RATIONAL REPRESENTATIONS OF A METACYCLIC p-GROUP

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RATIONAL REPRESENTATIONS

OF A METACYCLIC p−GROUP

YoulcHI IIDA AND TosHIHIKo YAMADA

（Received April 8，1993） ABsTRAcT． The irreducible rational representations of a metacychc p． group， whereρis an odd prime， are completely determined． AMS 1991 Mathematics 5！％句ecεClassification， Primary 20C15． Key words and phrases・Rational representation， metacyclic P−group．

1．Introduction．

Let G be a finite group and let Irr（G）be the irreducible complex char− acters Of G． For X∈Irr（C）， put Ω（x）−mQ（x）Σxσ，σ∈G・1（Q（）（1）／Q）， σ where Q is＞the rationals and mQ（）c）is the Schur index of）（over Q． Let ｛Xl，）（2，… ，）〈8｝be a subset of Irr（G）such that Xτis not algebraically conj ugate to）（」（i≠ゴ）， and that any）（∈Irr（G）is algebraically conj ugate to some）（i． In order to determine the irreducible rational representations of G， it suHices to obtain a rational representation Xε， whose character is Ω0（∂，（i＝1，2，… ，8）． F（）r． the rest． pf t．he ．paper， p is an odd、prime． R）r aρ一group G， C． R）rd has obtained the fQ｝lowing fundamental result． Theore．m l．1（R）1d ［2］）．’Each『』irred’ucible rational：reptesentatfon． of a finite pl・gro砲js jnduced丘om the’ ’irreducible lrational rePtiesentati・n・f

degree p−10n a section of order P． 1 −

Let G be aρ一grbup and X∈『’Irr（G）， The procedure fbr obtainihg an irreducible rational representation X of G，with characterΩ（X）， is as

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80 _{A METACYCLIC p−GROUP}

follows：Find a subgroup H of G with a linear characterψsuch that（i））（1＝ψG，（ii）Q（x）＝Q（ψ）．’ThenΩ（）c）＝Ω（ψ）G． Furthermore， we have an irreducible rational representationΨof H with characterΩ（ψ）（c￡｛5， Proposition 1D． Consequently， the induced represeritation X＝ΨG is an irreducible rational representation of G with characterΩ（j）c）． Thus we will call the above subgroup H of G and the linear characterψof H， a required ραir｛H，ψ｝丘）r）（∈Irr（G）． Remark 1．2． Notation being「as above，’let N＝kerψ． Let Ho be the

subgroup of H such that」U⊃Ho⊃」V and［Ho：N］＝P． Then Fbrd［2］

observed thatΩ（ψ）＝Ω（ψo）H， whereψo is a linear character of Ho with kerψo＝N． So，Ω（ψo）is the character of the faithful irreducible rational representationΨo of degree p−10n the group Ho／1V of order p． Hence

X＝ΨG＝（Ψξ）G＝Ψ8．

Let G be a metacyclic p−group and let X∈Irr（G）． The purpose of this paper is to obtain an irreduCible rational representti tioh X with character Ω（X）．By the above result， it su伍ces to obtain a required pair fbr X． Since the image of G by a irreducible complex representation is either a metacyclic p−group or a cyclicρ一group， we may assume that X is faithfu1． Then， G is called a∫faithful metαcyclic p−group and the faithful irreducible complex characters of G is denoted by FIrr（c）． In Section 2， faithful metacyclic p−groups are classi丘ed into two types of grbups GI and G2．（］1 is not a semi−direct product， but G2 is split． In Section 3， we determipe FIrr（G∂，（i＝1，2）． In Section 4， a required pair is given f（）r each）（∈FIrr（Gi），（i＝1，2）． Thus， for any metacyclic p−group G， the irreducible rational represen− tations of G are compl6tely determined．

2．Classification．

In this section we will classify faithful metacyclicρ一groups． The center Z（G）of a faithful metacyclic p−group G is cyclic（c￡Isaacs［4， Theorem （2．32）j）．Let G coptaip a cyclic norma1 subgroup♪X＝〈x＞of ordel’ p’｝，．n≧

2，with a cyclic factor group G／X＝〈Xy＞of order pt， t≧LThen we

may write

（2．1） G＝〈x，ylxpnニ1， Ypt＝xpm， yxy−1ニx「〉，

（2．2） n≧2，n≧m≧1， t≧1， p↑rand r≠1（mod pn）．

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1・fa・t， if y・“−x・m・， P↑・， th・n w・ha・・th・f・・m（2．1）・もy・epl。，i。9’・t with xα． Furthermore， we have （2．3） rpt≡1 （2．4） r≡1 （mod pn），（mod pη一m）． Since（Z／ρZ）＊have no element of orderρ， n≠1． Conversely， it is wel1− known that if n， m， t and r satisfy（2．2），（2．3）and（2．4）， then（2．1）defines ametacyclic group G・＝〈x， y＞of orderρη＋￠． Lemma 2．1． The integers r satisfyi皿g（2．2）and（2．3）are givenりy the 五）110wf119：ア≡1十pn−tk （mOdρη），

励ere 1≦1≦min（ちn−1）andρ仕，1≦k＜pl．

Pm（’f， Cleat．□ We suppose the integer r of（2．1）is a primitiveρε一th root of 1（mod

ρn），1≦1≦min（ちn−1）． By Lemma 2．1 we have r≡1十pn−tK・（mod

ρη）fbr some．k such that p†kand 1≦k＜pt． There exists an integer〃★ （p↑．uk）such that 1十p刀一1≡（1十pη一lk）レた（modρη）． Then we have G＝b，y＞＝〈〆た， yUk＞，（〆りPπ＝1，（y”り〆＝（x・り・m，（ピり（〆り（y・り一1＝（x・り1＋P ‘． Hence we may assume that the group G defined by（2．1）and（2．2）is of the fbrm：（2・5）．C−〈x， ylx・” 一 1， ypt−x・m， Y・y−1−x’＋P”“t＞． We also note that m≧1， because by（2．4），1十pn−1≡1（modρπ一m）．

（C…1）1≦1〈・t．W・hav・Z（G）＝〈x・t， yρt＞and・IZ（G）1−pn＋・−2t．

Since Z（G）i・cy・li・， w・hav・y・t−x・t．1・deed， ifm＞1．・th・・Z（G）w。。ld have no element of order p九＋t−21， because fOr i，ゴsuch that O≦i＜ρn−1‘ and O≦ゴ＜pt−t，（・p∨ゴ）・叶？”2t“1−。pn＋￡一’−1ゾ＋t＋1」＝（x・m）P ‥1ゴ＝1．

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82 _{A METACYCLIC p−GROUP・}

On the other hand， if m＝1， then Z（G）is clearly cyclic． So th6 group G in（2．5）is of the fbrm： Cl ＝〈x，！ノ l xpn ＝1， Ypt＝xpt， 9／XZノー1 ：＝xl＋pn−1＞．（Case II）1≦1＝t． Z（G）is necessarily cyclic because Z（G）＝〈xp￠〉．・ Then the group G in（2．5）is isomorphic to the fbllowing（］2： G、＝〈x， y・1・xpn＝1， Yρt＝1， y・y−1−x’＋・π一z＞． Indeed， put r＝1十ρn−￠． Because pn l l rP￡−1andρη一￡ll r−1， we have t P￡1ド≡1．S・th・・e exi・t・ゴ・u・h th・t t ゴ「≡1＋・m≡・（m・d・P・・）， t ．￠・7・ρ 一1 t because m≧1＝t． Fbr thisゴ，（xJy）P ＝x3 r−1 Yρ ＝1． Consequently

G＝〈x，y＞＝〈x，内〉竺G2．

Proposition 2．2．． Let p be an odd pr∫me． Let（D be a faithful meta− cyclic p＿group de五ned by（2．1）一（2．4）． Then G js isomorl）hjc to one of the fbllowlillg groups： Gl＝〈x， y l xpn＝1， Ypt＝xpi， Yxy−1＝xl＋ρπ一1＞， 1＜1＜n−1and l＜￡． G、＝〈x，y1・・” ＝1， y・‘−1， yxy−1−・c’＋・n”t＞， 1 ＜t＜n−1．

3．Determination of the faithfu1 representations．

We quote the useful Lemmas． Lemma 3．1（Iida−Ya血ada［3， Lelnma 4．2D． Let G be a毎∫th血1 meta− cyclic group of order nm． Let G＝〈α， b l an＝1， bm＝α8， bab−1＝．α「），

where（n， r）＝1， rs≡8（mod n）and〆π≡1（rpod n）． Let t≧2be the

least integer such that r￡≡1（mod n）． Then eve】ry faith血1 jrreducible representation pf G is induced from． a one−dimensio皿al representation of Ht＝〈α， bt＞．

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Lemma 3．2（［1， Corollary（45．4）D． Let G be a finite group alld H a subgroup of G． Let・T be a one−djmensjonal rePrese皿tatio刀of H． Then the・induced・m・皿・m」al r（）presentati・n TG・fG・is・irreducible・if・and・nly if， f・・ eaCh X￠H， there・eXi・t・y∈X−iHX∩H・SUCh・that・T（y）≠T（XyX’1）． We will determine the faithful representations of the groups GI and G2． Fbr a natural number 8， a primitive ps−th root of unity is denoted by 〈P・・（1）The groups Gl． P・tG＝G、一〈x， y＞・nd・H＝〈・， Y・’〉． lt・f・ll・w・fr・m Lemm・3．1 that every）（∈FIrr（G）is induced from a linear character of H such that

θ・，。・・一（麺pZH（㌫．t．21，

where O≦u＜pn，0≦μ＜pn＋t−2t andガ≡μ（mod pn一り．

C−∪±51Hy・． Th・n w・hav， th。 i・duced，ep，e，ent。ti。n。f G，

Uv，μ：XH

yト〉

脇

0

ζジ1＋pn−∼） ζ㌫・t−21 1 ．．．る． −r． 1 0 ζ㌧・＋・n”t）アに1 ◆ ，

Let

By Lemma 3．2，σ“，μis irreducible， if and only ifレ≠レ（1十pn一りz（mod pn），1≦i＜pl． This is clearly equivalent to the condition p tレ． Befbre we show that every irreducible representationσレ，μ（p tレ）is faithful， we determine the character field Q（θGv，μ）， whereθ緩μis the char− acter ofσレ，μ． We have the fbllowing lemma． Lemma 3．3． Let p be an odd prjme． Letα， b， m and K be integers such that m≧2，1≦b＜m， a≧m−band P tκ． Then the f（）110wing」holds：

0

＝．ア κ・ bp

㌃

φ

ー

ゴΣ⊇

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84 _{AME．TACYCLICρ一GROUP}

ProOf． Fbr eachαandβsuch that O≦α＜pa一πt†b and O≦β〈−pm←b，

we have

くll｛＋，b・）ハ＋’一ζ舞・b・）β． So we have pa−1 pM−b−1 Σζ雷bκ）’−P・−m＋bΣζ㌫pbκ）∵ i＝O i＝O

Fbr eachλand 7 such that 1≦λ≦p−1and O≦ty＜pm−b−1，

斑pb・）ρ ト1λ＋ツー斑・m−1κ・λ・・＋・‘・）t「一窮pm−1κλ）（1十pbκ）t「 −cλ（・＋ρb・）寧ρbκ）ty 一ピλ群pbκ）守．

SinceΣ《ゴご一Σ《ゴζ；一一1， w・hav・

pm−b−1 pm一ト1−1

Σ雷pbκ）’一（1＋Cp＋…＋〈3−1）Σ、ζ舞pbκ）z−0・・

i＝O i＝O Si・・e Uv，。 i・i・duced加m th・n・・m・1・ubg・・up Hニ〈x， y・’〉，it・f・ll・w・

』th・tθ￡・μvani・h…nG−H． A・d・1…ly w・hav・， f・・鋤・tj（0≦i〈

P？，o≦ゴ＜Pトり，

θ緩。（・ ↓・xtyP’2）一く㌫，−21θ三。（め・ By the way， fbr any integers 8 andゴsuch that O≦8〈landρ†ゴ， pl−1 θ三。（・psゴ）一Σθ“，。（躍8ゴy一り㌶〒Z） e。，。（x）pS」（1＋P ‘）’ 冨一Σζ鐸3ゴ（1＋Pヲ芦一亙（くbu｛一・）9＋ρ九一1）’一゜

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by L・mm・3・3・1・i・ea・ily・een・h・tθ5。（xpsゴ）−P’，1；・｛一・ f・r・・y i・t・gers 8andゴsuch that l≦8≦namd p fゴ． Thus，、（3．1）

嚥・）一

o1：ζ蹴・ll隠1あ

It follows that Q（θGUIμ）＝Q（〈pn−t， kpn＋t−・t）＝Q（Cpn＋・−21）． Now we show that every irreducible representation U〃，μis faithful． Let x・”・・’J’ ｸk・・θ緩。（・≦i・〈・pn−‘，・≦ゴ＜pt一り． Th・nθ6。（x・’i・ptゴ）− P’（芸一・（㍑ト・1 ・pt・C・n・eq・・n・1・，（嬬；邊・」−1and・・ pt−lyi十μゴ≡0 （mod pn＋t−21）．

Then we have p￡一’1ゴbecauseρ†μand n十￠−21＞舌一1． So we have

ゴ＝0・and i−Ob・・au・e G−1−1 and・P t v・lt・f・ll・w・th・t k・・θ￡。＝1・（II）The groups Gl2． Put G＝G2ニ〈x， y＞and H＝〈x＞． It follows from Lemma 3．1 that every X∈FIrr（G）is induced from a linear character of H such that

θ・・XH（脇，

wh・・e O≦〃＜P・． L・t G一噛1W・． Th・n w。 h。。。・he i。duced

representation of C：

UV：Xト〉

yト〉

0

1 1 ・ φ1＋P”’t）．ふ． ’・

D 1

． 0 ・ ● ．． 1 一 t 、 P ︶ t 一 n P 十 1 ︵n

己

， By Lemma 3．2， Uu is irreducible， if and only if u≠v（1十pn−1）i．（mod pπ）， 1≦i＜pt． This is clearly equivalent to the condition p f v． Thenθ〃is a faithful character of五r， and soθ9∈FIrr（G）．

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86 _{A METACYCLIC p・GROUP}

we now consider the character field Q（θ9）， Whereθξis the character ofσ“． Sinceσレis induced from the normal subgroup H＝＠〉，it fbllows thatθg vanishes on G−H． Fbr any integers 8 and j such that O≦8＜t and p†ゴ， pt−1 θ9＠ρ8ゴ）一Σθ．（Y’xpsゴy一り㌶一Σθ。（x）・3ゴ（1＋・り’ 昌一Σ（㍑8元（1＋P”’t）｛㌶一Σ（ζち．，）（1＋pn一り㌧o i＝o by・L・mm・3・3・lt i・easily・een th・tθ9（xpsゴ）−ptζ㌫、 f・・ally irlt・gers・

andゴsuch that t≦5≦nand p｛ゴ． Thus，

（3・2）θ9（…1）一

o1：雛，llぽ！＝°，

It fbllows that Q（θ夕）＝Q（（；pn−・）．

Summarizing， we have

Proposition 3．4． Notation js the 5ame a8 jn Proposition 2．2． Th en，

（1）FIrr（G・）一｛θ￡1。11≦・＜pn，1≦μ〈pn＋t｝21， P↑・，・≡

μ（mod pπ一り｝， Q（θξ1μ）＝Q（ζpn＋t−21）， whereθ51μjs given by（3・1）・（II）FIrr（G2）＝｛θ9・11≦u＜pn， P↑〃｝， Q（θ9・）＝Q（ζP・・一・）， whereθ9・ is given乏〕y（3．2）．

4．Determination of the rational representations．

Now we will give a required pair丘）r each X∈FIrr（Gi），（i＝1，2）．（1）The groups Gl．

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P・tG ＝＝ G、＝〈x， y＞and’・H＝〈x， y・t＞． lt i・easy．t・・ee th・t f・・・v・・yθ緩。（1≦〃＜pn，1≦μ＜pn＋t’21， P t・， u≡μ（m・d・pn一り）th・・e ・xi・t・an i・t・g・・μ’（μ’≡1（m・d P”’1））・u・h th・tθξ。’i・alg・b・ai・ally

conjugate toθ￡μ・Hence we may assume u＝1and simply writeθμin

place ofθ1，μ． Note that 1≡μ（mod pη一り． We will distinguish two cases．（i）t−21≧0． We have Q（θμ）＝ required pair fbrθS・ Q（〈pn＋t−21）−Q（eS）． S・｛H−〈x， Y・t＞，θ。｝i・a （ii） t − 21 ＜ 0． We have Q（θμ）＝Q（Cpn）anq Q（efi）＝Q（〈pn＋・一・・），（n＞n＋t−2の． Put Fニ〈x， yPt−1＞・First we■ill show that Q（θξ）＝Q（θS）． Let．F＝ U碧ご一IHy・t−’i． Since・H・i・a−・1・ubg・・up・f F，θ‘（，）一・f・・ 9∈F−H．・lt・i・e・sy t・・ee th・t f・・掬・tゴ∈H（0≦i〈・pn，0≦ゴ＜pt一り， θS（∂・・l」）一（㌫、．、、θs（・‘）・ It follows from Lemma 3．3 that fbr integers 8 and元such that O≦8＜21−t and p↑ゴ， eS（xps・）rΣ碧ご一1θ。（y・t一㌔・SjY−・t’‘i）一Σ馨ご一1θ。ωρ8・（・＋・n−’）pt”，” 一Σ≧♂−1〈謬ρ1＋t−21z）’＝・， t一ε 2t−t t−t 2t−t where z is some integer such that p↑z． Since YP xp y一ρ ＝xp ； we：have・ ’ eS（ 21−t・￠P J）−P2‘“t（b”：’−tゴーP21−‘くln＋，．、、，・≦ゴ＜P・＋‘−2t’ So we have

鋼）一｛ll↓一螂認， ll三↓1，ご

1

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88 _{A METACYCLIC p−GROUP}

It follows that Q（θ‘）＝Q（Cpn＋t−・・）＝Q（θξ）＝Q（（θ5）G）・ There exist・integers c andκsatisfying （4．1） cκ≡二1（mod pn−1），（4．2） P’・一｛（1＋P・一’）・￠−1｝／｛（1＋P・一‘）pt”‘ 一 1｝，（P†・）． We take an integer c satisfying（4．1）and put ’ 21−t t−t ＞， K6＝〈xρ・．，Wρ Lemma 4．1． Let Kc be as above． Then，刎一￡￠−t_{（i） κc ＝}_〈コ；P ＞×〈xCyP ！・（’i）The f°11°痂g卿．ζe6ne／s a 1’nra「gha「hcte「°fK・： t−l 21−t ψc ：xp ．．・←→〈；pn＋・二2・， xCyρ ・→L P・・Of lt foll・wS easily伽m（4．1）th・t th…d…fx・y・t−‘i・pl． N・t・ th・t・xp2t−t c・mm・t・・With・W・t”．・lf g∈〈￠・2‘一￠〉∩〈x・yPt”t＞， th・n th・・e ・xi・t i・t・gers〃，λ・u・h th・t O≦〃＜pn＋￡−21，0≦λ＜pl a・d 9−（xp2t7t）・一（X・y・t’t）λ． So YPt−1λ∈〈x＞． This means that ptいand soλ＝0． It fbllows that 9−1．C・n・eq・・ntly・K。 i・a・di・ect p・・d・・t・f〈・・2‘−t＞・nd〈x・y・￡一‘〉． Th・

statement（ii）now fbllows immediately．口

we observe thatQ（ψ。）ニQ（〈P・＋・−2t）＝Q（θξ）＝Q（θξ）・we will show that there exists an integer c satisfying（4．1）such thatθξ＝ψぎ． Lemma 4．2． Leげ， H and K， be a8： ≠b盾魔?D Then‘ the f（）110fUings hold．、（i） F ＝ H」Kc．（ii）H∩K。＝〈xp2‘’t，．ypt＞．（iii）［F・珂＝P2t’tニ［F・’K。】．

Proof． Clearly（i）holds since F＞H∋xandκc∋xcyPt一ε．Le七山be ’the

integer SatiSfying （4．3）P・・一・ω一｛（・＋pn−1）pL・｝／｛（1＋P・一り・t∵−1｝，（plω）．

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Because yρ1・＝（xp2t−t）一ω（x・yPt−1）P2t−t∈K。， H∩Kc⊃〈xp2t−t， Yp−t＞． Oh the other hand， if H∩Kc∋h， then there exist integers v，λ， i alld j such

that O≦v＜pn＋t−2110≦λ＜pl，0≦i＜pn，0≦」〈pt−l and

九一（xρ2t’t）〃（w・←’）λ一掬〆ゴ． Th・n y・’ゴーハ∈〈x＞，・・Pε」−P・−1λ≡0（m・d・pt）， a・d h。nce・P2t−t lλ． It・f・ll・w・easily・fr・m thi・th・t・P2t−t l i． C・n・eq・・ntlyん∈〈xρ2’”t， y・t＞． The proof of（ii）is complete．（iii）is clear， because I FI＝pn＋l and I Kc l＝ pn＋t−1． □ Lemma 4．3． Letωandμbe aS above． There exists an in’ teger c satisfying （4．1）such that （4．4） _{一ω≡μ（mod pη＋t−2り．} Proqf All the integers c（modρπ）satisfying（4．1）are ・＝一κ’ {pn−1λ， o≦λ＜pl， whereκ’is an integer such thatκ’κ≡、1（mod p九一り． So it is enough to show that there exists an integerλsuch that O≦λ＜pl and （4．5）一（一κ’十pn−1λ）ω…≡μ（mod pn＋t−2り．

We have

xpt _{￨〆一（y・’）・目一（（Xρ2t−t）一ω（w・t”t）ρ2‘−t）pt−1} −（〆一￡）一ωρt−1（wρt−’）ρ1−。一・‘ω． S・P’ E−P↓ω（m・dpn）， and h・nce一ω≡1（m・d pn一り． fU・th・rm・・e， by （4．1）we have cκ≡−1（modρπ一り． We also recallμ≡1（modρπ一り． Let ω’be an integer such thatω’ω≡1（mod pη＋t−2り． Using these relations，

we have

Cκω（κ’一μW’）≡Cκκ’ω一Cκμωω’ ：＝ω一Cκ

≡−1十1

≡0（mod pn一り．’

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90 _{A METACYCLIC p−GROUP}

Because p t crccv， pn−l lκ’一μω’． Letλbe the integer such that λ≡（’・1’−Pω’）／pn−1（m・d pt−1）・nd O≦λ＜pt−t． Then it is easy to see thatλsatisfies（4．5）and that O≦λ＜pt（pt−1＜

Pり．ロ

Take an integer c satis」lying．（4．1）and（4．4）． Let Kc andψc be as in Lemma 4．1 ．． We are now ready to show thatθξ＝ψ『．．By Lemma 4．2 and

the Mackey subgrOup theorem，

（θS，ψζ）F＝（θ司κ。，ψc）K。＝（（θμIH∩K。）κ・，ψc）、κ．＝（θμIH∩κ。，ψciH∩K。）H∩k。． W・wi11・h・wθ。一ψ。・n H∩K。一〈xp2t’t， y・’〉． Cl・a・ly， 2t−t θμ（〆） 21−t 2t−t_{＝￠n ＝〈；pn＋t−2t＝ψc（xp} ）． Using the decomposition’@of yρ！in the proof of Lemma 4．2， we have ψ・（y”’）一ψ6（（x・21”t）一ω（w・t”）・21’t）一（㌶．、、一箏．ト』、一θ。（y・t），

by（4・4）・Henceψc＝θμon H∩Kc， qnd so（θS，ψξ）F＝1・Since

θξ（1）＝p2t−t＝ψ三（1）， it fbllows thatθξ三ψ『， as desired．

We haveψξ＝（ψ三）G＝（eS）G＝θfi and Q（ψ。）＝Q（ζp・tt二・り〒

Q（θS）・＝Q（θff）＝Q（ψ三）・Thus｛Kc，ψc｝is a required pair forθfi・（II）The groups G2． The groups G2 have been dealt with by Ford［2， p．599】． Put G＝G2＝〈x，，，y＞．、and．， H．r〈x＞． It・is ． easy to、5ee that・．everyθ9・（1−・≦u〈pn， P†〃） is algqbraittqlly． ponj ugate to each． other． Hence we．・May assume u＝、1 and． simPly Writeθ：in lplace Ofθ1・Sgt ・・二 … 、：‘ ．．．．・「 ξ κ＝￠・t， y＞， ψ・：．塗ρもト・㍍π一；ニダ亡→．1．‘＼『 Then we have Q（ψ）・＝9（〈P竺二ζ．i＝． Q（θ『）・．．We will show thatθG＝ψG・

(13)

Lemma 4．4．‘Let G， H and K be a5 abbve． Then・ the followings hold．（i）G：＝HK．（ii）H∩K＝〈xpt＞．（iii）［（］： H］＝ ρt ＝【G ：」K’】・

Pr・Of・Cleqr・□

By Lemma 4．4 and the・Mackey subgroup theorem，

（θG，ψG）G＝（θ『Lκ；ψ）κ＝（（θIH∩K）K 1’ψ）’K ＝（θIH∩κ，ψIH∩K）H∩κ．

W・・hav・θ（め一φ一ζ。。一・一ψ（め． H・nceθ一ψ・n H∩κ一〈xpt＞，

and so（θG，ψG）G＝1． SinceθG（1）＝ρε＝ψG（1），it follows thqtθG＝ψG， as desired． Cons6quently，｛κ，ψ｝isぼreΦired pair’fbrθG．

Summarizing we have

Theorem 4．5． Let p be an odd画me． Let Gi be a f減h血1 metacyclic

P−group suc力that

G1＝b， y l xp”＝1， Ypt＝xpt C yxy−1〒xl＋pn−’

_{r，1≦1≦η一1，1〈t．}

P・tH．一￠， Yl・t＞・・tt l・tθ。（μ≡1．（m・d p竺一り，1．≦μ＜P・＋・一・り、b。．th。

linear・characters・f H de五ned砂

．，

、，・．＿∵’θ。（・）＝．伝，θ。（め一箏工、．il．、『・’・、』』： L・tXb・a・faithful irred・c∫b1・ρ・mplex・h・・a・ter・f G・，田・籔」却ge一

励・・11Yl・q頑9・古・t・ρξ1、允…血・μ｝50麺鋤・郷・m・dψ殿一θli・・

（i）舌≧21・In this case， Q（）（）＝Q（θμ），so｛H，θμ｝fs a req uired pair∫br）（．（ii）￡＜21． There exists all jllteger c satisfying ・κ≡−1（m・d pn−’），

一ω≡μ（mod pπ＋t−li），二㌦参

・−P−t｛（1＋P・一り・t−1｝／｛（1＋P・一りpt一㌧1｝い．．・ ω一P−（21−￡）｛（1＋・ 1−1｝／｛（1津二！）！∵逗．，．．1．∫∴ Put Kc＝〈xp21−t， zcyPt−1＞． Letψc be the lj皿ear chara6むtl・’Ofκ二．de五亘e日 ψc（xp21−￡）＝〈；pn＋・＿・1，ψc（xCypt一ε）＝1． Then x＝ψ￡・and Q（）（）＝Q（ψc）， so｛Kc，ψ。｝is a required pair f（）r x．

(14)

92 _{A METACYCLIC p−GROUP}

Theorem 4．6：Let p be an odd．pr輌me． Let G2・be a faithfu1 inetacyc∬c ρ一group such that G、一〈x，y｜x・” 一 1， y・t−1， y・y−1＝x’＋pn−t＞，．1≦t≦’n−1．

Put H＝＠＞and・letθbe the ljnear Character of H de五ned byθ（勾＝

〈pn． Let X be a励h血1 irreduc」ble c・mp1《）x・character・f G2・Then x is algebraically cozり’ugate to eG2， so it may be assumed that X＝θG2． Put K＝〈xPt）y＞． Letψ1be the linear character ofκdefined by ψ（xpt）＝Cpn−t，ψ（y）＝1． The皿x＝ψG・ahd Q（x）＝Q（ψ）， so｛K，ψ｝is a required pair for）（・・ −［1｝

1︼

23 ︻ー

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45 ［︷

REFERENCES’ C．Curtis and I． Reiner， Reρresentation theory q∫ガπτ淀gro仰8 ahd associαtive αlgeb豹α5， Interscience， New Ybrk，1962．．． ’ C．R）rd，（］haracters qf p−groups， Proc． Amer． Math． Soc．101（1987），595−601． Y．Iida and T． Yamada，鞠ρと5（ぴ∫協励I me施cyclic 2−groups， SUT J． Math．28 （1992），23−46． 1．Isaacs，0肋mc‡er theoT‘y（ヅfinite groz膓pS， Acade㎡iic Press， NewT York，1♀76．’ ’T．Y・ni・da， R・m・・＆・・πm‡ε・η・1・・present・ti…Of 9 finτt・gm仰，「SU「U・Math・ ’29（1993），71−77．・’ ’ ”．

Youichi IIDA and Toshihiko YAMADA

Department of Mathematics

Faculty of Science Science University．of Tokyo 1−3Kagurazaka， Shinj ukU−kU Tokyo 162， JAPψ1N