Crossed Products of Commutative Finite Hypergroups

奈良教育大学学術リポジトリNEAR

Crossed Products of Commutative Finite Hypergroups

著者 KAWAKAMI Satoshi, ITO Wataru journal or

publication title

奈良教育大学紀要. 自然科学

volume 48

number 2

page range 1‑6

year 1999‑11‑10

URL http://hdl.handle.net/10105/1434

奈良教育大学紀要 第48巻 第2号(自然)平成11年

Bull Nara Umv Educ,Vol.48, No.2(Nat.), 1999

Crossed Products of Commutative Finite Hypergroups

Satoshi KAWAKAMI and Wataru ITO*

(Departmtent of Mathematics, Nara University of Educaわon, Nara 630‑8528, Japan) (Received April 30, 1999)

Abstract

This paper is devoted to giving a definition of crossed product K刃a G of a commutative finite hvpergroup

A under an action of a finite abelian group G. We begin by constructing the dual of the crossed product AxiaG, modified with fusion rules of representations of a semi‑direct product group. Next, taking its dual, we get the desired crossed product KX G. For a semi‑direct product JVMaG of a finite abehan group Nby

crossed product K{N)y.a G of the hypergroup K(N) by G

Key Words: crossed product, hypergroup, fusion rule.

1. INTRODUCTH〕N

For a finite group L, we obtain canomcallv two commutative finite hvpergroups K(Lj and K(L), called a class hvpergroup of L and a character hypergroup of L respectively. The character hypergroup K(L) is obtained by the fusion rule on representations of L. In this paper, when L is given as a semi‑direct product group A7XS G under an action α of a finite abehan group G on a finite abelian group TV, we construct directly the character

hypergroup K(NAaG) in the ‑algebra ‑4(AO を′

A(G)恒, the action a of G on AT Applying to

some examples, our construction is seen to be very simple

As a first step, we briefly review the fusion rule of representations of L‑Na] aG bv Macke1,‑machine of induced representations [ M J.

Next, inter、pretmg those phenomena b, notions of hypergroups, our purpose may be realized. In a similar way to this, we can construct a hypergroup K(K,G,α) for an action of α of G on a commuta‑

tive finite hypergroup K as follows.

Let Dn,Du‥..Dm denote all orbits of K under the

induced action a of G on the dual Kof K, and let G, denote the stabilizer at x^D,. We set

xto) ‑孟x買Dr,

r(G,)‑ia t'eG

p脇,r) ‑ z(D.)ョr・r(G,) for x∈d

Then, K(K,G,a) is defined by the set of p(D,,i)

wherej‑0,1,2,…,m and r∈ !(;) ‑G/G, .

The crossed product KA G is defined as the dual

of K(K,G,a) and we show that A'(AO>1ォG‑

K(NyiaG) holds.

2. PRELIMINARIES

We recall some notions and facts on commutative

finite signed hvpergroup according with Wildbeト

ger' paper [W] K‑(K,ノ4) is called a commuta‑

tive finite signed hy,pergi、oup if the following conditions (1)‑ 6) are satisfied

(1)J is a *‑algebra over C with the unit c。.

(2)K‑{cォ,cx ‥,cn} is a basis ofJ.

* Cui,rentlv enrolled in Nara University of Education as a student

河 上

(3)K*‑ K.

n

(4) c,c,‑ ∑ nf,ck, where n't, is a real number such

k‑0 that

c, ‑Q⇔n!,J> 0 and c"≠cT ⇔ rii,‑0.

n

(5) ∑/I*‑1 for any i,j.

fc‑O

(6) c,c,‑ c,c, for any i,i.

In the case that n㌘1≧0, it is called a commutative finite hypergroup.

For a commutative finite signed hypergroup K, a function x on Kis called a character of Kif

n       n

X(c,)x(c) ‑ ∑rilX(cサ) when ac,‑ ∑射た.

k‑0 k‑0

The set K of all characters of K also becomes a commutative finite signed hypergroup and the duality K ‑ if as hypergroups holds.

For a finite group G, two h¥‑pergroup K(G) and K(G) are canonicallv defined. K(G) is called a class hvpergroup and each element 。f K(G) corres‑

ponds to a conjugacv class of G under the adjoint action of G. K(G) is called a Character hypergroup

and t′he product in K(G) corresponds to the fusion

rule of representations of G. Fc>r A,p, ∈ G, name!1,, for irreducible representations A,P‑ of G,

n

when p,Op,‑ MIp々h。Ids,x.x,‑云mrx>.

iZ‑      k‑(l

in A'(G) is defined by the relations x(g) T,(p(g)) where ml, dim(pO

ど) dim(β′)

dim(〟)

M . More‑

ら ま■

over, a beautiful relations K(G) ‑K(G) holds in

general.

For a finite abelian group G, K(G) and K{G) are sometimes identified with G and G respectively.

Other detailed descriptions are referred tn W].

3. FUSION RULES ON REPRESENTATIONS OF A SEMトDIRECT PRODUCT GROUP

Let L be a semi‑direct product groin:) NペaG where α is an action of a finite abelian group G on a finite abelian group N. Applying Mackey‑

machine [M] on induced representations, we review

uct of two irreducible representations of L.

The action a of G on Ninduces an action a of

哲・伊 藤   航

G on N. Let D<、,D,,…,Dn denote orbits of N under

the action a of G. For each x∈D, , Gx denotes the stabilizer of G,i.e., Gx‑ {g∈G;a(g)x‑x]

Since G is assumed to be abelian, Gx does not depend on x^D,, but depends only on the orbit D,.

Take r∈Gxand lf' denotes an induced represen‑

tation of a character x①r‑j; r of a subgroup Lx‑N刈aGx to L ‑N刈aG, which we denote bv

ぴxT' ‑ind;,xt

Then, the following are well known (see[Mj).

(!) [/* ' is an irreducible representation of L.

(2) If'‑:メ is unitarily equivalent to U''T''if and only まま

if xuxi∈D,and r,‑r,in G,‑G,,.

(3) All irreduC蝣Ible representations of L are obtained

bv this form.

Hence, we can parとimetrize the dual L of L blT

L‑ {Urこ j ‑0,1,2,...M.T∈GT)

where U T ‑UxI'and G ‑G, for some y∈ D,.

Next, we ml,estimate a irreducible dec、omposition

of tensor product U"'̀ 、〔〔r'h'ト of tw‑  educible

representatiolis of L, owing to Mackev‑machine [M]. First, we consider an action a of G on D,,X

Dらdefined bさ, α(ォKxi.xこ)‑(α(g)x..α(a)x=) for

(Z..xJ ∈D,A XD,,. Let Ox,0」 ,On denote all

orbits of D.,×D, ulider this action a Then, it is easさ, to see that each stabilizer of a at (xi,X^J

∈O, is uniformly G, 「 G,′ where G. and Gh are

stabilizei、s at Xi∈D,, and x*‑∈Dh respective!1‑. For (xi.Xt)∈0, an induced representatiC>n of

xiXtT^T。 Of i nU‑Nン1。(G,nGb) to L does not

depend on (xuxご) but depends on the orbit O, so

that we denote it bl,

Ulり,、‑indu (xiX^r,し).

Then, bv Theorem 7.2 m [M], we obtain

T71

uJ‑ き‥U"‑ ≡㊤Lr

However, the representation U"'、

irreducible. Therefore, we need

irreducible decomi)OSlt′ion of u J、

‑equivanant map from D,＼DらtO

xd) ‑xiX。. Then, each orbit O, some orbits D, in N through f where G, is the stabilizer at some denote the set of rEu such that

is not nee,esanll, to consider an Let <P be G

DDb by <P((xu

is transferee! to

and G.nGh⊂G。

x∈D。 Let BO')

t(a)‑1 for any

Crossed products of hypergroups

9亡(;,":(了・.

Under these situations, we get the following

u0‑ ‑ ind,'a ゎ(xl*2TiTiっ)

竺indu ind^Lh(xiXiT*Td

竺indu O xl^TaTいT reiJ(,)

‑ C indi(xiX2T^Tr,z),

丁∈B(j)

where zazらis an extension to a character of G,

from a character of G。nGh. Each component repre‑

sentation

Uxxノ  ‑mdL, (xIX2T,7‑,I)

where y¥xJED,I.ThT∈G。 is known to be irreduci‑

ble. We note that <P(O,)‑D, mav happen for another orbit O, m Zl xD,,.

We will observe the above fusion rule on represen‑

tations of the semi‑direct product group上ノ‑A'ォaG

as representations of ATand G. Let I'and lrdenote the restriction of the representation U of L‑h/iaG

t() the subgroup N and G respectively Then, we

obtain thビfollowing.

(1) I「  CD x.

eras

‑ こJ ‑守:‑′‑ (OO<′二(ゥx') r:‑O,  ̀ ∈D,

XX′

(I,x′)∈!>/fl

/rt

XX′

7‑1 (x.x′',∈(),

T7?

‑ ゥi.ゥx

l‑1 xJl>

where I,‑¥0¥/W,¥ and V(O,)‑D,.

(2川「I・ ( r,,r where r言s considered as

T EC∴

an extension of a character of G.. to a character of G and G,,' means the annihilate)!、 of CL m G.

lV ll*!/>. *i

‑ ( r,r)蝣‑>(  hT′)

T∈(!,       T≡G,

‑T.,Th CD TT′

(I.T7)∈Gー/(了,r

‑r,,t>,m CD I

T∈C;,‑ ∫̲7,

= Ta Tb m 0 T

T∈(G。n Gh)

‑ m Ta TちT

T∈CGdn a,)‑

T7l

‑0 0 ( TaTbTX′

j‑1 refltj)t'Efi,

whereB(j) ‑ (GォnGゎ)7G,J ≡ B(j) and i,‑

¥B(j) ‑¥B(j)

4. CONSTRUCTION OF THE CHARACTER HYPERGROUP OF L‑NXQG

Referringto the fusion rules of L‑NAaQ, N, and

G, described as above, we Construct directly t′he

character hypergroup K(L) of L from the action

a of G on the dual N of TV. Let D。,D,,‥.,」>

denote all orbits of A'under this action a and DH

‑ ( ∠ where J is the tnlial character (the unit

the character hypergroup of N and G reppPCtll‑ell∴

where K(N) [resp.K(G)} is mdentified with ∴'

[resp.G] andノ40V)[resp.」(G)] is the associated

*‑algebra with K(N)[respK{G)]. We will realize

(AIL), AID) m AGVK,」(G) as follows, For an

orbit D, in八' G denotes the stabilizer of G at x∈D.. Put

x(D,)‑読;∑ x'inA(N)‑

_x Efl

t(G.)‑去∑丁′ ‑A(G)‑

丁∈(;,

p(D,,r)‑x(D,主 蝣r(G.) for r∈G, and

A'GV.G,α)‑{p(D,,r) :/‑0,1,2,…,柁

and x∈G/Gr≡G)

Then, the following facts are easily obtained.

[I?

・I) x(D.)x(Df)‑ ∑Lm*・ zttO

ノ‑1

・2) r(G")t(Gハ)‑r(G‑>‑. ∑ r‑T(G)

T∈B(ll

L ‑ I

・3) p(」>,rjp(D,,z・,)‑ ∑ ∑!n∴p(A,r,r,,r)

ノ=1 7∈β(∫)

Here, we remark that

T77

G !G,MG′

G. GJ

¥D,

m ,,b =    T一一二

a     ¥g. ¥aノ

D,. Z>,  G,‑¥ G,   G¥,G

Dj‑忠‑￨B(;)

(G.nGb)つ   I G言

河 上   哲・伊 藤   航

¥GrGanGbl andm・L・m∑‑1.

Bytheabovefacts,wecanseethattheproduct inK(N,G,d)coincideswiththefusionruleof representationsofL‑GX3aN.Itiseasytoseethat K(N,G,d)satisfiestheaxioms(1)‑(6)ofaco‑

mmutativefinitehypergroup.Inageneralsitua‑

tion,weshallcheckit.Hence,weseethatK(N.G, a)isarealizationofthecharacterhypergroup K(NyiaG)ofthesemi‑directproductgroupN‑<aG.

Example1.S3‑二JXa二2whereN‑二3andG :qれ事

#(AO‑{x。,zi,Zj}.

xi‑Xi,XiXz‑Xi,X2‑Xi‑

K(G)‑{T。,rj,Tl‑T。.

∂(*i)‑X。a(x=)‑Xi.

D。‑{/},Di‑{Yl.X2}.

Go‑.G.‑{0}.

pサ‑X*国TD,Pi=Xo㊦Tl,

・‑((x.+xoM去(l‑n+Ti)) Then,

pi豊ectco

p.p.≡putations,w霊,.三pJ,

4' ′    2'

KiSi) ‑ ¥pサ,<Oi,pj.

Example 2. Dご・6‑ニb)つ  where A7一 二 and G

=̲A̲.

K(N)‑ {x。,xux2,X3,XuXr}

y/‑ z*(fc‑l,2,‥‥,5), x?‑xサ.

K(G)‑{zo,ri), rr‑zォ.

a(xO‑xぅ, αix‑J‑x>

D。‑{y。}, I>. ‑{z>.z5}, D∠‑{xi,xJ,D,‑ixt

G.,‑. 。, Gi‑ 0上 Gi‑ 0}, G,‑ニ2.

pi‑Xo㊦Tr‑, Pi=Xサ㊤Tl,

・,‑(去(Z.+zs))a(吉(TO+ r,)),

・‑(吉(z=+*O)cぅ(吉(Tい+rO), Q¥‑XsョTO, Pa=Xi'<4Ti.

Then, we get

K(Lk*.)‑ {pi,,jOi,P2,Pi,Pi,Ps}.

】D

5. CONSTRUCTION OF CROSSED PRODUCTS OF COMMUTATIVE FINITE SIGNED HYPERGROUPS

Let 〟 be a commutative finite signed hvpergroup

and α be an action of a finite abelian group G on

K. Then, the action a induces the action a of G

on the dual hypergroup K‑ {xサ,Xi X*)of K.

Modifying with the above arguments, we construct commutative finite signed hypergroup K(K, G, a ) associated with the action a and we define a crossed product K刈 G as the dual ofK{K, G, a).

Let Du.Di Dr.. denote all orbits of K under the

bilizer at x∈D,, which does not depend on %∈D).

Let K(G) ‑ {rり.Tl‥‥ t.}be the character hvper‑

group of G, which is identified with G. Set

xiD:)‑丁吉∑x

x^D

五gFGα鉦)forso‑exieA.

r(G,)‑‑.‑

IG,1[EGr.

pCD,,r)‑x(A)C、,Tr(G,)forz∈G.

K(K,G,a)denotesthesetofp(D,,T)where

;‑0,1,2,…,mandr∈B{j)‑G/Gr≡G,.

WhentheactionαofGi∬satisfiesthefollowing condition(*),wecallitaregularaction.

(*)*.*.‑∑m′;ノXを&‑,(%蝣)‑X',anda,(x,)‑

k

x,impliesthat"d,(xた)‑X々ifm乍,≠0,namely, GLnG,⊂Gをifm守,≠0,foranyi,j‑0,1,2..‥、Tl.

Then,〜,vegetthefollowingtheorem.

TheoremLetabeanactionofafiniteabelian

groupGonaCommutativefinitesignedhypergroup K.IftheinducedactionaofGonKisregular,

theaboveK(K,G,a)isacommutativefinite

signedhypergroup.WhenKistheclasshypergroup A'(iV)ofafiniteabeliangroupAr,K(K,G,a) coincideswiththedualoftheclasshypergroup A'(N^aG)ofthesemトdirectproductN^aG.

Proof.Letmh,,beastructureconstantofK‑

{xォ,x¥…x‑),namely,forx‑X,∈K,theproductof

Aisgivenby

Crossed products of hypergroups

n x.x,‑∑mixi..

k‑0

Theautomorphism∂,of〟inducesthepermuta‑

tiona,ofKbya(xd‑xa,(i)andsatisfiesthat mZ:!㌘)a,i,)勅foranyg∈Gandi,j,k.

ForxWa)andx(A),takingx,∈Daandx∈Db, weget

・CO)x(A)‑孟」ォ.(*.) 9EG志hEGd.(x.)

忘9EGftEG

忘星,写Tna,',)ah(ノ)Xh n

EG ftEG k‑0

‑ ∑勅xh.

k‑0 where

所号,‑孟j」GftEGく)ah(])・

We note that, for any a∈G,

痢さ, ‑疏,(。l 雇

This fact implies that所乍ノdoes not depend on i,j,k

but depends on the orbits Da, Db and Dc such that

xL∈Da, x,∈Dtand x>∈Dt,so that we denote痢′乍r

by就. For each orbit Da in K, [a] denotes the set U;x.∈Da) and sometimes we use i∈[a] when xl∈Da. Hence, we get

'‑:

x(DJx(Db)‑ ∑所,￨」>clxWJ‑

C‑0

It is easy to check that

n

私¥D,¥‑∑mil,and ∑m",,‑l

h∈ c k‑U

Therehore, we obtain the normalized condition:

l I ・

∑mu, ¥D。 ‑1.

c‑0

For z(GJ and r(G>,), we get r(GJ r(G,)‑r(G,nG,,)

‑吉x r‑rcGJ,ifG.nGと,⊂GL,

where云‑云(a,b,c)‑(GサnG6)7Gcland」‑廟.By theabovearguments,wecandescribetheproduct ofp(Da,t。)andp(DゎtOinK(.K,G,a)as

follows.

p(Da,Ta)p(Db,Tk)

U(Z>.)㊨rォr(G。)XzU)>)珍z‑4r(GO)

‑z(D.)z(Dゎ)㊦TaTbT(Ga)T(Gb)

〃i ‑1

c=。些欝∑xtto㊤Tt,:‑(G,) T∈月 ,rr:

21

c=。rEBmib¥ap(D,,TaThT).

LetA(K,G,a)denotethelinearspanoverCof K(K,G,a).Then,weseethatA(K,G,∂isan algebra.

Next,weobserve*‑operationin A(K,G,a).

Sincetheautomorphisma,(g∈G)ispreservingthe

*‑operationinK,foreachorbitZ)ォinK,Dl‑

DtholdsforsomeorbitDb.Then,itiseasytosee thatpWa,Ta)'‑PWt,Tb)ifandonlyifDb‑D'a, x¥Db)‑x(Da)*,Ga‑Gb,andri'‑r..Inthiscase, thecoefficientoftheunitp(Do,Oattheproduct mlhD。

p(Dz,T。)p(Dh,Tb) is given by

where mi>

孟乙吾α‑‑‑.1 (x;‑xX¥dォ¥‑u‑¥g/g言

Hence, the coetfcient at the unit is seen to be positive. Inthecase that %CD,,)*≠x(D>), x¥ ≠x, holds for any x'∈Da and x,∈Db. For such i and

/, m‑‑0. This fact implies that m‑s‑O. In other words, when p(D,,rJ*≠p(D, ら), the coeffcient

Of p{Da,I)p(Db,zb) at the unit must be 0.

Hence, we have seen that 〟(〟,G,α) satisfies all axioms (1)‑(6) of a commutative finite signed hypergroup, described in [W]. The latter part of the statement in Theorem was already checked.

[Q.E.D.]

We denote the dual of K(K,G,d ) by K鶴G and

we call it t′he crossed product of 〟 by the action α of G. Owing to the above theorem, we see that Kim刃,G‑K(N ^a G) bv the duality when TV and G are finite abelian groups.

Acknowledgements The first named author would like express his gratitude to Professors

C.E.Sutherland and N.J Wildberger for their warm

hospitality at the Department of Mathematics of

河 上

the New South Wales University and for introduc‑

ing him into the field of hypergroups.

References

[M] Mackey, G.WっInduced representations of locally compact groups I, Ann. Math., Vol.55, 1952, 10ト139.

哲・伊 藤   航

[W] Wildberger, N.J., Finite commutative hyper‑

groups and applications from group theory to conformal field theory. Applications of hypergroups and related measure algebras (Joint Summer Re‑

search Conference, Seattle, 1993), AMS, Providence,

1994.