位相空間論第５回 演習問題
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次の各集合は(R n , d 2 )
の開集合となるか,閉集合となるか, またはどちらでもないかを 判定せよ. ただし,x = (x 1 , . . . , x n ),y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R nに対し
d 2 (x, y) = p
(x 1 − y 1 ) 2 + · · · + (x n − y n ) 2
とする.
(1) U(p; ε) = {q ∈ R n | d 2 (p, q) < ε}.
(2) U(p; ε) ∪ U (p 0 ; ε 0 ).
(3) {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | |x 1 | < c 1 , . . . , |x n | < c n },
ただしc 1 , . . . , c n > 0
とする.(4) U(p; ε) ∪ {q},
ただしε
は正の数.(5) {x ∈ R n | d 2 (0, x) ≤ r},
ただしr
は負でない数.(6) {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | a 1 x 1 + · · · + a n x n = b},
ただしa 1 , . . . , a n , b
は定数.(7) {(a 11 , . . . , a 1n , a 21 , . . . , a 2n , . . . , a n1 , . . . , a nn ) ∈ R n2 | det(a ij ) 6= 0}.
(8) {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | x 1 · · · x n 6= 0}.
(9) {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | x 1 , . . . , x n ∈ Q}
およびその補集合.(10) {(0, . . . , 0, m 1 ) ∈ R n | m ∈ N}
およびその補集合.(11) {(x, y) ∈ R 2 | y = sin x 1 }
およびその補集合.(12) {(x, y) ∈ R 2 | y = x sin x 1 } ∪ {(0, 0)}
およびその補集合.(13) ∪ ∞ n=1 {(x, y) ∈ R 2 | xy = n}
およびその補集合.(14) ∪ ∞ n=1 {(x, y) ∈ R 2 | xy = 1
n }
およびその補集合.(15) {(x, y) ∈ R 2 | y = f (x)},
ただしf
はR
からR
への連続写像.(16) Z n := Z | × · · · × {z Z }
n
およびその補集合.
