2 log 3 9 log 0 0 a log log 3 9 y 3 y = = 9 y = 2 0 y = 0 a log 0 0 a = a 9 2 = 3 log 9 3 = 2 a 0 = a = a log a a = log a = 0 log a a =. l

経済数学入門

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対数関数

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丹野忠晋

2012

年

7

月

8

日

今回は対数関数を勉強します．

1

対数の計算

今まで指数法則や指数関数を学びました．その「逆」の計算や関数が対 数や対数関数です．対数のことを英語で logarithm と言いますが，ある数 x に対して ay _{= x} を満たす y を底を a とする x の対数と言います．このとき y を記号で log_ax と書きます．底が a の対数関数 log_ax の定義は y = log_ax ⇐⇒ x = exp_ay となります．各パラメータは a > 0, a 6= 1 であるとします．そうなると x > 0 が定義域になります． 例 1 log5125 を求めてみよう． 解答 1 log₅125 を y とおくと y = log₅125 ⇐⇒ 125 = 5y ここで 125 を良く見ると 125 = 53 なので y = 3 すなわち log₅125 = 3

もう少し計算を行ってみましょう． 例 2 log₃9，log₁₀10a_，log

93 を求めてみよう． 解答 2 log₃9 を y とおくと，3y _{= 9 となる．よって，3}2 _{= 9 なので y = 2} となる．同様に，10y = 10aとなるので log1010a = a となる．また，9 1 2 = 3 から log93 = 12 となる． 指数法則を用いて計算を行ったように対数の計算を行いましょう．指数法 則に対応する対数法則があります．まず最初に分かるのは a0 = 1 と a1 = a が成り立ちますから次のようにとなります．

対数の公式

log_aa = 1 log_a1 = 0 同様に上の公式から log_a1 a = −1 が成立することも分かります． 問い 1 次を計算して下さい． 1. log₃9 2. log₁₀10a 3. log₈2 4. log₁₀0.01 他の公式を書いておくと次のようになります．

対数法則

(1) log_axy = log_ax + log_ay

(2) log_ax y = logax − logay (3) log_axy _{= y log} ax 掛け算は足し算に，割り算は引き算に，累乗は前に出ることが分かります． 最初の公式を証明します．

(1) log_axy = log_ax + log_ay

左辺の log_axy を u と置きます．そうすると au _{= xy となります．同様に} log_ax = v と log_ay = w と置くと，av _{= x と a}w _{= y になります．最初の}

au _{= xy の積 xy は次のように変形できます．}

au _{= xy = a}v_aw _{= a}v+w

両端の辺の指数部分を比べると u = v + w になります．この置いた記号を 元に戻すと log_axy = log_ax + log_ay が成立することが分かります．この公

式は指数法則の an_am _{= a}n+m に対応していることが分かります． 2 番目の公式も同様に証明できます． (2) log_ax y = logax − logay 左辺の log_ax_y を u と置きます．そうすると au = x y となります．同様に log_ax = v と log_ay = w と置くと，av _{= x と a}w _{= y になります．最初} の au = x_y の商x_y は次のように変形できます． au = x y = av aw = a v−w

両端の辺の指数部分を比べると u = v − w になります．この置いた記号を 元に戻すと log_ax_y = log_ax − log_aが成立することが分かります．この公式 は指数法則の ana−m= a n am に対応していることが分かります． 3 番目の公式も同様に証明できます． (3) log_axy _{= y log} ax 左辺の logax を u と置きます．そうすると au = x となります．両辺を y 乗 すると (au₎y _{= x}y となります．左辺は (au₎y _{= a}uy となることが指数法則から分かります．よって， auy = xy になります．ここに底を a とする対数と捉えると log_axy = uy = y log_ax になり公式が証明されました．この公式は指数法則の (an₎m _{= a}nm に対応していることが分かります． 問い 2 次を簡単にして下さい． 1. log₂4 + log₂24 2. log332 log₃64 特に底が 10 の対数を常用対数といいます．これは実際の計算でよく用い られます．ネイピア数e が底の場合は自然対数 (natural logarithm) といい

ます．正式には logex と書きますが，それを表示する記号として底を省略し た log x や ln x と書くことがあります．

底の変換公式

log_ax = logbx

log_ba

log_ax = log_ab · log_bx

log_ax = 1

log_xa

特に最初の公式は底を a から b に変換するために頻繁に用いられます．最 初の公式 logax = loglogbbxaを証明してみましょう．まず，左辺を u と置きます．

u = log_ax すなわち au _{= x} この後者に b を底とする両辺の対数を取ります． log_bau _{= log} bx ここで公式 log_axy = y log_ax から u log_ba = log_bx が得られます．よって， log_ax = u = logbx log_ba が成り立ちます． 問い 3 次を簡単にして下さい． log₂3 · log₃16

2

対数関数

対数関数 (logarithm fuction) とは指数関数の逆関数です．ここで逆関数 の定義を思い出しましょう．関数 f : X → Y の逆関数 f−1とは， 1. Y から X への関数である． 2. f (x) = y ⇐⇒ f−1_{(y) = x}

x y 0 ₁ y = log₂x 図 1: 対数関数のグラフ が成り立つことでした．底が a の対数関数 logax の定義は y = log_ax ⇐⇒ x = exp_ay となります．直感的に対数関数とはゆっくりと増加する関数です．明らかに log_a1 = 0, log_aa = 1 が成り立ちます．指数関数の値域は y > 0 ですから，対数関数の定義域は x > 0 になります．指数関数の類推から logax は a > 1 で増加関数になります．例え ば，y = log₂x そのグラフは次のようになります．同様に y = log₂(x+1) のグ ラフは以下のようになります．気をつけなければならないのは定義域です．こ の場合は明らかに x > −1 となります．y 軸方向を考えると y = loga(x−p)+q は y = log_ax のグラフを x 軸方向に p そして y 軸方向に q だけシフトしたグ ラフとなります． 指数で自然対数の底 e の関数が重要であったように対数関数でもその e が 底である関数が最も重要です．この自然対数とも呼ばれる対数関数は頻繁 に数学に登場します． y = log_ex = log x これは指数関数 exp の逆関数です．ですから下が成り立っています． exp log x = x この対数関数のグラフは以下のようになります．関数 log と関数 exp は逆関 数の関係にあります．そのため両者のグラフは 45 度線に関して対称になり ます．

x y 0 ₁ y = log₂(x + 1) 図 2: 対数関数のグラフ 2 x y 0 ₁ y = log_ex 図 3: 自然対数関数

x y 0 ₁ y = log x y = log x y = exp x y = x 図 4: 自然対数関数

3

貯金が

2

倍になるには何年かかる

対数の応用として複利で貯金が増えているときに何年経てば貯金がどれ くらい増えるかを考えて見ましょう．複利の元利合計と利子の公式は (1 + 年利)年数₌ 元利合計 元金 でした．対数の底を 1 + 年利 としますと金利イコールの式になります． 年数 = log_(1+年利) 元利合計 元金 この式を用いて色々考えてみましょう． 例 3 10 万円を 1 年複利で年利が 1% の預金に預けたときに元利合計が 11 万円になるには何年掛かるでしょうか？ 解答 3 元金は 10 万円，元利合計が 11 万円であり金利が 1% ですから， 年数 = log_(1+0.01)110000 100000 = log1.011.1 となりますが底が 1.01 とは明らかに中途半端な数ですから底の変換公式を 利用しましょう． 年数 = log1.011.1 = log₁₀1.1 log₁₀1.01 ここで関数電卓や Excel の数学関数 LOG10 などを用いると左辺を計算でき ます．結局， 年数 = log101.1 log₁₀1.01 = 0.041392685 0.004321374 = 9.57859404 ' 10 となり約 10 年間掛かることになります． 問い 4 金利が 0.1% で 10 万円が 11 万円になるには何年掛かるだろうか？ ただし，log₁₀1.001 = 0.00043 とします．10 年にかなり近いだろうか？それ ともずいぶん長い間掛かるだろうか？ 上の例で 10 万円が 11 万円になるときははじめに預けたお金を目標とす る元利合計の比率が重要でその絶対的な金額は関係ありませんでした1．つ まり 100 万円が 110 万円でも 1 億円が 1.1 億円でも同じです．つぎに元金の 2 倍になるにはどのくらいの年月が掛かるかを見てみましょう．前に見た計 1_{自然対数と同様に Excel の数学関数 LN を用いると計算できます．}

算方法により，公式として次のように表現できます．今回は自然対数の底で 表現しています．

元利合計が

2

倍になる年数

複利の年利が r × 100% であるとき預けた金額が 2 倍になる年数は以下の 式で表される． 年数 = log 2 log(1 + r) 例 4 1 年複利で年利が 0.5% の預金に預けたときに元利合計が 2 倍にな るには何年掛かるでしょうか？ 解答 4 年数 = log 2 log(1 + 0.001) = log 2 log 1.001 = 0.000434077 0.693147181 = 138.9757216 ' 139 となりますから低金利では二倍になるまで一生を掛ける以上の年数が必要 になります． 預金が 2 倍になる年数を対数で計算するのは少しばかり大変です．その ため便利な近似式，72 の法則があります．

72

の法則

預けた金額が 2 倍になる年数は以下の式で表される．ただし年利はパーセ ント表示である． 年数 = 72 年利 今のケースを 72 の法則で計算して見ましょう． 年数 = 72 0.5 = 144 144 年ですから 139 年とほぼ等しいです．この法則を導出しましょう．複利 の年利が r × 100% であるとき預けた金額が 2 倍になる年数は 年数 = log 2 log(1 + r)

x y 0 y = log(x + 1) y = x 図 5: 自然対数のグラフ でした．金利が十分に小さければ log(1 + r) と r はほぼ同じとみなすことが できます．これは y = log(x + 1) のグラフは x = 0 において y = x で近似で きることを意味します． 年数 = log 2 log(1 + r) ' log 2 r 72 の法則では利子率をパーセントで表示したいので分母と分子に 100 を掛 けます． 年数 ' 100 log 2 r(パーセント表示) log 2 はおよそ 0.693 になり分子は 69.3 になります．しかし，このままです と誤差が大きくなるので分子を 72 にして計算します．(そのほうが様々な計 算に便利です．) 問い 5 次の利子率で元利合計が 2 倍になる年数を 72 の法則で求めなさい． (1) 2% (2) 3% (3) 8% (4) 12%