日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
5
３
余りによる整数の分類
例題１
余りによる整数の分類
解
次のことを証明せよ。
奇数の
2
乗から1
を引いた数は,8
の倍数である。(証明)
奇数は, 整数 k を用いると,
2k + 1
と表すことができる。(2k + 1)2−1 = 4k2+ 4k + 1−1 = 4k2+ 4k
連続する 2 つの整数 k, k + 1 のうち, いずれかは 2 の倍数であるから, は 2 の倍数である。
k
(k + 1)
よって,
4k (k + 1)
は 8 の倍数である。すなわち奇数の 2 乗から 1 を引いた数は, 8 の倍数である。
= 4k(k + 1)
数 A ＞ 第３章 整数 性質 ＞ 第１節 約数 倍数 ＞ 第４講 整数 割 算 商・余
【整数を2で割ったとき】
整数を2で割ったときの余りは0,1のいずれかである。
したがって, すべての整数は,整数kを用いて ,
2k 2k + 1
偶数 奇数
余りによる整数の分類
【整数を3で割ったとき】
整数を3で割ったときの余りは0,1,2のいずれかである。
したがって, すべての整数は,整数kを用いて ,
3k 3k + 1, 3k + 2
例題２
n は整数とする。次のことを証明せよ。
を 3 で割ったときの余りは, 2 ではない。
n
2解 (証明) 全ての整数は, 整数 k を用いると,
のいずれかの形で表される。
3k, 3k+ 1, 3k + 2 n = 3kのとき
①n2 = (3k)2 = 3⋅3k2
n = 3k + 1のとき
②
n2 = (3k + 1)2 = 9k2+ 6k + 1
= 3(3k2+ 2k) + 1
よって, いずれの場合もn2を 3 で割ったときの余りは, 2 ではない。
n = 3k+ 2のとき
③
n2= (3k + 2)2 = 9k2+ 12k+ 4
= 3(3k2+ 4k + 1) + 1
