第 ７ 講　殻模型 講　殻模型

原子核物理学

第

^{講　殻模型}

積波動関数による近似

 多体問題（ A 核子系）

 次のように一粒子波動関数の積の和で近似する

 最も単純な積波動関数は Slater 行列式

殻模型計算の手法（１）

1. _{２重閉殻の芯（} ^core _）

　陽子も中性子も閉殻をなす芯を仮定する　例： ¹⁶O, ⁴⁰Ca 　芯の中の核子数 A_c　例： ¹⁶O の場合 A_c = 16

2. _模型空間

　芯の上の有限な数の１粒子状態を選び，

　 A_v = A – A_c 個の核子を入れる

　　　　　　例： ¹⁶O の芯の上の d_5/2, s_1/2, d_3/2

　　 ¹⁸O のを計算する場合には，

　 上の３つの１粒子軌道に

　 ２つの中性子を入れる　　　　　　　

殻模型計算の手法（２）

3. １粒子ポテンシャル（１粒子エネルギー）

 Hamiltonian

 芯の中の核子との相互作用を１粒子ポテンシャルとする

 １粒子ポテンシャルと運動エネルギーを合わせて １粒子 Hamiltonian とする

 Hamiltonian は次のように１体と２体の項で書ける

殻模型計算の手法（３）

4. 有効相互作用

 原子核内で核子のあいだにはたらく相互作用は，

自由空間における相互作用とは異なる 　⇒　有効相互作用

 現象論的（ phenomenological ）相互作用

 簡単な形のポテンシャルを仮定する（例： Gauss 型， Yukawa 型）

 行列要素をパラメータとして，多体系のエネルギーを再現するよ うに最小２乗法で決める

　　　　例： USD 相互作用， Cohen-Kurath 相互作用

 現実的（ realistic ）相互作用

有効相互作用理論に基づいて，自由空間での２核子散乱を再現 するポテンシャルから計算する

 G 行列の方法

 UMOA

殻模型計算の手法（４）

5. 基底関数

 最も簡単な基底関数は Slater 行列式

 j j - 結合１粒子状態を用いる

 具体的な例： ¹⁸O １粒子状態

２粒子状態

しかし， Hamiltonian は M = m + m’ を変えない（保存する）

　　 ^{M = 0} の場合

殻模型計算の手法（５）

6. 固有値方程式

固有状態を基底関数で展開（ n は基底状態の数）

基底関数の直交性を用いて

固有値方程式を解いて（行列を対角化して），

エネルギー固有値と

波動関数（基底関数による展開の展開係数）を求める 右は ¹⁸O の例

USD 相互作用を用いた計算：

14 ×14 の行列を対角化

エネルギー固有値を実験値と比較

固有状態では J は良い量子数　

　　　　　　　　　の状態が得られる

J-scheme

• Slater 行列式の線型結合で，

角運動量を良い量子数としてもつ基底状態がつくれる

このような基底関数に対して，

Hamiltonian 行列は block diagonal になる ⇒ 小さな行列の対角化

さらに，アイソスピンを良い量子数と してもつ基底関数を用いることも可能

対称性の利用

あ

Lanczos 法

大次元行列を対角化する便利な方法

 ある手順に従って基底関数の線型結合を順次つくる

 これらの基底関数に対して Hamiltonian 行列は三重対角になる

 絶対値が最大の固有状態から順次収束する

 数少ない基底関数で固有状態をよく表す

Davidson 法

• エネルギーが最も小さい（絶対値は最大）固有状態とその近くの数 個の固有状態だけを求めたい場合に， Lanczos 法より 更に効率の 良い対角化法

大次元殻模型の困難

１粒子状態の数，核子の数が増えると，殻模型計算の基底関数の数が 飛躍的に増大する

下の例は次の殻模型計算における最大次元数 sd- 殻核〔 8 < Z,N < 20 (sd)ⁿ 配位〕，

pf- 殻核〔 20 < Z,N < 40 (pf)ⁿ 配位〕

殻模型による回転バンドの再現

48Cr の基底状態回転バンド　 ⁴⁰Ca を芯とした (pf)⁸ 配位計算

 左図はエネルギースペクトル

 右図は慣性モーメントの変化による Back-bending 現象

 １粒子軌道として f_7/2 に加えて p_3/2 を取り入れているのが本 質的

Self-consistent な方法

殻模型計算では，多くの場合，２体相互作用の行列要素が与えられ，

１粒子波動関数の動径部分の形を仮定しない（あるいは調和振動子 波動関数）

⇒　１粒子波動関数と２体相互作用の self-consistency がない Self-consistent な殻模型計算はない !!

Hartree-Fock 計算は self-consistent な計算方法であるが，多体系の は導関数を１つの Slater 行列式で近似する（下の図は ⁴⁰Ca と

48Ca ）

Gauss 基底

１粒子波動関数の動径部分を，たとえば， Hartree-Fock 計算で求める とき，基底となる関数系で展開し，展開係数を代数的に求めること ができる

関数系として，調和振動子基底， Gauss 基底が用いられる 数値的な安定性では， Gauss 基底が良い

11Li の中性子密度分布（ Gauss 基 底）