問題演習

Revised at 00:49, May 29, 2015

数学特論Ａ 第７回

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問題演習

2010

^{年前期試験問題から}

問題

1 4 ABC

において次の問いに答えて下さい：

（１）辺

BC

を２：３に内分する点を

D

とした時、ヴェクター

AD

^→ をヴェクター

AB,

→

AC

^→ で表して下さい。

（２）辺

CA

を３：１に内分する点を

E

とし、線分

BE

と線分

AD

の交点を

F

とし ます。この時点

F

の位置ヴェクター

OF

^→ を３頂点の位置ヴェクター

OA,

^→

OB,

^→

OC

^→ で表 して下さい。

（３）直線

CF

と辺

AB

の交点を

G

とした時、

AG : GB

の長さの比は幾らになりま すか。

問題

2

直線

x + y + c = 0

と円周

(x − v)

²

+ (y − w)

²

= d

²が接するための条件は

2d

²

= (c + v + w)

²

となる事を証明して下さい（

d > 0

）。

問題

3

次の計算を実行して下さい。

（１）



  1 0

− 2 3 4 1



 

√ 1 3

!

（２）

t



 

− 1 3 2



 



  3 2

− 4



 

（３）



 

7 2 0

− 3 3 1 2 11 3



 



 

2 1 3

0 2 4

1 − 1 3



 

問題

4

行列



 

1 3 2 0 − 2 1 2 1 4



 

の逆行列を、掃き出し法で求めて下さい。

問題

5

行列



 

3 1 4 1 5 9 2 6 5



 

の逆行列を、外積を使って求めて下さい。

問題

6

 

 図の様に

4 ABC

の内部に点

E

があり、面積 比が

4 ABE : 4 BCE = 3 : 2

であるとき、直 線

BE

と辺

CA

の交点

D

の位置ヴェクター

OD

^→ を

OA,

^→

OB,

^→

OC

^→ で表して下さい。

問題

7

３点

F(0, 1, − 2), G(3, 2, 1), H( − 5, 13, 2)

を通る平面の法線ヴェクターを求めて 下さい。

問題

8

次の行列式を計算して下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

7 2 0

− 3 3 1 2 11 3 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

9

行列



 

2 0 1

− 4 1 3 3 0 2



 

の逆行列を、掃き出し法で求めて下さい。

2009

^{年試験問題から}

問題

10 4 ABC

の内部に点

D

があって、

3 DA

^→

+ 2 DB

^→

+ DC

^→

=

^→

0

が成り立っているとします。

このとき直線

AD

と辺

BC

の交点

E

は辺

BC

をどんな比で内分するでしょうか。

BE : EC

を答えて下さい。

問題

11

ヴェクター と は共に単位ヴェクターであって、挟む角が

60

°であると き、２つのヴェクター

+

と

− 2

の挟む角を求めて下さい。

問題

12 a, b, c, d

は

0

でない定数とします。

（１）直線

ax +by +c = 0

と円周

x

²

+y

²

= d

²が接するための条件は

(a

²

+b

²

)d

²

= c

² となる事を証明して下さい。

（２）直線

4x − 3y + 7

と原点との距離を求めて下さい。

問題

13

次の行列式が

0

になる

x

の値を求めて下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 1 1

1 x x

²

1 x

³

x

⁴

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

− x 1 0 0 − x 1

− 4 4 1 − x Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

14

行列



 

1 2 3 2 3 4 5 6 5



 

の逆行列を求めて下さい。

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数学特論Ａ 第７回

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問題

15

次の行列式を計算して下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1

¹₂ ¹₃

1 2

1 3

1 4 1 3

1 4

1 6

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 5 7 8 3 4 2 5 0 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

16

２次正方行列

A =

√ a b c d

!

は

A

³

= O

を満たしているとします。

（１）

| A | = 0

である事を証明して下さい。

（２）ケーリー・ハミルトンの等式：

A

²

− (a + d)A + (ad − bc)E = O

を使って実は既に

A

²

= O

である事を証明して下さい。

問題

17

行列



 

1 2 3 3 4 5 5 7 8



 

の逆行列を掃き出し法で求めて下さい。

問題

18

次の行列式を計算して下さい（特に因数分解する必要はありません）。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

6 1 3

5 − 2 − 1

4 3 2

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

b + c a − c a − b b − c c + a b − a c − b c − a a + b Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

2008

^{年試験問題から}

問題

19 4 ABC

において次の問いに答えて下さい：

（１）辺

BC

を２：１に内分する点を

D

とした時、ヴェクター

AD

^→ をヴェクター

AB,

→

AC

^→ で表して下さい。

（２）辺

CA

を３：５に内分する点を

E

とし、線分

BE

と線分

AD

の交点を

F

とし ます。この時点

F

の位置ヴェクター

OF

^→ を３頂点の位置ヴェクター

OA,

^→

OB,

^→

OC

^→ で表 して下さい。

問題

20

次の行列の計算をして下さい：

（１）

√ 1 2 − 4 0 1 5

! 

  2

− 2 3



 

（２）



  1 0

− 2



 

≥

a b c ¥



  5 3

− 1



 

（３）

≥

_→

v

^→

w ¥ √

1 0

!

ただし、^→

v ,

^→

w

は２次元の縦ヴェクターであるとし、これを左右に２つ並べて数字（成 分）だけに着目すると２次の正方行列と見なす事が出来ると考えます。

問題

21

平面内での角度

θ

の回転行列を

R =

√ cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

とするとき、

（１）^t

RR = E

である事を証明して下さい。

（２）任意の２次元縦ヴェクター^→

a ,

^→

b

に対して

R

^→

a · R

^→

b =

^→

a ·

^→

b

である事を証明し て下さい。

問題

22

行列



 

7 2 6 6 2 5 9 5 7



 

の逆行列を求めて下さい。

問題

23

次の行列式を計算して下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

4 1 3 12 3 0

− 8 7 6 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

24 4 ABC

の辺

BC

上に点

D

があり、

4 ABD

と

4 ADC

の面積がそれぞれ

3, 5

であるとき、ヴェクター

AD

^→ をヴェクター

AB,

^→

AC

^→ で表して下さい。

問題

25

行列



 

1 3 2 2 8 9 4 13 11



 

の逆行列を掃き出し法で求めて下さい。

問題

26

次の計算をして下さい。

（１）

√ 1 3

! √ 2 − 1 5 0 4 1

!

（２）



  1 1 1



  ×



 

− 3 6 2



 

問題

27

行列式

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

a b c a

²

b

²

c

²

bc ca ab Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

を因数分解して下さい。