）－ＡＢＸ（Ｋ））１２９，１２，１１ＩＰＡＢ＝ＡＢＸ（ｊ）. ８９１０１Ｉ１２１３１４１５１６１７１１８９. ＬＡＮＤＩＬＡＮＤ２ＬＡＮ４ＬＡＮＤ４ＬＡＮＤ５ＬＡＮＤ６ＬＡＮＤ７ＬＡＮＤ８ＬＡＮ１８ＬＡＮＤＩＯＬＡＮ２５ＬＡＮ２６ＬＡＮ２７ＬＡＮ２８ＬＡＮ２９ＬＡＮＤ３０ＬＡＮＤ３１ＬＡＮＤ３２ＬＡＮＤ１５ＬＡＮＤ１６ＬＡＮ３１ ‐ ＬＡＮ３２ＬＡＮ３３. ＡＢＸ（Ｊ）＝ＡＢＸ（Ｋ）ＡＢＸ（Ｋ）＝ＰＡＢ. ＰＡ＝ＸＮＲ（Ｊ） ×ＮＲ（Ｊ）＝×ＮＲ（Ｋ） ×ＮＲ（Ｋ）＝ＰＡ. ＰＢ＝ＹＮＲ（ｊ）ＹＮＲ（Ｊ）＝ＹＮＲ（Ｋ）. ＹＮＲ（Ｋ）＝ＰＢ１２ＣＯＮＴ工ＮＵＥ１３ＣＯＮＴＩＮＵＥ６ＷｒＲＩＴＥ（）ＸＮＲ１，１，（×ＮＲ（Ｄ，１＝１，ＬＮＸ）. ＷたＲ工ＴＥ（６）（ＹＮＲ（Ｄ，１＝１，ＬＮ×），２. ‘ ’ ‘ ＩＦＯＲＭＡＴ（ＩＨ０３Ｘ，‘×＝’ ７７），．，５Ｘ，ＦＲＯＭＸ＝，Ｄ１５，ＦＡＲＴＨＥＲ／，１ＯＤ１５ＨＹＤ２Ｘ５Ｄ２１６６Ｘ２１６２ＦＯＲＭＡＴ（ＩＨ０３３５３＝／）．，，，，，ＲＥＴＵＲＮＥＮＤ. ＮＲＤＩＮＲＤ２ＮＲ３ＮＲＤ４ＮＲ４１ＮＲ５ＮＲ６ＮＲ７ＮＲ８ＮＲ９ＮＲＩＯＮＲＩＩＮＲ１２ＮＲ１３ＮＲ１４ＮＲ１５ＮＲ１６ＮＲ１７ＮＲ１８ＮＲＤＩ９ＮＲＩ）２〇ＮＲＤ２１ＮＲ工）２２ＮＲＩ９ＮＲ２０. 附録２サブルーチンＦＬＡＮと関数サブプログラムＦＬＡＮＤＣ１２Ｃ３４. ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥＦＬＡＮ ‐ ＳＵＢＲＯＵＴＩＮＥＦＬＡＮ（ＸＮ１， ×ＮＤ，ＹＮＤ，ＹＹＮＤ，ＬＮＡＸ，ＭＮ，ＮＮ，ＹＬＡＮＤ）ＤＯＵＢＬＥＰＲＥＣＩＳＩＯＮ ×Ｎ１１０１０１０１０）１０）ＹＮＤ（），Ｚ（），ＹＹＮＤ（），ＹＦＤ（， ×ＮＤ（， ‐ Ｚ，ＬＡＮＤ１００）ＦＬＡＮＤＩＯＯ１ ×ＪＸＥ，ＦＸ工Ｉ０Ｉ０Ｉｊ十Ｄ（），ＹＬＡＮＤ（，１，１Ｏ，Ｙ１，ＹＪ，１，Ｚ１，Ｘ， ×Ｅ，× ，ＦＵＮＣＴ工ＯＮＸＥ＝ＸＮＩＤＯＩＯＩＬ＝１，ＬＮＡＸＤＯＩＯＪＬ＝１，ＬＮＡＸＯＤ（ＩＬ、］Ｌ）＝０．. （２２）. ＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮ. Ｉ２３４５６７８.

(10) . 第２２巻第１号. 北海道教育大学紀要（第１１部Ａ）. ７８９１０１１１２１３１４１５１６１７１８１９２０２１２２２３２４２５２６２７２８２９３０３１３２. １０ＣＯＮＴＩＮＵＥＤ０６０ＭＡ＝１ＬＮＡＸ，ＮＩＩ＝ＭＡ－１工ＦＱＶＩＩ１１６）７，，１７，１６Ｍ［Ｂ＝ＭＡＧＯＴ○ １８１７Ｍ［Ｂ＝ＮＩ工ＧＯＴ０１９１８Ｄ０２０ＫＯ＝ＭＢＬＮＡＸ，Ｚ（ＫＯ）＝Ｄ（ＭＢＫＯ，）．ＹＮＤ（ＫＯ）＝ＹＹＮＤ（ＫＯ）Ｄ（ＭＢ，ＫＯ）＝ＹＹＮＤ（ＫＯ）２０ＣＯＮＴＩＮＵＥＧＯＴ０２２１９Ｄ０２１ＫＩ＝Ｍ［Ｂ，ＬＮＡＸＺ（Ｋ１Ｂ，Ｋ１）二Ｄ（Ｍ［）ＹＮＤ（ＫＩ０）＝０．２ＩＣＯＮＴ工ＮＵＥ２２Ｄ０５０１＝Ｍ［Ｂ，ＬＮＡＸ－１ ×１＝ＸＮＤ（工）ＹＩ＝ＹＮＤ（工）ＺＩ＝Ｚ（１）ＮＩ＝１＋１Ｄ０３０１＝Ｎ１，ＬＮＡＸＸＩ＝ＸＮＤ（Ｊ）ＹＩ＝ＹＮＤ（Ｊ）. ３４. ＹＦＤ（Ｊ）＝ＦＬＡＮＤ（Ｙ１，ＹＪ，Ｚ工，ＺＪ， ×１， ×ｊ，ＸＥ，ＭＩ）－，，３２８ＹＬＡＮＤ（ＭＡ，ＮＩ）＝ＹＦＤ（Ｎ工）３０ＣＯＮＴＩＮＵＥＤ０４０Ｌ＝１＋１、ＬＮＡＸ. ３３３６３７３８. ３９４０４１４２４３４４４５４６４７４８４９. ，. ６年９月昭和４ＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮＦＡＮ. ＺＪ＝Ｚ（Ｊ）. ＹＮＤ（Ｌ）＝ＹＦＤ（Ｌ）Ｚ（Ｌ）＝Ｄ（１＋１，Ｌ）. Ｄ（１＋１，Ｌ）＝ＹＦＤ（Ｌ）４０ＣＯＮＴＩＮＵＥ５０ＣＯＮＴＩＮＵＥ６０ＣＯＮＴ工ＮＵＥＤ０６１ＬＬ＝１，ＬＮＡＸＹＮＤ（ＬＬ）＝ＹＹＮＤ（ＬＬ）６１ＣＯＮＴＩＮＵＥ・ＲＥＴＵＲＮＥＮＤＣＦＵＮＣＴＩＯＮＳＵＢＦＬＡＮＤ. ＩＤＯＵＢＬＥＰＲＥＣＩＳＩＯＮＦＵＮＣＴＩＯＮＦＬＡＮＤ（Ｙ１Ｙ２Ｚ１Ｚ２ ×１ ×２ ×０ＭＦ），，，，，，，２ＤＯＵＢＬＥＰＲＥＣ工ＳＩＯＮＹ１Ｙ２Ｚ１Ｚ２Ｘ１Ｘ２ＸＯ，，，，，，. ９ＩＯＩＩＩＩＩＩ１２ＦＡＮＩ１３ＦＡＮＩ１４ＦＡＮＩ１５ＦＡＮ１２ＦＡＮ１３ＦＡＮ１４ＦＡＮ１５ＦＡＮ１６ＦＡＮ１６１ＦＡＮ１７ＦＡＮ１７１ＦＡＮ１８ＦＡＮＩ９ＦＡＮ２０ＦＡＮ２１ＦＡＮ２２ＦＡＮ２３ＦＡＮ２４ＦＡＮ２５ＦＡＮ２６ＦＡＮ２７ＦＡＮ２８ＦＡＮ２９ＦＡＮ３０ＦＡＮ３３ＦＡＮ３４ＦＡＮ３５ＦＡＮ３６ＦＡＮ３７ＦＡＮ３８ＦＡＮ３９ＦＡＮ４０ＦＡＮ４１ＦＡＮ４２ ‐４３ＦＡＮＦＡＮ４４ＦＡＮ４５ＦＡＮ４６. ３ＦＬＡＮＤ＝（Ｙ１美（Ｘ２－ｘｏ）－Ｙ２美（ｘ１一ＸＯ））”Ｘ２ーＸ１）十ＤＦＬＯＡＴ（ＭＦ）※（（Ｚ２ーＺ１／）（Ｘ２ーＸ１））４ＲＥＴＵＲＮ５ＥＮＤ. ．. 附録３計算結果例ｅｘｐ（００７）％＝１尤，. ＡＴＸ＝０１００７０００ＤＯＩ．. ＡＴＸ＝０１００７０００ＤＯＩ，. Ｍ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝Ｉ. Ｎ＝０Ｎ＝１Ｎ＝２Ｎ＝３Ｎ＝４Ｎ＝５Ｎ＝６Ｎ＝１Ｎ＝２Ｎ＝３Ｎ＝４Ｎ＝５. （２３）. ０２７３４６４０５７９７５９２６６ＤＯＩ，０２７３７３７７９２１５２５７１３ＤＯＩ．２７３７３７６５５４２４０１８９ＤＯＩ０．２７３７３７６５５２８７１５３９ＤＯＩ０．０３７３７６５５２８７２５６４ＤＯＩ，宏ァ０２７３７３７６５５２８７２５６５ＤＯＩ，０２７３７３７６５５２８７２５６５ＤＯＩ．０２７３７３７７００９０９０２６６ＤＯＩ．０２７３７３７７００９０９０２６６ＤＯＩ．０２７３７３７６５５２８７２３６０ＤＯＩ，０２７３７３７６５５２８７２３６０ＤＯＩ．０２７３７３７６５５２８７２５６５ＤＯ１，. ＦＣ１ＦＣ２ＦＣ３ＦＣ４ＦＣ５.

(11) . ＶＯＩ．２２．Ｉ，Ｎｏ. ｉｏｎｌＩＡ）ｉｉｔｔＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉｔｏｎ（ＳｅｃｓｖｅｒｙｏｆＥｄｕｃａ０２７３７３７６５５２８７２５６５ＤＯＩＮ＝６Ｍ＝Ｉ．Ｎ＝２０２７３４６４１４６４１２９８２０ＤＯＩＭ＝２．Ｎ＝３０２７３７３７８８３４００２２６０ＤＯＩＭ＝２．Ｎ；４Ｑｚア３７３７６５５５１５１４５４ＤＯ．Ｍ；２Ｎ＝５０２７３７３７６５５２８７０３１３ＤＯＩＭ＝２．２７３７３７６５５２８７２２６０ＤＯＩＮ＝６０Ｍ＝２．２７３７３７７９２１７８４６１８ＤＯＩＮ＝３０ＡＴＸ＝０Ｍ＝３１００７０００ＤＯＩ，，０２７３７３７７９２１７０４１７０ＤＯＩＭ＝３Ｎ＝４．Ｎ＝５２７３７３７６５５３１４７８９４ＤＯＩ０Ｍ＝３．Ｎ＝６０２７３７３７６５５３００９７２９ＤＯＩＭ＝３．２７３４６４２５９８８１６８８９ＤＯＩＮ４０ＭＴＸ＝０００００ＤＯ＝ＡＴ１７０Ｉ＝４．，２７３７３７９８６８９３０１９９ＤＯＩＮ＝５０Ｍ＝４．２７３７３７６８６８４７７８４５ＤＯＩＮ＝６０Ｍ＝４．２７３７１９４８３３９０５８０９ＤＯＩＮ＝５０Ｍ＝５ＡＴＸ＝０１００７０００ＤＯＩ．．０２７３７２６１５１２６７１１９６ＤＯＩＮ＝６Ｍ＝５．０２５４５６１９７０００８１９０９ＤＯＩＮ＝６Ｍ＝６ＡＴＸ＝０．１００７０００ＤＯＩ．２７３７３７７ＤＯＩＮコ７ＡＮＳＷＥＲＯＭ＝Ｏ．２７３７３７７ＤＯＩＮ＝６ＡＮＳＷＥＲＯＭ＝Ｉ．Ｏ２７３７３７７ＤＯＩＮ＝５ＡＮＳＭ＝２ →ＷＥＲ．Ｏ２７３７３７７ＤＯＩＮ＝４ＡＮＳＷＥＲＭ＝３．Ｏ２７３７３７７ＤＯＩＮ＝３ＡＮＳＷｒＥＲＭ＝４．ＡＮＳ一ＷＥＲ０２７３７２６２ＤＯＩＮ＝２Ｍ＝５，ＡＮＳＷｒＥＲＯ２５４５６２０ＤＯ１Ｍ＝６Ｎ＝Ｉ．ＡＴＴＸ＝０１００７０００ＤＯＩ，. （註）Ｍは微分の階数，ＡＮＳＷＥＲの前のＮは反復した回数００５附録４．計算例ｅｘｐ（－尤）％＝２．. Ｎ＝００１３４７９５０２２２５１１１８５ＤＯＯＭ＝Ｏ．Ｎ＝１０１３４６６０３６３６６６０３６３ＤＯＯＭ＝Ｏ．０１３４６６０２９６２７０２３６８ＤＯＯＭ＝ＯＮ＝２．０１３４６６０２９６３３７５６５７ＤＯＯＭ＝ＯＮ＝３．Ｎ＝４１３４６６０２９６３３７６１６２ＤＯＯＭ＝Ｏ０．Ｎ；５０１３４６６０２９６３３７６１６２ＤＯＯＭ＝Ｏ．１３４６６０２９６３３７６１６２ＤＯＯＮ＝６０Ｍ＝Ｏ．Ｎ＝１１３４６６０３１８７８０４２２２ＤＯＯＭ＝ＩＡＴＸ＝０－０２００５０００ＤＯＩ．，１３４６６０３１８７８０４２２１ＤＯＯＮ＝２Ｍ＝Ｉ－０．１３４６６０２９６３３７６０６１ＤＯＯＮ＝３Ｍ＝Ｉ－０．１３４６６０２９６３３７６０６１ＤＯＯＮ＝４Ｍ＝Ｉ－０．１３４６６０２９６３３７６１６２ＤＯＯＮ＝５Ｍ＝Ｉ－０．１３４６６０２９６３３７６１６３ＤＯＯＮ＝６Ｍ＝Ｉー０．０１３４７９５０６９８６１０７１２ＤＯＯＭ＝２Ｎ＝２ＡＴＸ＝０２００５０００ＤＯＩ．，０１３４６６０４０８５５５６４９８ＤＯＯＮ＝３Ｍ＝２．Ｎ＝４０１３４６６０２９６２２５２３４４ＤＯＯＭ＝２．１３４６６０２９６３３７４６１７ＤＯＯＮ＝５０Ｍ＝２．１３４６６０２９６３３７５６９８ＤＯＯＮ＝６０Ｍ＝２．１３４６６０３６３６３４０７１８ＤＯＯＮ＝３Ｍ＝３ＡＴＸ＝０２００５０００ＤＯＩ－０．，１３４６６０３６３６４７１７７１ＤＯＯＮ＝４Ｍ＝３ー０．１３４６６０２９６２８４５９７６ＤＯＯＮ＝５ー０Ｍ＝３．１３４６６０２９６２５７５０２６ＤＯ０Ｎ＝６Ｍ＝３－０．０１３４７９５１５７６１２５４９０ＤＯＯＮ＝４Ｍ＝４ＡＴＸ＝０２００５０００ＤＯＩ．．１３４６６０４７６３３９７６６７ＤＯＯ０Ｎ＝５Ｍ＝４．Ｎ＝６０１３４６６０２８７５１８９４２７ＤＯＯＭ＝４．Ｎ＝５１３４６９４２１１０５９００１６ＤＯＯＡＴＸ＝０Ｍ＝５２００５０００ＤＯＩ－０，，１３４７０２６３３９２０６８７４ＤＯＯＮ＝６Ｍ＝５ー０．Ｎ＝６Ｍ＝６０１６０２１７９３３８９４８３７７ＤＯＯ２００５０００ＤＯＩＡＴＸ＝０．，ＡＮＳＷ′ＥＲＮ＝７Ｍ＝ＯＯ１３４６６０３ＤＯＯ．ＡＮＳＮ＝６Ｍ＝Ｉ１３４６６０３ＤＯＯ「ＷＥＲ－０．ＡＮＳＷｒＥＲ１３４６６０３ＤＯＯＮ＝５Ｍ＝２Ｏ．１３４６６０３ＤＯＯＭ＝３ＡＮＳＷｒＥＲ－０Ｎ＝４．Ｍ＝４Ｎ＝３１３４６６０３ＤＯＯＡＮＳＷｒＥＲＯ．Ｍ＝５Ｎ＝２ＡＮＳ１３４７０２６ＤＯＯ「ＷＥＲ－０．ＡＮＳＷｒＥＲＭ＝６・Ｎ＝ＩＯ１６０２１７９ＤＯ０．ＡＴＸ＝０２００５０００ＤＯＩ．. （註）Ｍは微分の階数，ＡＮＳＷＥＲの前のＮは反復した回数（２４）. Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒｌ９７１.

(12) . 第２２巻第１号. 北海道教育大学紀要（第１１部Ａ）ｉｎ（％）寛＝０５０５０附録５計算例ｓ．. ＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯ．. Ｍ＝ｏＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯＭ＝Ｉ，Ｍ＝ＩＭ＝１Ｍ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯＭ＝２，Ｍ＝２Ｍ＝２Ｍ＝２Ｍ＝２ＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯＭ＝３，Ｍ＝３Ｍ＝３Ｍ＝３ＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯＭ＝４，Ｍ＝４Ｍ＝４ＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯＭ＝５，Ｍ＝５ＡＴＸ＝０５０５００００ＤＯＯＭ＝６，Ｍ＝ＯＮ＝７ＡＮＳ、ＷＥＲＭ＝ＩＮ＝６ＡＮＳ→ＷＥＲＭ＝２Ｎ＝５ＡＮＳＷＥＲＭ＝３Ｎ＝４ＡＮＳ「ＷＥＲＭ；４Ｎ＝３ＡＮＳ、ＷＥＲＭ＝５Ｎ＝２ＡＮＳＷｒＥＲＭご６Ｎ＝ＩＡＮＳ一ＷＥＲ. Ｎ＝ｏｏ４８２９３２０１８１４１６６３０ＤＯＯ，Ｎ＝１０４８３８０７１９４２４６１２４７ＤＯＯ，Ｎ＝２４８３８０７４３５７１３０３４１ＤＯＯ０，Ｎ＝３０４８３８０７４３６１５０６２１６ＤＯＯ，Ｎ＝４０４８３８０７４３６１５０８０２７ＤＯＯ．Ｎ＝５０４８３８０７４３６１５０８０３１ＤＯＯ．Ｎ＝６４８３８０７４３６１５０８０３１ＤＯＯ０．Ｎ＝１０８７５１７４３３０８７０１７８３ＤＯＯ．Ｎ＝２０８７５１７４３３０８７０１７８２ＤＯＯ．０８７５１７４４７６７３３１０９０ＤＯＯ・Ｎ＝３，Ｎ＝４０８７５１７４４７６７３３１０９３ＤＯＯ，Ｎ＝５０８７５１７４４７６７３３１７４９ＤＯＯ，Ｎ＝６０８７５１７４４７６７３３１７５０ＤＯＯ，Ｎ＝２４８２９３１８６１５１４２８４８ＤＯＯ－０，Ｎ＝３４８３８０７０３２９７８１９０４ＤＯＯー０，Ｎ＝４４８３８０７４３５４２１０６８２ＤＯＯ－０．Ｎ＝５４８３８０７４３６１５０３９１７ＤＯＯ－０．Ｎ＝６４８３８０７４３６１５０７７３７ＤＯＯ－０，Ｎ＝３８７５１７４０３７３６８６３２４ＤＯＯ－０．Ｎ＝４８７５１７４０３９１４４２２００ＤＯＯ－０．Ｎ＝５８７５１７４４７６７６９２３３９ＤＯＯ－０．Ｎ＝６８７５１７４４７６７８１９５３０ＤＯＯー０，Ｎ＝４０４８２９３１６６３９６６３９１５ＤＯＯ．Ｎ＝５０４８３８０６８５３４６０２６２２ＤＯＯ．Ｎ＝６０４８３８０７４６６３４１８２６１ＤＯＯ．Ｎ＝５０８７５２０３５８３７９７９６４４ＤＯＯ，Ｎ＝６０８７５２０６５９５１８３７９４９ＤＯＯ．Ｎ＝６５１７３００８２３１６３２３４５ＤＯＯー０．Ｏ４８３８０７４ＤＯＯ．０８７５１７４５ＤＯＯ，４８３８０７４ＤＯＯ－０，８７５１７４５ＤＯＯ－０．０３８０７５ＤＯＯ，髪３８７５２０６６ＤＯＯＯ．５１７３００８ＤＯ０－０．. （註）Ｍは微分の階数，ＡＮＳＥＲの前のＮは反復の回数ｌ関数Ｊ附録６計算例Ｂｅ０３ｓｓｅｏ彰）％＝２５．. ＡＴＸ＝０２５０３０００Ｄ０２．. ＡＴＸ＝０２５０３０００Ｄ０２．. ＡＴＸ≠０２５０３０００Ｄ０２，. ＡＴＸ＝０２５０３０００Ｄ０２．. ＡＴＸ＝０，２５０３０００Ｄ０２. Ｍ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＯＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝ＩＭ＝２Ｍ＝２Ｍ＝２Ｍ＝２Ｍ＝２Ｍ＝３Ｍ＝３Ｍ＝３Ｍ＝３Ｍ＝４Ｍ＝４. Ｎ＝ＯＮ＝１Ｎ＝２Ｎ＝３Ｎ＝４Ｎ＝５Ｎ＝６Ｎ＝１Ｎ＝２Ｎ＝３Ｎ＝４ ‐＝５ＮＮ＝６Ｎ＝２Ｎ＝３Ｎ＝４Ｎ＝５Ｎ＝６Ｎ＝３Ｎ＝４Ｎ＝５Ｎ＝６Ｎ＝４Ｎ＝５. （２５）. ０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ－０１．０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ一０１，０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ一０１，０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ－０１．０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ－０１，０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ一０１．０９９９８１１９８７０７７２３６６Ｄ－０１，０１２１７３１５１４２７２５２９６ＤＯＯ，０１２２２５５８２４８７１４８６０ＤＯＯ，Ｏ１２２２５７７９８４７３５２６６ＤＯＯ．０１２２２５７７８９３７１６６３８ＤＯＯ，０１２２２５７７８９４０９１３６５ＤＯＯ，Ｏ１２２２５７７８９４０９３２４７ＤＯ０．１０４８６４７１９９６７８０９８ＤＯＯ一０，１０４８６４７３８７８９５８１５ＤＯＯ－０，１０４８６５６４８８８９９２９３ＤＯＯ－０．１０４８６５６４８８９０２８６７ＤＯＯ－０．１０４８６５６４８９０２８３５５ＤＯ０－０，１１８４１６３４８３６７２５１０Ｄ闘００一０，１１７８７０２２２５３５６８１５ＤＯＯ－０．１１７８７３０３２９９８２１９７ＤＯＯ－０．１１７８７３０４７１１３３４７８ＤＯＯ－０，１０９２２２６６６４０５４５５２ＤＯＯ－０，１０９２２２６７７１２６５２０９ＤＯＯ－０．. ６年９月！昭和４.

(13) . ＶＯＩ．２２．Ｉ，Ｎｏ. ＩＡ）ｉｉｔｉｏｎｌｉｄｏＵｎｉｔｏｎ（ＳｅｃｖｅｒｓＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｏｋｋａｙｏｆＥｄｕｃａｔＮ＝６ ‐０１０９２２４５５９２３８１５７８Ｄ１１２４１８７１５９７２９８７４Ｄ０Ｎ＝５．１１２９８３３２０３８０６８００ＤＮ＝６ー０Ｍ＝５．０１１２９２３６８２１６８４６０４ＤＮ＝６Ｍ＝６＝６Ｏ２５０３０００Ｄ０２ＡＴＸ＝０．．９９９８１２０Ｄ－０ＩＯＡＮＳＷｒＥＲＮ＝７Ｍ＝Ｏ．Ｏ１２２２５７８ＤＯＯＡＮＳ「ＷＥＲＮ＝６Ｍ＝Ｉ．１０４８６５６ＤＯＯＡＮＳＶＶたＥＲＥＲＮ＝５－０Ｍ＝２．１１７８７３０ＤＯＯＡＮＳＷＥＲ・一０Ｎ＝４Ｍ＝３．１０９２２４６ＤＯＯ－０ＡＮＳ「ＷＥＲＮ＝３Ｍ＝４．１１２９８３３ＤＯＯ－０ＡＮＳＷ←ＥＲＮ＝２Ｍ＝５．１１２９２３７ＤＯ０ＯＡＮＳＷＥＲＮ＝ＩＭ＝６．２５０３０００Ｄ０Ｏ２ＡＴＸ＝０．. Ｍ＝４. Ｍ＝５Ｍ＝５. （註）Ｍは微分の階数，ＡＮＳＥＲの前のＮは反復の回数. （２６）. Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒｌ９７１ＯＯＯＯＯＯＯＯ.

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