29. 非正弦波電流と有効電力
29. Non-Sinusoidal Current and Active Power
講義内容
1.
非正弦波電流と有効電力2.
例題：誘導性負荷3. LCR回路のインピーダンス
非正弦波電流と有効電力
2インピーダンス Z( = R +jXk ) に非正弦波電圧 v(t) を 加えた時に流れる電流 i(t) を求める
• 非正弦波 電流 i(t)
各調 波の 成分 がそれぞれ 別々 に 加わった ものとして計算し，
それらの 結果 を 加え合わせ ればよい
• 有効 電力 P
有効電力 P は 負荷 の抵抗成分 R で 消費 される 電力 に 等しい ので
0 m
1
( ) k sin( k)
k
v t V V k t
=
= +
+0 m
0 m
2 2
1 1
0
( ) k sin( k k) k sin( k k)
k k k
V V
i t k t I I k t
Z R X
= =
= + + − = + + −
+
2 2 2 2
0 1 2
1
( )
k k
P I R I I I R
=
=
= + + +Z ) (t i
) (t v
2 2
k k
Z = R + X
tan 1 k k
X
= − R
例題
3図のRL回路に以下の電圧を印加した。次の各値を求めよ。
( ) 200sin( 10 ) 50sin(3 30 ) 30sin(5 50 )[V]
e t = t + + t + + t +
(1) 電流 i(t)，(2) e(t)の実効値Erms，(3) i(t)の実効値Irms，(4) 有効電力P，(5) 力率cosΦ 各調波のインピーダンスは
基本波 ω： 第3調波 3ω： 第5調波 5ω：
1 4 3
Z = + j Z1 = 5 1 1
1 3
1 5
tan 3 36.9 4
tan 9 66.0 4
tan 15 75.1 4
−
−
−
=
=
=
3 4 9
Z = + j
5 4 15
Z = + j
3 97
Z =
5 241
Z =
これらを用いて各問を求めよ。
R
L )
(t ( ) i
e t
4[ ] 3[ ] R
L
=
=
例題の続き
41 3 5
1 3 5
200 50 30
( ) sin( 10 ) sin(3 30 ) sin(5 50 )
40sin( 26.9 ) 5.08sin(3 36 ) 1.93sin(5 25.1 )[A]
i t t t t
Z Z Z
t t t
= + − + + − + + −
= − + − + −
(1) 電流 i(t)
誘導性 負荷 なので，電圧 波形に対して 電流 波形の 位相 が 遅れて いる（位相が 負 ） (2) e(t)の
実効値Erms
2 2 2 2 2 2
rms m1 m3 m5
1 1
( ) (200 50 30 ) 147.31[V]
2 2
E = E + E + E = + +
(3) i(t)の 実効値Irms
2 2
2
2 2 2
rms m1 m3 m5
1 1 200 50 30
( ) 28.54[A]
2 2 5 97 241
I = I + I + I = + +
例題の続き
5(4) 有効電力P
(5) 力率
1 1 cos 1 3 3 cos 3 5 5 cos 5
200 200 50 50 30 30
cos 36.9 cos 66.0 cos 75.1
2 5 2 2 2 97 2 2 241
3257.8[W]
P = E I + E I + E I
= + +
皮相電力 Pa は Pa = Erms rmsI =147.3 28.54 4203.9[VA]
a
3257.8
cos 0.775 77.5[%]
4203.9 P
= P = =
cos
LCR回路のインピーダンス
6j L 1
j C R
Z R jX R j L 1
C
= + = + −
2
2 1
Z R L
C
= + −
1
1 tan
L C
R
−
−
=
1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12
Z[Ω]
ω[rad/sec]
1Ω 10Ω 100Ω
-120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12
θ[°]
ω[rad/sec]
1Ω 10Ω 100Ω
R：1[Ω],10[Ω],100[Ω]，L：1[μH]，C：1[μF]
LCR回路のインピーダンス
71.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12
Z[Ω]
ω[rad/sec]
1Ω 10Ω 100Ω
共振周波数 ωn 容量 性
( C 性) 誘導 性
( L 性)
2
2 1
Z R L
C
= + −
低周波 領域では 1 が支配的
C
高周波 領域では L が支配的 共振周波数 を境に入れ替わる
n n
1 1
f 2
LC LC
= ， =
LCR回路のインピーダンス
8共振周波数 ωn 容量 性
( C 性) 誘導 性
( L 性)
高周波 領域では L が支配的 共振周波数 を境に入れ替わる
n n
1 1
f 2
LC LC
= ， =
1
1 tan
L C
R
−
−
=
-120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12
θ[°]
ω[rad/sec]
1Ω 10Ω 100Ω
低周波 領域では 1 が支配的
C
